推薦學習高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.4.11.4.2單位圓與周期性學案北師大版必修4

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4.2單位圓與周期性1．理解任意角的正弦、余弦的定義及其應用．(重點)2.掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關系．(重點)3.理解周期函數(shù)的定義．(難點)[基礎·初探]教材整理1正、余弦函數(shù)閱讀教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列問題．任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義(1)單位圓的定義在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓．(2)如圖1－4－1所示，設α是任意角，其頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓O交于點P(u，v)，那么：圖1－4－1正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義點P的縱坐標v定義為角α的正弦函數(shù)，記作v＝sin_α點P的橫坐標u定義為角α的余弦函數(shù)，記作u＝cos_α通常表示法y＝sinx定義域為全體實數(shù)，值域為[－1,1]y＝cosx定義域為全體實數(shù)，值域為[－1,1]在各象限的符號判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的自變量都是角．()(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的角度通常用弧度制，而不用角度制．()(3)角α確定，則角α的正弦、余弦函數(shù)值與點P在終邊上的位置無關．()(4)若sinα<0，則α為第三或第四象限角．()【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，知(1)正確，(3)正確；盡管在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制來表示，若用角度制表示時，如30°＋sin30°就無法進行運算，改用弧度制時，eq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)就可以運算了，即自變量的單位與函數(shù)值的單位都用十進制數(shù)統(tǒng)一了，因而(2)正確；若sinα<0，α的終邊也可能落在y軸的負半軸上，因而(4)錯．【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×教材整理2周期函數(shù)閱讀教材P16～P17練習以上部分，完成下列問題．1．終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值的關系．(1)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin_x(k∈Z)．(2)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos_x(k∈Z)．2．一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在非零實數(shù)T，對定義域內的任意一個x值，都有f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期．3．特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為最小正周期．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函數(shù)的周期．()(2)f(x)＝x2滿足f(－3＋6)＝f(－3)，故f(x)＝x2為周期函數(shù)．()(3)對正弦函數(shù)f(x)＝sinx有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，所以eq\f(π,2)是f(x)的周期．()【解析】(1)錯誤．k∈Z且k≠0時，2kπ是正弦、余弦函數(shù)的周期．(2)錯誤．因為f(－2＋6)≠f(－2)．(3)錯誤．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,2)))≠f(π)不滿足任意性．【答案】(1)×(2)×(3)×[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑問2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑問3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小組合作型]正弦、余弦函數(shù)的定義已知θ的終邊經(jīng)過點P(a，a)，a≠0，求sinθ，cosθ.【精彩點撥】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可求sinθ，cosθ.【自主解答】當a>0時，r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，得sinθ＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2).當a<0時，r＝eq\r(a2＋a2)＝－eq\r(2)a，得sinθ＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2).利用三角函數(shù)的定義求值的策略1．求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上異于原點的點的橫、縱坐標及其到原點的距離．2．若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應分兩種情況處理．3．若已知角，則需確定出角的終邊與單位圓的交點坐標．[再練一題]1．已知角α的終邊在直線y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.【導學號：66470006】【解】設直線上任意一點P(a,2a)，a≠0，則r＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)|a|.當a>0時，sinθ＝eq\f(2a,\r(5)|a|)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(a,\r(5)|a|)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).當a<0時，sinθ＝eq\f(2a,\r(5)|a|)＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(a,\r(5)|a|)＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5).三角函數(shù)值的符號判斷(1)判斷符號：sin340°·cos265°；(2)若sin2α>0，且cosα<0，試確定α所在的象限．【精彩點撥】(1)由角的終邊所在象限分別判斷三角函數(shù)值的符號，進一步確定各式符號．(2)根據(jù)正弦、余弦在各個象限的符號確定2α的象限，進而確定α所在的象限．【自主解答】(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°<0，cos265°<0，∴sin340°·cos265°>0.(2)∵sin2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ<α<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．當k為偶數(shù)時，設k＝2m(m∈Z)，有2mπ<α<2mπ＋eq\f(π,2)(m∈Z)；當k為奇數(shù)時，設k＝(2m＋1)(m∈Z)，有2mπ＋π<α<2mπ＋eq\f(3π,2)(m∈Z)．∴α為第一或第三象限角．又由cosα<0，可知α為第三象限角．1．正弦、余弦函數(shù)值在各象限內取正數(shù)的規(guī)律可概括為“正弦上為正、余弦右為正”，即當角α的終邊在x軸的上方時sinα>0；當角α的終邊在y軸的右側時，cosα>0.2．對于確定角α所在象限的問題，應首先界定題目中所有三角函數(shù)的符號，然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號來確定角α所在象限，則它們的公共象限即為所求．3．由kπ<θ<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)確定θ所在象限時應對k進行分類討論．[再練一題]2．(1)判斷eq\f(sin2·cos3,sin4·cos6)的符號；(2)若sinα>0，cosα<0，判斷角α所在象限．【解】(1)∵2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，4∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，6∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sin2>0，cos3<0，sin4<0，cos6>0，∴eq\f(sin2·cos3,sin4·cos6)>0.(2)∵sinα>0，∴α的終邊在一、二象限或y軸的正半軸上．∵cosα<0，∴α的終邊在二、三象限或x軸的負半軸上．故當sinα>0且cosα<0時，α在第二象限．[探究共研型]利用正弦、余弦函數(shù)的周期性求值探究130°與390°的終邊相同，兩角的同一三角函數(shù)值相等嗎？【提示】相等．探究2終邊相同的角的同一函數(shù)值都相等嗎？為什么？【提示】都相等．因兩角終邊相同，其始邊與單位圓交于同一點，由三角函數(shù)定義知函數(shù)值相等．探究3公式sin(2kπ＋x)＝sinx，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z，揭示了什么規(guī)律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函數(shù)的值有“周而復始”的變化規(guī)律，即角α的終邊每繞原點旋轉一周，函數(shù)值將重復出現(xiàn)一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值．求下列各角的三角函數(shù)值．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π))；(2)cos1500°；(3)sineq\f(17,4)π；(4)coseq\f(25,3)π.【精彩點撥】當角α不在0～2π之間時，常利用“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，把該角轉化到0～2π之間，再求值．【自主解答】(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).(2)cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)sineq\f(17,4)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×2＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(4)coseq\f(25,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×4＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).1．利用終邊相同的正弦、余弦值之間的關系可把任意角的三角函數(shù)化歸為[0,2π)內的三角函數(shù)，實現(xiàn)“負化正，大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸(轉化)思想．2．一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準確求值．3.eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)正弦eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)余弦eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)[再練一題]3．求下列三角函數(shù)值．(1)cos(－1050°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))；(3)log2(4sin1110°)．【解】(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角與30°的角終邊相同．∴cos(－1050)°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵－eq\f(31π,4)＝－4×2π＋eq\f(π,4)，∴角－eq\f(31π,4)與角eq\f(π,4)的終邊相同．∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(3)∵sin1110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)og2(4sin1110°)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4))＝log22＝1.[構建·體系]1．已知P(3,4)是終邊α上一點，則sinα等于()A.eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)【解析】∵r＝eq\r(32＋42)＝5，∴sinα＝eq\f(4,5).【答案】C2．coseq\f(25π,6)的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】coseq\f(25π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).【答案】D3．已知函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，周期T＝6，f(2)＝1，則f(14)＝______