2019年數(shù)學(xué)中考：2018年中考相似綜合壓軸真題實(shí)訓(xùn)（包含答案）

備考2019年數(shù)學(xué)中考：2018年中考相似綜合壓軸真題實(shí)訓(xùn)

1.（2018?朝陽(yáng)）如圖1,在四邊形49勿中，若4?平分N劭。，A^=AB'AD,且47=4決4C,

則我們稱這樣的四邊形力仇M為“黃金四邊形”，N84Z?稱為“黃金角”.

【概念理解】（1）已知四邊形力83為“黃金四邊形”，N外。為“黃金角”，AB<AD,若

AD=\,如|4C=.

【問(wèn)題探究】（2）如圖2,在四邊形力83中，BC//AD,/BAC=/DAC=/D=36°.求證：

四邊形4紛。為“黃金四邊形

【拓展延伸】（3）如圖3,在“黃金四邊形”4比4中，N外耳為“黃金角”，AB<AA?

在四邊形48以外部依次，作△的4,…，使四邊形4必4,"44,…均為''黃

金四邊形”，且滿足NCH，N44U（"=1,2,3-）均為“黃金角”，磯<而田（"=1,

2,3-）

①若則第〃個(gè)“黃金四邊形"中，44=（）"（用含〃的式子表示）.

②若''黃金角"Nfi44=80°,則當(dāng)4B,4三點(diǎn)第一次在同一條直線上時(shí)，n=.

2

（1）解：由題意：IAC=AB,

tAB+AC=l

：.A（^+AC-\=Q,

解得近二L或二（舍棄），

22

故答案為近一1_.

2

（2）證明：在4?上截取一點(diǎn)“，使得/W=48,連接C7/.

'：BC//AD,

：.4BCA=/CAD,

?:NCAD=ND,

：.4BCA=ZD,

?<,4BAC=/CAD,

:.△BAC^XCAD、

.AB=AC

**AC-AD，

：.A（^=AB*AD,

t：AC=AC,AB=AH,ZCAB=ZCAH,

???△勿儂△"，｛SAS'）,

:.NABXNAHC,NACB=NACH,

VZBAC=ZMC=ABCA=ZACH=ZP=36°,

：.4ABC=NAHC=NACD=W,/ACH=/ACB=36。,

：./DHC=/DCH=~l2°,

：.DC=DH=AC,

???四邊形ABCD是黃金四近形.

（3）①?；"=仍例,且44=4由4C,

.?."=（的-40~4，

：.AA^-AOAAy-A^=Q,

例=立+L/C或。C（舍棄），

22

同法可得：包=立+。4=（立+1-）2AC,

22

.?..=（恒1"）”AC,

2

?：AC=\,

②由題意：ZBAC=ZCAA,=40°,

?.?360°4-40=9,

；."=8時(shí)，A,8,4三點(diǎn)第一次在同一條直線上,

故答案為（近+1）”,8.

2.(2018?丹東)如圖△?)%為等邊三角形，以8c為邊在外作正方形成QE,延長(zhǎng)

分別交CE、促的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，N,CHLAF于點(diǎn)、H,EMLAF于點(diǎn)、M,連接力￡

(1)判斷△硼和△屣是否全等，并說(shuō)明理由；

(2)求證:A^=AC*AF-,

(3)已知四=&,若點(diǎn)戶是直線4尸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出△商周長(zhǎng)的最小值.

理由如下：；在正方形BCDE中,BC=BE,/CBE=90°,

:.NEB帆NCBH=9Q°,

'：CHLAF,EM'AF,

：.ZCHB=NBME=90,

:.NBC*NCB49Q。,

：.ZHCB=乙MBE,

在△。田和△破中

'NCHB=NBME

?ZHCB=ZMBE.

,BC=EB

:.叢CHBQ4BME(/US).

(2)證明：’.?△/lb。為等邊三角形，CH2.AB,

又：在正方形8CZ?《中，N成沙=90°,CE平分2BCD,

:./BCE=45°,

/HCF=15°

Nf=15°,

'：AB^BC=BE,

2EAB=ZEBA,

,：ZEBF=]800-90°-60°=30°,

：.ZAEB=\5°,

NAEB=NF,

又：ZEAB=Z.FAE,

:.XABESXAFE

..AEAF

"AB^AE'

又...48=AC,

：./=4B?4F.

(3)解：作E點(diǎn)關(guān)于/尸的對(duì)稱點(diǎn),連接GC,交AF與P,三角形CQE即為所求作三

角形，

作GOLCH燹O/延長(zhǎng)線與點(diǎn)0,

:./CBH=60°,8〃二返，陰返，

22

由(1)不知XCH運(yùn)t\BME,

.?.萬(wàn)伊=返，8%=返，

22

VZOHM=ZHMG=Z0=90°,故四邊形。/力傷為正方形,

：.HO^MG=EM=&,OG=HQH擠BM=&+遍,

22

.,.在Rt△COG中，CG=dcO2+GC)"1+?，

22=2

在Rt△的中，^=VBE+CB

△CEP周長(zhǎng)的最小值=CBP曰PX朋CE=1+后2=3+我，

3.(2018?福建)如圖，在RtZi/8C中，NX90°,45=10,〃=8.線段4?由線段繞

點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，△&■<?由△48C沿C8方向平移得到，且直線EFH點(diǎn)D.

(1)求N劭尸的大??；

(2)求CG的長(zhǎng).

解：（1）?.?線段力。是由線段48繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，

AZMS=90°,AD=AB=W,

48g45°,

■:XEFGkXABC：沿綣方向平移得到，

：.AB//EF,

:.NBDF=4ABD=45°；

（2）由平移的性質(zhì)得，AE//CG,AB//EF,

:./DEA=/DFg/ABC,N6N"8=180°,

VZW=90°,

N4?￡=90°,

VAACB=9Q°,

NADE=/ACB,

:.XADEsXACB,

.ADAE

"AC^AB'

?：AC=Q,48=40=10,

：.AE=\2.5,

由平移的性質(zhì)得，CG=AE=12.5.

4.（2018?蘇州）問(wèn)題1:如圖①，在△/1仇?中，AB=4,。是48上一點(diǎn)（不與48重合）,

DE//BC,交AC于點(diǎn)、E,連接3.設(shè)△48C的面積為S,的面積為S'.

(1)當(dāng)4。=3時(shí)，^―=W;

S15-

(2)設(shè)請(qǐng)你用含字母〃的代數(shù)式表示三一.

問(wèn)題2：如圖②，在四邊形力8"中，48=4,Al>//BC,AD=^BC,￡是48上一點(diǎn)(不與

A,8重合)，EF//BC,交CD于點(diǎn)F,連接C￡設(shè)力￡=〃，四邊形力仇?〃的面積為S,/XEFC

的面積為5’.請(qǐng)你利用問(wèn)題1的解法或結(jié)論，用含字母"的代數(shù)式表示反二.

(1)47=3,

.?.8Z?=4-3=1,

?：DE//BC,

.CE_BD_1

?,加而節(jié)

.SADECEC13

^AADEAE39

?：DE//BC,

:.IXADEsXABC,

.SAADE_(3)2_g

^AABC416

即乙工,

SAABC16S16'

故答案為：—；

16

(2)解法一：?.)8=4,AD^m,

:?BD=4-m,

'：DE〃BC,

?CE_BD_4-TD

「盛.而一^

.SADECCE4-TD

S/kADE皿m

'：DE//BCy

:?叢ADEs^ABC,

AJAADE=(2)2=IT|2

,△ABC416

.SADEC_S2-in2+4m

_AADE_m-

"SAABCS.DECSAABC±2B'1616

2△ADEm

即S'__]T|2+4in.

"S_一_16-，

解法二：如圖1,這點(diǎn)、B作8H1AC于H,過(guò)。作Z?￡MC于尸，則爐〃附

:.AADFSAABH,

?DF_AD_m

??麗下F

.S/WEC_乎￡DF_4_^乂@=-m，4m

SAABC1<A-BH4416

即S，__m2+4m.

S-16

問(wèn)題2:如圖②，

解法一：如圖2,分別延長(zhǎng)劭、CE交于點(diǎn)0,

'：AD//BC,

:.△0A8X0BC,

.0A二AD二1

??瓦苗枳

：.OA=AB=^,

*,*0B=8,

*.*AE=n,

0E=4+n,

?:EF〃BC,

22

由問(wèn)題1的解法可知：:△￡”.=>^△OEF=42nx=j§Zg..,

^AOBC7面S&）5c4+n864

SAOEF

..SAQAD_,0A、2_1

^AOBC°B4

.SABCD一3

^AOBC4

SSACEF22

...4CEF^16-n=16-n即乙=以上；

S

ABCDySA0BC36448's48

解法二：如圖3,連接AC交EF于M,

'：AD//BC,且力占上外，

2

.SAADC1

,△ABC2

二品的='SzkABC'

19

/航=彳s,s^c=-s,

由問(wèn)題1的結(jié)論可知：.答“。=二條2地，

SAABC16

'：MF//AD,

：.f\CFM^/\CDA,

SSACFH

.ACFMSACFH4-ns2

??e----=1c=3X-^=（?。?/p>

bACDAySS4

?c—（4~n）乂?

??0^CFM----------八O,

48

?*"S"涔S&E岐s△扁=二?一,4口..Zs+S-n,）_xs=16二口一xs，

1634848

?S;_16~n2

S48

0

圖1

5.(2018?貴港)已知：48兩點(diǎn)在直線/的同一側(cè)，線段47,8〃均是直線/的垂線段，

且8〃在力。的右邊，Ag2BM,將從/沿直線/向右平移，在平移過(guò)程中，始終保持/48戶

=90°不變，加邊與直線/相交于點(diǎn)尺

(1)當(dāng)尸與0重合時(shí)(如圖2所示)，設(shè)點(diǎn)C是47的中點(diǎn)，連接8a求證：四邊形OCBM

是正方形；

(2)請(qǐng)利用如圖1所示的情形，求證：罌=署：

(3)若AO=2遙,且當(dāng)解9=2尸0時(shí)，請(qǐng)直接寫出和形的長(zhǎng).

M：(1)YZBMAO,2cgAO

：.BM=CO,

?:AO"BM,

???四邊形。。股是平行四邊形，

?/N酬0=90。,

:.口OCBM是矩形,

VZABP=90°,C是40的中點(diǎn)，

：.OC=BC,

工矩形。渤是正方形.

(2)方法一：連接彳入0B,

?：ZABP=ZAOP=90°,

???力、B、0、P四點(diǎn)共圓，

由圓周角定理可知：/APB=4A0B,

?:AO"BM,

：.4A0B=NOBM,

：?4APB=/OBM,

:.△APBSAOBM,

.AB__QM

方法二：如圖所示，過(guò)點(diǎn)8作及ZL4;于點(diǎn)

易證：四邊形。例，。是矩形，

：.BD=OM,

*.?/AB訃/DBE=/DB&NPBM,

：.NABD=/PBM,

■:4ADB=/PMB=9C,

.ABBD

.ABON.

■'PB=BM'

(3)當(dāng)點(diǎn)P在。的左側(cè)時(shí)，如圖所示,

過(guò)點(diǎn)8作BDLAO于點(diǎn)、D,

易證△月如△靦，

.PO0E

*'BD^DE

易證：四邊形DBMO是矩形，

J.BD^MO,OD^BM

：.M0=2P0=BD,

必」

,?瓦W'

■:Ag2B42瓜

**-BM='后，

.?.如=返,DE=^~,

33

易證AADBs^ABE,

:.A8AAAE,

'：AD=DO=BM=^,

：.AE=Al>DE=^H-

3

***AB=^/Yo，

由勾股定理可知：8￡=」也顯

3

易證：△比Z?s△月勉，

?BEQM_2

??麗言—，

PB—、］15

當(dāng)點(diǎn)。在。的右側(cè)時(shí)，如圖所示，

過(guò)點(diǎn)8作BDLOA于點(diǎn)D,

'：M0=2P0,

.?.點(diǎn)戶是"的中點(diǎn)，

設(shè)PM=x,BD=2x,

?：NAOM=NAB—qy,

.,.A,0、P、3四點(diǎn)共圓，

四邊形兒見？是圓內(nèi)接四邊形，

：.4BPM=4A,

.ADPH

,?麗麗，

又易證四邊形是矩形，A0=2BM,

?*./4Z?=BM=

?五=X

,,砥一瓜

解得:X=

**.BD—2x=2^^2

由勾股定理可知：AB=3近,PB=3,

綜上所述，48=伍，聽任或48=3&,PB=3,

6.（2018?上海）已知：如圖，正方形》成？中，P是邊比■上一點(diǎn)，BELAP,DFLAP,垂足

分別是點(diǎn)E、F.

(1)求證：EF=AE-BE\

(2)連接/如果竺=12.求證：EF=EP.

BFAD

證明：（1）???四邊形4aM為正方影,

：.AB=AD,/BAD=90°,

■:BELAP,DFLAP,

:.NBEA=NAFD=9C,

VZ1+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

Z1=Z3,

在△力宏和△勿尸中

'NBEA=NAFD

,Z1=Z3,

ABRA

:?△ABEQXDAF,

：.BE=AF,

:.EF=AE-AF=AE-BE\

..AFDF

(2)如圖=

,?麗一而'

而AF=BE,

.BE=DF

"BF-AD，

.BE=BF

,?市一而‘

:?RSBEFsRt/\DFA,

，N4=N3,

而N1=N3,

JN4=N1,

VZ5=Z1,

N4=N5,

即BE平分4FBP,

而BELEP,

7.(2018?昆明)如圖1,在矩形48“7中，戶為切邊上一點(diǎn)("y。)，ZAPB=9Q°.將4

ADP：沿〃翻折得到P,PD'的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN//MP交DC于熱N.

(1)求證：/爐=%?戶C;

(2)請(qǐng)判斷四邊形必例的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,連接4C,分別交％PB于點(diǎn)、E,F.若配=上，求里的值.

AD2AE

解：(1)解法一：過(guò)點(diǎn)"作QGJL48于點(diǎn)G,

易知四邊形DPGA,四邊形PGBG是矩形，

：.AD=PG,DP=AG,GB=PC

■:NAPB=9Q°,

NAP6rNGPB=NGP及NPBG=90°,

/APG=4PBG,

:.△APGSRPBG，

.PGGB

AG^PG，

:.PC=AG?GB,

即Al}=DP-PC-,

解法二：易證：XADP^XPCB,

.AD=PC

,,DP-CB,

由于AD^CB,

：.A[^^DP'PC\

(2)'：DP//AB,

：./DPA=2PAM,

由題意可知：/DPA=/APM,

：.Z.PAM=NAPM,

?：/APB-乙PA4/APB-Z.APM,

即N4BP=乙MPB

:.AMPM,PQMB,

：.PM=MB,

又易證四邊形月，例是平行四邊形,

二四邊形以例是菱形；

可設(shè)%=1,AD=2,

由(1)可知：4?=。戶=1,PXAD=2,

,:P￡=AG?GB,

：.4=t?GB,

：.GB=PC=4,

AB=A&~GB=5,

'：CP//AB,

：.XPCFSABAF,

.CF=PC=1

**AF-AB-P

.AF5

??而為，

15

又易證：XPCEs[\MAE,AM=—AB=—

22

4

.CE_PC--^_8

.?-----------------5-------

AEAMy5

?EF_117AC_4

"AE5M9

7TAC

DPNC

.4GMB

圖1

8.(2018?資陽(yáng))已知：如圖，在RtZ\/8C中，/ACB=9Q°，點(diǎn)的是斜邊48的中點(diǎn)，MD//

BC,且磔=懿DE工AB于點(diǎn)、E,連結(jié)47、CD.

(1)求證：△MED^XBCA；

(2)求證：l\AM2/\CMD;

17

(3)設(shè)△碗的面積為&,四邊形BCMD的面積為￡,當(dāng)S=-----￡時(shí)，求cosN>48c的

25

值.

D

解：(1)U：MD//BC,

：.NDME=NCBA,

?：4ACB=4MED=9N,

:.△MED^XBCA,

(2)VZACB=9Q°，點(diǎn)"是斜邊48的中點(diǎn)，

：.MB=MC=AM,

:?/MCB=/MBC,

?：4DMB=4MBC,

???NMCB=NDMB=/MBC,

：N/W=180°-NDMB,

ZCW=1800-NMCB-NMBONDMB=180°-Z.MBC

:.NAMgNCMD,

在/\AMD與ACMD中,

fMD=MD

<NAMD=NCMD

,AM=CM

△AMD^XCMD(弘S)

(3),/MD=CM,

:.AQMXMgMB,

:.Mg^AB,

由(1)可知：△施9s△8C4,

._￡L_=(MD)2=I

"SAACB,AB，4'

,,S^ACB—4sl，

???〃是△478的中線，

???S△而8="1"山第=2￡,

.__2

,,S〉EB產(chǎn)S一$&般_S1=—?S|,

5

..S1一ME

^AEBDEB

s,

?六=迪

**fs1EB1

,"EB-T

設(shè)ME=5x,EB=2x,

:.MB=1x,

:.AB=2MB=14x,

?旭=膽=工

'AB-BC-T

cosZABC=里L(fēng)=lOx5

AB1477

另解：設(shè)ME=5x,EA2x,

：.MB=MD=lx.

'：MD//BC,

MFS

cosNABC^cosNBMA—=—

MD7

(2)如圖2,連接維，EC,過(guò)點(diǎn)、E作EFLEC交AB于點(diǎn)、F,連接陰與宏交于點(diǎn)G.當(dāng)

維平分N4861時(shí)，求8G的長(zhǎng)；

(3)如圖3,連接EC,點(diǎn)、〃在CD上,將矩形ABCD'沿魚線日/折疊，折疊后點(diǎn)。落在EC

上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)D'作D'也_47于點(diǎn)N,與曰/交于點(diǎn)M,且AE=\.

①求部工的值；

SAEMN

②連接△〃'的/與維是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)如圖1,連接。1,在矩形4燈》中，CD=AB=3,AD=BC=5,Zfi4P=90°

在劭中，根據(jù)勾股定理得，放=^^,

，：0是8。中點(diǎn),

：.OD=OB=OA=^^~,

2

NOAANODA,

"：OE=DE,

：.』EOD=NODE,

：.NEOD=NODE=NOAD,

:ZDE/XADO,

.DO_DE

:.DG=DE、DA,

一15■而

:.設(shè)AE=x,

:.DE=5-x,

：.(^S)2=5(5-x),

2

即：AE=—}

10

(2)如圖2,在矩形ABCD中，

?：BE平分ZABC,

:./ABE=/EBC=45°,

U：AD//BC,

:./AEB=/EBC,

：.NABE=/AEB,

：.AE=AB=3,

：.AE=CD=3,

*：EFLEC,

：.ZFEC=90°,

:?NAER/CED=9y,

VZA=90°,

:.NAER/AFE=9G,

:./CED=NAFE,

VZP=Z/f=90°,

:.△AEFQXDCE,

：.AF=DE=2,

：.BF=AB-AF=\,

過(guò)點(diǎn)G作GK1BC于K,

:?NEBC=/BGK=45°,

:?BK=GK,ZABC=ZGKC=90°,

■:/KCG=NBCF,

:?叢CKGs/\CBF,

.GKCK

設(shè)BK=GK=y,

：.CK=5-y,

._5

5

：.BK=GK=—,

6_

在RtLGKB中,g=且2：

6

(3)①在矩形彳及刀中，ZP=90°,

??浜=1,AD=5,

:.DE=4,

,:DC=3,

:.E0=5,

由折疊知，ED,=ED=4,D'H=DH,4ED'H=4D=90°,

:?D'C=l,

設(shè)D'H=DH=z,

：.HC=3-z,

根據(jù)勾股定理得，(3-z)2=1+?,

.Z=A

3'

45

：.DH=—CH=—

3y3f

■:。NLAD,-

:./AND,=ND=9G,

:.D'N〃DC,

:.AEMNSAEHD,

.MN_EM

??瓦演，

,:D'N"DC,

：.4ED'M=4ECH,

?：4MED'=Z.HEC,

:.XED'M^IXECH,

.DzM_EM

??CH=EH'

.MN_D'M

??瓦二CH'

<D'M_CH_5

「MN二HDT

,SAEDZM_5,

SAEMN4

②相似，理由：由折疊知，4EHD'=4EHD,NED'H=4D=90°,

：.ZW/AZ￡Z?,/V=90°,

?「N日步=90°,

???NSN+NW=90°,

：?4MD'H=2NED',

?:D'N"DC,

：.4EHD=4D'MH,

:?/EHD'=/D'MH,

：.D'M=DlH,

'：AD//BC,

：./NED'=/ECB,

:./MD'H=/ECB,

,:CE=CB=3,

.DzM_DyH

"CB二CE'

:AD'MH^RCBE.

AED

10.（2018?山西）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過(guò)程中的不變性質(zhì)，常?？梢哉业浇鉀Q問(wèn)題的辦法.著名美

籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個(gè)例子：請(qǐng)問(wèn)如何在

一個(gè)三角形/為的47和8c兩邊上分別取一點(diǎn)4和匕使得匕（如圖）解決這

個(gè)問(wèn)題的操作步驟如下：

第一步，在）上作出一點(diǎn)〃，使得但C8,連接做.第二步，在第上取一點(diǎn)『，作

YZ'//CA,交劭于點(diǎn)Z,并在48上取一點(diǎn)4,使=第三步，過(guò)點(diǎn)4作4Z

//A'Z,交故于點(diǎn)Z第四步，過(guò)點(diǎn)Z作2T〃/4C,交8c于點(diǎn)匕再過(guò)點(diǎn)V作次〃Z4,

交4?于點(diǎn)X.

則有AX=BY=XY.

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：'：AZ//A'Z,:.NBA'T=ZBAZ,

義,：4A'B2=4ABZ.：.l\BKZ?XBAZ.

.Z'A'二BZ'

ZA=BZ,

同理可得Y'Z'=BZ'.”—

YZBZZAYZ

"：ZA'=YZ,：.ZA=YZ.

任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過(guò)程，判斷四邊形么的形狀，并加以證

明：

（2）請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)閱讀上面的操作步驟，在（1）的基礎(chǔ)上完成4r=8N=XZ的證明過(guò)程；

（3）上述解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)作平行線把四邊形外'Z廠放大得到四邊形防ZR從

而確定了點(diǎn)Z,Z的位置，這里運(yùn)用了下面一種圖形的變化是。（或位似）.

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對(duì)稱D.位似

解：（1）四邊形/U7Z是菱形.

證明：'：ZY//AC,YX//ZA,

四邊形是平行四邊形.

"：ZA=YZ,

，平行四邊形力用Z是菱形.

(2)證明：,:CD=CB,

N1=N3.

'：ZY//AC,

N1=N2.

N2=N3.

YB=YZ.

:四邊形4￥右是菱形，

：.AX=XY=YZ.

：.AX^BY=XY.

(3)通過(guò)作平行線把四邊形歷I'ZF放大得到四邊形班2T,從而確定了點(diǎn)Z,丫的位置,

此時(shí)四邊形BA'Z『s四邊形BAZY,所以該變換形式是位似變換.

故答案是：。(或位似).

11.(2018?鹽城)【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊△48C,將直角三角板的60°角頂點(diǎn)。任意放

在宓邊上(點(diǎn)。不與點(diǎn)8、C重合)，使兩邊分別交線段48、4C于點(diǎn)、￡、F.

(1)若48=6,力￡=4,BD=2,則CF=4;

(2)求證：叢EB2XDCF.

【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)。在8c邊上移動(dòng)，保持三角板與邊48、4?的兩個(gè)

交點(diǎn)￡尸都存在，連接歷如圖②所示，問(wèn)：點(diǎn)。是否存在某一位置，使。平分N4

且也平分NOT?若存在，求出罄的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【探索】如圖③，在等腰△49C中，/Q/4C,點(diǎn)。為8C邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的

一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)0處（其中N欣W=N8），，使兩條邊分別交邊48、4?于點(diǎn)叢尸（點(diǎn)￡

尸均不與%的頂點(diǎn)重合），連接白7.設(shè)N8=a,則與△49C的周長(zhǎng)之比為」

-cosa（用含a的表達(dá)式表示）.

(1)解：???△48C是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=6,ZB=ZC=60°.

V/4￡=4,

:.BE=2,

則BE=BD,

???△8班是等邊三角形，

：.4BED=bO°,

又〈N&?f=60°,

???NC"=180°-Z￡Z?F-ZB=60°,

時(shí)ZCDF=NC=6G,

二.△a?尸是等邊三角形，

???CF=CD=BC=BD=6-2=4.

故答案是：4；

(2)證明：如圖①，,：4EDF=60。,N8=60°,

:.NCDRBDE=120。,/BEM/BDE=\2N,

：./BED=/CDF.

文NB=NC=60°,

：.l\EBD^/\DCF\

【思考】存在，如圖②，過(guò)。作ML8E,DGLEF,DNS.CF,垂足分別是肌G、N,

，：ED平分NBEF且FD平分NCFE.

：.DM^DG^DN.

大NB=NC=60°,4BMD=4CND=90°,

:.△BDgXCDN,

：.BD=CD,即點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

.BD_1.

??--~?

BC2

【探索】如圖③，連接47,作0GL8E,ODLEF,0H1.CF,垂足分別是G、D、H.

W\NBGO=NCH0=9Q°,

,：AB^AC,0是8c的中點(diǎn)，

/?NB—NC,0B=00,

:?△OBGQXOCH,

：.OG=OH,GB=CH,NBOG=4COH=90°-a,

貝”NG0//=18O°-（N8除NCM=2a,

:?NEOF=NB=Q

由（2）題可猜想應(yīng)用￡F=吩%占GFTT/（可通過(guò)半角旋轉(zhuǎn)證明），

則C^AELA&ERAF=A&EMF"AF=A*AH=2AG,

設(shè)AB=m,則OB=mcQsa,GB=mcos1a.

'△AEF_2AG_AG=IDFCOS2a=[_cosa

,△ABC2（AB+0B）AB+OBirrt-mcosQ.

圖③

12.（2018?邵陽(yáng)）如圖1所示，在四邊形48c〃中，點(diǎn)0,E,F,G分別是BC,CD,AD

的中點(diǎn)，連接如，EF,FG,GO,GE.

（1）證明：四邊形陽(yáng)石是平行四邊形；

（2）將△①￡繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△0牡，如圖2所示，連接G”,EN.

①若OE=a,0G=1,求黑的值；

GM

②試在四邊形力83中添加一個(gè)條件，使徽日/的長(zhǎng)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終相等.（不要求證

明）

解：（1）如圖1,連接4C,

c

圖1

?.?點(diǎn)0、E、F、G分別是48、BC、CD、的中點(diǎn),

：.0E//AC,OE=±AC,GF//AC,GF=^AC,

：.OE//GF,OE=GF,

四邊形婀'G是平行四邊形；

(2)①?.?△0GF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△〃相

：.OG=OM、0E=ON,/GOM=4E0N,

.OG=OM

?,話一面’

J.^OGM^^OEN,

?EN_OE_r~

"GMOG"手

②）添加AXBD,

如圖2,連接4C、BD,

:點(diǎn)0、E、F、G分別是48、BC、CD、47的中點(diǎn),

：.0G=EF=%D、0E=GF=^AC,

,:AC=BD,

：.0G=OE,

：ZX0GE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△的/,

：*OG=OM、OE=ON,NG04/E0N,

：.OG=OE,OM=ON,

往XOGM知XOEN①，

'OG=OE

,?JZGOM=ZEON,

OM=ON

：./\OGM^i\OEN(SAS),

：.GM^EN.

13.(2018?寧波)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做

比例三角形.

(1)已知△/)比■是比例三角形，AB=2,80=3,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的4?的長(zhǎng)；

(2)如圖1,在四邊形力加》中，AD//BC,對(duì)角線劭平分N48C,NBAXNADC.求證:

△4劭是比例三雨形.

(3)如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)/ADC=93時(shí)，求空■的值.

AC

解：(1)?.?△48C是比例三角形，且48=2、BC=3,

①當(dāng)力&=8。4;時(shí)，得：4=347,解得：AC^--,

3

②當(dāng)86s=/18。61時(shí)，得：9=2/C,解得：":

③當(dāng)/^=力建比時(shí)，得：A?=6,解得：4a%(負(fù)值舍去)；

所以當(dāng)47=三或三或加時(shí)，△力宓是比例三角形；

32

(2)\AD//BC,

???/ACB=4CAD,

又丁/BAC=/ADC,

:、△ABC^XDCA、

即C^=BOAD,

CAAD

'：AD//BC,

NADB=NCBD,

?：BD平分NABC,

：./ABM/CBD,

：.NADB=AABD,

:.AB=AD,

：.C^=BOAB,

...△48。是比例三角形；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)4作4/1?劭于點(diǎn)”,

?：AB=AD,

'：AD//BC,/ADC=9Q°,

:.NBCD=q。。,

:.NBHA=NBCD=9Q°,

V：NAB44DBC,

：.XAB2ADBC,

FpAB-BC^BH'DB,

DBBC

Iq

2

又.：AB?BgAC,

1,,

:.'B*=AG,

2

14.(2018?襄陽(yáng))如圖(1),已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線4C上，GE±BC,垂足為點(diǎn)￡

GFLCD,垂足為點(diǎn)尸.

(1)證明與推斷：

①求證：四邊形CEG尸是正方形；

②推斷：■的值為:

BE

（2）探究與證明：

將正方形窕8尸繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a角（0°<a<45°）,如圖（2）所示，試探究

線段4G與維之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（3）拓展與運(yùn)用：

正方形廠在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)8,E,廠三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)CG

交于點(diǎn)，若4?=6,GH=2?則BC=3小.

解：（1）①：四邊形/48CZ）是正方形,

：.ZBCD=9Qa,N8C4=45°,

?:GELBC、GFLCD,

：.ZCEG=ZCFG=ZECF=90°,

四邊形CEGF是矩形，NCGE=NECG=45°,

:.E2EC,

二四邊形C&F是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形,

NCFG=N8=90°,NECG=45°,

.?.*=&，GE//AB,

Ln*

.AG_CG_rr

■-BE-CE-^1

故答案為：

(2)連接CG,

D

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知NBCE=NACG=a,

在和Rtz^C以中，

^-=cos450=返=返

—=cos45°

CG2CA2，

?CG_=CA=&,

1,CE-CB

XACGsXBCE,

AG=CA

BE-CB

...線段〃與緋之間的數(shù)量關(guān)系為44加維:

(3)，：2CEF=45°，點(diǎn)8、E、下三點(diǎn)共線，

：.NBEC=135°,

XACGs4BCE,

:.NAGC=NBEC=135°,

:.NAG4NCA445°,

'：/CHA=NAHG,

:.△AHGslxCHA,

.AG=GH=M

'*AC-AH-CH'

設(shè)30=CD=AD=a,則AC=

則由地=外導(dǎo)六=馬反，

ACAHV2aAH

9

：.AH=—a,

3

22=

則zw=4?-但上，^7CD+DH-^

2_

?AG—AHr,6

■"AC-cii*V2a-V10，

~z-a

解得：a=3匹,即a7=3收，

故答案為：3代.

15.（2018?黃石）在△/8C中，E、尸分別為線段48、4C上的點(diǎn)（不與A8、。重合）.

S/kAEF_AE?AF

G1）如圖1,老EF//BC,求證:

^AABCAB'AC

（2）如圖2,若所不與8c平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）如圖3,若上一點(diǎn)G恰為△48。的重心，求S,AEF的值.

AB4SAABC

，XAEFsl\ABC,

?膽=更

"AB"AC）

.SAAEF_（AE）2AE.AFAE-AF

^AABCABABACAB"AC

（2）若爐不與所?平行，（1）中的結(jié)論仍然成立,

圖1

分別過(guò)點(diǎn)F、C作為3的垂線，垂足分別為從H,

':FN'AB、CH'AB,

：.FN//CH,

：.^AFN^/\ACH,

.FN=AF

，，CH-AC，

.SaAEF—.''FN—^.AF.

FABC-LAB，CH出咕1

(3)連接而并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)K連接8G并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)“，連接椒,

則的V分別是BC、47的中點(diǎn),

：.MN//AB,且MN="B,

選=2

AM-T

由(2)知：—△AEG_=__A。,,.—x2,—―~—AF=,

,△ABMAB'AM432$2kACMAM'AC3

則SAAEF_SaAEG+S^AFG_‘ZiAEG+,△AFG_工_工

^AABC2SAA(；M2SAABM2SAACM43

而如史=也還=2,

^AABCAB'AC4

434

3

解得：a=2，

5

S

.AAEF3x3=9

,△ABC4520

16.(2018?常德)已知正方形49C0中4?與8。交于。點(diǎn)，點(diǎn)M在線段做上，作直線刈/交

直線。C于￡迂D作DH1AE干H,設(shè)直線力/交4;于M

(1)如圖1,當(dāng)"在線段80上時(shí)，求證：MO=NO\

(2)如圖2,當(dāng)"在線段勿上，連接但當(dāng)EN〃BD曬,求證：BM=AB；

(3)在圖3,當(dāng)"在線段勿上，連接肛當(dāng)必_L&?時(shí)，求證：Alt=NOAC,

解：(1)?.,正方形彳成力的對(duì)角線4C,劭相交于。，

：.OD=OA,Z.A0M=AD0N=9G0,

：.40NM/0DN=qC,

?.,/ANH=4OND,

：./AN"/0DN=qN,

〈DHLAE,

，N力倔=90°,

:.NAN出NOAM=9C,

???ZODN=NOAM,

:、XDO蛇XAOM,

：.OM=ON\

(2)連接他

,:EN〃BD,

：.ZENC=ZDOC=90°,NNEC=NBDC=45°=2ACD,

：.EN=CN,同(1)的方法得，OM=ON9

,?OD=OD,

：.DM=CN=ENy

■:EN//DM,

???四邊形困砌是平行四邊形，

?:DNLAE,

:.口DENM是麥形,

:.DE=EN,

：.4EDN=4END,

,:EN〃BD,

：?4END=4BDN,

：.4EDN=Z.BDN,

?：4BDC=45。,

???N8ZW=22.5°,

VZ/4AZ?=9O°,

：?4AMB=4DME=9G—N8ZW=67.5°,

VZABM=45°,

:,乙BAM=0.50=NAMB,

方法2、如圖2,'：NE//BD,

:./EN0=9N,

:N2+N0M?=9O°,

?,.N1=N2,

?.?N4?GN4V￡=180°,

?,?點(diǎn)4D,E,/V在以彳￡為直徑的圓上，

???N1=」N3,

.?.Z2=Z3,

N2+N4=N2+N5=90°,

???N3+N侑8=90°,

:.NMAB=N5,

：.BA=BM

(3)如圖3,

■:DN1AE,:?NDE卅NEDH=9G,

?：4DA&/DEH=9G0,

：.NDAE=4EDH,

?.?ENA-CD,

???N呵=90°=Z.ADE,

:、△DENS[\ADE、

.DE_EN

ADDE

:.泥=AAEN,

'：4C是正方形ABCD的對(duì)角線,

AAACD^^BAC^^°,

：.CN=-^N,AC=?W,

延長(zhǎng)EN瓦于P,

，四邊形ADEP是矩形,

:.DE=AP,

'：AN=-^AP=-^DE,

：.Atf=AOCN.

A圖3PB

17.（2018?武漢）在△48C中，NABX90°.

(1)如圖1,分別過(guò)4C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)8的直線的垂線，垂足分別為欣N,求證：△

AB初4BCN；

(2)如圖2,戶是邊8c上一點(diǎn)，NBAP=NC,tanNPAg^^-,求tanC的值：

5

(3)如圖3,。是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=AB,ZDEB=qQ°,s\n^BAC=—,—=^-,

5AC5

解：(1),:AMLMN,CN1MN,

???N4儂=/腦=90°,

：?N84件/制=90°,

TN腕=90°,

：.NAB除4CBN=9N,

:?/BAM=/CBN,

,?NAMB=/NBC,

:.XAB粒XBCN，、

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作砒L4P交4;于MPN1AM于N.

J.N外丹N1=N6^N1=90°,

.??4BAP=NCPM=NC,

：.MP=MC

PN