解三角形的實際應(yīng)用

解三角形的實際應(yīng)用（劉園上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)201805）樣刊請寄：上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)柏榮15821987311201805摘要：解三角形的實際應(yīng)用問題尤為廣泛，既可以解決平面幾何問題，也可以應(yīng)用于實際的測量，作為數(shù)學(xué)在日常生活中運用的典型，是當前越來越重視對數(shù)學(xué)實際應(yīng)用能力的考察的考查的高考熱點。本文以解三角形的實際應(yīng)用教學(xué)為例，研究通過正弦定理和余弦定理如何解決實際應(yīng)用中的距離，高度和角度問題，揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活化的意義。關(guān)鍵詞：正弦定理、余弦定理、解三角形1引言解三角形實際問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點之一，同時也是近幾年高考熱點之一。我們都知道數(shù)學(xué)與我們實際生活息息相關(guān)，它來源于我們的生活，并應(yīng)用于日常生活當中，比如：我們?nèi)绾螠y量兩座城市之間的距離？如何測量一些建筑物的高度？又如何確定輪船的航向等等，這些實際問題的解決都可以轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)中解三角形的問題。這類問題基本涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及三角函數(shù)等知識，還蘊含著轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，同時解三角形實際問題還可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。解三角形問題實際就是解決三角形中邊與角的關(guān)系，而正弦定理和余弦定理作為三角形邊與角的橋梁，正好為邊角轉(zhuǎn)化做好了鋪墊，直接應(yīng)用正弦定理和余弦定理，可以求解三角形，靈活變形并與其他知識相結(jié)合，可以解決實際生活中的一些問題。正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且都等于三角形外接圓的直徑。其公式為：余弦定理：任一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與其夾角的余弦值乘積的兩倍。其公式為：，，兩個定理在解三角形中的選擇：已知條件應(yīng)用定理兩角及一邊正弦定理兩邊及其夾角余弦定理三邊余弦定理兩邊和其中一邊對角正弦定理或余弦定理2實例關(guān)于解三角形的實際應(yīng)用問題，將會通過下面這道自行設(shè)計的實際應(yīng)用題來幫助學(xué)生展開分析和理解。題目：如下圖，點A、B、C、D位于同一水平面，假設(shè)你位于黃浦江邊某定點A處，現(xiàn)手中只有皮尺和測角儀，在不可以過江的前提下，你能否設(shè)計出適當?shù)臏y量方案解決下列實際問題，測量數(shù)據(jù)可以用字母代替：（1）計算出你到東方明珠塔底端的距離AB；（2）計算出東方明珠塔的高度BE；（3）計算出黃浦江對岸東方明珠塔底端與上海中心大廈底端的距離BD.分析：根據(jù)題目中圖形的理解，題目第一問所需要求解的問題實際就是AB的距離，第二問所需要求解的問題實際就是BE的距離，第三問所需要求解的問題實際就是BD的距離，根據(jù)題目的要求和實際問題的背景，要求出AB、BE、BD的距離，就要用到解三角形等相關(guān)知識，通過學(xué)生的建模，構(gòu)造出實際問題的數(shù)學(xué)模型即可解決這幾個問題。（1）第一個問題，同學(xué)們給出的建模方法，具體如下：學(xué)生：在黃浦江西岸邊取一點C，用皮尺測出AC距離為米，然后利用測角儀在A點測出，在C點測出，那么在△ABC中，可以算出，再在利用正弦定理即可求出AB的距離：，即.第二個問題，同學(xué)們給出了幾個不同的建模方法，具體如下：學(xué)生1：模型建立在第一問的基礎(chǔ)上，只要在A點測出仰角，然后在直角△ABE中利用三角比求解：，即.E學(xué)生2：在直線BA的延長線上取一點F，用皮尺測出AF的距離為米，在A點測出仰角，在F點測出仰角，如下圖所示：EFABFAB則，在三角形AEF中。利用正弦定理求出AE或者EF的距離，，即，（），再在Rt△ABE中利用三角比求出BE的距離：，即第三個問題，同學(xué)們給出的建模方法，具體如下：學(xué)生1：在黃浦江西岸邊取一點C，用皮尺測出AC距離為米，然后利用測角儀在A點測出，在C點測出，那么在△ABC中，可以算出，再利用正弦定理即可求出AB的距離：，即；然后在A點測出，C點測出，那么在△ACD中，可以算出，再利用正弦定理即可求出AD的距離：，即，最后在△ABD中利用余弦定理：即.學(xué)生2：在黃浦江西岸邊取一點C，用皮尺測出AC距離為米，然后利用測角儀在A點測出，在C點測出，那么在△ABC中，可以算出，再在△ABC中利用正弦定理即可求出BC的距離：，即；然后在A點測出，C點測出，那么在△ACD中，可以算出，再利用正弦定理即可求出CD的距離：，即，最后在△BCD中利用余弦定理：即通過這道實際探究題的建模分析可知，解三角形在實際生活中的應(yīng)用非常廣泛，諸如在實際問題中求距離、高度等都可以運用解三角形的有關(guān)知識去解決。在解決實際問題的過程中，我們要學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)實際問題建立出適當?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后通過數(shù)學(xué)知識進行推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原到實際問題當中，最終實際問題就可以得到解決。3結(jié)束語數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)知識來源于日常生活，也服務(wù)于日常生活，有效地將理論和實踐緊密結(jié)合，這樣才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價值所在。在實際的教學(xué)當中，要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待實際問題，并學(xué)會用數(shù)學(xué)的理論知識解決