解直角三角形的應(yīng)用舉例學(xué)案

1解直角三角形的應(yīng)用舉例通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能夠：了解仰角、俯角、坡角、方位角的概念解決有關(guān)俯角、仰角的實際問題深刻體會在生產(chǎn)和生活中很多事是可以相互轉(zhuǎn)化的概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初三適用區(qū)域新人教版課時時長（分鐘）120知識點仰角，俯角坡角、坡度方位角，方向角教學(xué)目標(biāo)了解仰角、俯角、坡角、方位角的概念能夠解決有關(guān)俯角、仰角的實際問題，體會數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想方法深刻體會在生產(chǎn)和生活中很多事是可以相互轉(zhuǎn)化的.教學(xué)重點仰角，俯角坡角、坡度方位角，方向角教學(xué)難點仰角，俯角坡角、坡度【知識導(dǎo)圖】教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入小玲家對面新建了一棟圖書大廈，小玲心想：“站在地面上可以通過解直角三角形測得圖書大廈的高，站在自家窗口能利用解直角三角形測出大廈的高嗎?他望著大廈頂端和大廈底部，可測出視線和水平線之間的夾角各一個，但這兩個角如何命名呢?(如圖所示)∠BAC與∠DAC在測量中叫什么角?二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解直角三角形，直角三角形的邊角關(guān)系：在Rt?ABC中，∠C=90°，a,b,c分別為∠A,∠B，∠C=1\*GB3①三邊之間的關(guān)系：(勾股定理)=2\*GB3②兩銳角之間的關(guān)系：=3\*GB3③邊角之間的關(guān)系：.本節(jié)課我們繼續(xù)探究其如何應(yīng)用于實際問題中.進(jìn)行解決實際問題.三、知識講解三、知識講解考點1考點1仰角、俯角如圖：OC為水平線，OD為鉛垂線，OA,OB為視線，我們把視線OA與水平線OC所形成的∠AOC成為仰角；把視線OB與水平線OC所形成的∠BOC稱為俯角.在視線與水平線所成的角中，當(dāng)視線在水平線上方時，視線與水平線所成的角叫做仰角，當(dāng)視線在水平線下方時，視線與水平線所成的角叫做俯角.知識拓展：仰角與附角都是視線與水平線的夾角.考點2考點2坡角、坡度如圖；BC表示水平面，BC表示坡面，我們把水平面AB與坡面BC所形成的∠ABC稱為坡角.一般地，線段BC的長度稱為斜坡AB的水平寬度，線段AC的長度稱為斜坡AB的鉛垂高度.如圖；坡面的鉛垂高度h和水平寬度L的比叫做坡面的坡度（或坡比），用i表示，記作i=h:L,坡度通常寫成1：m的形式，坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α.于是i=hL=tanα知識拓展：（1）坡度也叫坡比，即i=hl,一般寫成1：m的形式（比的前項是（2）坡度i和坡角α的關(guān)系為i=tanα（3）坡角越大，坡度越大坡面越陡.考點3考點3方位角、方向角方位角：從某點的正北方向沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向所形成的角叫方位角.如圖；∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.如圖；目標(biāo)方向OA表示的方位角為北偏東30；目標(biāo)方向OB表示的方位角為南偏東45；目標(biāo)方向OC表示的方位角為南偏西60.方向角：從正北方向或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90得角叫方向角.如圖；∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.知識拓展：解決實際問題時，可利用正南，正北，正西，正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解.四、例題四、例題精析類型一仰角、俯角例題1例題1濟(jì)南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”，某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)對超然樓的高度進(jìn)行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進(jìn)60m至B處，測得仰角為60°，若學(xué)生的身高忽略不計，3≈1.7，結(jié)果精確到1m，則該樓的高度CD是多少？類型二坡角、坡度例題2例題2一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說法正確的是（）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=1.2類型三方位角、方向角例題3例題3如圖，一艘海輪在A點時測得燈塔C在它的北偏東42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達(dá)B處，此時燈塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離（結(jié)果精確到0.1）；（2）求海輪在B處時與燈塔C的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）五、課堂運用五、課堂運用基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.如圖，滑雪場有一坡角α為20°的滑雪道，滑雪道AC的長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌状怪备叨華B的長為（）A．200tan20°米 B．200sin20°米 C．200sin20°米 D．2.已知B港口位于A觀測點北偏東45°方向，且其到A觀測點正北風(fēng)向的距離BM的長為102km，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的BC方向航行47km到達(dá)C處，測得C處位于A觀測點北偏東75°方向，則此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長為（）A．83 B．93 C．63 D．73已知一個斜坡的坡度i=1：3，那么該斜坡的坡角的度數(shù)是度．4.如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度是多少？鞏固鞏固1.如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=1：3，則大樓AB的高度約為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4第1題第2題第3題2.如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑物頂端M的仰角為30°，向N點方向前進(jìn)16m到達(dá)B處，在B處測得建筑物頂端M的仰角為45°，則建筑物MN的高度等于（）A．8（3+1）m B．8（3-1）m C．16（3+1）m D．16（3.如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為45°和30°．若飛機(jī)離地面的高度CH為1200米，且點H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為米（結(jié)果保留根號）．4.如圖，在航線l的兩側(cè)分別有觀測點A和B，點B到航線l的距離BD為4km，點A位于點B北偏西60°方向且與B相距20km處．現(xiàn)有一艘輪船從位于點A南偏東74°方向的C處，沿該航線自東向西航行至觀測點A的正南方向E處．求這艘輪船的航行路程CE的長度．（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）拔高拔高1.如圖，兩建筑物的水平距離為a米，從A點測得D點的俯角為α，測得C點的俯角為β，則較低建筑物的高為（）A．a(chǎn)米 B．a(chǎn)cotα米 C．a(chǎn)cotβ米 D．a(chǎn)（tanβ﹣tanα）米2.在若太陽光線與地面成α角，30°＜α＜45°，一棵樹的影子長為10米，則樹高h(yuǎn)的范圍是（取3≈1.7）3.為加快城鄉(xiāng)對接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進(jìn)行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73）六、課堂小結(jié)六、課堂小結(jié)知識結(jié)構(gòu)及要點小結(jié)（1）仰角，俯角解決實際問題（2）坡角，坡度解決實際問題（3）方向角，方位角解決實際問題解題方法及技巧小結(jié)（1）解有關(guān)仰角，俯角的問題時，一般以水平線和建筑物的高分別為直角邊，以視線為斜邊，構(gòu)造直角三角形.（2）解有關(guān)方向角，方位角的問題時常利用正南，正北，正西，正東方向線構(gòu)造直角三角形（3）解有關(guān)坡角，坡度的問題時，要注意求坡度不是求角度，而是求坡角的正切值.七、課后作業(yè)七、課后作業(yè)基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.如圖．在坡角為a的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosa B．5cosa C．5sina D．第1題第2題第3題2.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=6km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（）A．32km B．33km C．4km D．（33﹣3）km3.某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1：3，堤壩高BC=50m，則AB=m．4.將點如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為42cm，燈罩BC長為32cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD=60°．使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm？（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732）鞏固鞏固1.如圖，某水渠的橫斷面是梯形，已知其斜坡AD的坡度為1：1.2，斜坡BC的坡度為1：0.8，現(xiàn)測得放水前的水面寬EF為3.8米，當(dāng)水閘放水后，水渠內(nèi)水面寬GH為6米．則放水后水面上升的高度是（）米．第1題第3題2.聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)，如圖，點O是摩天輪的圓心，長為110米的AB是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C點處利用測角儀測得摩天輪的最高點A的仰角為33°，測得圓心O的仰角為21°，則小瑩所在C點到直徑AB所在直線的距離約為（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）A．169米 B．204米 C．240米 D．407米3.如圖，一艘輪船以40海里/時的速度在海面上航行，當(dāng)它行駛到A處時，發(fā)現(xiàn)它的北偏東30°方向有一燈塔B．輪船繼續(xù)向北航行2小時后到達(dá)C處，發(fā)現(xiàn)燈塔B在它的北偏東60°方向．若輪船繼續(xù)向北航行，那么當(dāng)再過多長時間時輪船離燈塔最近？（）4.在數(shù)學(xué)實踐活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們到附近的濕地公園測量園內(nèi)雕塑的高度．用測角儀在A處測得雕塑頂端點C的仰角為30°，再往雕塑方向前進(jìn)4米至B處，測得仰角為45°．問：該雕塑有多高？（測角儀高度忽略不計，結(jié)果不取近似值．）拔高拔高1.如圖，某小區(qū)兩幢樓房的間距為203米，在某一時刻太陽光線與水平線的夾角為30°，如果兩幢樓高均為30米，則樓甲的影子落在樓乙上的高度AB為米．2．京杭大運河是世界文化遺產(chǎn)．綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬（岸沿是平行的），如圖，在