第三節(jié)協方差及相關系數

第三節(jié)協方差及相關系數第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一問題的引入：

X與Y獨立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

X與Y不獨立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)]第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機變量X和Y的協方差,記為Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協方差：2.簡單性質⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協方差的公式:由協方差的定義及期望的性質，可得一個簡單計算公式：第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協方差的關系PiXY-2-112Pj14例1：設(X,Y)的分布律為：第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一協方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協方差進行標準化，這就引入了相關系數

.第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二、相關系數：為隨機變量X和Y的相關系數

.1、定義:

設D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為

.2、計算:

設D(X)>0,D(Y)>0,第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一3、相關系數的性質：證:由方差的性質和協方差的定義知,對任意實數b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有

1-≥0,所以||≤1。第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一2.X和Y獨立時，

=0(稱X和Y不相關)，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一，Cov(X,Y)=?事實上，X的密度函數例2

設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cosX,求第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一存在常數a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.因而=0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立.第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一考慮以X的線性函數a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y

的好壞程度:e值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達到最小時的a,b相關系數刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若

=0，Y與X無線性關系;Y與X有嚴格線性關系;若可見,若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關程度越高;||的值越接近于0,Y與X的線性相關程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-)第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一4、不相關（）的等價定義：若X與Y獨立(Cov(X,Y)=0)，則X與Y不相關(=0

)但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.（P141-24,25）第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一但對下述情形，獨立與不相關等價（見P132-例2）若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一三、課堂練習1、2、第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一1、解2、解第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一四、小結這一節(jié)我們介紹了協方差、相關系數、相關系數是刻劃兩個變量間線性相關程度的一個重