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2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.關(guān)于x的一元一次不等式≤﹣2的解集為x≥4,則m的值為()A.14 B.7 C.﹣2 D.22.如圖,G,E分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點(diǎn),且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,現(xiàn)有如下結(jié)論:①BE=DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH.其中,正確的結(jié)論有()A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)3.下列各數(shù):1.414,,﹣,0,其中是無理數(shù)的為()A.1.414 B. C.﹣ D.04.如圖圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.5.?dāng)?shù)軸上有A,B,C,D四個(gè)點(diǎn),其中絕對(duì)值大于2的點(diǎn)是()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C D.點(diǎn)D6.下列各數(shù)是不等式組的解是()A.0 B. C.2 D.37.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB’C’D’,圖中陰影部分的面積為().A. B. C. D.8.不等式組的解集是()A.x>-1 B.x>3C.-1<x<3 D.x<39.如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為1.若AA'=1,則A'D等于()A.2 B.3 C. D.10.2017年新設(shè)了雄安新區(qū),周邊經(jīng)濟(jì)受到刺激綜合實(shí)力大幅躍升,其中某地區(qū)生產(chǎn)總值預(yù)計(jì)可增長(zhǎng)到305.5億元其中305.5億用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.305.5×104B.3.055×102C.3.055×1010D.3.055×101111.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,0),B(2,0),正六邊形ABCDEF沿x軸正方向無滑動(dòng)滾動(dòng),每旋轉(zhuǎn)60°為滾動(dòng)1次,那么當(dāng)正六邊形ABCDEF滾動(dòng)2017次時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)是()A.(2017,0) B.(2017,)C.(2018,) D.(2018,0)12.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以點(diǎn)A為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D,分別以點(diǎn)A、D為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)E,連接AE,DE,則∠EAD的余弦值是()A. B. C. D.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.如圖,AB是圓O的直徑,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=43,則S陰影=_____.14.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧交邊DC于點(diǎn)E,則的長(zhǎng)度為______.15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線可通過平移變換向__________得到拋物線,其對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積是__________.16.當(dāng)__________時(shí),二次函數(shù)有最小值___________.17.一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖所示,則當(dāng)kx+b>0時(shí),x的取值范圍為___________.18.如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形的中心在原點(diǎn)O,且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行,點(diǎn)P(3a,a)是反比例函數(shù)(k>0)的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn).若圖中陰影部分的面積等于9,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為▲.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=8(1)求一次函數(shù)的解析式;(2)求ΔAOB的面積。20.(6分)如圖,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),請(qǐng)你用尺規(guī)畫出一條直線PA,使得其與⊙O相切于點(diǎn)A,(不寫作法,保留作圖痕跡)21.(6分)先化簡(jiǎn),再在1,2,3中選取一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.22.(8分)如圖,已知:AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,CD是⊙O的切線,AD⊥CD于點(diǎn)D,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE交⊙O于點(diǎn)F,連接OC、AC.(1)求證:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°①求∠OCE的度數(shù);②若⊙O的半徑為2,求線段EF的長(zhǎng).23.(8分)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,AB=AC,BC交⊙O于點(diǎn)D,DE⊥AC于E.(1)求證:DE為⊙O的切線;(2)G是ED上一點(diǎn),連接BE交圓于F,連接AF并延長(zhǎng)交ED于G.若GE=2,AF=3,求EF的長(zhǎng).24.(10分)如圖,AB是⊙O的直徑,,連結(jié)AC,過點(diǎn)C作直線l∥AB,點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA與⊙O交于另一點(diǎn)D,連結(jié)CD,設(shè)直線PB與直線AC交于點(diǎn)E.求∠BAC的度數(shù);當(dāng)點(diǎn)D在AB上方,且CD⊥BP時(shí),求證:PC=AC;在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中①當(dāng)點(diǎn)A在線段PB的中垂線上或點(diǎn)B在線段PA的中垂線上時(shí),求出所有滿足條件的∠ACD的度數(shù);②設(shè)⊙O的半徑為6,點(diǎn)E到直線l的距離為3,連結(jié)BD,DE,直接寫出△BDE的面積.25.(10分)解方程26.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與雙曲線(x>0)交于點(diǎn).求a,k的值;已知直線過點(diǎn)且平行于直線,點(diǎn)P(m,n)(m>3)是直線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P分別作軸、軸的平行線,交雙曲線(x>0)于點(diǎn)、,雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分與線段PM、PN所圍成的區(qū)域(不含邊界)記為.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).①當(dāng)時(shí),直接寫出區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);②若區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過8個(gè),結(jié)合圖象,求m的取值范圍.27.(12分)某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共60件,需購(gòu)買甲、乙兩種材料.生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲種材料4千克,乙種材料1千克;生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲、乙兩種材料各3千克.經(jīng)測(cè)算,購(gòu)買甲、乙兩種材料各1千克共需資金60元;購(gòu)買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金155元.(1)甲、乙兩種材料每千克分別是多少元?(2)現(xiàn)工廠用于購(gòu)買甲、乙兩種材料的資金不能超過10000元,且生產(chǎn)B產(chǎn)品要超過38件,問有哪幾種符合條件的生產(chǎn)方案?(3)在(2)的條件下,若生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需加工費(fèi)40元,若生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需加工費(fèi)50元,應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方案,才能使生產(chǎn)這批產(chǎn)品的成本最低?請(qǐng)直接寫出方案.
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、D【解析】
解不等式得到x≥m+3,再列出關(guān)于m的不等式求解.【詳解】≤﹣1,m﹣1x≤﹣6,﹣1x≤﹣m﹣6,x≥m+3,∵關(guān)于x的一元一次不等式≤﹣1的解集為x≥4,∴m+3=4,解得m=1.故選D.考點(diǎn):不等式的解集2、C【解析】
由∠BEG=45°知∠BEA>45°,結(jié)合∠AEF=90°得∠HEC<45°,據(jù)此知HC<EC,即可判斷①;求出∠GAE+∠AEG=45°,推出∠GAE=∠FEC,根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF,即可判斷②;求出∠AGE=∠ECF=135°,即可判斷③;求出∠FEC<45°,根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似,即可判斷④.【詳解】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD,∵AG=GE,∴BG=BE,∴∠BEG=45°,∴∠BEA>45°,∵∠AEF=90°,∴∠HEC<45°,∴HC<EC,∴CD﹣CH>BC﹣CE,即DH>BE,故①錯(cuò)誤;∵BG=BE,∠B=90°,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°,∴∠GAE+∠AEG=45°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中,∵AG=CE,∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF(SAS)),∴②正確;∴∠AGE=∠ECF=135°,∴∠FCD=135°﹣90°=45°,∴③正確;∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,∴∠FEC<45°,∴△GBE和△ECH不相似,∴④錯(cuò)誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的判定,勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,綜合比較強(qiáng),難度較大.3、B【解析】試題分析:根據(jù)無理數(shù)的定義可得是無理數(shù).故答案選B.考點(diǎn):無理數(shù)的定義.4、B【解析】
根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.【詳解】解:A、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故A不正確;B、既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,故B正確;C、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故C不正確;D、既不是軸對(duì)稱圖形,也不是中心對(duì)稱圖形,故D不正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念,以及對(duì)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí).5、A【解析】
根據(jù)絕對(duì)值的含義和求法,判斷出絕對(duì)值等于2的數(shù)是﹣2和2,據(jù)此判斷出絕對(duì)值等于2的點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)即可.【詳解】解:∵絕對(duì)值等于2的數(shù)是﹣2和2,∴絕對(duì)值等于2的點(diǎn)是點(diǎn)A.故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值的含義和求法,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵要明確:①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等;②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè),絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè),沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù).③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù).6、D【解析】
求出不等式組的解集,判斷即可.【詳解】,由①得:x>-1,由②得:x>2,則不等式組的解集為x>2,即3是不等式組的解,故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.7、C【解析】
設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E,連接AE,利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等∠DAE=∠B′AE,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠DAB′=60°,然后求出∠DAE=30°,再解直角三角形求出DE,然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABCD的面積﹣四邊形ADEB′的面積,列式計(jì)算即可得解.【詳解】如圖,設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E,連接AE,在Rt△AB′E和Rt△ADE中,,∴Rt△AB′E≌Rt△ADE(HL),∴∠DAE=∠B′AE,∵旋轉(zhuǎn)角為30°,∴∠DAB′=60°,∴∠DAE=×60°=30°,∴DE=1×=,∴陰影部分的面積=1×1﹣2×(×1×)=1﹣.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),全等三角形判定與性質(zhì),解直角三角形,利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE,從而求出∠DAE=30°是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).8、B【解析】
根據(jù)解不等式組的方法可以求得原不等式組的解集.【詳解】,解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x>1,由①②可得,x>1,故原不等式組的解集是x>1.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組,解題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法.9、A【解析】分析:由S△ABC=9、S△A′EF=1且AD為BC邊的中線知S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,根據(jù)△DA′E∽△DAB知,據(jù)此求解可得.詳解:如圖,∵S△ABC=9、S△A′EF=1,且AD為BC邊的中線,∴S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C',∴A′E∥AB,∴△DA′E∽△DAB,則,即,解得A′D=2或A′D=-(舍),故選A.點(diǎn)睛:本題主要平移的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).10、C【解析】解:305.5億=3.055×1.故選C.11、C【解析】
本題是規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo);坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn),正六邊形ABCDEF一共有6條邊,即6次一循環(huán);因?yàn)?017÷6=336余1,點(diǎn)F滾動(dòng)1次時(shí)的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為,點(diǎn)F滾動(dòng)7次時(shí)的橫坐標(biāo)為8,縱坐標(biāo)為,所以點(diǎn)F滾動(dòng)2107次時(shí)的縱坐標(biāo)與相同,橫坐標(biāo)的次數(shù)加1,由此即可解決問題.【詳解】.解:∵正六邊形ABCDEF一共有6條邊,即6次一循環(huán);∴2017÷6=336余1,∴點(diǎn)F滾動(dòng)1次時(shí)的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為,點(diǎn)F滾動(dòng)7次時(shí)的橫坐標(biāo)為8,縱坐標(biāo)為,∴點(diǎn)F滾動(dòng)2107次時(shí)的縱坐標(biāo)與相同,橫坐標(biāo)的次數(shù)加1,∴點(diǎn)F滾動(dòng)2107次時(shí)的橫坐標(biāo)為2017+1=2018,縱坐標(biāo)為,∴點(diǎn)F滾動(dòng)2107次時(shí)的坐標(biāo)為(2018,),故選C.【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化,規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo),解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究方法,是中考??碱}型.12、B【解析】試題解析:如圖所示:設(shè)BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根據(jù)題意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于M,則AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠EAD=;故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等,通過作輔助線求出AM是解決問題的關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、8π3【解析】
根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=23,然后由圓周角定理知∠DOE=60°,然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的長(zhǎng)度,最后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入S陰影=S扇形ODB-S△DOE+S【詳解】如圖,假設(shè)線段CD、AB交于點(diǎn)E,∵AB是O的直徑,弦CD⊥AB,∴CE=ED=2又∵∠BCD=30∴∠DOE=2∠BCD=60∴OE=DE∴S陰影=S扇形ODB?S△DOE+S△BEC=60故答案為:8π3【點(diǎn)睛】考查圓周角定理,垂徑定理,扇形面積的計(jì)算,熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.14、【解析】試題解析:連接AE,在Rt三角形ADE中,AE=4,AD=2,∴∠DEA=30°,∵AB∥CD,∴∠EAB=∠DEA=30°,∴的長(zhǎng)度為:=.考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算.15、先向右平移2個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位;4【解析】.平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-2),利用割補(bǔ)法,把x軸上方陰影部分補(bǔ)到下方,可以得到矩形面積,面積是.16、15【解析】二次函數(shù)配方,得:,所以,當(dāng)x=1時(shí),y有最小值5,故答案為1,5.17、x>1【解析】分析:題目要求kx+b>0,即一次函數(shù)的圖像在x軸上方時(shí),觀察圖象即可得x的取值范圍.詳解:∵kx+b>0,∴一次函數(shù)的圖像在x軸上方時(shí),∴x的取值范圍為:x>1.故答案為x>1.點(diǎn)睛:本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系,主要考查學(xué)生的觀察視圖能力.18、.【解析】待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性,正方形的性質(zhì).【分析】由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為b,圖中陰影部分的面積等于9可求出b的值,從而可得出直線AB的表達(dá)式,再根據(jù)點(diǎn)P(2a,a)在直線AB上可求出a的值,從而得出反比例函數(shù)的解析式:∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴陰影部分的面積和正好為小正方形的面積.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為b,則b2=9,解得b=3.∵正方形的中心在原點(diǎn)O,∴直線AB的解析式為:x=2.∵點(diǎn)P(2a,a)在直線AB上,∴2a=2,解得a=3.∴P(2,3).∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,∴k=2×3=2.∴此反比例函數(shù)的解析式為:.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)y=x+2;(2)6.【解析】
(1)由反比例函數(shù)解析式根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是-2可以求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式;(2)令直線AB與y軸交點(diǎn)為D,求出點(diǎn)D坐標(biāo),然后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可得.【詳解】(1)當(dāng)x=2時(shí),y=當(dāng)y=-2時(shí),-2=8x所以點(diǎn)A(2,4),點(diǎn)B(-4,-2),將A,B兩點(diǎn)分別代入一次函數(shù)解析式,得2k+b=4-4k+b=-2解得:k=1b=2所以,一次函數(shù)解析式為y=(2)令直線AB與y軸交點(diǎn)為D,則OD=b=2,SΔAOB【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.20、答案見解析【解析】
連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)K,以點(diǎn)K為圓心OK為半徑作⊙K交⊙O于點(diǎn)A,A′,作直線PA,PA′,直線PA,PA′即為所求.【詳解】解:連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)K,以點(diǎn)K為圓心OK為半徑作⊙K交⊙O于點(diǎn)A,A′,作直線PA,PA′,直線PA,PA′即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.21、,當(dāng)x=2時(shí),原式=.【解析】試題分析:先括號(hào)內(nèi)通分,然后計(jì)算除法,最后取值時(shí)注意使得分式有意義,最后代入化簡(jiǎn)即可.試題解析:原式===當(dāng)x=2時(shí),原式=.22、(1)證明見解析;(2)①∠OCE=45°;②EF=-2.【解析】【試題分析】(1)根據(jù)直線與⊙O相切的性質(zhì),得OC⊥CD.又因?yàn)锳D⊥CD,根據(jù)同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線也平行,得:AD//OC.∠DAC=∠OCA.又因?yàn)镺C=OA,根據(jù)等邊對(duì)等角,得∠OAC=∠OCA.等量代換得:∠DAC=∠OAC.根據(jù)角平分線的定義得:AC平分∠DAO.(2)①因?yàn)锳D//OC,∠DAO=105°,根據(jù)兩直線平行,同位角相等得,∠EOC=∠DAO=105°,在中,∠E=30°,利用內(nèi)角和定理,得:∠OCE=45°.②作OG⊥CE于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理可得FG=CG,因?yàn)镺C=,∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜邊是腰長(zhǎng)的倍,得CG=OG=2.FG=2.在Rt△OGE中,∠E=30°,得GE=,則EF=GE-FG=-2.【試題解析】(1)∵直線與⊙O相切,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于點(diǎn)G,可得FG=CG∵OC=,∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=.∴EF=GE-FG=-2.【方法點(diǎn)睛】本題目是一道圓的綜合題目,涉及到圓的切線的性質(zhì),平行線的性質(zhì)及判定,三角形內(nèi)角和,垂徑定理,難度為中等.23、(1)見解析;(2)∠EAF的度數(shù)為30°【解析】
(1)連接OD,如圖,先證明OD∥AC,再利用DE⊥AC得到OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;(2)利用圓周角定理得到∠AFB=90°,再證明Rt△GEF∽△Rt△GAE,利用相似比得到于是可求出GF=1,然后在Rt△AEG中利用正弦定義求出∠EAF的度數(shù)即可.【詳解】(1)證明:連接OD,如圖,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE為⊙O的切線;(2)解:∵AB為直徑,∴∠AFB=90°,∵∠EGF=∠AGF,∴Rt△GEF∽△Rt△GAE,∴,即整理得GF2+3GF﹣4=0,解得GF=1或GF=﹣4(舍去),在Rt△AEG中,sin∠EAG∴∠EAG=30°,即∠EAF的度數(shù)為30°.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì):經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”;有切線時(shí),常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”.也考查了圓周角定理.24、(1)45°;(2)見解析;(3)①∠ACD=15°;∠ACD=105°;∠ACD=60°;∠ACD=120°;②36或.【解析】
(1)易得△ABC是等腰直角三角形,從而∠BAC=∠CBA=45°;(2)分當(dāng)B在PA的中垂線上,且P在右時(shí);B在PA的中垂線上,且P在左;A在PB的中垂線上,且P在右時(shí);A在PB的中垂線上,且P在左時(shí)四中情況求解;(3)①先說明四邊形OHEF是正方形,再利用△DOH∽△DFE求出EF的長(zhǎng),然后利用割補(bǔ)法求面積;②根據(jù)△EPC∽△EBA可求PC=4,根據(jù)△PDC∽△PCA可求PD?PA=PC2=16,再根據(jù)S△ABP=S△ABC得到,利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面積公式求解.【詳解】(1)解:(1)連接BC,∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠CBA=45°;(2)解:∵,∴∠CDB=∠CDP=45°,CB=CA,∴CD平分∠BDP又∵CD⊥BP,∴BE=EP,即CD是PB的中垂線,∴CP=CB=CA,(3)①(Ⅰ)如圖2,當(dāng)B在PA的中垂線上,且P在右時(shí),∠ACD=15°;(Ⅱ)如圖3,當(dāng)B在PA的中垂線上,且P在左,∠ACD=105°;(Ⅲ)如圖4,A在PB的中垂線上,且P在右時(shí)∠ACD=60°;(Ⅳ)如圖5,A在PB的中垂線上,且P在左時(shí)∠ACD=120°②(Ⅰ)如圖6,,.(Ⅱ)如圖7,,,.,.,,,.設(shè)BD=9k,PD=2k,,,,.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題,熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,平行線的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形
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