維納濾波和卡爾曼濾波演示文稿

維納濾波和卡爾曼濾波演示文稿當前第1頁\共有135頁\編于星期四\21點（優(yōu)選）維納濾波和卡爾曼濾波當前第2頁\共有135頁\編于星期四\21點準則：最大后驗準則。均方準則，最大似然準則，濾波器

h(n)x(n)s(n)FIR,IIR逼近（準則）已知：s(n),(n)的統(tǒng)計特性，要求：設計線性移不變?yōu)V波器h(n),從x(n)中恢復s(n)線性均方準則（最小二乘濾波）當前第3頁\共有135頁\編于星期四\21點M個權(quán)系數(shù)（抽頭）的橫向濾波器

定義：：輸入信號：輸入向量2.橫向濾波器結(jié)構(gòu)當前第4頁\共有135頁\編于星期四\21點

:濾波器的權(quán)系數(shù)

:濾波器權(quán)向量

:期望響應:對期望響應的估計:估計誤差當前第5頁\共有135頁\編于星期四\21點假設由信號與噪聲組成⑴如果，上圖的系統(tǒng)稱為濾波（filtering）；⑵如果，上圖的系統(tǒng)稱為預測（prediction）；⑶如果，上圖的系統(tǒng)稱為平滑（smoothing）。當前第6頁\共有135頁\編于星期四\21點4.2維納濾波器的離散形式—時域解

最小均方誤差準則：（加性干擾）d(n)=s(n)當前第7頁\共有135頁\編于星期四\21點為此令一、維納—霍夫方程

正交性原理：使代價函數(shù)最小化的充要條件是n時刻的最優(yōu)估計誤差正交于n時刻濾波器的每個輸入值，或者說正交于n時刻的輸入信號空間。當前第8頁\共有135頁\編于星期四\21點推論：

n時刻的最優(yōu)估計誤差正交于n時刻濾波器的最優(yōu)輸出值一、維納—霍夫方程當前第9頁\共有135頁\編于星期四\21點由正交方程可得：一、維納—霍夫方程當前第10頁\共有135頁\編于星期四\21點定義可得維納—霍夫（Wiener-Holf)方程或標準方程求和范圍（i）隨濾波器的不同取不同區(qū)間一、維納—霍夫方程當前第11頁\共有135頁\編于星期四\21點FIR維納濾波器令對FIR結(jié)構(gòu)，假設其長度為N,期望信號為s(n)當前第12頁\共有135頁\編于星期四\21點當前第13頁\共有135頁\編于星期四\21點Toeplitz矩陣,NXN對稱半正定令當前第14頁\共有135頁\編于星期四\21點令代入可得：當前第15頁\共有135頁\編于星期四\21點則令當前第16頁\共有135頁\編于星期四\21點可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應是一個二次函數(shù)關系。由于單位脈沖響應h(n)

為M維向量，因此均方誤差是一個超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點存在。當濾波器工作于最佳狀態(tài)時，均方誤差取得最小值。當前第17頁\共有135頁\編于星期四\21點

上式表明已知期望信號與觀測數(shù)據(jù)的互相關函數(shù)及觀測數(shù)據(jù)的自相關函數(shù)時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解因果的維納濾波器，當選擇的濾波器的長度M較大時，計算工作量很大，并且需要計算Rxx的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實現(xiàn)時，濾波器的長度是由實驗來確定的，如果想通過增加長度提高逼近的精度，就需要在新N基礎上重新進行計算。因此，從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法。即當前第18頁\共有135頁\編于星期四\21點圖期望信號、估計值與誤差信號的幾何關系由正交方程可知：誤差與輸入信號矢量正交，可推得其與估計值也正交，用下圖表示。幾何解釋：當前第19頁\共有135頁\編于星期四\21點圖表明在濾波器處于最佳工作狀態(tài)時，估計值加上估計偏差等于期望信號，即注意我們所研究的是隨機信號，圖中各矢量的幾何表示應理解為相應量的統(tǒng)計平均或者是數(shù)學期望。再從能量的角度來看，假定輸入信號和期望信號都是零均值,應用正交性原理，則 ,因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時，估計值的能量總是小于等于期望信號的能量。當前第20頁\共有135頁\編于星期四\21點非因果性考慮

可以證明：非因果Wiener濾波器的性能(誤差方差性能)要優(yōu)于因果Wiener濾波器(參見鄭南寧編《數(shù)字信號處理》)。所以，在實際FIR濾波器中，常用時延方法用可實現(xiàn)的因果系統(tǒng)逼近非因果系統(tǒng)。令當前第21頁\共有135頁\編于星期四\21點

因果系統(tǒng)n時刻的輸出可以逼近非因果系統(tǒng)(n-M)的輸出。當前第22頁\共有135頁\編于星期四\21點例1：設計N=4的FIR最佳濾波器已知：當前第23頁\共有135頁\編于星期四\21點解：當前第24頁\共有135頁\編于星期四\21點同樣：當前第25頁\共有135頁\編于星期四\21點

例設y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪聲，方差σ22=0.1。期望信號x1(n)的信號模型如圖(a)所示，其中白噪聲v1(n)的方差σ21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信號模型如圖（b）所示，b1=0.9458。假定v1(n)與v2(n)、x1(n)與y(n)不相關，并都是實信號。設計一個維納濾波器，得到該信號的最佳估計，要求濾波器是一長度為2的FIR濾波器。當前第26頁\共有135頁\編于星期四\21點圖輸入信號與觀測數(shù)據(jù)的模型

解這個問題屬于直接應用維納-霍夫方程的典型問題，其關鍵在于求出觀測信號的自相關函數(shù)和觀測信號與期望信號的互相關函數(shù)。圖維納濾波器的框圖當前第27頁\共有135頁\編于星期四\21點

根據(jù)題意，畫出這個維納濾波器的框圖，如圖所示。用H1(z)和H2(z)分別表示x1(n)和x(n)的信號模型，那么濾波器的輸入信號x(n)可以看作是v1(n)通過H1(z)和H２(z)級聯(lián)后的輸出，H1(z)和H２(z)級聯(lián)后的等效系統(tǒng)用H(z)表示，輸出信號y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求出輸出信號的自相關函數(shù)矩陣Ryy和輸出信號與期望信號的互相關矩陣Ryd是解決問題的關鍵。相關函數(shù)矩陣由相關函數(shù)值組成，已知x(n)與v2(n)不相關，那么當前第28頁\共有135頁\編于星期四\21點

(1)求出期望信號的方差。根據(jù)圖(a)，期望信號的時間序列模型所對應的差分方程為x1(n)=v1(n)-b0x1(n-1)這里，b0=0.8458,由于x1(n)的均值為零，其方差與自相關函數(shù)在零點的值相等。當前第29頁\共有135頁\編于星期四\21點

(2)計算輸入信號和輸出信號的自相關函數(shù)矩陣。根據(jù)自相關函數(shù)、功率譜密度和時間序列信號模型的等價關系，已知時間序列信號模型，就可以求出自相關函數(shù)。這里，信號的模型H(z)可以通過計算得到。這是一個二階系統(tǒng)，所對應的差分方程為x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值為零，因此，x(n)的均值為0。將方程兩邊同乘以x*(n-m)，并取數(shù)學期望，得rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0m＞0

(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=σ21

m=0

(2)當前第30頁\共有135頁\編于星期四\21點對方程（1）取m=1,2，得到rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0 (4)

方程(2)、(3)、(4)聯(lián)立求解，得至此，輸入信號的自相關矩陣Rxx可以寫出：當前第31頁\共有135頁\編于星期四\21點

v2(n)是一個零均值的白噪聲，它的自相關函數(shù)矩陣呈對角形，且 ，因此，輸出信號的自相關Ryy為當前第32頁\共有135頁\編于星期四\21點

(3)計算輸出信號與期望信號的互相關函數(shù)矩陣。由于兩個信號都是實信號，故ryd(m)=E［y(n)d(n-m)］=E［y(n)x1(n-m)］

=E［(x(n)+v2(n))x1(n-m)］

=E［x(n)x1(n-m)］m=0,1根據(jù)系統(tǒng)H2(z)的輸入與輸出的關系，有x1(n)-b1x(n-1)=x(n)推出x1(n)=x(n)+b1x(n-1)這樣ryd(m)=E［x(n)x1(n-m)］

=E［x(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m))］

=rxx(m)+b1rxx(m-1)當前第33頁\共有135頁\編于星期四\21點將m=0,m=1代入上式,得ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.9458×0.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.9458×1=-0.4458因此，輸出信號與期望信號的互相關Ryd為求出輸出信號自相關的逆矩陣,并乘以Ryd,就可以得到維納濾波器的最佳解Wopt:當前第34頁\共有135頁\編于星期四\21點可以計算出該維納濾波達到最佳狀態(tài)最小值E［|e(n)|2］min：當前第35頁\共有135頁\編于星期四\21點2.3離散維納濾波器的z域解標準方程：

雙邊Z變換一、非因果IIR維納濾波器當前第36頁\共有135頁\編于星期四\21點假設信號和噪聲不相關，即rsv(m)=0，則Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)則有當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號的頻譜用Pss(ejω)表示，噪聲的頻譜用Pvv(ejω)表示，那么非因果的維納濾波器的傳輸函數(shù)Hopt(ejω)的幅頻特性如圖所示。當前第37頁\共有135頁\編于星期四\21點Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)=0Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)≠0Pss(ejω)=0,Pvv(ejω)≠0圖非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性

當前第38頁\共有135頁\編于星期四\21點然而實際的系統(tǒng)都是因果的。對于一個因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號與期望信號的互相關序列是一個因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大大簡化。那么怎樣把一個因果序列轉(zhuǎn)化為一個非因果序列呢？因果情況處理思路：當前第39頁\共有135頁\編于星期四\21點標準方程：v(n)x(n)S^(n)

信道s(n)

h(n)s(n)IIR一般情況下直接求解比較困難。但如果濾波器輸入是白噪聲，則維納-霍夫方程容易求解；而任何平穩(wěn)隨機信號可變換為等效的白噪聲過程，故借助譜分解定理可找到一種簡單解決方法。二、因果IIR維納濾波器當前第40頁\共有135頁\編于星期四\21點回顧前面講到的時間序列信號模型，假設x(n)的信號模型B(z)已知（如圖(a)所示），求出信號模型的逆系統(tǒng)B-1(z)，并將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)B-1(z)的輸出ω(n)為白噪聲，白化濾波器（如圖(b)所示）。圖x(n)的時間序列信號模型及其白化濾波器(a)(b)因果維納濾波器的求解方法1當前第41頁\共有135頁\編于星期四\21點（1）若濾波器的輸入是白噪聲時對應傳遞函數(shù)：當前第42頁\共有135頁\編于星期四\21點（2）若濾波器的輸入是平穩(wěn)隨機信號時則x(n)可看作是由白噪聲w(n)激勵一個線性移不變系統(tǒng)的輸出白化信號模型濾波器w(n)y(n)w(n)x(n)b(n)s(n)B(z)為有理分式，N(z),D(z)為最小相位多項式問題轉(zhuǎn)化為求的問題當前第43頁\共有135頁\編于星期四\21點由（1）其中當前第44頁\共有135頁\編于星期四\21點具體思路如圖所示。用白噪聲作為待求的維納濾波器的輸入，設定1/B(z)為信號x(n)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么維納濾波器的傳輸函數(shù)G(z)的關系為因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)的求解轉(zhuǎn)化為G(z)

的求解。圖維納濾波解題思路

2、因果維納濾波器的求解方法2當前第45頁\共有135頁\編于星期四\21點假設待求維納濾波器的單位脈沖響應為g(n)，期望信號d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號y(n)=s(n)，g(n)是G(z)的逆Z變換，則輸出信號可表示為當前第46頁\共有135頁\編于星期四\21點當前第47頁\共有135頁\編于星期四\21點可以看出，均方誤差的第一項和第三項都是非負數(shù),要使均方誤差為最小，當且僅當

-∞＜k＜∞因此g(n)的最佳值為

-∞＜k＜∞對上式兩邊同時做Z變換，得到當前第48頁\共有135頁\編于星期四\21點這樣，非因果維納濾波器的最佳解為因為s(n)=s(n)*δ(n)，且x(n)=ω(n)*b(n)，根據(jù)相關卷積定理，得到rxs(m)=rωs(m)*b(-m)對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Sωs(z)B(z-1)因此當前第49頁\共有135頁\編于星期四\21點根據(jù)x(n)的信號模型，得到非因果的維納濾波器的復頻域最佳解的一般表達式假定信號與噪聲不相關，即當E［s(n)v(n)］=0時，有rxs(m)=E［(s(n)+v(n))*s(n+m)］=rss(m)rxx(m)=E［(s(n)+v(n))*(s(n+m)+v(n+m))］

=rss(m)+rvv(m)對上邊兩式做Z變換，得到Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)當前第50頁\共有135頁\編于星期四\21點信號和噪聲不相關時，非因果維納濾波器的復頻域最佳解和頻率響應分別為當前第51頁\共有135頁\編于星期四\21點濾波器的最小均方誤差E［|e(n)|2］min的計算，根據(jù)圍線積分法求逆Z變換的公式，rss(m)用下式表示:得出

當前第52頁\共有135頁\編于星期四\21點由復卷積定理

取y(n)=x(n)，有

因此

當前第53頁\共有135頁\編于星期四\21點

因為實信號的自相關函數(shù)是偶函數(shù)，即rss(m)=rss(-m)，因此

Sss(z)=Sss(z-1)假定信號與噪聲不相關，E［s(n)v(n)］=0，

則

當前第54頁\共有135頁\編于星期四\21點

若維納濾波器是一個因果濾波器，

要求

g(n)=0n＜0則濾波器的輸出信號

估計誤差的均方值

E［|e(n)|2］=E［|s(n)-y(n)|2］

得到

因果維納濾波器的求解當前第55頁\共有135頁\編于星期四\21點要使均方誤差取得最小值，

當且僅當

令

當前第56頁\共有135頁\編于星期四\21點所以因果維納濾波器的復頻域最佳解為

當前第57頁\共有135頁\編于星期四\21點維納濾波的最小均方誤差為

當前第58頁\共有135頁\編于星期四\21點比較可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的形式相同，但公式中的Hopt(z)的表達式不同。前面已經(jīng)導出，對于非因果情況，對于因果情況，比較兩式，它們的第二項求和域不同，因為因果情況下,k=0~+∞，因此可以說明非因果情況的E［|e(n)|2］min一定小于等于因果情況E［|e(n)|2］min。在具體計算時,可以選擇單位圓作為積分曲線，應用留數(shù)定理，計算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點的留數(shù)來得到。當前第59頁\共有135頁\編于星期四\21點因果維納濾波器設計的一般步驟：

(1)根據(jù)觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應的信號模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。具體方法為Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，把單位圓內(nèi)的零極點分配給B(z)，單位圓外的零極點分配給B(z-1)，系數(shù)分配給σ2ω。

(2)求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得

(3)計算Hopt(z)，E［|e(n)|2］min。當前第60頁\共有135頁\編于星期四\21點例已知信號和噪聲不相關，即rsv(m)=0，噪聲v(n)是零均值、單位功率的白噪聲（σ2v=1，mv=0)，求Hopt(z)和E［|e(n)|2］min。

解根據(jù)白噪聲的特點得出Svv(z)=1，由噪聲和信號不相關，得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。對上式兩邊做Z變換，并代入已知條件，對x(n)進行功率譜分解:當前第61頁\共有135頁\編于星期四\21點考慮到B(z)必須是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到連

(1)首先分析物理可實現(xiàn)情況，應用公式（）:令

F(z)的極點為0.8和2，考慮到因果性、穩(wěn)定性，僅取單位圓內(nèi)的極點zi=0.8，f(n)為F(z)的Z反變換。用Res表示留數(shù)，應用留數(shù)定理，有當前第62頁\共有135頁\編于星期四\21點取因果部分，

f+(n)=0.6×0.8n×u(n)當前第63頁\共有135頁\編于星期四\21點令

當前第64頁\共有135頁\編于星期四\21點單位圓內(nèi)只有極點zi=0.5，未經(jīng)濾波器的均方誤差

當前第65頁\共有135頁\編于星期四\21點(2)對于非物理可實現(xiàn)情況，有

當前第66頁\共有135頁\編于星期四\21點令

單位圓內(nèi)有兩個極點0.8和0.5，應用留數(shù)定理，有

比較兩種情況下的最小均方誤差,可以看出非物理可實現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實現(xiàn)情況的均方誤差。

當前第67頁\共有135頁\編于星期四\21點一、維納預測的計算在維納濾波中，期望的輸出信號yd(n)=s(n)，實際的輸出為y(n)=s(n)。在維納預測中，期望的輸出信號yd(n)=s(n+N)，實際的輸出y(n)=s(n+N)。前面已經(jīng)推導得到維納濾波的最佳解為^^其中,Sxx(z)是觀測數(shù)據(jù)的功率譜;Sxyd(z)是觀測數(shù)據(jù)與期望信號的互功率譜，即互相關函數(shù)rxyd(k)的傅里葉變換4.4維納預測當前第68頁\共有135頁\編于星期四\21點對應于維納預測器，其輸出信號y(n)和預測誤差信號e(n+N)分別為

同理，要使預測誤差的均方值為最小，須滿足

其中，hk表示h(k)。

當前第69頁\共有135頁\編于星期四\21點

觀測數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關函數(shù)rxyd(k)和互譜密度Sxyd(z)分別為這樣，非因果維納預測器的最佳解為

因果維納預測器的最佳解為

當前第70頁\共有135頁\編于星期四\21點維納預測的最小均方誤差為

從上面分析可以看出，

維納預測的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。

當前第71頁\共有135頁\編于星期四\21點假設x(n)=s(n)+v(n)，式中v(n)是噪聲，且v(n)=0，期望信號為s(n+N)，N＞0，此種情況稱為純預測。假定維納預測器是因果的，仍設s(n)與v(n)不相關，純預測情況下的輸入信號的功率譜及維納預測器的最佳解分別為二、純預測當前第72頁\共有135頁\編于星期四\21點純預測器的最小均方誤差為

應用復卷積定理

當前第73頁\共有135頁\編于星期四\21點取y(n)=x(n)

并考慮到b(n)是因果系統(tǒng)，得到

可以看到，隨著N增加，E［|e(n+N)|2］min也增加。這一點也容易理解，當預測的距離越遠，預測的效果越差，偏差越大，因而E［|e(n+N)|2］min越大。當前第74頁\共有135頁\編于星期四\21點例已知其中-1＜a＜1，求:(1)最小均方誤差下的s(n+N)；

(2)E［|e(n+N)|2］min。^解首先對Sxx(z)進行功率譜分解。因為所以當前第75頁\共有135頁\編于星期四\21點其次，求出B(z)的Z反變換

然后，應用Z變換的性質(zhì)，得到

圖4.4.1純預測維納濾波器當前第76頁\共有135頁\編于星期四\21點由Hopt(z)=aN，此時可以把純預測的維納濾波器看作是一個線性比例放大器（如圖所示）。根據(jù)x(n)的信號模型可以寫出x(n)的時間序列模型所對應的輸入輸出方程x(n)=ω(n)+ax(n-1)將信號x(n)通過純預測維納濾波器，隨著時間的遞增，可以得到當N=1時，x(n+1)=ax(n)=as(n)當N=2時，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n)當N=N時，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(n)…當前第77頁\共有135頁\編于星期四\21點以上推導結(jié)果相當于在n+N時刻，ω(n+N)=0，即去掉噪聲時的結(jié)果。設N＞0時，ω(n+N)=0，則x(n+N)=ax(n+N-1)此時，從統(tǒng)計意義上講，當N＞0時，白噪聲信號ω(n+N)對x(n)無影響。這一結(jié)論還可以推廣，對于任何均值為零的x(n)，要估計s(n+N)時，只需要考慮B(z)的慣性，即可認為ω(n+N)=0，N＞0，這樣估計出來的結(jié)果將有最小均方誤差。^當前第78頁\共有135頁\編于星期四\21點表明一個信號的功率譜在單位圓上沒有極點與信號均值等于0等價，因此對于功率譜在單位圓上沒有極點的信號，要估計s(n+N)時，可認為ω(n+N)=0,N＞0，即僅需要考慮B(z)的慣性，這樣估計出來的結(jié)果將有最小均方誤差。^終值定理當前第79頁\共有135頁\編于星期四\21點

已知x(n-1),x(n-2)，…，x(n-p)，預測x(n)，假設噪聲v(n)=0，這樣的預測稱為一步線性預測。設定系統(tǒng)的單位脈沖響應為h(n)，根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，輸出信號令apk=-h(k)，則

預測誤差

三、一步線性預測的時域解當前第80頁\共有135頁\編于星期四\21點其中，ap0=1,要使均方誤差為最小值，要求

同維納濾波的推導過程一樣,可以得到

E［e*(n)x(n-l)］=0l=1,2,…,p

l=1,2,…,p

當前第81頁\共有135頁\編于星期四\21點由于預測器的輸出是輸入信號的線性組合，

得到

說明誤差信號與輸入信號滿足正交性原理預測誤差與預測的信號值同樣滿足正交性原理。預測誤差的最小均方值當前第82頁\共有135頁\編于星期四\21點得到下面的方程組：

將方程組寫成矩陣形式

當前第83頁\共有135頁\編于星期四\21點這就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特點：

(1)除了第一個方程外，其余都是齊次方程;(2)與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測數(shù)據(jù)x(n)與期望信號s(n)的互相關函數(shù)。該方程組有p+1個方程，對應地，可以確定apk，k=1,2,…，p和E［e2(n)］min，共計p+1個未知數(shù)，因此可用來求解AR模型參數(shù)。這就是后面要介紹的AR模型法進行功率譜估計的原理，它再一次揭示了時間序列信號模型、功率譜和自相關函數(shù)描述一個隨機信號的等價性。當前第84頁\共有135頁\編于星期四\21點例已知x(n)為AR模型，求AR模型參數(shù)。

解求解AR模型參數(shù)包括確定AR模型的階數(shù)p及系數(shù)ap1，ap2，…，app。首先對Sxx(z)做傅里葉反變換，得到x(n)的自相關函數(shù)rxx(m),rxx(m)=0.8|m|

采用試驗的方法確定模型階數(shù)p。首先取p=2，各相關函數(shù)值由上式計算，并代入(3.4.29)式，可得當前第85頁\共有135頁\編于星期四\21點計算得到a1=-0.8，a2=0,σ2ω=0.36

如果取p=3，可計算出a1=-0.8,a2=a3=0,σ2ω=0.36，說明AR模型的階數(shù)只能是一階的。采用譜分解的方法，即對Sxx(z)進行譜分解，得到的模型也是一階的，其時間序列模型和差分方程為當前第86頁\共有135頁\編于星期四\21點卡爾曼濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的，由狀態(tài)方程和量測方程所組成?？柭鼮V波用前一個狀態(tài)的估計值和最近一個觀測數(shù)據(jù)來估計狀態(tài)變量的當前值，并以狀態(tài)變量的估計值的形式給出?？柭鼮V波具有以下的特點：

(1)算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時域內(nèi)設計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；離散型卡爾曼算法適用于計算機處理。

(2)用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律，因此信號可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，即卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過程。

(3)卡爾曼濾波采取的誤差準則仍為均方誤差最小準則。4.5卡爾曼(Kalman)濾波當前第87頁\共有135頁\編于星期四\21點假設某系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為(4.5.1a)(4.5.1b)其中，k表示時間，這里指第k步迭代時，相應信號的取值；輸入信號ωk是一白噪聲，輸出信號的觀測噪聲vk也是一個白噪聲，輸入信號到狀態(tài)變量的支路增益等于1，即B=1；一、卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測方程

當前第88頁\共有135頁\編于星期四\21點A表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時間發(fā)生變化，用Ak表示第k步迭代時，增益矩陣A的取值；C表示狀態(tài)變量與輸出信號之間的增益矩陣，可以隨時間變化，第k步迭代時，取值用Ck表示，其信號模型如圖所示。將狀態(tài)方程中時間變量k用k-1代替，得到的狀態(tài)方程和量測方程如下所示：xk=Ak-1xk-1+ωk-1

yk=Ckxk+vk

其中，xk是狀態(tài)變量;ωk-1表示輸入信號是白噪聲;vk是觀測噪聲;yk是觀測數(shù)據(jù)。(4.5.2)(4.5.3)當前第89頁\共有135頁\編于星期四\21點圖

4.5.1卡爾曼濾波器的信號模型

當前第90頁\共有135頁\編于星期四\21點其中

為了后面的推導簡單起見，假設狀態(tài)變量的增益矩陣A不隨時間發(fā)生變化，ωk，vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是Qk和Rk，并且初始狀態(tài)與ωk，vk都不相關，表示相關系數(shù)。即當前第91頁\共有135頁\編于星期四\21點二、標量新息過程及其性質(zhì)

新息過程為線性預測器在最小均方誤差意義下的預測誤差。根據(jù)維納濾波的正交原理（估計誤差與輸入信號向量正交），與輸入信號向量正交，因此，包含了存在于當前觀測樣本中的新的信息，“新息”的含義即在于此。

當前第92頁\共有135頁\編于星期四\21點當前第93頁\共有135頁\編于星期四\21點

卡爾曼濾波是采用遞推的算法實現(xiàn)的，其基本思想是先不考慮輸入信號ωk和觀測噪聲vk的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號（即觀測數(shù)據(jù)）的估計值，再用輸出信號的估計誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計值，使狀態(tài)變量估計誤差的均方值最小。因此,卡爾曼濾波的關鍵是計算出加權(quán)矩陣的最佳值。當不考慮觀測噪聲和輸入信號時，狀態(tài)方程和量測方程為(4.5.4)(4.5.5)三卡爾曼濾波的遞推算法當前第94頁\共有135頁\編于星期四\21點顯然，由于不考慮觀測噪聲的影響，輸出信號的估計值與實際值是有誤差的，用表示

(4.5.6)為了提高狀態(tài)估計的質(zhì)量，用輸出信號的估計誤差來校正狀態(tài)變量

(4.5.7)其中，Hk為增益矩陣，實質(zhì)是一加權(quán)矩陣。經(jīng)過校正后的狀態(tài)變量的估計誤差及其均方值分別用和Pk表示，把未經(jīng)校正的狀態(tài)變量的估計誤差的均方值用表示當前第95頁\共有135頁\編于星期四\21點(4.5.8)(4.5.9)(4.5.10)

卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計誤差的均方值Pk為最小，因此卡爾曼濾波的關鍵就是要得到Pk與Hk的關系式，即通過選擇合適的Hk,使Pk取得最小值。首先推導狀態(tài)變量的估計值和狀態(tài)變量的估計誤差，然后計算的均方值Pk

，并通過化簡Pk，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。當前第96頁\共有135頁\編于星期四\21點將（）、

(4.5.5)式代入（）式

(4.5.11)同理，狀態(tài)變量的估計誤差為

(4.5.12)當前第97頁\共有135頁\編于星期四\21點由上式可以看出，狀態(tài)變量的估計誤差由三部分組成，可記為其中(4.5.13b)(4.5.13c)(4.5.13d)那么，狀態(tài)變量的估計誤差的均方值Pk就由9項組成:(4.5.14a)當前第98頁\共有135頁\編于星期四\21點其中

(4.5.14b)(4.5.14d)(4.5.14c)

下面化簡Pk的表達式，根據(jù)假設的條件，狀態(tài)變量的增益矩陣A不隨時間發(fā)生變化，起始時刻為k0，則（）式經(jīng)過迭代，得到令l=k-k0-j，得到當前第99頁\共有135頁\編于星期四\21點取k0=0，k=k-1，得到(4.5.15)所以xk-1僅依賴于x0,ω0,ω1,…,ωk-2,與ωk-1不相關，即(4.5.16)又據(jù)(4.5.7)式和(4.5.3)式，得(4.5.17)當前第100頁\共有135頁\編于星期四\21點所以僅依賴于xk-1,vk-1，而與vk不相關，即(4.5.18)(4.5.19)

把（）～（）式代入(4.5.14)式,Pk中的9項可以分別化簡為(4.5.20a)(4.5.20b)當前第101頁\共有135頁\編于星期四\21點(4.5.20c)(4.5.20d)(4.5.20e)(4.5.20f)(4.5.20g)(4.5.20h)(4.5.20j)當前第102頁\共有135頁\編于星期四\21點也就是說，Pk僅有其中的三項不為零，化簡成(4.5.21)當前第103頁\共有135頁\編于星期四\21點為了進一步化簡Pk，推導未經(jīng)誤差校正的狀態(tài)估計誤差的均方值Pk′，由下面推導結(jié)果可以看出，Pk′是一對稱矩陣，滿足Pk′=(Pk′)T。(4.5.22)當前第104頁\共有135頁\編于星期四\21點將(4.5.22)式代入(4.5.21)式，即把Pk′代入Pk,(4.5.23)其中, 是正定陣，記

(4.5.24)令

(4.5.25)將上式代入（）式，得(4.5.26)當前第105頁\共有135頁\編于星期四\21點將(4.5.26)式后三項配對(4.5.27)第二項和第三項均與Hk無關，第一項為一半正定陣，因此使Pk最小的Hk應滿足(4.5.28)(4.5.29)當前第106頁\共有135頁\編于星期四\21點將Hopt代入Pk，得到最小均方誤差陣將(4.5.7)、(4.5.22)、(4.5.29)式和(4.5.30)式聯(lián)立，得到一組卡爾曼遞推公式(4.5.30)(4.5.31a)(4.5.31b)(4.5.31c)(4.5.31d)當前第107頁\共有135頁\編于星期四\21點假設初始條件Ak,Ck,Qk,Rk,yk,xk-1,Pk-1已知，其中x0=E［x0］,P0=var［x0］,那么，遞推流程見圖4.5.2。^^圖

4.5.2卡爾曼濾波遞推流程

當前第108頁\共有135頁\編于星期四\21點例已知信號與噪聲不相關，yk=xk+vk,求卡爾曼信號模型中的Ak和Ck。

解由yk=xk+vk知道，Ck=1。對Sxx(z)進行譜分解，確定x(n)的信號模型B(z)，從而確定Ak。根據(jù)Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，得出當前第109頁\共有135頁\編于星期四\21點

上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比，不同之處在于輸入信號ω(n)的時間不同，因此將Sxx(z)改寫為再對Sxx(z)進行譜分解，得到

(解畢)當前第110頁\共有135頁\編于星期四\21點

卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準則來實現(xiàn)信號濾波的，但維納濾波是在信號進入了穩(wěn)態(tài)后的分析，卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進行濾波。對于平穩(wěn)隨機信號，當過渡過程結(jié)束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結(jié)果間存在什么關系呢?下面舉一例說明。

當前第111頁\共有135頁\編于星期四\21點例已知在k=0時開始觀察yk,yk=xk+vk，用卡爾曼過濾的計算公式求xk，并與維納過濾的方法進行比較。

解(1)由x(n)功率譜及量測方程，確定卡爾曼遞推算法。首先對Sxx(z)進行功率譜分解，由例的結(jié)果，得到卡爾曼濾波的狀態(tài)方程為xk=0.8xk-1+ωk-1,確定Ak=0.8當前第112頁\共有135頁\編于星期四\21點由量測方程yk=xk+vk,確定Ck=1，將參數(shù)矩陣Ak,Ck,Rk代入卡爾曼遞推公式（），得到(4.5.32a)(4.5.32b)(4.5.32c)(4.5.32d)當前第113頁\共有135頁\編于星期四\21點

(2)求出卡爾曼濾波的輸出。由卡爾曼遞推公式，以及 ，P0=var［x0］=1,可得到Pk′,Hk,Pk及xk（k表示迭代次數(shù)），迭代流程為： 由具體迭代結(jié)果可以看出，原先的增益矩陣Ak,由于只選擇了一個狀態(tài)變量，變成了加權(quán)系數(shù)。見表。當前第114頁\共有135頁\編于星期四\21點表4.5.1Kalman濾波迭代結(jié)果

當前第115頁\共有135頁\編于星期四\21點

(3)求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解。將(4.5.32b)式代入方程(4.5.32d),得到第5個方程(4.5.32e)將方程(4.5.32c)、(4.5.32e)代入方程(4.5.32d),消去Pk′，可以得到Pk的遞推關系:Pk=(1-Pk)［0.64Pk-1+0.36］

=0.64Pk-1-0.64Pk

-1

Pk+0.36-0.36Pk

當前第116頁\共有135頁\編于星期四\21點化簡上式，得到

1.36Pk+0.64Pk-1Pk=0.64Pk-1+0.36要求的是穩(wěn)態(tài)解，因此將Pk,Pk-1都用P∞代替,得到

當前第117頁\共有135頁\編于星期四\21點根據(jù)P∞，可以確定達到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波的狀態(tài)方程:(4.5.33)當前第118頁\共有135頁\編于星期四\21點

(4)用維納濾波的方法分析。采用功率譜分解的方法，得到x(n)的時間序列信號模型的傳輸函數(shù)H(z):當前第119頁\共有135頁\編于星期四\21點上式說明x是一階AR模型，對H(z)做Z反變換得到當前第120頁\共有135頁\編于星期四\21點(4.5.34)比較（）式和（）式，可以看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的。(解畢)當前第121頁\共有135頁\編于星期四\21點通過上面的例題，可以看出維納濾波是已知前p個觀測數(shù)據(jù)及信號與噪聲的相關函數(shù)，通過建立模型的方法分析的?？柭鼮V波要求已知前一個時刻的狀態(tài)估計值x(k-1)和當前的觀測值yk，由狀態(tài)方程和量測方程遞推得到結(jié)果。維納濾波的解以H(z)的形式給出，卡爾曼濾波是以狀態(tài)變量的估計值給出解的形式。它們都采用均方誤差最小的準則,但卡爾曼濾波有一個過渡過程，其結(jié)果與維納濾波不完全相同，但到達穩(wěn)態(tài)后，結(jié)果相同。^當前第122頁\共有135頁\編于星期四\21點下面舉一個雷達跟蹤目標物的例子說明卡爾曼濾波的應用。雷達跟蹤目標的基本原理是通過發(fā)射脈沖，根據(jù)接收到的脈沖與發(fā)射脈沖的時間間隔，來確定目標物