計算物理基礎課件

計算物理基礎ComputationalPhysics34學時:24學時課堂，10學時上機每隔兩周，上機一次，30人/組6/6/20231計算物理基礎計算物理是以電子計算機為工具、采用數(shù)學方法解決物理問題的應用科學。本課程的目的在于對計算物理進行一些入門指導，使大家在學完本課程后，在組織一些較大規(guī)模的計算時心中有數(shù)，少走彎路。課程目的6/6/20232計算物理基礎掌握計算物理的概念和方法；掌握幾類計算方法的基礎或基本原理；了解這些方法在若干物理學分支中的具體應用。計算物理的實踐性非常強，上機是本課程的一個有機組成部分本課程需具備高等數(shù)學和線性代數(shù)基本知識課程要求6/6/20233計算物理基礎主要參考書馬紅孺，計算物理講義

馬東升等，數(shù)值計算方法，機械工業(yè)出版社馬文淦，計算物理學，科學出版社湯文輝，計算物理講義國防科技大學6/6/20234計算物理基礎第一章緒論(2課時)第二章數(shù)值積分微分方法(6課時)第三章非線性方程的數(shù)值解法(6課時)第四章常微分方程的數(shù)值解法(4課時)第五章插值法(4課時)第六章線性方程組的數(shù)值解法(4課時)第七章蒙特卡羅方法(4課時)第八章有限元方法目錄6/6/20235計算物理基礎1.1、什么是計算物理？1.2、計算物理的起源、形成與發(fā)展1.3、計算物理的進一步發(fā)展從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算1.4、計算物理的特征1.5、計算物理的工作流程1.6、計算物理的研究方法第一章緒論6/6/20236計算物理基礎1.1什么是計算物理？物理學有幾大門類？傳統(tǒng)物理學分為理論物理與試驗物理兩大分支理論物理實驗物理計算物理？？？6/6/20237計算物理基礎理論物理是分析的科學，它從一系列的基本原理和基本假設出發(fā)，列出相應的數(shù)學方程，運用傳統(tǒng)的或現(xiàn)在的數(shù)學方法求出問題的顯式解析解，用這些解析解的結論去解釋物理現(xiàn)象，預見新的現(xiàn)象，指導實驗。1.1什么是計算物理？6/6/20238計算物理基礎實驗物理是從實驗觀測出發(fā)，發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象，為理論物理提供總結新的物理規(guī)律的素材，檢驗理論物理的假設或理論物理預言的正確程度和適用范圍等1.1什么是計算物理？6/6/20239計算物理基礎計算物理是伴隨著電子計算機的出現(xiàn)和發(fā)展而逐步形成的一門新興的邊緣學科。是以電子計算機為工具、采用數(shù)學方法解決物理問題的應用科學。是物理、數(shù)學和計算機三者相結合的產物。1.1什么是計算物理？6/6/202310計算物理基礎計算物理中的“計算”，不是上物理課做習題時進行的那種簡單計算；不是用古典的數(shù)學物理方法來完成的計算；而是運用計算機對復雜的物理問題所進行的數(shù)值計算或模擬實驗（模擬物理過程，研究物理規(guī)律，檢驗理論預測的正確性，核實實驗數(shù)據(jù)的可靠性等等），從而探索和發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。1.1什么是計算物理？6/6/202311計算物理基礎

現(xiàn)在流行的數(shù)學工具軟件，如Maple，Matlab，Mathematica，已將絕大多數(shù)數(shù)值計算方法設計成簡單的函數(shù)，經簡單的調用就可得出結果。但由于實際問題具體特性的復雜性以及算法自身的適用范圍決定了應用中必須選擇和設計適合于自己所要解決的特定問題的算法，因而掌握數(shù)值計算方法的思想和內容是必須的1.1什么是計算物理？6/6/202312計算物理基礎1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展傳統(tǒng)的物理學：理論物理，實驗物理，都離不開數(shù)值計算，如海王星的發(fā)現(xiàn)及其軌道計算就是一個典型例子。但早期的計算僅使用人力或簡單的計算工具，其功能和效率都極其有限。這種計算不能成為一個學科分支。6/6/202313計算物理基礎牛頓力學方程只有二體問題是可解得，三體以上的問題折磨了全世界許多優(yōu)秀的數(shù)學家和理論物理學家，仍然沒有解析解。量子力學的薛定諤方程，除了氫原子和簡諧振子外沒有一個真實的物理問題可以找到解析解。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202314計算物理基礎20世紀40年代初，在由于戰(zhàn)爭的需要開始了核武器研制。涉及的問題：流體動力學過程、核反應過程、中子輸運過程、光輻射輸運過程、物態(tài)變化過程等；都是十分復雜的非線性方程組，不可能用傳統(tǒng)的解析方法求解。由于需要在短時間內進行大量復雜的數(shù)值計算，從而促使了計算機的延生和新物理學科的形成。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202315計算物理基礎1944年，世界上第一臺“自動序列受控計算機MarkI制成，主要部件是繼電器，速度僅每秒3次加法。在美國原子彈研制中起了重要作用。1946年初，世界上第一臺電子管計算機ENLAC投入運行，速度為每秒5000次加法。電子計算機的出現(xiàn)，為計算物理奠定了物質基礎。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202316計算物理基礎費米（Fermi1901－1954）：美籍意大利物理學家，對統(tǒng)計物理、原子物理、原子核物理、粒子物理、中子物理都有重要貢獻。由于中子核反應的發(fā)現(xiàn)，1938年獲得諾貝爾物理學獎。費米是20世紀上半葉國際上最有才華的科學家之一，在第二次世界大戰(zhàn)期間，他領導建設了第一個實現(xiàn)原子核鏈鎖裂變的反應堆。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202317計算物理基礎戰(zhàn)后費米對計算機發(fā)生興趣，經常去訪問LosAlamos，這個地方一直擁有世界上最強大的計算能力。他和烏勒姆(S.Ulerm)，巴斯塔(J.Pasta)等人討論計算機的未來應用。他首先想到的是研究非線性系統(tǒng)長時間行為和大尺度性質（這是用解析方法無法處理的問題），并于1952年夏天設計了一個計算機實驗，一年后，在當時用來進行氫彈設計的MANIAC計算機上實現(xiàn)。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202318計算物理基礎1954年11月，費米逝世，他的合作者繼續(xù)工作，于1955年5月寫出LosAlamos研究報告LA-1940。這篇秘密報告歷經多年、解密后被正式收入《費米全集》。這篇具有重大意義的報告，被許多人認為是計算物理的正式起點，因為它提出了許多問題，帶來了當時誰也未曾想到的重大發(fā)展。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202319計算物理基礎從此，物理問題的計算與計算機相互促進，開始蓬勃發(fā)展。1950年，全世界還只有15臺計算機，到1962年9月，僅美國就有了16817臺?，F(xiàn)在的計算機不計其數(shù)！1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202320計算物理基礎科學家們從原子彈設計中使用計算機求解復雜物理問題取得成功而得到啟示，迅速將這種方法推廣應用到物理學的其他領域：天體物理、大氣物理、等離子體物理、核物理、原子分子物理、固體物理、統(tǒng)計物理和基本粒子物理等，而且還應用到氣象預報、水利、海洋、地震、石油、化工甚至人體科學等各個科學技術領域。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202321計算物理基礎1963年，美國的Beini，Alder等人開始編輯出版《計算物理方法》叢書，內容涉及統(tǒng)計物理、量子力學、流體力學、核物理、天體物理、固體物理、等離子體物理、地球物理和大氣環(huán)流等。1966年，JournalofComputationalPhysics在美國創(chuàng)刊；1969年，ComputerPhysicsCommunication在西歐創(chuàng)刊。1977年，美國和西歐的學者開始編輯出版《計算物理施普林格系列叢書》，到1988年已出17本；1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202322計算物理基礎1965年，Harlow和Fromm在《ScientificAmerican》雜志發(fā)表“流體力學的計算機實驗”一文。幾乎同時，Macagno在法國《LaHaulilleBlanche》雜志上發(fā)表“水力學模擬的某些新方面”的論文。第一次提出了計算機實驗和數(shù)值模擬的概念。與此同時，為計算物理服務的許多程序庫和數(shù)據(jù)庫也相繼建立。這些工作迅速地推進了計算物理的普及和發(fā)展。1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202323計算物理基礎這些新概念的提出、新物理現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，說明計算物理的目的不僅是計算出結果，還在于理解、預言和發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象，尋求物理規(guī)律。在這一點上，它與傳統(tǒng)的實驗物理和理論物理沒有什么不同，差別只在于工具和方法。結論：計算物理這一新的學科起源于20世紀40年代，形成于60年代。

1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202324計算物理基礎中國的計算物理始于20世紀50年代末，開始主要用于核物理領域和核武器的研制工作，然后擴展到其它領域。1982年8月成立中國計算物理學會，已建立了7個專業(yè)委員會和6個地方分會。1984年，中國《計算物理》雜志創(chuàng)刊。1989年，開始出版《計算物理叢書》。1991年，開始出版《科學與工程計算叢書》1.2計算物理的起源、形成與發(fā)展6/6/202325計算物理基礎1983年，在美國國防部、能源部、國家科學基金會和國家航天局主持下，以美國著名數(shù)學家拉克斯為首的不同學科的專家委員會向美國政府提出報告，強調“科學計算是關系到國家安全、經濟發(fā)展和科技進步的關鍵性環(huán)節(jié)，是事關國家命脈的大事”?？茖W計算1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202326計算物理基礎1984年，美國政府大幅度增加對科學計算經費的支持，國家科學基金會成立了“先進科學計算辦公室”，制訂全面高級科學計算發(fā)展規(guī)劃，新建成五個國家級高級計算中心。1987年起，國家科學基金會把“科學與工程計算”、“生物工程”、“全局性的科學”作為三大優(yōu)先重點支持領域。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202327計算物理基礎1990年，美國國家研究委員會發(fā)表“振興美國數(shù)學：90年代的計劃”的報告，建議對由計算引發(fā)的數(shù)學給予特殊的鼓勵和資助。報告指出，大存儲量、高速計算機的使用已導致了科學與技術方面的兩大突出進展1.大量用于設計工作的實驗被數(shù)學模型逐步取代，如航天飛機設計、反應堆設計、人工心瓣膜設計等2.能獲取和存儲空前大量的數(shù)據(jù)，并能提取出隱含的信息，如計算機層析X射線攝影，核磁共振等。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202328計算物理基礎1991年，以美國總統(tǒng)的名義提出“高性能計算與通信計劃”。投資重點(43%)是發(fā)展先進的軟件技術與并行算法，關鍵技術是可擴展的大規(guī)模并行計算。1993年美國總統(tǒng)發(fā)布“發(fā)展信息高速公路”的總統(tǒng)令1994年美國總統(tǒng)發(fā)布“建立國家（地球）空間數(shù)據(jù)基礎設施”的總統(tǒng)令。所有這些計劃，都是為大規(guī)?？茖W計算創(chuàng)造條件，促使科學計算高速發(fā)展。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202329計算物理基礎戰(zhàn)略計算1995年，美國為了確保核庫存的性能、安全性、可靠性和更新需要，開始實施“加速戰(zhàn)略計算創(chuàng)新計劃”，通過逼真的建模和模擬計算來取代傳統(tǒng)的反復試驗的工程處理方法，這主要依賴于先進的數(shù)值計算和模擬能力，應用程序必須達到高分辨、三維、全物理和全系統(tǒng)的水平。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202330計算物理基礎為確保戰(zhàn)略計算目標的實現(xiàn)，采取五項策略措施在三個防務計劃實驗室基礎上成立“戰(zhàn)略計劃和模擬辦公室”，由國家統(tǒng)一指揮。致力于開發(fā)高級應用軟件致力于發(fā)展高性能計算機建立解決問題的環(huán)境促進戰(zhàn)略聯(lián)合與協(xié)作1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202331計算物理基礎美國為實施“戰(zhàn)略計算創(chuàng)新計劃”實施日程表：1995年8月22日能源部采購一臺世界上最快的計算機（運算速度超過萬億次）交付Sendia實驗室1995年10月20日，建成三個防務實驗室之間第一個高速數(shù)據(jù)網絡。1996年2月20日，能源部公開招標，采購兩臺運算速度達3萬億次的計算機交給LosAlamos和Livermore，并競爭下一代系統(tǒng)：10萬億次。結果，2004年實現(xiàn)了100萬億次計算機。

1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202332計算物理基礎1997年，總統(tǒng)提出1.216億美元預算實施戰(zhàn)略計算。1997年8月，戰(zhàn)略計算創(chuàng)新計劃的學術戰(zhàn)略合作計劃（ASAP），通過招標和簽訂合同方式，建立五家合作中心：斯坦福大學的湍流綜合模擬中心，加州理工學院的模擬材料動態(tài)特性的計算中心，芝加哥大學的天體物理、熱核反應瞬間閃光研究中心，猶他大學的意外火災與爆炸模擬中心和伊利諾斯州州立大學的助推火箭模擬中心。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202333計算物理基礎1998年美國副總統(tǒng)戈爾在加利福尼亞科學中心發(fā)表了題為“數(shù)字地球─21世紀認識地球的方式”的演講，指出，“在發(fā)明計算機之前，用實驗和理論的方法來研究都很受限制。許多實驗科學家想研究的現(xiàn)象都很難觀察到，它們不是太小就是太大，不是太快就是太慢，有的一秒鐘之內就發(fā)生了十億次，而有的十億多年才發(fā)生一次。另一方面純理論又不能預報復雜的自然現(xiàn)象所產生的結果，如雷雨或飛機上空的氣流”1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202334計算物理基礎“有了高速計算機這個新工具，我們就可能模擬以前不可能觀察到的現(xiàn)象，同時能更準確地理解觀察到的數(shù)據(jù)。這樣，計算科學使我們能超越實驗與理論科學的局限，建模與模擬給了我們一個深入理解正在收集的有關地球的各種數(shù)據(jù)的新天地”。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202335計算物理基礎1999年初，美國總統(tǒng)信息技術顧問委員會提出一項題為“21世紀的信息技術：對美國未來的大膽投資”的報告。重點投資的三個領域是(1)長期信息技術研究；(2)用于科學、工程和國家的高級計算；(3)信息革命的經濟和社會意義研究。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202336計算物理基礎該報告設想，通過努力在超級計算機、數(shù)學模擬、網絡等方面取得突破性進展，從而開創(chuàng)一個邁向自然世界的窗口，使得計算作為科學發(fā)現(xiàn)的一種工具，與實驗和理論有同等的價值。由此可見“計算”的重要性以及美國對計算的重視程度。我們也應該注意到，這些富有挑戰(zhàn)、功能強大的“計算工作”是在計算物理的基礎上逐步發(fā)展、演變而來的。1.3計算物理的進一步發(fā)展——從計算物理到科學計算、戰(zhàn)略計算6/6/202337計算物理基礎1.4計算物理的特征計算物理的研究內容（計算機實驗）

凡是局部瞬時的物理規(guī)律已知或被假設，要想求得大范圍長時間的物理現(xiàn)象的發(fā)展過程，便屬于計算物理學的范圍。從局部關系到大范圍依賴于計算機的大容量由瞬時規(guī)律發(fā)展為長時間的過程依賴于計算機的高速度。6/6/202338計算物理基礎計算物理相對于理論物理的優(yōu)越性理論物理中利用數(shù)學方程組求解物理問題時，通常將問題大加簡化，這些簡化包括：復雜問題只考慮少數(shù)主要因素：質點，黑體近似等動態(tài)過程只考慮最后達到的靜態(tài)狀況：熱平衡等將非線性因素硬作線性化處理將變系數(shù)硬作常系數(shù)處理將復雜的邊界簡化為規(guī)則的邊界等等1.4計算物理的特征6/6/202339計算物理基礎將問題簡化到能夠求出顯式解析解，需要對事物的本質有很深的理解和相當高超的推導技巧。簡化過程中也可能拋棄一些本質特征。計算物理利用計算機能恢復對客觀事物本質的描述和模擬：如可以多考慮一些因素，可以模擬動態(tài)過程，可以保持非線性特性，可以保留變系數(shù)特點，可以考慮較復雜的邊界條件等。1.4計算物理的特征6/6/202340計算物理基礎這些優(yōu)點使計算物理即可對物理過程進行仿真，發(fā)現(xiàn)物理現(xiàn)象，提供新的信息，又可對物理問題進行數(shù)值分析，為理論物理提供反映物理規(guī)律的數(shù)據(jù)。計算物理是用計算機作為實現(xiàn)手段的實驗物理，同時又是用計算機武裝起來的理論物理。1.4計算物理的特征6/6/202341計算物理基礎計算物理相對于實驗物理的優(yōu)越性第一，計算機實驗比物理實驗省錢省時例如大型風洞，設備投資巨大，建設周期長，使用時耗電多，所以目前在飛機、導彈等設計方面大都先采用計算選型，然后再選幾個模型進行吹風試驗，最后定型，這比早先單純靠風洞吹風的辦法要經濟、有效得多。再如加速器實驗，每小時耗電3萬元。新元素的合成，幾個月發(fā)生一個事件。1.4計算物理的特征6/6/202342計算物理基礎第二，計算機實驗比物理實驗有更大的自由度和靈活性，也很安全，它不存在物理實驗中的測量誤差和系統(tǒng)誤差，沒有測試探頭的干擾問題，還可以較自由地選取參數(shù)。如地下核試驗問題，由于不確定性因素太多，有些測量的誤差是很難進行分析的。如電子雙縫衍射實驗，看到電子的運動軌跡，就無衍射條紋1.4計算物理的特征6/6/202343計算物理基礎第三，在物理實驗很困難甚至不能進行的場合，仍可進行計算機實驗如測量中子星的密度，測量星體內部的溫度分布、天體演化，理想情況實驗等。1.4計算物理的特征6/6/202344計算物理基礎計算物理的局限性：第一，計算物理主要用來求解物理理論的數(shù)學方程，得出實際問題所需要的數(shù)值結果，對物理定律的建立和物理理論的構成可起到幫助探索的作用。但歸根結底仍取決于研究人員的實際知識水平和抽象思維的概括能力。數(shù)學方程要靠理論物理提供，計算結果的正確與否，既要由實踐來檢驗，也要用理論物理的定律來作分析判斷。1.4計算物理的特征6/6/202345計算物理基礎第二，計算物理的數(shù)值方法雖然比理論物理和解析方法適應性強，應用面廣，更能滿足實際需要，但計算所用到的基本方程在各種具體問題中都有不同程度的簡化和近似。1.4計算物理的特征6/6/202346計算物理基礎第三，計算數(shù)學的現(xiàn)有理論，如微分方程數(shù)值解的收斂性、穩(wěn)定性理論，還遠不能滿足各種復雜實際問題的需要，在求解實際問題時往往缺乏嚴格的穩(wěn)定性分析、誤差估計和收斂性證明，甚至連解的存在和唯一性問題都可能沒有嚴格的論證。因此，數(shù)值模擬可能成功也可能失敗，即使成功了，得到了較為合理的結果，仍必須由實驗來驗證。1.4計算物理的特征6/6/202347計算物理基礎計算物理提出計算預測給出模擬結果提供計算數(shù)據(jù)提供模擬結果檢驗計算預測提供方程實驗物理提供實驗數(shù)據(jù)解釋結果理論物理檢驗理論預測提供實驗數(shù)據(jù)提出理論預測給出理論解釋計算物理與傳統(tǒng)物理的聯(lián)系1.4計算物理的特征6/6/202348計算物理基礎計算物理方法區(qū)別于計算數(shù)學方法的特點：1）計算物理從物理問題出發(fā)，以物理結論為結果，以與實驗數(shù)據(jù)的對比為其結束；而計算數(shù)學則是從數(shù)學方程出發(fā)，以求得方程的近似解告終。計算物理工作者選用計算方法時要考慮算法和結果的物理意義；而計算數(shù)學工作者最感興趣的是算法的逼近階，計算精度和穩(wěn)定性等問題。1.4計算物理的特征6/6/202349計算物理基礎例如：在常微分方程數(shù)值解法中，歐拉折線法是原始的低階方法，龍格庫塔法則是高階（四階）的精確方法。從計算數(shù)學的角度看，后者好；但從計算物理的角度看，實際問題中的未知函數(shù)并不總存在高階導數(shù)，利用高階方法計算往往得不出正確結果，更不用說精確了。而歐拉法卻有明顯的物理意義，便于分析和尋求規(guī)律性，因此常常寧可用低階的歐拉法，或者在低階方法取得一定的規(guī)律性后再用高階方法作對比計算或大規(guī)模計算。1.4計算物理的特征6/6/202350計算物理基礎2）計算物理的任務是尋求物理規(guī)律，解決物理問題，因而可以不拘泥于數(shù)學方法。物理問題歸結為微分方程時，實際上是由原始的差分關系取極限得來的，原始差分關系中的每一項都有物理意義。從計算物理角度看，未必一定要把它變成微分方程，再人為地離散化為差分方程，它可以直接由原始差分關系編程上機計算。再比如，有些物理問題用蒙特卡羅方法求解的話，那更是直接對物理問題進行模擬。1.4計算物理的特征6/6/202351計算物理基礎3）計算物理特別重視物理問題的邊界處理，因為邊界條件是由實際物理問題得出的，對求解往往具有決定性的作用，它的處理極大地影響數(shù)值解的精確度，甚至影響數(shù)值計算的穩(wěn)定性。在計算數(shù)學中，由于邊界條件已被抽象成數(shù)學表達式，不考慮實際的物理意義，因而常常不重視邊界處理，而著重研究內點差分格式。1.4計算物理的特征6/6/202352計算物理基礎4）計算物理方法受物理問題本身的啟示，?？衫脤ξ锢憩F(xiàn)象的直觀概念，創(chuàng)造新的計算方法。如流體動力學的“人為粘性法”就是一個典型例子。5）在分析整理大量計算數(shù)據(jù)的基礎上，計算物理工作者還常常關心構造近似解析解，以利于科學家和工程師應用，并且這也是尋求和反映物理規(guī)律的一種方法。1.4計算物理的特征6/6/202353計算物理基礎計算物理的推廣應用:計算物理是計算機在自然科學的應用中發(fā)展較早的學科之一，其研究對象是物理科學。但計算物理中一些已經成熟的知識、研究方法的特點和成果都可以移植到其它自然科學和社會科學研究領域中去。所以計算物理的發(fā)展將對其它領域的計算機應用研究起重大的推動作用。如量子分子動力學模型的計算思想可應用于城市交通中的交通阻塞的計算。1.4計算物理的特征6/6/202354計算物理基礎計算物理與工程計算有關的科學一樣，遵循一條普遍共同的規(guī)律，其求解過程有四個環(huán)節(jié)－馮康物理機理：如各種物理量的守恒規(guī)律、運動規(guī)律等，也包括具體的條件，如參數(shù)、幾何形狀和其它原始資料。數(shù)學提法：通常表示為連續(xù)形式的微分(積分)方程和相應的定解條件。離散模型：通常表示為離散形式的代數(shù)方程，如差分方程。算法程序：即離散方程求解的算術步驟。1.5計算物理的工作流程6/6/202355計算物理基礎這四個環(huán)節(jié)再加上“上機計算”和“結果分析”就構成了計算物理的整個工作流程，其流程圖如下由此可見，計算物理的發(fā)展需要不同性質的科學工作者的大力協(xié)同，共同努力。物理機理數(shù)學提法離散模型算法程序結果分析上機計算1.5計算物理的工作流程6/6/202356計算物理基礎1.物理問題階段由于人們對自然規(guī)律認識的局限性，加上外界條件的多變性，物理學家在形成物理模型時，只能抓住其主要矛盾和矛值的主要方面，必然要進行各種近似。計算物理工作者應對所建立或所采用的物理模型做到心中有數(shù)，至少對數(shù)量變化范圍有粗估結果。1.5計算物理的工作流程6/6/202357計算物理基礎2.數(shù)學模型階段有時寧可保留守恒型的微分（積分）方程，不必進一步簡化，以利于離散化后能保持守恒的性質。為了便于探索各種物理機理，邊界條件應盡可能考慮到各種可能性，不致于發(fā)生為計算不同的模型而經常修改程序－大型程序修改非常復雜1.5計算物理的工作流程6/6/202358計算物理基礎3.離散模型階段要注意根據(jù)不同的實際問題選擇不同的計算方法?？偟脑瓌t是：較弱的穩(wěn)定性限制、較高的精度、便于編寫程序、較高的計算效率，不要片面追求逼近階太高，以致邏輯復雜。但是，如果邏輯太簡單，可能穩(wěn)定性要求太嚴，以致機器計算機時間太多。計算格式的選取應以物理機理為背景，以能否正確反映微分方程所描述的物理現(xiàn)象為依據(jù)。

1.5計算物理的工作流程6/6/202359計算物理基礎4.算法程序階段實際包括邏輯設計和程序編制兩大部分，是一件十分細致和繁瑣的工作。應考慮到程序的易讀性和通用性，采用“結構化”的方法編制程序，以利于大型程序的編寫和未來發(fā)展?？茖W計算程序大多采用FORTRAN語言編制。1.5計算物理的工作流程6/6/202360計算物理基礎(5)上機計算階段實際上應包括程序調試和正式計算兩步。程序調試過程中要和已有的數(shù)據(jù)進行對比。(6)結果分析階段首先要對計算結果的合理性和可信性作出判斷，其次要對結果作出物理解釋，需要旁敲側擊，斟酌再三。1.5計算物理的工作流程6/6/202361計算物理基礎綜上所述，計算物理研究的全過程，應該包括提出和分析問題、建立物理模型和數(shù)學模型、選擇計算方法、誤差估計、收斂性和穩(wěn)定性論證、編寫和調試程序、上機計算、計算出結果，對結果進行評價等一系列環(huán)節(jié)。最后強調，由于實際問題的復雜性，計算物理的全過程是一個循環(huán)往復、漸趨正確的過程。計算物理工作者既要有嚴謹、清晰的分析方法，又要有耐心細致的工作作風。1.5計算物理的工作流程6/6/202362計算物理基礎自然界千變萬化，近代科學技術問題十分復雜，任何一種科學研究都不可能、也不必要包羅萬象地去考慮一切因素的影響，而總是抓住一些主要因素，忽略多種次要因素，去研究問題的實質。科學研究總是在這樣那樣的假設條件下進行的。1.6計算物理的研究方法1.6.1物理模型和數(shù)學模型的建立6/6/202363計算物理基礎對復雜的物理現(xiàn)象進行分析，概括和抽象，提出反映現(xiàn)象本質的一些因素，形成物理模型，這是計算物理的首要任務，只有在物理模型的基礎上，才能建立數(shù)學方程，進行求解。建立物理模型是計算物理的首要任務！物理模型的建立，概括地說有兩大類基本模型：離散模型；連續(xù)模型。1.6計算物理的研究方法6/6/202364計算物理基礎離散體模型離散模型把物體看作是由大量具有確定物理性質(如質量、電荷等)，彼此又相互作用而聚集在一起的幾何點(質點)的集合組成。最突出的例子是原子模型，其基本定律由量子力學描述；但是在許多問題中，牛頓力學仍然適用。1.6計算物理的研究方法6/6/202365計算物理基礎設有N個質點（例如核子），在遠程力（核力）作用下的運動，這是一個N體問題，當N≥3時沒有解析解，其困難在于對每一個質點，所有其它的質點對它都有作用。N個質點共有(N－1)個相互作用，即使用每秒上億次的計算機，要計算象銀河系（約有1019顆星星）的問題，仍然是不可能的，所以，這種模型還得繼續(xù)簡化。

1.6計算物理的研究方法6/6/202366計算物理基礎連續(xù)模型是用場的概念去描述物體的幾何點，不必去區(qū)分構成該物體的各粒子間的差異。用場來確定任一質點受到其它外來因素對它作用的總和，而不在具體區(qū)分是哪個質點對它的作用。如對原子核反應的描述。平均場：H=T+V運動方程：p'=-?H/?r;r'=-?H/?p1.6計算物理的研究方法連續(xù)模型6/6/202367計算物理基礎大多數(shù)物理過程是個復雜的過程，這給求解帶來很大困難，實際數(shù)值計算時，不得不再作這樣或那樣的近似處理。所以計算物理的主要方法之一就是在簡化物理模型的基礎上，對各式各樣的微分方程（或微分積分方程等）進行數(shù)值求解。1.6計算物理的研究方法6/6/202368計算物理基礎下面列舉兩個國防科學技術的例子，具體說明物理模型的建立。例1：假設一顆核彈在空中爆炸，求離爆點某一距離上的地下掩蔽室的破壞情況。這是防御核戰(zhàn)爭的重要問題。許多人對地下工事是否安全心中無數(shù)，但只要我們掌握計算物理的基本方法，進行實際計算，就不難對此問題作出回答。1.6計算物理的研究方法6/6/202369計算物理基礎已知核武器殺傷破壞分為：沖擊波、光輻射、貫穿輻射、放射性沾染。對于地下掩蔽室來說，主要是沖擊波。如果我們能求得爆炸沖擊波沿地面的傳播規(guī)律，并結合設計掩蔽室的抗壓強度等進行綜合考慮，即可知道它是否安全。第一，核彈本身的重量和體積與它所釋放的巨大能量和作用距離相比，可以忽略不計。因此可以把核爆炸看作是從一個點源上瞬時爆發(fā)的－點爆炸。1.6計算物理的研究方法6/6/202370計算物理基礎第二，核爆炸所產生的沖擊波是通過大氣傳播的。在真實大氣中，有氣溫、氣壓、密度、溫度、風云等多方面因素的影響，我們可先對這些因素一概不予考慮，把大氣看作是均勻的理想氣體，用理想氣體的物態(tài)方程描述其性質。這樣構成的模型，稱之為“理想點爆”模型。在這種模型下，爆炸沖擊波的傳播規(guī)律可用一維球對稱流體動力學方程組和理想氣體物態(tài)方程求解。1.6計算物理的研究方法6/6/202371計算物理基礎這只是研究核爆炸沖擊波的最簡單的物理模型，核爆炸是個極端復雜的物理過程，“理想點爆”模型只是個粗糙的簡化近似，但是核試驗的實踐證明，即使是這種最簡單的模型，計算所得的結果，經適當修正，也能相當好地與實測結果一致。1.6計算物理的研究方法6/6/202372計算物理基礎例2：假設敵方發(fā)來一枚導彈，我們能否在100km以上的高空爆炸一顆百萬噸級的氫彈將它攔截燒毀，這就是反導問題。下面簡要分析這個問題的物理模型。已知百萬噸級的氫彈在高空爆炸時產生的X射線占總當量的60-70%，由于高空大氣稀薄，X射線的平均自由程可達數(shù)十到數(shù)百公里，而且軟X射線極易被物質吸收。1.6計算物理的研究方法6/6/202373計算物理基礎當X射線到達殼體表面時，能量大量沉積，溫度可高達上萬度，壓力高達數(shù)十萬大氣壓，可把表面熔化成流體，同時在殼體中形成熱擊波，向殼體內部傳播。隨著壓力和溫度的下降，材料呈現(xiàn)彈塑性特點。當熱擊波到達自由表面時，反射稀疏波，產生拉力。拉力足夠大，可使材料斷裂。按這種設想構成模型，稱為“流體—彈塑性”模型。1.6計算物理的研究方法6/6/202374計算物理基礎

數(shù)學模型的建立建立物理模型之后，可根據(jù)基本原理（如三大守恒定律）列出基本的數(shù)學方程組，并結合實際情況給出定解條件（初值和邊值）?；痉匠探M和定解條件一起構成了一個物理問題的數(shù)學模型1.6計算物理的研究方法6/6/202375計算物理基礎

數(shù)學模型應有以下特點把每個求解的數(shù)學問題用計算機所能處理的四則運算和有限形式的公式表示出來每個數(shù)值方法要保證收斂性，還要保持穩(wěn)定性數(shù)值方法有良好的計算復雜性：即運算次數(shù)要少，所需存儲量要小1.6計算物理的研究方法6/6/202376計算物理基礎對一個問題，如果1.對輸入數(shù)據(jù)的每個容許集，這個問題有一個解(解的存在性);而且至多有一個解(解的唯一性)2.輸入數(shù)據(jù)一個充分小的擾動，引起解的一個微小改變(對數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性)則我們說這個問題是適定的。對于適定問題，一個合理的算法將產生好的答案。對于不適定問題，可能對任何一個算法都不會產生好的答案

1.6計算物理的研究方法6/6/202377計算物理基礎1.6.2計算方法的選取建立了數(shù)學模型以后，采用什么方法來求解，這是計算數(shù)學的主要內容，也是計算物理的基礎。盡管電子計算機功能很強，速度很快，但如果計算方法選取不當，也會算不出結果，或者算出完全錯誤的結果；即使能算出近似的結果，也還有精度高低，計算工作量大小之差別。所以，選取好的計算方法是至關重要的。下面舉例進行說明。1.6計算物理的研究方法6/6/202378計算物理基礎

例1：求線性代數(shù)方程組的求解計算物理中的許多問題常常最終歸結為線性代數(shù)方程組的求解問題。考察如下方程組：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+…+annxn=bn其中aij，bi（i,j=1,2,…,n）為常數(shù)。1.6計算物理的研究方法6/6/202379計算物理基礎由線性代數(shù)知識，只要系數(shù)行列式滿足下式，方程組有唯一解：xj=Dj/D。D=≠01.6計算物理的研究方法Dj是將D中第j列用右端b代替所構成的行列式。這是著名的克萊姆法則，但如果按行列式展開的方法進行計算，將會是什么結果呢？6/6/202380計算物理基礎

n階行列式展開時含有n!項，每一項含n個因子，計算一個n階行列式需要做(n-1)n!次乘法。這里需要計算n+1個行列式，需要的乘法次數(shù)為N=(n-1)(n+1).n!=(n2-1).n!當n=20時，N≈1021。若采用每秒億次的巨型電子計算機，要連續(xù)工作幾百萬年才能完成計算！這個理論盡管完美，但在實際計算中卻毫無價值。1.6計算物理的研究方法6/6/202381計算物理基礎當然一個簡單的線性方程組也不可能讓你用費用昂貴的巨型機來計算，這里數(shù)值方法表現(xiàn)出它巨大的威力：如果用數(shù)值方法（如高斯消去法）進行計算，小小的20階線性方程組，在小型機上只需幾秒鐘即可完成求解。從這個例子可以看出，采用不同的計算方法，計算工作量相差很大，所以計算方法的選擇很重要。1.6計算物理的研究方法6/6/202382計算物理基礎例2：利用遞推法求解積分[1.1]容易求得：1.6計算物理的研究方法6/6/202383計算物理基礎于是可建立下列遞推關系式：(1)

按公式（1）算得的結果如表1。現(xiàn)在要問，計算結果可靠嗎？由定積分的基本概念，所求積分具有特性：In

>0；In＜In-1

1.6計算物理的研究方法6/6/202384計算物理基礎但是，從表1可看出，I6＜0，往后的In值，正負號交替出現(xiàn)，其絕對值不斷遞增，從而理論分析與計算結果嚴重不符。下面改用另一種計算方案：1.6計算物理的研究方法In>0；In＜In-1由公式(1)6/6/202385計算物理基礎作為一種近似，可取然后按下列遞推關系進行遞推按這個遞推關系得到的結果也一并列在表1中(2)1.6計算物理的研究方法6/6/202386計算物理基礎n公式(1)In公式(2)In00.0099503310.0099503310.0049669150.0049669150.0033085000.0033085370.0024833330.0024801240.0016666670.0019876100.0333333330.001654277-3.1666633330.001416182316.80919040.001238988-31680.794040.0011012023168079.5150.000990954-316807451.40.000904590返回6/6/202387計算物理基礎計算發(fā)現(xiàn)，按(2)式算出的I0與ln101－ln100的值一樣。這說明，采用公式（1）遞推，雖然采用了八位有效數(shù)字，但越往后，越不可靠。而公式（2），盡管取了近似值I10，但按逆序遞推，卻能反映In的基本特性，且最后得出的I0很準確。這個例子表明，采用不同的算法，結果可能是大不一樣的，而正確的結果只有一個，是不依賴于算法的，因此再次說明算法的重要性。1.6計算物理的研究方法6/6/202388計算物理基礎例3：已知方程9x2=sinx+1在x=0.4附近有根，試用迭代法求出此根。[1.2]迭代法是計算數(shù)學的重要方法，它除了可用作方程和方程組的求根外，還可用來解微分方程，它的基本思想是通過迭代公式形成近似解序列，去逼近方程的真解。1.6計算物理的研究方法6/6/202389計算物理基礎對于這個求根問題，可通過下面迭代公式逐步求得要求的根。首先將原方程改寫為然后改造出如下迭代關系式9x2=sinx+1(3)1.6計算物理的研究方法其解序列為x0＝.4,x1=.3929,x2=.391985,x3=.391865,x4=.391848,x5=.391847,x6=.3918476/6/202390計算物理基礎如果按6位有效數(shù)字，方程的根就是x=.391847原方程也可變形為(4)因而可構造出迭代公式1.6計算物理的研究方法無論如何也得不到收斂的序列｛xn｝，所以迭代公式（4）是不可取的。6/6/202391計算物理基礎這就產生一個問題，即怎樣把給定的方程f(x)=0變形為x=j(x)，并使迭代公式收斂。這個問題留給后面再作研究。這個例子說明，雖然迭代法是計算數(shù)學的常用方法，但不同的迭代方法得到的結果可能是不一樣的，計算量一般也會不一樣。以上三個例子從不同角度說明，選擇恰當?shù)挠嬎惴椒ㄟM行計算是非常重要的。1.6計算物理的研究方法6/6/202392計算物理基礎對于具體的計算物理問題，除了算法的重要性，計算效率的問題也是至關重要的。一個物理的程序往往需要算上幾天甚至一兩個月的時間，所以如何提高效率成了計算物理急需解決的問題，除了采用效率高的算法，還需注意一些問題:如加法比乘法效率高，乘法比乘方和除法效率高[1.3]

2a－>a+a,a2－>a*a,a/4－>a*0.251.6計算物理的研究方法6/6/202393計算物理基礎計算物理，往往給人們以不嚴格、不精確或不完美的誤解。但無論是實驗物理還是理論物理近似都非常普遍，誤差也是不可避免的，根本不存在絕對的嚴格和精確。計算物理中的誤差來自四個方面:模型誤差、觀測誤差、方法誤差、舍入誤差。1.6.3計算物理中的誤差1.6計算物理的研究方法6/6/202394計算物理基礎（a）模型誤差。將實際問題歸結為數(shù)學問題時，總要忽略一些主觀上認為是次要的因素，附加若干限制。例如點粒子近似。人們對客觀事物的認識是逐步深入的，這樣建立的“理想化”的數(shù)學模型，雖然具有“精確”而“完美”的外表，實質卻只是客觀現(xiàn)象的近似而粗糙的描述，這種近似描述就隱含著誤差，這就是模型誤差。如自由落體運動忽略了空氣的阻力。1.6計算物理的研究方法6/6/202395計算物理基礎（b）觀測誤差。在數(shù)學模型中，往往包含有若干參變量，如物體密度，物態(tài)方程與本構方程參數(shù)，熱量交換系數(shù)等等。這些參量一般是通過實驗觀測確定的，因而不可避免會存在觀測誤差。如自由落體運動中的時間和重力加速度就是觀測值。觀測值的精度依賴于儀器和人的操作。1.6計算物理的研究方法6/6/202396計算物理基礎（c）方法誤差。在實際解題過程中，數(shù)學模型常常比較復雜，不能獲得精確解。另外，有些運算只能用極限過程來定義，而計算機卻只能進行有限次運算，這就造成計算結果與方程的實際解有差別。需要建立一套有效的計算方法（即數(shù)值方法）。模型的準確解和數(shù)值方法的準確解之差稱為方法誤差，或叫截斷誤差。1.6計算物理的研究方法6/6/202397計算物理基礎例如：指數(shù)函數(shù)ex可展開成下列冪級數(shù)形式但在實際計算時，不可能計算無窮多項，只能截取有限項：用Sn(x)作為ex的近似值，其截斷誤差為1.6計算物理的研究方法6/6/202398計算物理基礎（d）舍入誤差。實際計算受計算機字長限制，只能按有限個有效數(shù)字進行(計算機中的實數(shù)都是近似的)，每步計算都可能有舍入，這種誤差稱為舍入誤差。少量運算的舍入誤差微不足道，但一般計算物理所要求解的問題都要進行千千萬萬次運算，舍入誤差的積累可能是驚人的。如(1.0/3.0)*3.0<>1[1.4]1.6計算物理的研究方法6/6/202399計算物理基礎減小運算誤差的若干原則計算物理中出現(xiàn)的誤差，有時會嚴重“泛濫”，完全“淹沒”所要求的真值，所以對任何一項計算，都必須考慮精度，選取或設計好的計算方法。但并不是精度越高越好，精度高意味著運算時間長。對于具體的問題，運算次數(shù)數(shù)以千萬。盡管每一步計算都可能發(fā)生誤差，但要對每一步所產生的誤差都去分析是不可能做到的，因此人們針對一些普遍性問題提出若干注意事項，以提高計算的可靠性。1.6計算物理的研究方法6/6/2023100計算物理基礎（a）兩個相近的近似數(shù)相減時，有效數(shù)字會嚴重損失，實際計算時要盡量避免。[1.5]例如，當x充分大時，計算下面表達式的值。設x＝1000，取4位有效數(shù)字：結果只有1位有效數(shù)字。1.6計算物理的研究方法6/6/2023101計算物理基礎如果將表達式變形為可見計算公式寫成不同的形式，對運算誤差可能有很大影響。仍為4位有效數(shù)字1.6計算物理的研究方法6/6/2023102計算物理基礎常見的公式變換：x1和x2接近時：lgx1-lgx2=lg(x1/x2)當x接近于0時:(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)當x充分大時：arctan(x+1)-arctanx=arctan[1/(1+x2+x)]1.6計算物理的研究方法6/6/2023103計算物理基礎（b）避免數(shù)量級相差很大的數(shù)相加減。在數(shù)值計算時，要避免小的數(shù)字被大的數(shù)字“吃掉”。例如，要對A、B、C三個數(shù)進行加法運算，若A＝1015，B＝10，C≈－A。如果按(A+B)+C的次序進行計算，取八位有效數(shù)字，則A吃掉了B，結果近似為0；但如果按按(A+C)+B的次序進行計算，其結果會接近于10，從而保護了B。所以在編寫程序時，要事先預計各變量的數(shù)量級，并對程序語句進行合理安排。1.6計算物理的研究方法6/6/2023104計算物理基礎（c）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)。數(shù)值計算中，除數(shù)的絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值，將會使商的數(shù)量級增加，甚至造成‘溢出’錯誤；而且當除數(shù)稍有一點誤差，就會對計算結果造成很大的誤差。如3.1416/0.001＝3141.6，當分母有了0.0001的誤差時，也就是變?yōu)?.0011則商變?yōu)?.1416/0.0011＝2856，商的誤差已經變的非常巨大1.6計算物理的研究方法6/6/2023105計算物理基礎如果直接運算需作n(n+1)/2次乘法運算和n次加法運算。將表達式改寫為下式只需作n次乘法和n次加法。（d）注意計算步驟的簡化，減少算術運算的次數(shù)。例如，計算多項式[1.6]1.6計算物理的研究方法一般來說，在一個物理問題中，通過計算方式的簡化，既可以減少工作量，又可減小累計誤差。6/6/2023106計算物理基礎收斂性與穩(wěn)定性是計算方法的理論問題。穩(wěn)定性是指在數(shù)值計算中，誤差的傳播能否得到控制這樣一個性質。收斂性是指通過數(shù)值計算得到的近似解是否逼近數(shù)學模型的的真解這樣一個性質。一個計算方法的好壞成敗，除了與計算格式的簡練緊湊有關外，最本質的核心問題就是收斂性與穩(wěn)定性問題。（4）收斂性與穩(wěn)定性1.6計算物理的研究方法6/6/2023107計算物理基礎定積分有兩個遞推公式(1)(2)穩(wěn)定性分析實例1.6計算物理的研究方法6/6/2023108計算物理基礎從數(shù)學上看，它們的是等價的，但結果卻完全不同，為什么？大家知道，計算機只能對有限位數(shù)進行算術運算，這里我們取八位數(shù)字進行運算。因在計算機中必然是個近似數(shù)，因而有誤差，我們不妨把它當作初始誤差。下面我們來分析這個初始誤差的傳播。

1.6計算物理的研究方法6/6/2023109計算物理基礎按公式(1)，I0的誤差傳播到I1，I1的誤差傳播給I2，…，記Ii的計算近似值為準確的理論遞推式兩式相減有

實際運算的遞推式1.6計算物理的研究方法6/6/2023110計算物理基礎若與I0之間的誤差為ε，這個誤差將隨遞推而繼續(xù)影響到后續(xù)各項，依此推得：這說明，每遞推一次，誤差值增大100倍，當有初始誤差ε時，In的誤差為(-1)n100ne。顯然當n充分大時，計算結果必將將嚴失真。1.6計算物理的研究方法6/6/2023111計算物理基礎對公式（2）進行同樣的分析有準確的理論遞推式：

實際運算的遞推式：從而有1.6計算物理的研究方法可以看出誤差的傳播越來越小,計算的結果是可靠的。我們稱(1)式是不穩(wěn)定的，(2)式是穩(wěn)定的。6/6/2023112計算物理基礎收斂性分析實例求方程9x2=sinx+1在x=0.4附近的根。這個方程可用下面遞代公式求根：n=0,1,…

(3)1.6計算物理的研究方法(4)把給定方程式f(x)=0變成迭代形式xn+1=j(xn)求解，如何才能使解序列{xn}收斂呢？

6/6/2023113計算物理基礎設a是方程f(x)=0一個根，由微分中值定理：若在a的某一鄰域內|j(x)|≤1，則由迭代公式所產生的解序列xn一定收斂于a；反之若在a附近，|j(x)|＞1，則解序列xn一定不收斂。對于方程（4），j(x)=arcsin(9x2-1)，在0.4附近，|j(x)|＞1，所以解序列不可能收斂。對于方程（3），j(x)=，|j(x)|≤1/6＜1，因而迭代結果收斂。1.6計算物理的研究方法6/6/2023114計算物理基礎粗略說來，收斂性主要是研究方法誤差問題，而穩(wěn)定性則更關注舍入誤差問題。在一定條件下，兩者又可以是關聯(lián)的、等價的。由于計算物理的復雜性，要弄清楚所采用的方法的收斂性和穩(wěn)定性，往往相當困難。如果都要等解決了理論問題再去計算，計算物理這個工作就難以發(fā)展了。我們不能等待解決了收斂性、穩(wěn)定性之后再去計算，而是要在計算機實驗中進行解決。但另一方面，我們又必須對計算方法的收斂性、穩(wěn)定性問題有所了解，以利于對計算結果進行分析。1.6計算物理的研究方法6/6/2023115計算物理基礎計算結果正確與否，一般來說，與下列因素有關：物理模型和數(shù)學模型是否合適？計算方法是否正確？程序設計是否有誤？機器運行是否正常？如果計算方法、程序、機器等正常，問題可能發(fā)生在物理模型和數(shù)學模型上。由于實際物理問題十分復雜，能否抓住主要因素構成合適的物理模型并列出恰當?shù)臄?shù)學方程，并不是輕而易舉的事。1.6.4計算結果的分析與結論1.6計算物理的研究方法6/6/2023116計算物理基礎而且即使基本的物理模型是正確的，在一些復雜的邊界條件下，在某些具體條件的影響下，如何給出符合實際的定解條件，也還需作認真細致的研究。結果的判斷？如何判斷計算結果是否正確，并作出恰當?shù)慕Y論？實驗檢驗、理論分析、與其它計算結果相比較1.6計算物理的研究方法6/6/2023117計算物理基礎(1)實驗檢驗計算結果是否正確，最主要的是要看它與實驗數(shù)據(jù)是否相符合，若大體相符，就說明計算結果基本可靠；如果相差較大，就應該檢查物理模型、數(shù)學模型，計算方法等是否存在問題，進行改進。當然，實驗數(shù)據(jù)有時也會有差錯，需要分析，這是實驗物理的任務。作為計算物理工作者首先應該檢查自己工作中的問題。1.6計算物理的研究方法6/6/2023118計算物理基礎(2)理論分析計算結果是否正確，也可用基本物理原理來分析判斷，作出定性解釋。物理原理是前人在大量實踐的基礎上總結提煉出來的客觀規(guī)律，計算結果應該符合基本物理定律。歸根到底，計算結果應該符合客觀規(guī)律?；疚锢碓肀葌€別實驗數(shù)據(jù)更能反映事物的本質，是檢驗結果是否正確的一面鏡子。1.6計算物理的研究方法6/6/2023119計算物理基礎(3)與其它計算結果相比較這是一種旁證的辦法。如果我們的計算結果與采用不同數(shù)學模型或不同計算方法的結果一致；或雖有出入，但在理論上可作出合理解釋，則在某種意義上可以說明計算結果具有一定的客觀性，雖不能象前面兩種方法那樣作出明確的結論，但可做到心中有數(shù)。在實際工作中，常常對同一問題采用多種辦法進行計算，比較其結果，從而逐步得出正確的結論。1.6計算物理的研究方法6/6/2023120計算物理基礎第二章數(shù)值積分微分方法2.1引言2.2梯形積分和辛普森積分2.3反常積分2.4高斯積分2.5高維積分2.6數(shù)值微分6/6/2023121計算物理基礎2.1引言

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓－萊布尼茲公式求解其定積分：這種方法雖然在理論上沒有什么問題，可是實際問題要復雜的多，它并不能完全解決定積分的問題。6/6/2023122計算物理基礎

理論上任何可積函數(shù)都有原函數(shù)，可是有些形式上十分簡單的函數(shù)，其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限的形式，對這類函數(shù)，牛頓－萊布尼茲公式無能為力。例如：2.1引言6/6/2023123計算物理基礎

有些并不復雜的函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限的形式，但表達式非常復雜，一般也不用牛頓－萊布尼茲公式求解：2.1引言6/6/2023124計算物理基礎

在物理上，經常是從實驗上獲取一系列的實驗點，而沒有具體的被積函數(shù)解析表達式；或者分析引用別人文章圖表中的曲線，只有曲線的形狀而無函數(shù)表達式。對于這類情況牛頓－萊布尼茲函數(shù)也無能為力。2.1引言6/6/2023125計算物理基礎

數(shù)值積分的思想:用插值的方法找到一個足夠精確的簡單函數(shù)P(x)(例如:代數(shù)多項式)代替原有積分f(x),就有:由于代數(shù)多項式有解析解,其結果可以近似代替原有積分的結果.2.1引言6/6/2023126計算物理基礎

積分分為定積分和不定積分兩種，我們這里只討論定積分，不定積分的計算可以作為變上限的定積分來計算考慮定積分它表示f(x)曲線下的面積2.1引言6/6/2023127計算物理基礎2.2梯形法和辛普森法2.2梯形法和辛普森方法

在微積分中，我們知道積分是求和的極限定義，這就是第一種計算積分的方法：梯形法，把積分區(qū)間[a,b]分成一些子區(qū)間[a=x0<x1<x2<...<xn=b],則積分可近似為：

6/6/2023128計算物理基礎在實際計算中，常采用等間距分法，即xi＋1-xi=h=(b-a)/n為一常數(shù)，公式可簡化為2.2梯形法和辛普森法6/6/2023129計算物理基礎為節(jié)約工作量實際使用的計算公式為（中矩形法,左矩形法,右矩形法）2.2梯形法和辛普森法6/6/2023130計算物理基礎上述方法還可以改進，如果我們從n＝1開始計算，每次把區(qū)間增加一倍，通過比較連續(xù)兩次計算結果之差是否小于給定的誤差來結束計算->變步長積分2.2梯形法和辛普森法6/6/2023131計算物理基礎例:求積分的值,誤差小于0.0012.2梯形法和辛普森法6/6/2023132計算物理基礎首先給出編寫程序的流程圖：1.確定區(qū)間寬度h2.計算各子區(qū)間的面積和I13.區(qū)間寬度h減小一倍4.計算各子區(qū)間的面積和I25.如果I1-I2的絕對值小于0.001->6如果I1-I2的絕對值大于0.001->36.輸出I2的值2.2梯形法和辛普森法6/6/2023133計算物理基礎下面給出Fortron編寫的變步長梯形法程序

I=0I1=0h=0.1dox=0,1,hx1=x+hI=I+h*(x*sin(x)+x1*sin(x1))/2enddo2.2梯形法和辛普森法6/6/2023134計算物理基礎if(abs(i1-i).lt.0.001)goto20I1=II=0goto1020write(*,*)Iend2.2梯形法和辛普森法6/6/2023135計算物理基礎梯形方法實際上把每一個子區(qū)間近似為線性函數(shù)ax+b,然后計算積分值,再把結果加起來.,所以說梯形方法是具有線性代數(shù)精度的方法.下面介紹具有二次代數(shù)精度的方法:辛普森方法

2.2梯形法和辛普森法6/6/2023136計算物理基礎先考慮積分區(qū)間[a,b]分為兩個子區(qū)間,分點為(a,a+h,b+2h=b),h=(b-a)/2在區(qū)間上把被積函數(shù)用二次函數(shù)來近似,即:2.2梯形法和辛普森法6/6/2023137計算物理基礎經過簡單計算可以得到

這就是有名的辛普森公式,顯然它具有二次精度2.2梯形法和辛普森法6/6/2023138計算物理基礎實際計算中先把區(qū)間[a,b]分為N個子區(qū)間,然后在每個子區(qū)間中用辛普森求積公式計算,再把結果加起來:2.2梯形法和辛普森法6/6/2023139計算物理基礎上式可以化簡為辛普森是實際計算中常用的方法,它對于一般的有限區(qū)間積分都能給出較好的正確結果.(循環(huán)變量必須是整型數(shù))2.2梯形法和辛普森法6/6/2023140計算物理基礎例:用辛普森方法求解積分,誤差小于0.0012.2梯形法和辛普森法6/6/2023141計算物理基礎I=0

I1=0h=0.1k=0dox=0,1,hk=k+12.2梯形法和辛普森法6/6/2023142計算物理基礎if(k.eq.0)thenaa=1if((k.mod.2).eq.1)thenaa=4if((k.mod.2).eq.0)thenaa=2if(k.eq.1/h)thenaa=1I=I+aa*h*x*sin(x)/3enddo

2.2梯形法和辛普森法6/6/2023143計算物理基礎if(abs(I1-I).lt.0.001)goto20I1=II=0goto10write(*,*)Iend2.2梯形法和辛普森法6/6/2023144計算物理基礎**分析討論**a.單次積分公式精度分析:2.2梯形法和辛普森法F(x)x4x3x2x1解析解6.442.6722梯形數(shù)值解168422辛普森數(shù)值解6.6742.6722可見梯形公式具有1次代數(shù)精度,辛普森公式具有3次代數(shù)精度.更高階精度越高????6/6/2023145計算物理基礎單次等間距插值求積公式:牛頓-柯特斯公式一階:梯形公式二階:辛普森公式四階:再高階求積公式因為穩(wěn)定性差,一般不再采用2.2梯形法和辛普森法6/6/2023146計算物理基礎單次積分公式因為穩(wěn)定性差和插值公式不宜求解,所以一般采用把積分區(qū)間分成若干小的區(qū)間,在每個區(qū)間中采用低階的牛頓-柯特斯公式這就是我們前面采用的方法:復化求積法->復化牛頓-柯特斯公式2.2梯形法和辛普森法6/6/2023147計算物理基礎b.變步長分析:變步長公式可以進一步改進:如第一次計算的節(jié)點的函數(shù)值,步長加倍后可以不用再計算.2.2梯形法和辛普森法6/6/2023148計算物理基礎單次梯形積分誤差可由積分中值定理給出復化梯形積分誤差公式:所以:2.2梯形法和辛普森法6/6/2023149計算物理基礎龍貝格算法:逐次分半加速法由前面誤差估計式變形可以得到:可以用兩次計算結果的線性組合作為新的數(shù)值解2.2梯形法和辛普森法6/6/2023150計算物理基礎c.其它分析取等值區(qū)間的缺點是對于在部分區(qū)間變化劇烈而在其他地方變化平緩的被積函數(shù)效率不高.該如何解決?????計算定積分還有很多方法,不一一介紹.2.2梯形法和辛普森法6/6/2023151計算物理基礎

2.3反常積分的計算反常積分分為兩類.一類是積分區(qū)間有限,在積分區(qū)間內被積函數(shù)有奇點,另一類積分區(qū)間為無限,對于兩者兼而有之的積分,可以分為兩個或多個積分來處理.2.3反常積分的計算6/6/2023152計算物理基礎

(1)積分區(qū)間內含有奇點的積分可去奇點例:sin(x)/x在x=0有可去積分([0,1]精確解0.9460831)但x->0時,sin(x)/x=1-x*x/6+……

IF(abs(x).lt.1.0E-4)thenF=1.0-X*X/6.0ElseF=sin(x)/xEndif2.3反常積分的計算6/6/2023153計算物理基礎極限方法例:已知x0為奇點定義一個收斂于x0的序列:b>r1>r2>r3>……>rn其中rn=x0+2-n2.3反常積分的計算6/6/2023154計算物理基礎

積分可寫成如上形式,其中每個積分都為正常積分當時,終止計算2.3反常積分的計算6/6/2023155計算物理基礎消除奇點作變量替換x=t2,dx=2tdt,則有或把積分寫為:2.3反常積分的計算6/6/2023156計算物理基礎

(2)積分區(qū)間為無限的積分只討論形式為如下的積分因為:2.3反常積分的計算6/6/2023157計算物理基礎變量替換法例:令x=-ln(t),dx=-dt/t,則有如果g(t)/t在t=0的鄰域內有界,則上式積分成為一個正常的積分,尤其在解決e-kx形式的積分效果最好2.3反常積分的計算6/6/2023158計算物理基礎2.3反常積分的計算常用的變換還有:6/6/2023159計算物理基礎極限法定義一個趨向于無窮大的序列0<r1<r2<……rn例rn=2n,積分可寫為下式2.3反常積分的計算6/6/2023160計算物理基礎

2.4高斯積分方法前面的積分公式(梯形公式和辛普森公式)的代數(shù)精度都較低,能否構造一個高代數(shù)精度的公式?這就是高斯積分公式.由于高斯積分公式的理論,較為復雜,所以只簡單介紹其思想,給出有關的計算公式.2.4高斯積分6/6/2023161計算物理基礎矩形法????插值求積公式,任意給定n+1個節(jié)點,至少有n次代數(shù)精度.例:辛普森方法有3個節(jié)點,所以代數(shù)精度至少為2階,梯形法有兩個節(jié)點,代數(shù)精度至少為1階.我們設想插值多項式有n+1個節(jié)點,n+1個求積系數(shù),適當選取這些系數(shù),就可以構造有2n+1次代數(shù)精度的多項式—高斯積分2.4高斯積分6/6/2023162計算物理基礎例如有四個未知參數(shù),至少可以構造出具有3次代數(shù)精度的插值公式.令上式對f(x)=1,x,x2,x3精確成立,可以得到四個方程:2.4高斯積分6/6/2023163計算物理基礎解方程得到:得到具有3次代數(shù)精度插值積分公式對比中矩形公式:2.4高斯積分6/6/2023164計算物理基礎例:(精確解)中矩形公式得到的解為I=2.414214高斯公式給出的結果為I=2.401848可見在計算量相同的情況下,高斯公式的代數(shù)精度要遠高于矩形公式.2.4高斯積分6/6/2023165計算物理基礎(1)有限區(qū)間的高斯型積分公式高斯-勒讓德積分公式(積分區(qū)間[-1,1])xi是n階勒讓德多項式德根,ωi是積分權重2.4高斯積分6/6/2023166計算物理基礎為不失一般性,我們總可以做代換將求積區(qū)間從[a,b]變換為[-1,1],做如下變換2.4高斯積分6/6/2023167計算物理基礎高斯-勒讓得節(jié)點表(部分):2.4高斯積分nxkAk00.00000002.000000010.57735051.000000020.77459670.55555560.00000000.888888930.86113630.34785430.33988100.65214526/6/2023168計算物理基礎例:n=2時查表得x0=0,x1=-0.7745967,x2=0.7745967,A0=0.8888889,A1=A2=0.5555556帶入可得I=2.399709可見采用較少的計算就可以得到很高的精度高斯方法的效率很高->進一步:復化高斯公式2.4高斯積分6/6/2023169計算物理基礎等權重高斯-切貝雪夫積分公式,權重n/2第一類高斯-切貝雪夫積分公式(n為節(jié)點數(shù))2.4高斯積分6/6/2023170計算物理基礎第二類高斯-切貝雪夫積分公式,2.4高斯積分6/6/2023171計算物理基礎等權重切貝雪夫積分節(jié)點2.4高斯積分6/6/2023172計算物理基礎(2)無限區(qū)間的高斯積分公式高斯-拉蓋爾積分公式高斯-厄米積分公式2.4高斯積分6/6/2023173計算物理基礎2.4高斯積分6/6/2023174計算物理基礎2.4高斯積分6/6/2023175計算物理基礎2.5高維積分的計算高維積分原則上可以通過化為累次積分來進行:例如對于積分:其中Ω為積分區(qū)域,總可以化為:2.5高維積分6/6/2023176計算物理基礎這相當于計算三個一重積分,每一積分以其前一積分作為被積函數(shù),稍加考慮就可發(fā)現(xiàn),這一過程的計算量隨積分重數(shù)的增加變的無法完成.如每重積分取10個點,則n重積分就要計算10n個函數(shù)值.因此這一方法只能用于積分重數(shù)較低的積分.如果對計算精度要求不高的話,也可用后面講的MonteCarlo方法.2.5高維積分6/6/2023177計算物理基礎對一個函數(shù)求導數(shù),理論上講都可以精確求解,不存在計算積分時無法求解的情況.但如果函數(shù)非常復雜,而我們只想知道在某點的導數(shù)值;或者函數(shù)是由若干分散的數(shù)據(jù)點給出,沒有具體的函數(shù)表達式,我們無法求解.這時就要用到數(shù)值求解的方法.2.6數(shù)值微分6/6/2023178計算物理基礎1.機械求導法根據(jù)微分的定義:我們知道導數(shù)就是差商:2