二重積分的概念及計(jì)算

第10章重積分§10.1二重積分一、引例二、二重積分的定義及可積性三、二重積分的性質(zhì)四、曲頂柱體體積的計(jì)算五、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分六、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分七、二重積分換元法當(dāng)前第1頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)1解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”當(dāng)前第2頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)21)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體當(dāng)前第3頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)34)“取極限”令當(dāng)前第4頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)42.平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.當(dāng)前第5頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)52)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量當(dāng)前第6頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)6兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:當(dāng)前第7頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)7二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域

D上的有界函數(shù),當(dāng)前第8頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)8引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作當(dāng)前第9頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)9二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.當(dāng)前第10頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)10三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則當(dāng)前第11頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)11特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有當(dāng)前第12頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)127.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此當(dāng)前第13頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)13例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上當(dāng)前第14頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)14例2.

判斷積分的正負(fù)號(hào).解:分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)但不好估計(jì).舍去此項(xiàng)當(dāng)前第15頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)15例3.判斷的正負(fù).解：當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)前第16頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)16例4.估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D當(dāng)前第17頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)17例5.估計(jì)的值,其中D為解:被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值當(dāng)前第18頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)188.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有當(dāng)前第19頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)19四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的當(dāng)前第20頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)20同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算當(dāng)前第21頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)21例6.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為當(dāng)前第22頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)22內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法當(dāng)前第23頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)23被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:當(dāng)前第24頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)242.設(shè)D是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有當(dāng)前第25頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)253.計(jì)算解:當(dāng)前第26頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)264.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對(duì)稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.當(dāng)前第27頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)27五、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則當(dāng)前第28頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)28當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于當(dāng)前第29頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)29說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則當(dāng)前第30頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)30例7.計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則當(dāng)前第31頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)31例8.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則當(dāng)前第32頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)32例9.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.當(dāng)前第33頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)33例10.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則當(dāng)前第34頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)34例11.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,當(dāng)前第35頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)35解：原式例12.給定改變積分的次序.當(dāng)前第36頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)36對(duì)應(yīng)有六、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為當(dāng)前第37頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)37即當(dāng)前第38頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)38設(shè)則特別,對(duì)當(dāng)前第39頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)39若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)當(dāng)前第40頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)40例13.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.當(dāng)前第41頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)41注:利用例13可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例7的結(jié)果,得①故①式成立.當(dāng)前第42頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)42例14.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知當(dāng)前第43頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)43例15.計(jì)算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.當(dāng)前第44頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)44定積分換元法七、二重積分換元法滿足一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,當(dāng)前第45頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)45證:根據(jù)定理?xiàng)l件(2)(3)可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則當(dāng)前第46頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)46同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為當(dāng)前第47頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)47因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),當(dāng)前第48頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)48例16.計(jì)算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則當(dāng)前第49頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)49例17.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則當(dāng)前第50頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)50例18.試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.當(dāng)前第51頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)51內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)閯t若積分區(qū)域?yàn)閯t當(dāng)前第52頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)52則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下當(dāng)前第53頁(yè)\共有56頁(yè)\編于星期五\22點(diǎn)53(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?選擇