電動(dòng)力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)電動(dòng)力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)答案

第二章靜電場(chǎng)球面上的電荷密度為a。20r200,EE[cose(1R3)sine]0rr3值關(guān)系是和；有導(dǎo)體時(shí)的邊值關(guān)系是和。122n1nnc122n1nnxyz0n0npf形.度等于_______。0 13、一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R、R的接地導(dǎo)體球殼,球殼內(nèi)距球心a處有一個(gè)點(diǎn)電12荷，點(diǎn)電荷q受到導(dǎo)體球殼的靜電力的大小等于_______。01eABC介質(zhì)分區(qū)均勻;D.高頻電場(chǎng)是z3、真空中有兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q和q，相距為a，它們之間的相互作用能是4、線性介質(zhì)中,電場(chǎng)的能量密度可表示為訂訂22.A.p0;B.DE;C.p0D.22.RR,R=4R帶電量分別是q,q,且q=q導(dǎo)體球相距為12121212a(a>>R,R),將他們接觸后又放回原,處系統(tǒng)的相互作用能變?yōu)樵瓉淼腁.倍,B.1倍,1C.倍,41D.倍,06、電導(dǎo)率分別為(1,(2,電容率為e1,e2的均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中有穩(wěn)恒電流,則在兩導(dǎo)電介質(zhì)分界面上電勢(shì)的法向微商滿足的關(guān)系是ABeABe2一e1=一(?n?n2?n1?nC.(1?1n=(2?2C.(1?1n=(2?2nD.(?1n=(?2n2eeeee區(qū)域內(nèi).若電荷分布無限大區(qū)域,積分將無意義.例如無限長(zhǎng)大帶電面的電勢(shì),就不能用它計(jì)算.勻介質(zhì)才成立，試說明其理由。并與比較電場(chǎng)能量公式W=1jD.EdV2M2答：計(jì)算靜電場(chǎng)能量公式為W=1jpQdv，公式中的p是空間的自由電荷密度,2pefpfefpfpf2而W1dv僅適用于靜電場(chǎng)2其答：不一定。當(dāng)介質(zhì)為均勻介質(zhì)時(shí)D，E成立且為常量，從而強(qiáng)場(chǎng)作用下,D,E的關(guān)系是非線性的,DEEEEEEjj,kj,k,liijjjj,kj,k,l答答:由E=-,說明E的方向與電勢(shì)梯度方向相反電勢(shì)梯度方向是指向電勢(shì)增加最快的方向電場(chǎng)E指向電勢(shì)減小最快的方向。22v答:1不能看成是能量密度.因?yàn)榉e分是對(duì)有電荷分布的區(qū)域積分，而電場(chǎng)的20d0d0平面上電荷面密度.d2vp==dp(v_vpd)p(v_vpd)zz=0z=0dd12Zd上:G=_e.D=cE=c(v_v)_pddzz=dz=ddd42s1s2s1s，面偶極距密度為p=lim(l，面偶極層 ()wl)012 (( ((0021?n?n0P02121212120結(jié)果表明在面偶極層兩側(cè)，電勢(shì)是不連續(xù)的，但電勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。的電荷分布不必知道，有人由此認(rèn)為區(qū)域外的電荷分布對(duì)內(nèi)部電場(chǎng)沒有影答:區(qū)域外的電荷分布能夠影響區(qū)域邊界條件，而邊界條件是唯一性定理必++1++1211、在閉合邊界面S上，既給定v值，又給定?v值的情形下，泊松方程或拉?n12、答：由唯一性定理：在V的邊界S上給定v|或?v|則V內(nèi)電場(chǎng)唯一確s?ns定。所以重要知道二者之一,電場(chǎng)唯一確定.我們知道v|或?v|是用來確定s?ns通解中的常數(shù)的,因此既給定v值，又給定?v值的情形下,當(dāng)由v或?v所求?n?n的電場(chǎng)相等時(shí)，柏松方程和拉普拉斯方程的解存在。當(dāng)由v或?v所求的電?n場(chǎng)不相等,泊松方程或拉普拉斯方程無解.荷位置怎樣變化,上述邊界條件不變,故殼外電場(chǎng)與電荷在殼內(nèi)位置無關(guān).訂訂DE個(gè)訂訂系統(tǒng)總電荷分布球?qū)ΨQ而自由電荷分布不對(duì)稱，所以E球?qū)ΨQ而D不對(duì)稱。413理。0的方向與a相同，點(diǎn)電荷在什么情況下所受的0a0間的靜電象電荷力,在球心與點(diǎn)電荷的連線上,作用力方向指向球心.大小等于Rq204幾ea(a一R2/a)2.0同,點(diǎn)電荷下所受的力為零,因此要求點(diǎn)電荷q必須是正電荷,而且滿足00v在遠(yuǎn)處，rl,xx,011將=在x,=0處展開為rx_x,1=1_x,.V1+1xx,x,?21+...rRR2!i,jij?x?xRij代入得多級(jí)展開為0Q0Q0Q(1)=1p.V1=p.R是中心位于原點(diǎn)的體系電偶極子激發(fā)的電勢(shì)。00Q(2)=Q(2)=D..VV是中心位于原點(diǎn)的電四極子激發(fā)的電勢(shì)。0答:不能說明球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)沒有電多極矩，而應(yīng)該說相對(duì)球心這個(gè)原點(diǎn)沒電多極矩，而相對(duì)其它點(diǎn)有電多極矩.(1)計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：(2)計(jì)算自由電荷體密度；(3)計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；(4)求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。p D=eED=eE+P=Pe/(e_e)內(nèi)00(3)E=D/e=P/(e(3)E=D/e=P/(e_e)E外fee00000(2)導(dǎo)體球上帶總電荷Q0RR勢(shì)Q滿足拉普拉斯方程，通解為0n因?yàn)闊o窮遠(yuǎn)處E)E，Q)Q_ERcos9=Q_ERP(cos9)n0000010010n當(dāng)R)R時(shí)，Q)C所以Q_ERP(cos9)+xbnP(cos9)=C000001Rn+1n0n0000010000000100n(Q_ERcos9+R(C_Q)/R+ER3cos9/R2(R>R)Q0000(2)設(shè)球體待定電勢(shì)為C，同理可得0Q0Q0當(dāng)R)R時(shí)，由題意，金屬球帶電量Q00?n00R000?n00R00RR0000000000003、均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷Q，球的電容率為e，球外為真空，試用分離fRff普拉斯方程。解：(一)分離變量法ff\=x(aRn+bn)P(cos9)內(nèi)nRn+1nnn外n所以小\=xaRnP(cos9)，nn小\=x(cRn+dn)P(cos9)外nRn+1nnn內(nèi)n小\=xdnP(cos9)Rn+1nnn由于球?qū)ΨQ性，電勢(shì)只與R有關(guān)，所以nn外0內(nèi)00f0f外0f000內(nèi)外0dn0Qa=fd=f(_)00000c_c0c_c0()0所以所以小=f+f(_)00QQ11Q小=f+f(_)=f000小=E.dE=Qfe，積分后得：E=Qfe，積分后得：RR004、均勻介質(zhì)球(電容率為0c)的中心置一自由電偶極子p，球外充滿了另一1f種介質(zhì)(電容率為c)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布。2解：以球心為原點(diǎn)，p的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系?？臻g各點(diǎn)的電勢(shì)可ff1iif1oof1其中小'和小'為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程。由于io對(duì)稱性，小'和小'均與0無關(guān)?？紤]到R)0時(shí)小'為有限值；R)的時(shí)ioiQ')0，故拉普拉斯方程的解為：ooinn0nQ,=xbnP(cos9)(R之R)oRnn0(1)(2)(1)(2)if1nn0of1nn0n(3)(4)(3)(4)iR=RoR=R001?R2?R0n將(10nnn112f112011012f112于是得到所求的解為：120=p.Rf+(e一e)12p.R111200R1121112=3p.Rf(R之R)12p10ee101fp01f在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為 pr1210ri20ro10?R20?RRRRRR112012解：以球心為原點(diǎn)，以p的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。在R<R及R>R2兩均勻區(qū)域，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程。通解形式均為x(aRn+bn)P(cos9)nRn+1nn當(dāng)R)w時(shí)，電勢(shì)趨于零，所以R>R時(shí),電勢(shì)可寫為2Q=xbnP(cos9)(1)2oRn+1nn當(dāng)R)0時(shí)，電勢(shì)應(yīng)趨于偶極子p激發(fā)的電勢(shì)：f00所以R<R時(shí)，電勢(shì)可寫為Q=pcos9+xaRnP(cos9)(2)ieRnn0n設(shè)球殼的電勢(shì)為Q,則Q=xbnP(cos9)=Q(3)soRRn+1ns22iR01n1nsn1n0s2n0s101nQQRR(5)os2i0s01Ss02QQeR(R>R)o020020102 R2n0?R4幾R(shí)3R16、在均勻外電場(chǎng)E中置入一帶均勻自由電荷p1的絕緣介質(zhì)球(電容率為e)，0f求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：以球心為原點(diǎn)，以E的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)的電0勢(shì)看作由兩部分迭加而成，一部分Q為絕緣介質(zhì)球內(nèi)的均勻自由電荷產(chǎn)1生，另一部分Q為外電場(chǎng)E及E感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用高斯定200理求得，后者滿足拉普拉斯方程。由于對(duì)稱性，Q的形式為nnnnn101f01f0002f2f 0 000強(qiáng)度E0成正比(比例系數(shù)為電導(dǎo)率)，所以E0也是穩(wěn)定的。這種電場(chǎng)也是1o1Rf00RfR3/3RR2/30R2/61i1R2RffERERcosbnP(cos)(RR)o20Rn1n0n當(dāng)R0時(shí)，為有限，所以n2aRnP(cos)(RR)i2nn0n邊界條件為：RR時(shí)，，o2i2。即：n0o2i20RRR00n0nn0nnn000n0nn0nnaa3E/(2)1000b()ER3/(2)10000nn所以ERcos()ER3cos/(2)R2(RR)3ERcos/(23ERcos/(2)(RR)i000 (2)()ER3cos0f0(()ER3cos0f0()f0ERcos323R323R007、在一7、在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為2的液體，使其中流著均勻的電流Jf0。今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布，1221解：本題雖然不是靜電問題，但當(dāng)電流達(dá)到穩(wěn)定后，由于電流密度J與電場(chǎng)J(1)n(JJ)0(2)211212(3)1R2R1212(4)1R2R將JE及E0將JE及E0代入(1)，0得：J(E)20考慮到對(duì)稱性及R時(shí)EE，球外電勢(shì)的解可寫成：0Jf0RcosbnP(cos)(RR)(5)Rn1n02nf020考慮到R0時(shí)電勢(shì)為有限值，球內(nèi)電勢(shì)的解可寫成：aRnP(cos)(RR)(6)1nn0n因?yàn)檫xR0處為電勢(shì)零點(diǎn)，所以a0，將(5)(6)代入(3)(4)得：0Jf0RcosbnP(cos)aRnP(cos)(7)0Rn1nn0n2n0n[Jf0cos(n1)bnP(cos)]naRn1P(cos)(8)2Rn2n1n0n2n0na3J/(2),b()JR3/(2)1f012112f00122a0,b0(n1)nn1f012f0120JRcos/()JR3cos/(2)R22f0212f00122JR/()R3JR/(2)R3(RR)f02120f01220由此可得球內(nèi)電流密度:JE3(JR)/(2)3J/(2)111111f0121f012電解液中的電流密度為:JEJ(12)R[3(Jf0R)RJf0]22222f0(2)R5R32e(DD)e(EE)e(J/J/)fr210r210r22113()Jcos/(2)120f012212()/(2)13/(2)321f0JJ(R3/R3)[3(JR)R/R2J]2f00f0f03Jcos/f0f02J0JJ(R3/2R3)[3(JR)R/R2J]12f00f0f03Jcos/2f0f020置一點(diǎn)電荷Q，試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法fQ/4R2a22Racos，1f二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生。后者在球內(nèi)和球外分別滿足22由于R0時(shí)，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫成RnP(cos)2()1i2nnn由于R時(shí)，應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫成22(2)bnP(cos)(2)o2Rn1nn由于R2a22Racos(1/a)(R/a)nP(cos)nnn(Q/4a)(R/a)nP(cos)1fnn sfnnnnn0外1o2(Q/4a)(R/a)nP(cos)bnP(cos)()5fnRn1nnn內(nèi)0(7)nf將(7)代入(5)并利用(8)式得:bQR2n1/4an1(9)nfnf0將(8)(9)分別代入(4)(5)得:0(RR)(10)0[f0[f0f](RR)(11)外4R2a22RacosaR2(R2/a)22RR2cos/a0000勢(shì)為0fQfQfQ')1[0f](RR)0f外4rr4外4rr420011201120119、接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R和R，在球內(nèi)離球心為a處(a<R)置一點(diǎn)121PQPOQQ'1111由(2)(3)兩式得:Q'=一RQ/a由于外表面沒有電荷，且電勢(shì)為零，所以從球表面到無窮遠(yuǎn)沒有電場(chǎng)，外10、上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q，或使具有確定電勢(shì)Q，試求這0000總效果是使球殼電勢(shì)為零。為使球殼總電量為Q，只需滿足球外表面電量00010112內(nèi)00222外00200200212002000020000211PP000002Qa-QbRQa-QbROaQbaQb-QQ=-Q，r=Q=-Q，r=e；Q=Q，r=-e；1b1bz2b2bz33zaab2b0-bba]b2b所-001-0-+],(y,z(x-x)2+(y+a)2+(z-b)2(x-x)2+(y+a)2+(z+b)200000000(x,y,-z)兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I，求導(dǎo)000o電液體中的電勢(shì)。(y解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點(diǎn)間建立x電場(chǎng)，使溶液中的載流子運(yùn)動(dòng)形成電流I，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)x(xx)2(xx)2(yy)2(zz)2000(xx)2(yy)2(zz)2000(xx)2(yy)2(zz)20001(xx)2(yy)2(zz)2000定的電流，可按靜電場(chǎng)的方式處理。于是在A點(diǎn)取包圍A的高斯面，則由于IjdS，jE，所以I/Q/Bj即無電流穿過njEj0時(shí)，E0。00000000000000oyo000x000x0000000000nn所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個(gè)像電荷Q，下半空間三個(gè)像電Q分布為：18QiI[14i14(xx0)2(yy0)2(zz0)2((xx)2(yy)2(zz)2000((xx)2(yy)2(zz)2000](xx)2(yy)2(zz)2000個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。,x0,x0d(x)lim(xx)(x)dxx0xd(x)lim0dxx0xdxx0xdxx0xox(p)(x)(p/x(p)(x)(p/xVx11x22x33[(p)(x)]xdVpx1xx1x1(x)(x)[(p)(x)]xdVpx1xx1x1123112233123dtdtdtdtx1?x231122331231x11dx1x1?x2