2021-2022學年廣西河池市羅城仫佬族自治縣高一年級上冊學期線上教學質量檢測數(shù)學試題含答案

2021-2022學年廣西河池市羅城彳么佬族自治縣高一上學期線上教學質

量檢測數(shù)學試題

一、單選題

1.已知集合4=口次一1±0},8={0,1,2},則AB=

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【分析】由題意先解出集合A,進而得到結果.

【詳解】解：由集合A得x"I,

所以AcB={l,2}

故答案選C.

【點睛】本題主要考查交集的運算，屬于基礎題.

2.下列函數(shù)中，與函數(shù)>=已有相同定義域的是

A./(x)=lnxB.f(x)=-C./(x)=WD.f(x)=ex

【答案】A

1

【詳解】試題分析：、/&的定義域為/(幻二七-丫的定義域為"尸^^,選人.

【解析】函數(shù)的定義域.

3.若函數(shù)y=(a+l)x+。，xeR在其定義域上是增函數(shù)，貝U()

A.a>-\B.a<-\

C.b>0D.b<0

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質列出不等式，求解即可得到答案.

【詳解】根據(jù)一次函數(shù)的性質可得。+1>0,解得

故選：A.

4.設_/U)為奇函數(shù)，且當於0時，y(x)=e*-l,則當x<0時，式x)=

v

A.e--lB.e"+l

C.-e-'-lD.-e,+l

【答案】D

【分析】先把x<0,轉化為-x>0,代入可得/X-x),結合奇偶性可得/(x).

【詳解】/*)是奇函數(shù)，xNO時，f{x}=ex-\.

當x<0時，-x>0,f(x)=-f(-x)=-e~'+1,得f(x)=-eT+l.故選D.

【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取代換法，利

用轉化與化歸的思想解題.

5.己知a=log2().2，匕=2°tc=0.2°3,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.b<c<a

【答案】B

【分析】運用中間量0比較即％運用中間量1比較mc

【詳解】a=log20.2<log21=0,6=2"2>2°=l,0<0.2°3<0.2°=l4iJ0<c<lM<c</7.故選B.

【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取中間變量法，利

用轉化與化歸思想解題.

‘2'Tx<1

6.設函數(shù)f(x)=,：-，則滿足/(x)42的x取值范圍是

1-log,x,x>\

A.f-1,2]B.[0,2]C.[l,+℃)D.[0,+<?)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結合指對數(shù)函數(shù)的單調性，討論不同區(qū)間對應〃x)42的x范圍，然后取

并.

[x<1fx>l

【詳解】由cic，可得04x41；或一「°,可得x>l;

[2<2[l-log,x<2

綜上，的x取值范圍是[0,+8).

故選：D

7.已知函數(shù)：①y=2x；②y=k)g2X；③y=xr；④y=[;則下列函數(shù)圖像(第一象限部分)從左到

右依次與函數(shù)序號的對應順序是()

yyy

c.④①③②D.④③①②

【答案】D

【詳解】圖一與幕函數(shù)圖像相對應，所以應為④；圖二與反比例函數(shù)相對應，所以應為③；圖三與

指數(shù)函數(shù)相對應，所以應為①；圖四與對數(shù)函數(shù)圖像相對應，所以應為②.

所以對應順序為④③①②，故選D.

e、x<0

8.已知函數(shù)/(x)=〈'一一：g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是

Inx,x>0,

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【答案】C

【詳解】分析：首先根據(jù)g(x)存在2個零點，得到方程/(x)+x+a=0有兩個解，將其轉化為

/(x)=-x-。有兩個解，即直線》=-x-a與曲線丫=/(幻有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,

畫出函數(shù)f(x)的圖像(將e*(x>0)去掉)，再畫出直線y=-x,并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn),

當時，滿足尸r-a與曲線y=/(x)有兩個交點，從而求得結果.

詳解：畫出函數(shù)/J)的圖像，y=e、在y軸右側的去掉，

再畫出直線y=-x,之后上下移動，

可以發(fā)現(xiàn)當直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，

并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，

即方程/(x)=-x-a有兩個解，

也就是函數(shù)g（x）有兩個零點，

此時滿足一441,即故選C.

點睛：該題考查的是有關已知函數(shù)零點個數(shù)求有關參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的

思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問

題，畫出函數(shù)的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結合思想，求得相應的結果.

9.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（）

G6

R0

乃

一8

24石B.

石

一R3D.

C.乃8

24

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得圓錐母線長為R，底面圓的半徑為四，求出圓錐高即可求出體積.

2

【詳解】半徑為R的半圓卷成一個圓錐，可得圓錐母線長為R,底面圓周長為萬R,

R

所以底面圓的半徑為萬，圓錐的高為

所以圓錐的體積為畫

3\2）224

故選：A.

10.已知三條不同直線丸〃/，三個不同平面a,/?,/,有下列命題：①若加//a,M/a,則加〃〃；②

若a〃￡,/ua,則〃/尸；③B］丫,則?！ㄏΓ虎苋糇?，〃為異面直線，mua,nu。,mlIpy

nila,則a/少.其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】以正方體為例，可判斷①、③錯誤；根據(jù)線面平行的性質，可得②正確；根據(jù)線面平行的

性質，可知弘u",有加欣，kHa,-〃=A.然后根據(jù)面面平行的判定，即可得④正確.

【詳解】

如圖，正方體ABCO-AAGR.

對于①，如圖，AB”平面468,A2〃平面A88,但是A4AA=4，故①錯誤；

對于②，因為a/3，lua,根據(jù)面面平行的性質可知，有〃〃成立，故②正確；

對于③，如圖，平面ABBA1平面ABCD,平面BCGB,1平面ABCD,但是平面ABB^7平面

BCC、B、=BB\,故③錯誤;

對于④，如圖，連結AC、AG、BR,AGc8IA=q.

因為"〃//，可知過直線團可作平面￡,使得el￡=z,則上u〃，根據(jù)線面平行的性質可得相/&.

又，“ua,kaa,所以k〃a.

因為機，〃為異面直線，k^/3,milk,n<^[3,所以火與"相交，設％C"=P.

又&〃a,nila,?<=/?,kufi,kr\n=P,所以a〃尸，故④正確.

所以②④正確.

故選：C.

11.己知點A(—2,0),8(0,2),點C是圓f+V-2x=0上任意一點，貝U,A3C面積的最大值是()

A.6B.8C.3-0D.3+0

【答案】D

【分析】當C到直線AB距離最大時，ABC面積取最大值，再根據(jù)直線AB與圓心位置關系得C到

直線A8距離的最大值，即得結果.

【詳解】因為AB為定值，所以當C到直線AB距離最大時，4?C面積取最大值，

因為點C是圓V+V-2x=0,(x-l)2+/=l上任意一點，所以C到直線AB距離最大為圓心(1,0)

至|」直線A3：x—y+2=。距離力口半徑1,即為卜二+1=辿+1,

V22

從而ABC面積的最大值嗎￥+Dx2g+"

故選：D.

12.已知圓柱的高為1,它的外接球的直徑為2,則該圓柱的表面積為()

A.亍B.叢兀C.+7iD.(3+石)n

【答案】C

【分析】計算得到圓柱的底面圓半徑為廠=3，再利用表面積公式得到答案.

2

【詳解】設圓柱的底面圓半徑為小貝1］，2+［；［=12,,廠=等

圓柱的表面積為：S=2萬產+2幻7?=萬+6乃

故選：C

【點睛】本題考查了圓柱的表面積的計算，意在考查學生的計算能力.

二、填空題

13.空間兩點耳(1,2,3),￡(3,2,1)之間的距離為一.

【答案】2&

【分析】根據(jù)空間兩點之間的距離公式，即可求出.

【詳解】空間兩點爪1,2,3),￡(3,2,1)之間的距離

*222

P,P2=J(l-3)+(2-2)+(3-l)=2>/2.

故答案為：2日

14.直線/過原點且平分平行四邊形ABC。的面積，若平行四邊形的兩個頂點為8(1,4)、0(5,0),

則直線/的方程為.

【答案】>=2%

【分析】根據(jù)直線過5。中點即可求解.

【詳解】直線/平分平行四邊形ABCD的面積可知直線/經過平行四邊形對角線的交點，

而8。的中點為(3,2),所以直線/的斜率為彳，故其方程為：y=^x,

2

故答案為：y=^x

15.直線y=x+l與圓f+y2+2y—3=o交于A8兩點，則|AB|=.

【答案】242

【分析】求出圓心、半徑r以及圓心到直線的距離"，根據(jù)(網)+d2=r2,即可求出結果.

I2]

【詳解】將/+產+2丫-3=0化為標準方程可得，V+(y+l)2=4,圓心為(0,—1),半徑廠=2.

|o-(-1)+111—

則圓心(0,-1)到直線y=X+1,即X-y+1=0的距離d=i['=V2.

?+(T)J

又因為弊+d2=r2,即弊+2=4,所以|陰=2&.

故答案為：2VL

16.將正方形ABC。沿對角線BZ)折成直二面角4-BO—C,有如下四個結論：

(1)AC.LBD；

(2)△AC。是等邊三角形；

(3)AB與平面BCD所成的角為60。；

(4)AB與C。所成的角為60。.

則正確結論的序號為

【答案】(1)(2)(4)

【分析】作出此直二面角，由二面角的平面角的定義和線面垂直的判斷和性質可判斷(1);由等邊

三角形的判斷可判斷(2)；由線面角的定義可得NA3E為所求角，可判斷(3)；取AQ中點尸，AC

的中點“，連接班EH,FH,可得EF,尸”所成角或補角即為所求角，計算可判斷(4).

【詳解】解：如圖，其中A-8D-C=90。，E是5。的中點，

由AE_LB￡),CE1BD,可得NA￡C=90。即為此直二面角的平面角.

對于命題(1),由于面AEC,故AC1BD,此命題正確；

對于命題(2),在等腰直角三角形AEC中，AC=y/AE2+CE2=AB2+1AB2=AB=AD=CD,

故,AC￡＞是等邊三角形，此命題正確；

對于命題(3),A3與平面所成的線面角的平面角是NABE=45。，故AB與平面88成60°的

角不正確；

對于命題(4),可取AO中點/，AC的中點H,連接￡F,EH,FH,

由于EF,FH是中位線,可得其長度為正方形邊長的一半，

而是直角三角形AE"的中線，其長度是AC的一半即正方形邊長的一半，

故△￡/%是等邊三角形，由此即可證得A8與C。所成的角為60。；

綜上知(1)(2)(4)是正確的.

故答案為：(1)(2)(4)

三、解答題

17.計算：

+V(3-n)4+[(-2)6]^.

(2)Ig2-lg^-+31g5-log32-log49.

【答案】(1)兀+8；(2)2.

【分析】(1)直接利用指數(shù)基的運算法則求解即可，解答過程注意避免符號錯誤；(2)直接利用對

數(shù)的運算法則求解即可，化簡過程注意避免出現(xiàn)計算錯誤.

2/-x01

【詳解】(1)8^-+玳3-兀)4+[(-2)6/

3x-6x1

=23-1+(?！?)+22

=22-l+7T+23

=4+兀-4+8

=兀+8.

(2)lg2-1g+31g5-log32-log49

-2

=lg2-lg+31g5-log321og23

=lg2+21g2+31g5-l

=3(lg2+lg5)-l

=31glO-l

=3-1

=2.

【點睛】本題主要考查指數(shù)慕的運算法則以及對數(shù)的運算法則，屬于基礎題.指數(shù)基運算的四個原

則：（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；（2）先乘除后加減，負指數(shù)新化成正指

數(shù)基的倒數(shù)；（3）底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成

假分數(shù)；（4）若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)累，盡可能用事的形式表示，運用指數(shù)基的運算性質來解

答（化簡過程中一定要注意等價性，特別注意開偶次方根時函數(shù)的定義域）.

18.如圖，長方體ABCD-A/B/G。/的底面ABC￡＞是正方形，點E在棱AA/上，BELECh

（1）證明：平面EB/G;

（2）若AE=A/E,AB=3,求四棱錐E-的體積.

【答案】（1）見詳解；（2）18

【分析】（1）先由長方體得，AG，平面44用8,得到再由BE_LEG，根據(jù)線面垂直

的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先設長方體側棱長為2°,根據(jù)題中條件求出。=3；再取中點/，連結肝，證明防二平

面BBgC,根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結果.

【詳解】（1）因為在長方體A8CO-A旦中，片G，平面AA￡8；

BEu平面A448,所以

又BELEG，B?CEG=G，且EC2平面EB?,B￡U平面EB6,

所以平面E4G；

（2）［方法一］【利用體積公式計算體積】

如圖6,設長方體的側棱長為2”，則AE=AE=a.

由（1）可得所以EB：+BE2=BB：,Bp2BE2=BB;.

又鉆=3,所以24爐+2482=88：,Ep2a2+18=4?2,解得a=3.

取8月中點F,聯(lián)結EF,因為AE=AE,則所〃A3,所以EFJ.平面2BCC,

從而四棱錐E-BBCC的體積：

圖6

［方法二］【最優(yōu)解：利用不同幾何體之間體積的比例關系計算體積】

取84的中點尸，聯(lián)結EF.由（I）可知BELEB-

所以E/=g84=A8=3,=6?故/一明c,c=；/方體=；*3x3x6=18?

【整體點評】（2）方法一：利用體積公式計算體積需要同時計算底面積和高，是計算體積的傳統(tǒng)方法;

方法二：利用不同幾何體之間的比例關系計算體積是一種方便有效快速的計算體積的方法，核心思

想為等價轉化.

19.如圖，直四棱柱A8CD-A/B/C/。/的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別

是8C,BB1,A/O的中點.

（1）證明：MN〃平面C1DE；

(2)求點C到平面C/DE的距離.

【答案】(1)見解析；

(2)"

17

【分析】(1)利用三角形中位線和A。24c可證得ME&ND,證得四邊形“WE為平行四邊形，進

而證得MN//DE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結論;

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-CDE的體積，再求出ACQE的面積，利用％.sE=Z-c”求得點C

到平面GOE的距離，得到結果.

【詳解】(1)連接〃￡,B?

M,E分別為84，8c中點'ME為A48C的中位線

MEUB[C且ME=gB、C

又N為4。中點，且：.NDHB\C且ND=^B\C

AMEHND四邊形MNDE為平行四邊形

.-.MN//DE,又MNU平面CQE,￡>Eu平面CQE

.?.腦7//平面6。^

(2)在菱形ABC。中，E為BC中點，所以。E_L8C,

根據(jù)題意有。E=6，GE=>/萬，

因為棱柱為直棱柱，所以有?！?平面8CGB-

所以。ELEG，所以%Ec,=gx6xg,

設點C到平面CQE的距離為d,

根據(jù)題意有％,—年則有《上加如乂公上上以加，,

44y/17

解得d->=-fF

所以點C到平面GDE的距離為生叵.

17

【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離

的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內容，注意平行線的尋找思路，再者

就是利用等積法求點到平面的距離是文科生常考的內容.

20.已知直線，”經過點尸1-3,,與圓O:x?+_/=25相交.

(1)若所截得的弦長為8,求此弦所在的直線方程；

(2)求過點P的最短弦和最長弦所在直線的方程.

【答案】(l)x=-3或3x+4y+15=0；

⑵最短弦所在直線的方程為4x+2y+15=0,最長弦所在直線的方程為x-2y=0.

【分析】(1)由已知求出圓心、半徑，根據(jù)弦長可求出圓心到直線的距離為3.分直線斜率不存在與

存在兩種情況討論，即可得到直線的方程；

(2)當直線，”與尸0垂直時，。到直線距離最大，弦長最短；當直線過圓心時，弦長最大.分別求出

直線斜率，即可得到直線方程.

【詳解】(1)由已知可得，圓心0(0,0),半徑/*=5,

則由弦長為8可得，0(0,0)到直線加的距離為3.

當直線機斜率不存在時，機方程為x=-3,此時0(0,0)到山距離為3,滿足題意；

當直線m斜率存在時，設斜率為k,則機方程為y+；=Z(x+3),

整理可得2日一2y+6k—3=0.

..|6Z-3|3

圓心0(0,0)到直線的距離d=,I=3,解得2=_=,

\J4k~+44

代入方程整理可得，3x+4y+15=0.

綜上所述，直線機的方程為x=-3或3x+4y+15=0.

(2)當直線，”與尸。垂直時，。到直線距離最大，弦長最短.

_33

因為〃所以心=一2,則直線機的方程為y+[=-2（x+3）,

。產丁52

整理可得，4x+2y+15=0.

當直線過圓心時，弦長最大.

因為直線加過點。，k。產;,所以直線"，的方程為y=整理可得x-2y=0.

所以，最短弦所在直線的方程為4x+2y+15=0,最長弦所在直線的方程為x-2y=0.

21.小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經過市場調查，生產某小型電子產品需投入

年固定成本為3萬元，當年產量為x萬件時，需另投入流動成本為W（x）萬元.在年產量不足6萬件時,

W（x）=^x2+x（萬元）.在年產量不小于6萬件時，W（X）=；彳2+X+3（萬元）.每件產品售價為5

元.通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完.

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入-固

定成本-流動成本）

（2）年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

—x~+4x—3,0<x<6

【答案］⑴"x)=；

——x2+4x-6,x>6

4

（2）8萬件，10萬元.

【分析】（1）分別求出0<x<6以及％之6時，乂力的表達式，寫成分段函數(shù)即可;

（2）分別求出0vx<6以及xN6時，的最大值，即可得出結果.

【詳解】(1)由已知得，當0vxv6時，^(x)=5x—3—x2+xj=——x2+4x—3；

當x之6,乙(x)=5x-3-(+x+3)=—~x~+4x—6,

——x**+4x—3,0<x<6

所以,L(x)=<

—x~+4x—6,x之6

4

——x2+4x—3,0<x<6

（2）由（1）知，L（x）=?

2

-1X+4X-6,X>6

當0<x<6時，L（x）=—+4元一3=—5（x—4）+5,當x=4,L（x）有最大值5；

當x±6時，L(x)=-w*+4x-6=-a(x-8)+10,當x=8,L(x)有最大值10>5.

所以，年產量為8萬件時，小王在這一商品的生產中所獲年利潤最大，最大年利潤是10萬元.

22.已知函數(shù)/(x)=log4(4x+1)+kx(kQR)是偶函數(shù).

(1)求火的值；

(2)若函數(shù)元/"(X)的圖象與直線產;X+4沒有交點，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)〃(x)=4小)+%+”2片1,xG[0,例23],是否存在實數(shù)機使得/?⑴最小值為0,若存

在，求出相的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴仁一(2)a<0(3)存在即=-1

【分析】(1)