2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

［x=1-3//、

\（zeR）

1.參數(shù)方程卜=T+4所表示的直線的斜率為.

_4

【答案】一§

【解析】將直線的參數(shù)方程化為普通方程，進而可求得所求直線的斜率.

fx=l-3//、/

1（/eR）__4］_

【詳解】在參數(shù)方程lv=T+〃中消去參數(shù)，可得4x+3y-l=0,即>=-亍+弓

_4

因此，所求直線的斜率為一§.

_4

故答案為：-5.

2.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為0=4cos〃，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為.

［答案］一+/2_4*=0

【分析】將P=4cos0的兩邊同乘0,再根據(jù)》="恒$。/=?$泊°得到羽j的關(guān)系式，即為C的直

角坐標(biāo)方程.

［詳解］因為夕=4COS（9,所以p2=4pcos<9,且x=pcos。/=psind,

所以V+V=4x,即為一+/一以=°,

故答案為：x2+y2-4x=0

x2y2,x2y2

--F—=1-------=1

3.已知橢圓2516與雙曲線加5有共同的焦點，則機=.

【答案】4

【分析】求出橢圓的焦點，再解方程3=標(biāo)石，即得解.

【詳解】解：由題意得橢圓的焦點為（一二°）和（3，°）,

所以3=歷？，所以加=4.

故答案為：4

4.已知直線,經(jīng)過點'（一2,3）,且它的傾斜角等于直線N=x的傾斜角的2倍，則直線/的方程為

【答案】》=-2

【分析】求出直線夕=》的傾斜角，從而可求得直線/的傾斜角，即可得解.

71兀

【詳解】解：直線的傾斜角為％,所以直線/的傾斜角為5,

所以直線’的方程為x=-2.

故答案為：x=-2

x2V

---F——=1

5.若A為橢圓259上的點，耳、層為橢圓的左右焦點，則用的周長.

【答案】18

【分析】由橢圓的定義可知△/用周長為M用+M用+閨用=2"2c,進而得解.

【詳解】橢圓259中，a=51=3,c=4,

由橢圓的定義可知周長為回+M+閨閭=2"2c,

:.AAF1F2的周長為2a+2c=10+8=18,

故答案為：18.

6.拋物線『=2力上一點0（1,加）到拋物線焦點的距離為5,則實數(shù)加=.

【答案】±4

【分析】根據(jù)焦半徑公式，可求出。=8,從而得到拋物線方程，把點。代入拋物線方程即可求出

加的值.

【詳解】由題意可知拋物線的焦點在x軸上，且

因為拋物線V=2px上一點0（1,〃?）到拋物線焦點的距離為5,

所以根據(jù)焦半徑公式，得"I",所以P=8,即/=16x,

因為點°（1，加）到拋物線上，所以川=16,所以加=±4.

故答案為：±4.

7.著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定

律，即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運

動的軌道為橢圓C,在地球繞太陽運動的過程中，若地球軌道與太陽中心的最遠距離與最近距離之

比為2,則C的離心率為

【答案】3

^-=2

【分析】設(shè)橢圓C的焦距為2c,實軸長為2a,進而得a-c,再根據(jù)離心率公式計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓C的焦距為2c,實軸長為2“，

所以地球軌道與太陽中心的最遠距離為a+C,最近距離為"-J

_a_+__c—230—_c——1

所以〃一「,即"3c,-a-3

故C的離心率為3

故答案為：3

8.已知圓的方程為犬+/一米-2夕-公=0,則當(dāng)該圓面積最小時，圓心的坐標(biāo)為.

【答案】(0，1)

【分析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心及半徑即可分析計算作答.

(x--)2+(^-l)2=—+1(-,1)

【詳解】依題意，圓的方程化為：24,于是得該圓圓心2,半徑

5k2

S=冗r1=4(---+

因此，該圓面積4,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時取“=”，

所以當(dāng)該圓面積最小時，圓心的坐標(biāo)為(°，1).

故答案為：(°，1)

9.實數(shù)x，y滿足xW+，3=i,則點區(qū)內(nèi)到直線x+y+仁。的距離的取值范圍是—.

(4+烏

【答案】22

【解析】分段討論去絕對值判斷出表示的圖形，可得出表示的圖形在

y=-X和x+y-&=o之間，利用平行線間距離公式即可求出.

【詳解】???實數(shù)「y滿足

當(dāng)x2°，”°時，方程為v+/=i,表示一段圓弧，

當(dāng)xZO,y<0時，方程為/-/=],表示雙曲線的一部分，

當(dāng)x<0,yN0時，方程為_/一*=1,表示雙曲線的一部分，

當(dāng)x<O,y<°時，方程為f+/=一[,不表示任何圖形,

畫出x|x|+，|y|=l表示的圖形,

可知雙曲線的一條漸近線為歹=-",和x+y+l=°平行，

設(shè)和x+F+l=O平行且和圓x2+/=l在第一象限相切的直線為x+y+a=O,

Mi

則正=，解得。=-&,

可得表示的圖形在y=-x和x+y-近=°之間，

1_A/2

則kT和x+y+i=°的距離為02,

卜丁-1[]I應(yīng)

x+y-0=O和x+y+l=O的距離為夜2,

（五、五]

-,]----

則結(jié)合圖形可得點（％y）到直線x+y+i=°的距離的取值范圍是122J.

T5T

故答案為：12」.

【點睛】本題考查解析幾何的綜合問題，解題的關(guān)鍵是得出xW+MN=i表示的圖形，數(shù)形結(jié)合可

求出.

口片-片7

10.已知雙曲線88的左焦點為R點"在雙曲線C的右支上，小0,4）,當(dāng)△小尸的周

長最小時，尸的面積為.

【答案】12

【解析】尸的周長為MH+四月+MH,其中1/=4&為定值，所以即求|皿+明尸],利用定

義可得MTW+4凡所以周長為心|+|S+8終作圖當(dāng)河、AF三點共線時周長最短,

利用面積分割求得面積.

【詳解】如圖，設(shè)雙曲線C的右焦點為尸.由題意可得”2&,尸（廣或0,K4）0

因為點M在右支上，所以MT"1=2a=4修所以阿=|M『|+4&,則△牘i尸的周長為

\MA\+\MF\+\AF\=\M/\+\MF'\+Sy/2>|//|+8近=12/

即當(dāng)M在m'處時，△MX尸的周長最小，此時直線4尸的方程為y=-x+4.

y=-x+4

聯(lián)立〔88,整理得夕-1=°,則加=1,

［尸尸1］。/|一3尸尸'||yw|=，x8x（4-l=12

故△仙/尸的面積為11121ll?w|2

故答案為：12

【點睛】本題考查雙曲線數(shù)形結(jié)合求最值以及求三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題.

方法點睛：（1）雙曲線求最值常用定義的方法，把到一個焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一個焦點的距離.

（2）圓錐曲線中求三角形的面積經(jīng)常采用面積分割的方法.

11.“康威圓定理''是英國數(shù)學(xué)家約翰?康威引以為豪的研究成果之一.定理的內(nèi)容是這樣的：如圖，

“8C的三條邊長分別為8c=。，AC=b,N8=c,延長線段C4至點4,使得以此類推

得到點4田，層,G和Cz,那么這六個點共圓，這個圓稱為康威圓.己知“=4,6=3,c=5,則由

△NBC生成的康威圓的半徑為

【答案】歷

【解析】利用弦長相等，HGITA聞=|與G|,圓心與弦所在直線距離相等，得圓心是直角

“sc的內(nèi)心，從而易求得圓半徑.

【詳解】設(shè)〃是圓心，因為MG|=|4閔=|瑪￡],因此用到直線/5,8C,C/的距離相等，從而

3+4-5

「"MN=CN=------------=1

"是直角的內(nèi)心，作WNC于N,連接則2,

NG=l+5=6,

所以苗6=戶萬=歷.

故答案為：后.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求圓心的半徑，關(guān)鍵是找出圓心位置，解題根據(jù)是利用弦長相等,

則圓心到弦所在直線的距離相等，從而得出圓心是題中直角三角形內(nèi)心，這樣由勾股定理可得結(jié)

論.

12.如圖，耳、月是橢圓G與雙曲線G的公共焦點，48分別是G、C?在第二、四象限的交點,

ZAF}B=^-

若則G與5的離心率之積的最小值為

【答案】2

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義和對稱性，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理、基本不等式進行求

解即可.

x22

—7H—7=1（。>b>0）,T—b2=C2

【詳解】設(shè)橢圓方程為。.，

-2

—7——7=1（加,〃>0）,7772+n2=c2

雙曲線方程為"〃-，

如下圖，連接/巴、鳥8,所以/片88為平行四邊形，

由明8號得今典弋,醉止

在橢圓中，由定義可知：s+，=2a,

由余弦定理可知：

4c2=s2+t2-1stcos—4c'=s2+t2-st=（s+t^-3stst=—b2

3'）3

c_1,G_/

典=2'st~=~rb

在雙曲線中，由定義可知中：：，-s=2〃?，

由余弦定理可知:

4c2=s2+t2-2.?COSy=>4c2=s2+/2-st=(t-sy+sf=>s,=4〃2

S,印f=；.st?與=亞川

222

SF,F=^-b=5/3n=>b=3〃2

所以6伍3,

』-2=3&_.)n苧+《=422百詈

當(dāng)且僅當(dāng)"=6”時取等號,

c2百

------

所以"皿一2,

所以c與G的離心率之積的最小值為2.

【點睛】關(guān)鍵點睛：在橢圓和雙曲線中利用焦點三角形的面積建立等式是解題的關(guān)鍵.

二、單選題

13.直線怎一F-1=°與直線》一何=°的夾角為（）

兀兀715Tl

A.6B.3C.2D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率分別計算兩條直線的傾斜角，進而可得夾角.

【詳解】兩直線的斜率因為直線傾斜角范圍為［0，兀）

，=—

則326,

?！?/p>

0=-

故兩直線夾角366,

故選：A.

|PM『

14.已知點加（2,0）,點尸在曲線/=4x上運動，點尸為拋物線的焦點,則產(chǎn)用T的最小值為

()

A.百B.2(6-1)C.4石D.4

【答案】D

【解析】如圖所示：過點尸作尸及垂直準(zhǔn)線于N,交y軸于。，則戶/7卜1=歸'卜1=儼。1,設(shè)

IM54

P(x，y),%>o,則IP用—ix,利用均值不等式得到答案.

【詳解】如圖所示：過點?作PN垂直準(zhǔn)線于N,交y軸于。，則歸戶卜1TpM-1=歸。1,

|PM|2_|PM|2_(x-2)2+y2_(x-2)2+4x_^^4

設(shè)P('J),x>0,則已用-\PQ\xx,

4

x=-

當(dāng)X,即X=2時等號成立.

【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

15.設(shè)點也(%/)，若在圓°：'2+>2=1上存在點N，使得/0MN=45",則％的取值范圍是

()

-6FnVT

2

A.叩]B.[T,l]c.L22」D.L.

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題中條件，可以判斷出直線"N與圓。有公共點即可，從而可以斷定圓心。到直

線的距離小于等于半徑，列出對應(yīng)的不等關(guān)系式，求得結(jié)果.

【詳解】依題意，直線AW與圓。有公共點即可，

即圓心°到直線的距離小于等于1即可，

過。作。垂足為4,

在加中，因為NOK4=45°,

|0J|=|OM|sin45°=—|0M|

故2G,

所以則J/2+14友

解得TWx。W1.

故選：B.

【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，涉及到的知識點有直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角

形，屬于簡單題目.

16.已知橢圓,W+J一的左頂點為A,過點T（L°）作不與坐標(biāo)軸垂直的直線/交橢圓C于點

M，N兩點,直線/"4N與直線x=l分別交于尸下列說法正確的是（）

A.陽+圖為定值B.惘一陶為定值

回+匹［

c.加?圖為定值D.陽加為定值

【答案】C

【分析】設(shè)直線/的方程為"（XQJ'H，%）,聯(lián)立直線與橢圓方程可得

v+x=J^_XX=^±?！?，工1,,1,

121+4公1+4公，利用直線方程可得〔芭+2）,I￡+2人則可求得"|+陽,

TP\TQ\

M-M.\TP\-\TQ\^^+國的值，從而可得答案.

【詳解】解：由題可設(shè)直線/的方程為、="（"-1）,加（內(nèi)，乂）、N（X2,力）,

蝴4左2-4

j=0,所以ML國小=由,

則/M方程占+N，令x=l,得玉+2

%。廠2）

\TP\+\TQ\=\PQ\=^--^-

I十NX）十乙x（x2+2（x,+X2）+4

所以

‘4公-48A2]

2+

29k。J+4/1+4A-J

9k[%1%2-（X,+工2）+1]_3

\TP\-\TQ\=9yM=

（xi+2）（々+2）xx+2（±+X）+44*_4c8公-4

x22X

-------5-+2------2-+4

1+4/[+4k

3k

3k[2須吃+（斗+工2）-3（心”1+4/+1$+4一后24J]

惘-阿=1普+期xx+2（芭+々）+4一+2xf

12+4阿

1+4-1+4公

附JTQ|177f+70『（]T0|+|研）2-2圖.加工--2*4.n4

|T0|\TP\~|r0|-TP\\TQ\-\TP\3-3公

4

則只有"H叫為定值.

故選：C.

三、解答題

17.已知直線4：2x+y_3=o.

(1)若直線42與直線4垂直，且過點(1,1),求直線6的方程.

(2)若直線4與直線/：取-2y+1=°平行，求直線乙與/的距離：

【答案】(1產(chǎn)一2尸1=°

在

⑵2

I1%2=；

【分析】(1)由直線,2與直線4垂直，求得-2,結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解；

(2)由直線4與直線/平行，求得a=-4,得到4x+2y-l=o,結(jié)合兩平行線間的距離公式，即可

求解.

【詳解】⑴解：由直線卜2"k3=0,可得尢=-2,

k=1

因為直線4與直線《垂直，所以左M?二T,可得2~2,

又因為直線4過點(1/)，可直線6的方程為‘一1一2”一1),即x-2y+l=0,

所以直線4的方程為x-2y+l=0.

6f_-21

(2)解：因為直線人與直線/：“x-2y+l=°平行，可得5-1*-3,解得。=-4,

即直線/與直線Tx-Zy+JO,即4x+2yT=0,

又由直線4：2X+N-3=O,可化為4x+2y-6=0,

4」-尸-6)|=.^5

所以直線4與/的距離“2+222,即直線4與/的距離2.

18.在平面直角坐標(biāo)系?中，已知"BC的頂點坐標(biāo)分別是'(°，°)，'(3,3)，°(1，-灼，記

外接圓為圓

⑴求圓M的方程；

(2)在圓M上是否存在點尸，使得歸8/一|"「=12?若存在，求點尸的個數(shù)；若不存在，說明理

由.

［答案］⑴…-6x=0；

(2)存在；點戶有兩個.

【分析】(1)設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)48，C三點均在圓上，列出方程組，即可求得圓方程;

（2）根據(jù)題意，設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)點尸滿足的條件以及點P在圓上，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓

的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】（1）設(shè)小8c外接圓加的方程為*+_/+6+取+尸=0,

尸=°D=—6

<。+￡*+6=0<E=0

將“（0,0），8（3,3），c（l，-⑸代入上述方程得：-屈+6=0，解得卜

則圓M的方程為『+V-6x=0.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(XJ),

(2)

M2-M2=12,所以(x-3)2+3—3)2—x2一/=12,

因為

化簡得：x+y_i=o

d=g",-=&<3

因為圓M的圓心/9°）到直線"+夕一1=°的距離為Vl2+12

所以直線x+）'-l=°與圓加相交，故滿足條件的點尸有兩個.

19.如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安

全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.

（1）以拋物線的頂點為原點O,其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋

物線的方程：

（2）若行車道總寬度為7米，請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米（精確到01米）？

【答案】（1/=-5y（-54x45）；

（2）40米.

【分析】（1）設(shè)出拋物線方程，根據(jù)點C（5,一5）在拋物線上，代入即可求出拋物線方程:

(2)設(shè)車輛高為人米，根據(jù)點°(35〃-6.5)在拋物線上，求出;，的值，從而可求出限制高度.

【詳解】(1)根據(jù)題意，設(shè)該拋物線的方程為r=-2py(P>°),

__5

由圖可知點C(5-5)在拋物線上，所以25=10p,即

所以該拋物線的方程為x2=-5y(-54x45)

(2)設(shè)車輛高為〃米，則網(wǎng)=力+0.5,故。(3.5,〃-6.5),

代入方程-二-5-解得力=4.05,

所以車輛通過隧道的限制高度為40米.

20.我們把等軸雙曲線的一部分鱷瞽噴喇喃刖鷺半圓G：x"=〃2(”0)合成的

曲線稱作“異型”曲線C,其中G是焦距為2近的等軸雙曲線的一部分，如圖所示.

⑴求“異型”曲線C的方程;

⑵若P(0,p)(p>0),。為，，異數(shù)，，曲線c上的點，求產(chǎn)。1的最小值;

(3)若直線/：V=丘-1與“異形”曲線C有兩個公共點，求上的取值范圍.

【答案】(i)r-

\PQU=

(2)

(3){-V2}U[-l,0)U(0,l]U{>/2}

【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線的性質(zhì)，及其焦距，可列出式子，求出a，。"，從而可求出G和&的

方程，進而可求出曲線o的方程；

（2）設(shè)°（2）,分”°和°兩種情況，分別求出歸域的表達式，進而求出兩種情況的最小值,

比較二者大小，可得出答案.

（3）分發(fā)=0、0<441和左>1三種情況，分別討論直線八了=米-1與G、的交點情況，可求出

k2°時，滿足題意的人的取值范圍，再結(jié)合“異型”曲線C的圖象關(guān)于N軸對稱，可求出％<0時，

滿足題意的女的取值范圍；

a=h

<2c=2>/2\a=b=\

【詳解】（1）由題意，可知G滿足,解得1'=也，

22

eCj:x-y=1（^>0）C2：—+V=1（y<0）

.??”異型”曲線c的方程為/—MM=1.

②設(shè)。（x，y）,則

當(dāng)yv0時，|P0「=x2+（y-p^=x2+y2+p2-2py=l+p2-2py

p]+2

..-i<^<o（。>0,...當(dāng)>=o時，\Q\min=^P.

當(dāng)y>0時?"嘲=/+8_p）2=/+/+〃2_2勿=2/_2陟+]+02=20-y）+-P+1,

（3）直線，"=履-1與“異型”曲線C有公共點

.X?-/=[（”0）Jx=l1x=-l

聯(lián)立[X2+/=IGVO，，解得jy=o或jy=0,即G、G有公共點8（1,0）、C（-l,0）

①當(dāng)氏=0時;直線/：y=T,與G無公共點，與G有唯一公共點（°，T）,不符合題意;

,-1-0,

②當(dāng)0<左小時，可知“廠0-1,易知直線/：y=^T與G有兩個公共點，

又???G的漸近線為v=±x,且G中yzo,

="-i與G無公共點.

.?.當(dāng)0<人小時，直線人尸.t與“異型”曲線c有兩個公共點，符合題意；

③當(dāng)%>1時，可知則直線.t與G只有一個公共點.

x2-y2=1

聯(lián)立b=2l,得。-六”+2京-2=0,易知［一孫

若除4人4（1孑X-2）=0,解得』也,

?：k>\,：.k=亞,此時/號=丘-1與G相切于第一象限，只有一個公共點；

若A=4%2-4（l-〃X_2）>0,解得一6<k<6,

?：k>i,：.i<k<6,易知/與G在第一象限有兩個交點.

."=血時，直線/：y=丘-1與“異型”曲線C有兩個公共點.

根據(jù)“異型''曲線c的圖象關(guān)于y軸對稱，

可知當(dāng)"€卜及'卜1'°）時，也滿足直線/"=履-1與“異型”曲線c有兩個公共點.

綜上所述，k的取值范圍是：卜血卜根｝

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第2問的關(guān)鍵在于分夕4°和N>°討論，利用二次函數(shù)的最值，求出各自

的最小值，然后進行比較，再取最終的最小值，第3問的關(guān)鍵在于利用圖象的對稱性分k=0,

0<《41和斤>1進行討論，要注意直線與漸進線平行是一個交點個數(shù)的分界位置，同時不忘直線與

曲線相切時的情況.

C,-7+4*=1（〃>6>0）A/f1,~'l「.iA

21.已知橢圓/b2經(jīng)過點I2人且其右焦點與拋物線=4x的焦點廠重

合，過點廠且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于尸，。兩點.

（1）求橢圓G的方程；

（2）設(shè)0為坐標(biāo)原點，線段0尸上是否存在點陽"，°）,使得爐?稱=聞?而？若存在，求出〃的取

值范圍；若不存在，說明理由；

（3）過點4（4，°）且不垂直于X軸的直線與橢圓交于A,8兩點，點8關(guān)于x軸的對稱點為E,試證

明：直線月E過定點.

----1----=1ne0,—

【答案】（1）43.（2）存在，I4人（3）證明見解析.

【分析】（1）求出拋物線的焦點，即可根據(jù)橢圓的右焦點坐標(biāo)及點M列方程求解方，從而求得

橢圓方程；（2）設(shè)直線尸。的方程為：y="（x-D,k^O,聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得關(guān)于x的

一元二次方程，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式用人表示出線段尸°的中點火（三，乃），根據(jù)所給等式

可證明直線NE為直線P0的垂直平分線，則可得直線NR的方程，求出點N的橫坐標(biāo)從而可求得〃

的范圍：（3）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出匕，%）,8（%,

乂），E6,一乂），根據(jù)韋達定理求出退+匕、^4,求出直線ZE的方程并令？=°,求出x并逐步

化簡可得》=1,則直線月E過定點0,0）.

X2y2

【詳解】（1）???橢圓右