2021-2022學(xué)年上海市普陀區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市普陀區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.三條直線兩兩相交，由這三條直線所確定的平面的個(gè)數(shù)是

【答案】1個(gè)或3個(gè)

【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)和公理即可求解.

【詳解】三條直線兩兩相交，

若三條直線交于同一點(diǎn)，則這三條直線確定的平面的個(gè)數(shù)是1個(gè)或3個(gè)，

若三條直線兩兩相交于三個(gè)不同的點(diǎn)，則這三條直線確定1個(gè)平面.

綜上，這三條直線所確定的平面的個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè).

故答案為：1個(gè)或3個(gè).

2.一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是

【答案】相交或異面

【分析】分為“,共面和不共面，可確定兩種位置關(guān)系.

【詳解】若"，'為異面直線，aUc

當(dāng)友,共面時(shí)，"c相交；當(dāng)瓦c不共面時(shí)，瓦c異面

故答案為相交或異面

【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知上海地處東經(jīng)120°52'至122。12,則上海所轄區(qū)域的經(jīng)線對(duì)應(yīng)的兩半平面所成的二面角的大

小是

【答案】3.

【分析】根據(jù)經(jīng)線的定義，可以直接得答案.

【詳解】解：根據(jù)經(jīng)線的定義可得經(jīng)線對(duì)應(yīng)的兩半平面所成的二面角的大小為：122。12'/20。52'=

1°20\

故答為：3.

4.兩個(gè)球的體積之比為8：27,則這兩個(gè)球的表面積之比為.

【答案】」9

4乃R3272442_4

【詳解】試題分析：設(shè)兩球半徑分別為八R,由3萬(wàn)可得萬(wàn)一3,所以4萬(wàn)斤一§.即兩球

4

的表面積之比為a.

【解析】球的表面積，體積公式.

5.已知某圓錐的底面圓的半徑為血，若其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的側(cè)面積為

【答案】4兀

【分析】根據(jù)底面圓的半徑求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓雉的側(cè)面積.

【詳解】設(shè)底面圓的半徑為「，圓錐的母線長(zhǎng)為人則加=2"=2&兀，因?yàn)槠鋫?cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)

-=4兀

半圓，所以2.

故答案為：4兀

6.如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)。的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，若。片的坐標(biāo)為(4,3,2),則的坐標(biāo)為

【答案】(-4,3,2)

【詳解】如圖所示，以長(zhǎng)方體"sc。-44GA的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),

過(guò)。的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槠诘淖鴺?biāo)為(432),所以"(4,0,0),C(0,3,2),

所以"G=(-4,3,2)

7.己知/,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且/C'BC，"C=8C=1,則三棱錐

的體積為.

——41

【答案】12##12

【分析】作出直觀圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出球心到平面48c的距離即可求解.

【詳解】???”C18C,NC=8C=1,.../BC為等腰直角三角形，...28=正，

V2

則A/BC外接圓圓心是48中點(diǎn)半徑為2,

吟聲塞

又球的半徑為08=1,設(shè)。到平面48C的距離為"=°4,則VI2J2,

@"BC=；S“8c.d=；xgxlxlx*=*

故答案為：12.

8.如圖，圓錐形容器的高為“，圓錐內(nèi)水面的高為々，且若將圓錐倒置，水面高為色,

則為等于.

V19,

------h

【答案】3

【分析】由圓錐的體積公式列式求解

V=—nr2h--nr'h'x(―)3=—7tr2/zx—

【詳解】設(shè)容器底面半徑為廠，則水的體積為333327,

V=—itr2hx(—)3

倒置后水的體積3h,

h/h

解得3

叵h

故答案為：3

9.如圖，458是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,

再沿虛線折起，得4民仁。四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)尸，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，

瓦尸在X8上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)ZE=k8=xcm.若要使包裝

【答案】15cm

【分析】利用x可分別表示出包裝盒側(cè)面高和底邊長(zhǎng)，進(jìn)而將側(cè)面積表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，由

二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】4E=F8=xcm,^5=60cm,=(60-2x)cm

又陰影部分為等腰直角三角形，

—(60-2X)=(30A/2-

二包裝盒側(cè)面高為2Vr,

由勾股定理得：包裝盒底邊長(zhǎng)為近xcm,

…入，-5=4(30>/2-y[2x~\y/2x=-8x2+240x

?.?包裝盒側(cè)面積I),

x=--=^=15(cm)

???當(dāng)76’時(shí)，包裝盒側(cè)面積取得最大值.

故答案為：15cm.

10.如圖，在正方體"88-4AG"中，點(diǎn)尸在線段4c上運(yùn)動(dòng)，異面直線8P與"。所成的角為

則夕的最小值為

【答案】30”

【分析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,如圖所示：連接8G,PG,4B,根據(jù)對(duì)稱性知：PB=PCt=m

PBG—,V2正〈近

計(jì)算,2m2,得到答案.

【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,如圖所示：連接PC',A'B,根據(jù)對(duì)稱性知：PB=Pg=m

PR—近

在MA48c中，BC=1,48=應(yīng)，4C=V^,當(dāng)PB'/C時(shí)，根據(jù)等面積法一々"，

易知ADJIBC、,故ZPBC,為異面直線BP與g所成的角,

nr+2-蘇旦

2y]lm2m2,故。430°

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為。的正方體48cA中，P,。分別是正方形用的中心,

R在線段8。上，DR=3RB,則過(guò)點(diǎn)P，Q，R的正方體的截面的面積是

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，作出截面圖形，進(jìn)而求解即可.

【詳解】取月8中點(diǎn)E,8c中點(diǎn)F,8c中點(diǎn)G,4片中點(diǎn)”,

EF=—a

因?yàn)镈R=3RB,所以截面為矩形EFG”,且2,EH=a,

夜2

所以截面的面積是2".

紇2

故答案為：2.

12.如圖，直四棱柱'BC。-48cA中，底面/8CZ),四邊形/88為梯形，AD//BC,

且/D=2BC,過(guò)4,C,。三點(diǎn)的平面記為a,與平面a的交點(diǎn)為。.則此四棱柱被平面

【分析】根據(jù)已知得出平面08cli平面42%,即可得到℃||/Q,則A08C~A4/C,則點(diǎn)。為

明的中點(diǎn)，連接。/，QD,設(shè)44|=〃，梯形Z8CZ）的高為“，BC=a,則ZD=2”，將四棱柱

被平面a分成上下兩部分的體積分別為4，4,計(jì)算出％-4"。與七-"Be。，即可得出通過(guò)

4=、的一小一4求出乙，即可得出答案.

【詳解】???直四棱柱"8C0-4AGA中，四邊形N8CD為梯形，AD//BC,

平面QBC||平面

平面4co與平面°8C、平面4D）的交線平行，

.?.QC//A、D

..△QBCfA、AD

.BQBQBC1

一網(wǎng)一AA,~~AD~2

:Q為BB、的中點(diǎn)，

如圖，連接°”，QD,設(shè)“4=〃，梯形"CO的高為”,

四棱柱被平面a分成上下兩部分的體積分別為乙，彳,

設(shè)8C=a,貝ijZ￡)=2a,

則%-4/o=1X/x2ax6xd=ga/zd

v1a+2a11

VQ-ABCD=尸一-xdx-h=-ahd

一，

7

??4=^A-AyAD+%-d8C￡)二;a'd

又V&BGD「ABCD=qahd

37Ji

噓=/4/￡D1TBCD一4二-ahd--ahd=—aW

UJ

則此四棱柱被平面a分成上、下兩部分的體積之比47

二、單選題

13.給出以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

①角的水平放置的直觀圖一定是角；

②相等的角在直觀圖中仍相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等；

④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的概念逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】對(duì)于①，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，角的水平放置的直觀圖一定是角，故①正確；

對(duì)于②，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，直角可以變?yōu)?5°或135。，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于了軸的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一

半，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，兩條平行線段在直觀圖中仍是平行線段，故④正確；

所以正確的個(gè)數(shù)是2.

故選：C.

14.設(shè)加，"是空間兩條不同的直線，a,"是空間兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若加//a,。，a110,則加〃

②若。i。，m工/3,,則〃?//a；

③若mLnftnLaa///?,則〃//￡；

④若a’/?,"[1〃=/,mila,加中，則"其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【解析】根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.

【詳解】解：①：機(jī)、〃也可能相交或異面，故①錯(cuò)

②：因?yàn)?所以sua或加//a,

因?yàn)闄C(jī)Na,所以"〃/。，故②對(duì)

③：〃//月或"U〃，故③錯(cuò)

④：如圖

因?yàn)椤?~14=/,在內(nèi)a過(guò)點(diǎn)E作直線/的垂線a,

則直線川

又因?yàn)橛?/a,設(shè)經(jīng)過(guò)切和a相交的平面與a交于直線6,則機(jī)/"

又mLl,所以b'/

因?yàn)閍l/,bll,bua,aua

所以b/iai/nj,所以加，力，故④對(duì).

故選：C

【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.

15.如圖所示，四棱錐尸一/8。的底面為正方形，側(cè)面尸/。為等邊三角形，且側(cè)面底面

/8CO,點(diǎn)M在正方形“8c。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足MP=MC,則點(diǎn)”在正方形/58內(nèi)的軌跡一定是

M.

AB

【答案】B

【分析】先找出符合條件的特殊位置，然后根據(jù)符合條件的軌跡為線段PC的垂直平分面與平面

/C的交線，即可求得點(diǎn)M的軌跡

【詳解】解：根據(jù)題意，可知=則點(diǎn)3符合“點(diǎn)”在正方形"88內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

MP=MC，，,

設(shè)的中點(diǎn)為E,

因?yàn)槠矫娈a(chǎn)/。,平面/8C。，平面PNDc平面=,AD1AB,Z8u平面/SCO,所以

力81平面P4。，

因?yàn)?Pu平面尸/。，所以N8J./1P,

PA=CB

■AE=BE

根據(jù)題目條件可得"""=ZCBE=9°°,所以和MBE全等，

所以PE=CE,點(diǎn)E也符合“點(diǎn)〃在正方形/BCQ內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP="C，，,

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡肯定過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)E,

而M到點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等的點(diǎn)為線段PC的垂直平分面，

線段PC的垂直平分面與平面AC的交線是一直線，

所以M的軌跡為線段OE,

故選：B

16.平面a過(guò)正方體48co-MUGA的頂點(diǎn)A,a〃平面CW",a口平面488=/?,aC平面

"B出=〃,則加，〃所成角的正弦值為（）

亞歷乖,\

A.2B.2c.3D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)面面平行證明線線平行，利用幾何法求得線線角.

［詳解］由a〃平面CBQi,aA平面ABCD=m,平面CBQc平面gCR=BR,平面

481G4〃平面48CO,

則"”/8Q

同理〃〃CR,

所以N84即為直線機(jī)，〃所成角，

又由正方體可知是正三角形，所以NCR4=60。,

sin60°=

則加，〃所成角的正弦值為2,

故選：A.

三、解答題

17.試寫(xiě)出直線與平面垂直的性質(zhì)定理，畫(huà)出圖形并證明.（證明過(guò)程包括已知，求證和證明）

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】利用反證法證明即可.

【詳解】直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行.

已知：。、力是兩條直線，且a'a,b'a.

求證：allb.

b

證明：用反證法.

設(shè)。與b不平行，直線b與平面a的交點(diǎn)為8.

過(guò)點(diǎn)8作直線〃，使得6'%.由直線人與〃確定的平面記為廠，

設(shè)平面方與平面a的交線為/.因?yàn)閍'a,bVa,所以a'/,bll.

由6'〃。，又可得出6」/.直線人與6'都在平面/上，都過(guò)點(diǎn)8,

且都垂直于直線/,

這與“在同一個(gè)平面上，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.

由此得到a,/h.

18.如圖，已知點(diǎn)P在圓柱°°,的底面圓。上，為圓。的直徑，圓柱的表面積為20兀,

04=2,40尸=120°.

(1)求異面直線“也與4P所成角的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(2)由點(diǎn)力拉一根細(xì)繩繞圓柱側(cè)面到達(dá)用，求繩長(zhǎng)的最小值.

2百

arccos---

【答案】⑴5

(2),9+4兀2

【分析】(1)由已知，延長(zhǎng)2°交圓于C,連接8C,從而得到四邊形/P8C為平行四邊形，根據(jù)

AP//BC,將異面直線/由與HP所成角轉(zhuǎn)化為48與8c所成角，然后利用余弦定理可知接求解;

（2）將圓柱展開(kāi)，即可得到矩形，因此點(diǎn)4到達(dá)與的最小值即為展開(kāi)舉行的對(duì)角線長(zhǎng)度，直接求

解即可.

［詳解］（1）-------P

已知圓柱。。的表面積為200，則圓柱的高為3,

延長(zhǎng)2°交圓于C,連接8C,

因?yàn)樗倪呅?P8C的對(duì)角線互相平行，所以/P8C為平行四邊形,

則AP//BC,異面直線與Ap所成角即4B與BC所成角

在△4C8中，4c=而，CB=26，48=5；

AF+CB2-AQ

cos/A]BC=

2A】BCB

ZA,BC=arccos----

所以5

即異面直線4”與/P所成角為5.

（2）將圓柱的側(cè)面沿母線"吊剪開(kāi)，并展開(kāi)在一個(gè)平面上，

求得繩長(zhǎng)的最小值為圓柱展開(kāi)圖所成矩形的對(duì)角線，

即J9+4兀2

19.某糧倉(cāng)是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉(cāng)的“梁”.現(xiàn)測(cè)得底面Z3C。是矩形，

48=16米，/。=4米，DE=4E=BF=CF,腰梁/E、BF、CF、分別與相交的底梁所成角均為

60°.

E

（1）請(qǐng)指出所有互為異面且相互垂直的“梁”，并說(shuō)明理由；

（2）若不計(jì)糧倉(cāng)表面的厚度，該糧倉(cāng)可儲(chǔ)存多少立方米的糧食？

【答案】（1）所以腰梁8尸與。E、/E與C尸互為異面且相互垂直的，，梁，，，理由見(jiàn)解析.

176&

⑵3

【分析】（1）根據(jù)異面直線所成角的概念，過(guò)點(diǎn)、E作EK"FB交4B于點(diǎn)、K,則ZDEK為異面直線

OE于心所成角，然后通過(guò)求解三角形即可得到。后，8尸，同理可得/E_LC/.

（2）要求原多面體的體積，可以把原多面體分割成兩個(gè)全等的四棱錐和一個(gè)直棱柱，然后利用柱

體和錐體的體積即可得出答案.

【詳解】（1）如下圖，過(guò)點(diǎn)、E作EK〃FB交4B于點(diǎn)K,則/。匹/為異面直線?！暧贔8所成角，

因?yàn)镈E=BF=4,E4糜與所成角均為60。，；.AK=4,DK=4g,在三角形。EK中，因

為。爐+EK?=平+42=32=。長(zhǎng)2,所以ZDEK=90。，即。EJ.8尸，同理NE_LC尸所以腰梁

BF與DE、/E與CE互為異面且相互垂直的“梁，，.

（2）如上圖，過(guò)點(diǎn)E分別作于點(diǎn)“，ENLCD于息N,連接MN,則/平面包團(tuán)V,

因?yàn)?8u平面/8CQ,所以平面N8C。/平面EMN,過(guò)點(diǎn)E作E。，于點(diǎn)。，則￡°_1■平面

ABCD,由題意得，AE=DE=AD=4,AM=DN=4cos60。=2,EM=EN=273（所以。為

MN中點(diǎn)、,所以E0=2四，即四棱錐的高為2夜，同理，再過(guò)點(diǎn)F分別作于

點(diǎn)、P,尸°，8于點(diǎn)0,連接尸2,原多面體被分割成兩個(gè)全等的四棱錐和一個(gè)直棱柱，且

"尸=16-2-2=12,所以多面體的體積為:

1117AF)

展2VF.-AMND+%F-MNE=2X-X2X4X2A/2+-X4X272X12=-^―

176亞

所以該糧倉(cāng)可儲(chǔ)存3立方米的糧食.

20.圖1是由矩形ZOE8,RtA48C和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=2,4尸8c=60。，將其沿8c折起使得■與8尸重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的/,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面NBC,平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】⑴見(jiàn)詳解；(2)301.

【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?8EO,RtA/BC和菱形BfGC內(nèi)部的夾角，所以

AD//BE,8尸〃CG依然成立，又因E和尸粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫?CGE垂線，所

以易證.(2)在圖中找到8-CG-Z對(duì)應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮B關(guān)于GC的垂線，發(fā)

現(xiàn)此垂足與A的連線也垂直于CG.按照此思路即證.

【詳解】(1)證：；/D//8E,BFHCG,又因?yàn)镋和F粘在一起.

:.ADiICG,A,C,G,D四點(diǎn)共面.

又?；ABA.BE,ABLBC

平面BCGE,,.T8u平面ABC,，平面ABC，平面BCGE,得證.

(2)過(guò)B作8"GC延長(zhǎng)線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B，平面BCGE,所以18LGC

而又8"J_GC,故GC_L平面所以又因?yàn)?771GC所以是二面角

8-CG-1的平面角，而在ABHC中NBHC=90。,又因?yàn)镹F8C=60。故N8C”=60。，所以

BH=BCsin60=6

tanNBHA=^=3=@

而在48〃中N/8，=90°,BHV33即二面角8-CG-Z的度數(shù)為30°.

【點(diǎn)睛】很新穎的立體兒何考題.首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變

的.再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法.最

后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力.

21.已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為2的菱形/8CO所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在底面48CO上的射影是ZC與

8。的交點(diǎn)°,已知N8/C=60。，△PD8是等邊三角形.

(2)求點(diǎn)。到平面P8C的距離；

(3)若點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)E在何處時(shí)，直線尸￡與平面PBC所成的角最大？求出最大

角，并說(shuō)明點(diǎn)E此時(shí)所在的位置.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

2而

⑵5

arcsinl1

(3)5,E在線段X。上靠近。點(diǎn)的4