概率論與數(shù)理統(tǒng)計(理工類第四版)第三章多維隨機變量及其分布習題答案

13.1二維隨機變量及其分布習題112312a求a.求習題2(1)習題2(2)習題2(2)P{0<Y≤b}=F(+,b)-F(+,0).習題2(3)(3)P{X>a,Y≤b}.P{X>a,Y≤b}=F(+,b)-F(a,b).2習題3(1)3.設二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布如下表：Y1023=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+習題3(2)121/40303習題3(3)習題3(3)10020300解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+設X,Y為隨機變量，且求P{max{X,Y}≥0}P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個大于等于0}習題5布.布4解答：-1000025/1200Y01P習題6求P{X≤Y}.解答：解答：習題7則(1)確定常數(shù)k;(2)求P{X<1,Y<3};5如圖所示yy4(1)由,確定常數(shù)k,(1)由已知X和Y的聯(lián)合密度為試求：(1)常數(shù)c;(2)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)6(1)由于,c=4.(2)當x≤0或y≤0時，顯然F(x,y)=0;當x≥1,y≥1時，顯然F(x,y)=1;設0≤x≤1,0≤y≤1有設0≤x≤1,y>1,有最后，設x>0,0≤y≤1,有函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達式設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求邊緣概率密度f,(y).7習題10習題10即0≤x≤1同樣的8習題1解答：因為P{x=0,y=0}≠P{x=0}·P{y=0},所以x與y不獨立.習題29解答：XPY6/287/285/285/285/28習題3012001020解答：YYPXPXP.PYP習題5Y-1/2.PY-1/2.PX-2-10P表(a)表(b)解答：P{X=x,Y=y}=P{X=x,}P{Y=y,),i=1,2,3,-1/213-2-10P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}某旅客到達火車站的時間X均勻分布在早上7:55～8:00,而火車這段時間開出的時間Y的密度函數(shù)為求此人能及時上火車站的概率，由題意知x的密度函數(shù)為因為x與Y相互獨立，所以x與Y的聯(lián)合密度為故此人能及時上火車的概率為設隨機變量X與Y都服從N(0,1)分布，且X與Y相互獨立，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).由題意知，隨機變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是因為x與γ相互獨立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是設隨機變量X的概率密度問：X與X是否相互獨立?若x與X相互獨立，則Va>0,各有P{x≤a}=0或1=P{X≤a},(Va>0),但當a>0時，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故x與X不獨立，設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為(1)求X與Y的聯(lián)合概率密度；(2)設有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有實根的概率.(1)由題設易知又X,Y相互獨立，故x與Y的聯(lián)合概率密度為(2)因{a有實根}={判別式△2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},0故如圖所示得到：又φ(1)=0.8413,①(0)=0.5,于是①(1)-①(0)=0.3413,所以P{a有實根}=1-√2π[φ(1)-中(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433,習題1習題1解答：P{U=i,V=i}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=jiV123120300-1-12-2011341-1-2-2241-1-1/2-112222P.PZPZ-1PZPZ-112P習題3解答：P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=即01001設(X,Y)的聯(lián)合分布密度為求Z的分布密度，依題意，由當z<0時，F(xiàn)(z)=P(Q)=0;當z20時，故Z的分布函數(shù)為Z的分布密度為習題5設隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)問X和Y是否相互獨立?(2)求Z=X+Y的概率密度，由對稱性,顯然所以x與Y不獨立.(2)用卷積公式以當z≤0時，f2)=0;當z>0時，于是，Z=X+Y的概率密度為即時，f(x,z-x)≠0,所習題6習題6設隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)試確定常數(shù)b;(2)求邊緣概率密度fx(x),f,(y);(3)求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函 ,確定常數(shù)b,從而(2)由邊緣概率密度的定義得(3)因為f(x,y)=f,(x)f,(y),所以X與Y獨立，故Fu(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=Fx同理因此習題8Y,其概率密度分別為其中a>0,β>0,α≠β,試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度設Z=min{X,Yl則由于故從而習題9設隨機變量X,Y相互獨立，且服從同一分布，試證明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.設min{X,Y}=Z,則F(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min代入得=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.證畢.習題1在一箱子中裝有12只開關，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗(1)放回抽樣；(2)不放回抽樣.我們定義隨機變量x,Y如下：試分別就(1),(2)兩種情況，寫出x和Y的聯(lián)合分布律.(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：(2)不放回抽樣，(X,Y)的分布律如下：習題2假設隨機變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機變量求(X,X?)的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.P{X?=1,X?=0}=P{X?=1}-P{X?=1,P{X?=0,X?=0}=P{Y≤1}=1-eX?X01001-1習題3P{X=2,Y=0}=CCC/Cs=9/70,P{X=2,Y=1}=C;C:C;/Y012001233/700習題4YP.PX?Xx?xP.P1解答：2.類似的有,YXY?YY?YP.PX?Xx?xP.P1習題5-112解答：解答：綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為(3),得(X,γ)關于X的邊緣分布函數(shù)為：同理，由.,得(X,Y)關于γ的邊緣分布函數(shù)為設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求：(1)常數(shù)c;(2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).(1)因為所以習題7習題7設求fr(x)和f,(y)·習題812αβ 又因x與Y相互獨立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=},從而β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}設二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為(1)確定常數(shù)c;(2)求X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；(3)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)求P{Y≤X};(5)求條件概率密度函數(shù)fxy(xly);(6)求P{X<2|Y<1}.(1)由所以c=2.設隨機變量X以概率1取值為0,而Y是任意的隨機變量，證明x與Y相互獨立.因為X的分布函數(shù)為設Y的分布函數(shù)為F,(y),(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),則當x<0時，對任意y,有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x當x≥0時，對任意y,有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x=F,(x)F,(y).依定義，由F(x,y)=F?(x)F,(y)知，x與Y獨立，習題11設連續(xù)型隨機變量(X,Y)的兩個分量X和Y相互獨立，且服從同一分布，試證P{X≤Y}=1/2.因為x,Y獨立，所以f(x,y)=f(x)f;(y).注；也可以利用對稱性來證，因為X,Y獨立同分布，所以有而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1,故P{X≤Y}=1/12.習題12X?XX?XX?XaCb解答：XYy①②,,代,,?0?01PXX-101P且P{X,X?=0}=1.01-101000設(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(1)求x與Y的邊緣概率密度；(2)求條件概率密度，并問x與Y是否獨立?(1)當x<-R或x>R時，當-R≤x≤R時，于是由于x和Y具有對稱性，同法可得γ的邊緣概率密度為,注意到在y處x值位于K|≤√R2-y3這個范圍內(nèi)，f(x,y)才有非零值，故在此范圍內(nèi)，有即Y=y時X的條件概率密度為同法可得X=x時Y的條件概率密度為由于條件概率密度與邊緣概率密度不相等，所以x與Y不獨立，-112-12分析：-2011-1PZ1PZ-112P習題16解答解答：當0≤z<1時，當1≤z<2時，綜上所述設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù).按定義F,(Z)=P{x+2y≤z},故分布函數(shù)為習題18設隨機變量x與Y相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為求：(1)常數(shù)A;(2)隨機變量Z=2X+Y的概率密度函數(shù).(2)因x與Y相互獨立，故(X,Y)的聯(lián)合概率密度為于是當z<0時，有當0≤z≤2時，有當z>2時，有利用分布函數(shù)法求得Z=2X+Y的概率密度函數(shù)為設隨機變量X,Y相互獨立，若X與Y分別服從區(qū)間(0,1)與(0,2)上的均勻分布，求U=m