2022-2023學(xué)年北京市密云區(qū)高一上學(xué)期（12月）數(shù)學(xué)期末試題（解析版）

2022-2023學(xué)年北京市密云區(qū)高一上學(xué)期（12月）數(shù)學(xué)期末試題

一、單選題

1.已知集合4={目-1。42},3={-1,0,1,2},則AC|8=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1）

【答案】C

【分析】由交集的定義求解即可

【詳解】因?yàn)锳={x|—{-1,0,1,2},

所以403={0,1,2},

故選：C

2.設(shè)命題P：3neN,n2>2n+5,則P的否定為（）

A.VneN,n2>2/7+5B.VneN,n2<2n+5

C.3zieN,n2<2n+5D.BneN,n2=2n+5

【答案】B

【解析】本題根據(jù)題意直接寫出命題。的否定即可.

【詳解】解：因?yàn)槊}P：3nsN,n2>2n+5,

所以夕的否定f：V/2G/V,n2<2n+5,

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.

3.若cosQ>0,sin9<0,則角0是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】利用三角函數(shù)的定義，可確定y<o,x>。，進(jìn)而可知e在第四象限.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義有sin，=2,cos0=2（r>0）,所以x>0,y<0,

rr

所以e在第四象限，故選D.

【點(diǎn)睛】當(dāng)夕的終邊在不同象限的時(shí)候，其三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)也發(fā)生變化，記憶的口訣是“全正

切余''即：第一象限全為正，第二象限正弦正，第三象限切為正，第四象限余弦正.

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（o,y）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=-B.y=sinxC.y=x'2D.y=ex+e-x

x

【答案】A

【分析1根據(jù)奇偶性定義、事函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,令〃X)=L則其定義域?yàn)閧x|xxo},又.?->=，為奇函數(shù)；

XXX

由基函數(shù)性質(zhì)知：y=g=/在(0,+8)上單調(diào)遞減，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，y=sinx為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令g(x)=x-2=5，則其定義域?yàn)閧x|x*o},又g(-x)=±=g(x),，y=x-2為偶函數(shù)，C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令〃(x)=e*+eT,則其定義域?yàn)镽,又〃(-x)=e-“+e*=/i(x),y=e*+0為偶函數(shù)，D

錯(cuò)誤.

故選：A.

5.下列不等式成立的是()

A.若a>6>0,貝I]a。?>be?B.若a<b,則(？v//

C.若人<0,則(?〈"<加口.若a>b，則

【答案】B

【分析】通過反例可知AD錯(cuò)誤；利用作差法可知C錯(cuò)誤；根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性可知B正確.

【詳解】對(duì)于A,若c=0,則農(nóng)2=a2,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,?.?y=x'在R上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，a3<b3>B正確；

對(duì)于C,-.-ab-a2=a(b-a)<0,h2-ab=h(h-a)<0,b2<ah<a2,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)a=l,8=一2時(shí)，a2<b2>D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，角a以射線3為始邊，終邊與單位圓的交點(diǎn)位于第四象限，且橫坐

標(biāo)為《，貝ijsin(7t+a)的值為()

A.-B.--C.-D.--

5555

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義和同角三角函數(shù)關(guān)系可得sina,利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意知：cosa=-,又a為第四象限角，??.sina=—Jl—cos2a=—g,

/.sin(TT+a)=-sina=—.

故選：A.

4

7.已知函數(shù)>=%+—-(x>2),則此函數(shù)的最小值等于()

%—2

【答案】D

【分析】將函數(shù)配湊為y=x-2+4\+2,利用基本不等式可求得結(jié)果.

x-2

【詳解】?：x>2,.,.x-2>0,

y=x+—=x-2+—+2>2.（x-2）?—―+2=6（當(dāng)且僅當(dāng)x-2=—,即x=4B\|■取等一號(hào)），

x-2x-2Vx-2x-2

4

:.y=x+—^（x>2）的最小值為6.

故選：D.

8.“x是第一象限角”是“y=8sx是單調(diào)減函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】通過反例可說明充分性不成立；由余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可知必要性不成立，由此可得

結(jié)論.

【詳解】若X2=y,此時(shí)％<々且芭,電均為第一象限角，此時(shí)COS%=COSX?,不滿足單調(diào)

減函數(shù)定義，充分性不成立；

若》=8$X為單調(diào)減函數(shù)，則2E4xM7t+2E（ZeZ）,此時(shí)x未必為第一象限角，必要性不成立；

綜上所述：“x是第一象限角”是“y=cosx是單調(diào)減函數(shù)，，的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.香農(nóng)定理是通信制式的基本原理.定理用公式表達(dá)為：C=81og2（l+?），其中C為信道容量（單

位:bps）,B為信道帶寬（單位：Hz）,三為信噪比.通常音頻電話連接支持的信道帶寬3=3000,

N

信噪比三=1000.在下面四個(gè)選項(xiàng)給出的數(shù)值中，與音頻電話連接支持的信道容量。最接近的值是

N

（）

A.3(XXX)B.22000C.20000D.18000

【答案】A

【分析】將民《q代入公式中，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和近似值可求得結(jié)果.

N

【詳解】由題意知：

10

C=3000xlog,(1+1000)=3000Xlog,1001?3000xlog21024=3000xlog,2=30000.

故選：A.

10.定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足/(l)=0且對(duì)任意的正數(shù)4。(4工〃)，有“"A，?<0,則

a-h

不等式的解集是()

X-1

A.(―2,0)o(l,-Ko)B.(―2)<J(2,+8)

C.(fo,0)U(2,+<?)D.(-oo,0)o(l,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可知/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，結(jié)合奇偶性可知/(X)在(-8,0)上單

調(diào)遞減且/(-1)=0；分別在X-1<0和X-1>0的情況下，利用單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】???對(duì)任意的正數(shù)有〃?/嘰0,\/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

???“X)為定義在R上的奇函數(shù)，\/(x)在(-取0)上單調(diào)遞減且"0)=0；

?.?41)=0,—41)=0；

當(dāng)x—1<0時(shí)，以1)<0可化為〃x_l)>0=/(T),解得：x<0；

x-1

當(dāng)x—l>0時(shí)，〃1)<0可化為/(l)<0=/(l),解得：x>2；

x-\

綜上所述：不等式小二。<0的解集為(—,0)U(2,4w).

x-1

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，

奇偶性和單調(diào)性的作用如下：

(1)奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號(hào)，同時(shí)根據(jù)奇偶函數(shù)的對(duì)稱性確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性；

(2)單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.

二、填空題

11.函數(shù)y=Jx-1+—二的定義域?yàn)開___.

x-2

【答案】［1，2)D(2,Y)

【解析】根據(jù)解析式列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.

［x-\>0

【詳解】由)八解得且xw2,

［工一2.0

即函數(shù)y=^/7TT+”的定義域?yàn)椋?,2)52,位).

故答案為：［1,2)=(2,4W).

12.計(jì)算：Ig2+lg5-log24-倍『=.(用數(shù)字作答)

7

【答案】

4

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.

1

2

［詳解］Ig2+lg5-log24-^^=lgl0-2-^=l-2-|=-^-.

7

故答案為：

13.混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)

關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)/(X)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于/eR,令x,,="x,i)(〃=l,2,3「)，若

及eN/N2)使得=且當(dāng)jeN時(shí)，馬力%,則稱%是〃x)的一個(gè)周期為k的周

期點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:

<?)

①若〃x)=2(l-x),則彳是周期為2的周期點(diǎn);

2x,x<—

2

②若/（》）=?,,則|■是/(X)周期為2的周期點(diǎn);

2(1),哩

2x,x<—

2

③若〃x）=，則/(X)存在周期為3的周期點(diǎn);

2(l-x),x>-

④若/(x)=x(l-x),貝IJX/MN*,3都不是/(x)的周期為〃的周期點(diǎn)?

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】②③④

7

【分析】當(dāng)々=2時(shí)，由%=/(x〃_J可知/=不=々，不符合定義，知①錯(cuò)誤；假設(shè)!?是“X)周期

24

為2的周期點(diǎn)，驗(yàn)證可知工2="0=1，芯工題成乂，知②正確；令玉)=5，可得芻二%，工產(chǎn)與，々工工0，

知③正確；由二次函數(shù)值域知恒成立，從而得到④正確.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)％=2時(shí)，x2=xQf

.??々=/(為)=/[/(%)]=/(2-2與)=2-2(2-2%)=4%-2=%,解得：x0=|,

42

又再=/(%)=2-2/=2-大=1,「?玉=,不滿足當(dāng)。<?/<&,1￡N時(shí)，Xjx0,

??.§不是/(力周期為2的周期點(diǎn)；

22

對(duì)于②，假設(shè)二是/(%)周期為2的周期點(diǎn)，則需W=%=M，x產(chǎn)與；

??,王=/(%)=/(|)=[片/，&=/(xJ=/(《)=|=Xo，

?.?假設(shè)成立，②正確；

對(duì)于③,當(dāng)天=[時(shí)，%=/(%)=/(、)=畀%,*2=/(0)=噌)=|x%，

匕="當(dāng))=/(|)=[=/，?.[是/(X)周期為3的周期點(diǎn)，③正確；

對(duì)于④，..?/(x)=x(l-x)=-x2+x=-(x-g)+；,恒成立，

..?不存在X“=/(；)=：的情況，

即V〃eN.，3都不是“X)的周期為〃的周期點(diǎn)，④正確.

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題，解題關(guān)鍵是明確％是/(x)的一個(gè)周期為女的

周期點(diǎn)的定義，即需同時(shí)滿足x*=%和與X%的條件，根據(jù)遞推關(guān)系式驗(yàn)證是否滿足定義即可得到

結(jié)論.

三、雙空題

14.已知扇形的圓心角是2弧度，半徑為1,則扇形的弧長(zhǎng)為,面積為

【答案】21

【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)和面積公式直接求解即可.

【詳解】扇形弧長(zhǎng)f；扇形面積S=

故答案為：2；1.

15.函數(shù)y=2tan（x-1）的定義域是，最小正周期是.

【答案】卜|尤.即+也卜人2）n

【分析】由伏?Z）可解得函數(shù)的定義域；由正切型函數(shù)最小正周期求法可求得結(jié)果.

【詳解】由x-1K5+而小?Z）得：x^^-+kjt^keZ）,

丫=212111一方）的定義域?yàn)椴犯读?也}（壯2）；

y=2tan（x-］）的最小正周期T=7t.

故答案為：與+?］（AeZ）；71.

四、解答題

16.已知集合M={嗚N={x|-l<x<4}.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求McN,MDN；

⑵當(dāng)a=0時(shí)，求MC(CRN)；

(3)當(dāng)N=M時(shí)，求。的取值范圍.

【答案】(l)A/nN={x[24x<4},MUN={X|XN-1}

⑵例n(CRN)={x|x"}

【分析】（1）化簡(jiǎn)集合M,即可得到McN,MuN

（2）化簡(jiǎn)集合M,求出CRN,即可得到MC（C”）

（3）化簡(jiǎn)集合/，根據(jù)N=即可求出。的取值范圍

【詳解】（1）由題意

在加=卜弓2“和N={x|-14x<4}中，<2=1

M={x|x>2}

MC]N={x|24xv4},〃UN={x|xZ-l}

(2)由題意及(1)得

在M=卜弓2“和N={x|-14x<4}中，”=0

A/={x|x>0}

CRN={X|X<-曲24}

AMA(CRN)={X|X>4}

(3)由題意及(1)(2)得

在加=卜弓24}和％={幻—lVx<4}中，M={x[x>2a}

:NqM

：.2a<-\

解得：a

a的取值范圍為1-8,-；

17.已知函數(shù)/(x)=-V+4,g(x)=|/(x)|.

(2)寫出函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間和值域；

(3)若方程g(x)-。=0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，寫出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)g(3)=5,g(；)=￡；圖象見解析

(2)單調(diào)增區(qū)間為[—2,0],[2,物)；值域?yàn)閇0,+8)

(3)(0,4)

【分析】(1)根據(jù)解析式可直接求得函數(shù)值；將/(X)在X軸下方的圖象翻折到X軸上方即可得到g(x)

的圖象；

(2)根據(jù)圖象可直接得到單調(diào)增區(qū)間和值域；

(3)將問題轉(zhuǎn)化為g(x)圖象與y有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得結(jié)果.

【詳解】(1)??-/(3)=-9+4=-5,/])=一：+4=?,

...g(3)=if(3)i=5,

g(x)圖象如下圖所示，

(2)由圖象可知：g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-2,0],[2,E)；8(力的值域?yàn)閇0,+8).

(3)若g(x)-。=0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則g(x)圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn),

結(jié)合g(x)圖象可知：0<〃<4,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,4).

18.設(shè)函數(shù)/(x)=o?_2x-l,關(guān)于x的不等式以2_2x-140的解集為S.

⑴當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn);

(2)當(dāng)a=8時(shí)，求解集S；

(3)是否存在實(shí)數(shù)“，使得S=(-8,-2]U-|，+8)?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【答案】(l)x=-g和x=l

⑵「卜1泊「

3

⑶存在實(shí)數(shù)。=-:

4

【分析】(1)令/(x)=0,解方程即可求得零點(diǎn)；

(2)解一元二次不等式即可求得解集S；

(3)根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可構(gòu)造方程組求得。的值.

【詳解】(1)當(dāng)〃=3時(shí)，/(X)=3X2-2X-1；

令/(司=3/-2x-l=0,解得：x=或x=l,

\/(X)的零點(diǎn)為x=-§和x=l.

(2)當(dāng)a=8時(shí)，tir2-2x-l=8x2-2x-l=(4x+l)(2x-l)<0,解得：

即

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)。，使得S=(f,-2]U1■|,+8),

a<0

222

則a<0且一2,-彳是方程ax2一2工一1=0的兩根，J-2---=—,

33a

3

解得：〃=

4

???存在實(shí)數(shù)4=一1,使得S=(F,-2]U,

19.己知函數(shù)/(x)=45皿(3+。)(4>0,0>0,0<9<兀)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/（X）的解析式和最小正周期；

27r

⑵求函數(shù)/（X）在區(qū)間0,y上的最值及對(duì)應(yīng)的X的取值;

⑶當(dāng)XW0,1時(shí)，寫出函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴"x）=2sin（2x+?，兀

（2）答案見解析

（3）減區(qū)間0,.；增區(qū)間游

【分析】（1）由函數(shù)的圖象的最值點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出。，由五點(diǎn)法作圖求出3的值，可得函

數(shù)的解析式.

2元2兀2九2冗

（2）0,y=＞2x+yS可,2兀，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)/（X）在區(qū)間0,y上的最值及

對(duì)應(yīng)的X的取值；

■jr

（3）當(dāng)xe0,-時(shí)，分兩種情況討論，可寫出函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】（1）由函數(shù)/（力=4向（5+0缶＞0,。＞0,。＜°＜兀）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得：

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得

(n]712兀2兀兀

2V12J+^=2,/,^=T,A^^^=2sinl2x+TjT=T=7t,

(2)a/二2"/0^"兀=>sin(2x+/)￡-1,^-=>/(X)E[-2,百],

27r

x=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,—上的最大值為g

x=時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,^上的最小值為-2

(3)xe0,—=>2x+—e—,故函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間是0,—

xe—+—e—,故函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是~；

JL/>4JJ\乙乙

20.已知函數(shù)f(x)=log3(9-x2).

⑴求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

(3)若/(x)4k)g3(，nr+10)對(duì)于xe(O,2)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的最小值.

【答案】(D(—3,3)

(2)偶函數(shù)，證明見解析

⑶一2

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可直接解不等式求得定義域；

(2)根據(jù)奇偶性的定義直接判斷即可得到結(jié)論；

(3)由對(duì)數(shù)真數(shù)大于零首先確定，nx+10>0恒成立時(shí)用的范圍；由對(duì)數(shù)不等式可得9-丁4如+10,

采用分離變量法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求得機(jī)的范圍；綜合即可得到加的最小值.

【詳解】(1)由9一、2>()得：f<9,..._3<X<3,即〃x)的定