樣本及抽樣分布課件

概率論的基本概念數理統(tǒng)計的基本概念抽樣分布返回退出本章小結習題數理統(tǒng)計的基本概念總體和樣本統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量和經驗分布函數返回繼續(xù)

我們今后所討論的統(tǒng)計問題主要屬于下面這種類型：從一個集合中選取一部分元素，對這部分元素的某些數量指標進行測量，根據測量獲得的這些數據來推斷這集合中全部元素的這些數量指標的分布情況。在統(tǒng)計學中，我們把所研究的全部元素組成的集合稱為母體，或總體。而把組成母體的每個元素稱為個體，例如在研究某批燈泡的平均壽命時，該批燈泡的全體就組成了母體，而其中每個燈泡就是個體。但是在統(tǒng)計里，由于我們關心的不是每個個體的種種具體特性，而僅僅是它的某一項或某幾項數量指標X和該數量指標X在總體中的分布情況。在上述例子中X是表示燈泡的壽命，就此數量指標X而言，每個個體所總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值取的值是不同的。在試驗中，抽取了若干個個體就觀察到了x的這樣或那樣的數值，因而這個數量指標X是一個隨機變量，而X的分布就完全描寫了總體中我們所關心的那個數量指標的分布狀況。由于我們關心的正是這個數量指標，因此我們以后就把總體和數量指標X可能取值的全體組成的集合等同起來，所謂總體的分布也就是指數量指標x的分布。為了對總體的分布律進行各種研究，就必須對總體進行抽樣觀察，一般說來，我們還不止進行一次抽樣觀察，而是進行幾次觀察。通過觀察就得到總體指標X的一組數值(x1,x2,…,xn)，其中每個xi是一次抽樣觀察的結果。即某一個被觀察總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值的個體的X指標值，(x1,x2,…,xn)稱為容量為n的樣本的觀察值。由于我們是利用樣本觀察來對總體的分布進行推斷，因而從總體中抽取樣本進行觀察時必須是隨機的。所以對于隨機抽樣來說，對其某一次觀察結果而論，是完全確定的一組值，但它又是隨每次抽樣觀察而改變的，由于我們要依據這一觀察結果進行分析推斷，并研究比較各種推斷方法的好壞，因而一般考慮問題時，就不能把看為確定的數值，而應該看作為隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)，稱它為容量是n的樣本，因而對樣本也有分布可言?？傮w、個體、樣本、樣本容量、樣本值

我們抽取樣本的目的是為了對總體的分布律進行各種分析推斷，因而要求抽取的樣本能很好地反映總體的特性，這就必須對隨機抽樣的方法提出一定的要求。通常提出下面兩點：①代表性：要求樣本的每個分量Xi與所觀察的總體X具有相同的分布F(x)；②獨立性：X1,X2,…,Xn為相互獨立的隨機變量，也就是說，每個觀察結果既不影響其他觀察結果，也不受其它觀察結果的影響。滿足上述兩點性質的樣本稱為簡單隨機子樣。在今后如不作特殊聲明，所說的樣本將理解為簡單隨機樣本，對于簡單隨機樣本X=(X1,X2,…,Xn)，其分布可以由總體X的分布函數F(x)簡單隨機樣本（或概率密度f(x)）完全決定，X的分布函數為簡單隨機樣本在數理統(tǒng)計中，研究對象的全體稱為總體；組成總體的每個元素稱為個體。從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數稱為樣本的容量。從分布函數為F(x)的隨機變量X中隨機地抽取的相互獨立的n個隨機變量，具有與總體相同的分布，則X1,X2,…,Xn稱為從總體X得到的容量為n的隨機樣本，簡稱樣本。一次具體的抽取記錄x1,x2,…,xn是隨機變量X1,X2,…,Xn的一個觀察值?？傮w與樣本例1A廠生產的某種電器的使用壽命服從指數分布，參數為未知，為此抽查了n件電器，測量其實際壽命。是確定本問題的總體，樣本及樣本的分布。

樣本是總體的代表和反映，但在我們抽取樣本之后，并不直接利用樣本進行推斷，而需要對樣本進行一番“加工”和“提煉”，把樣本所包含的關于我們所關心的事物的信息集中起來，這便是針對不同的問題構造出樣本的某種函數，這種函數在統(tǒng)計學中稱為統(tǒng)計量。引進統(tǒng)計量的目的是為了將雜亂無序的樣本值歸結為一個便于進行統(tǒng)計推斷和研究分析的形式，集中樣本所含信息，使之更易揭示問題實質，從而解決問題。統(tǒng)計量中應該不含有未知參數，如果統(tǒng)計量中仍含有未知參數，就無法依靠樣本觀測值求出未知參數的估計值，因而失去利用統(tǒng)計量估計未知參數的意義，這是違背我們引進統(tǒng)計量的初衷的。統(tǒng)計量概念的引入來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數g(X1,X2,…,Xn)，若是連續(xù)的且不含任何未知參數，則稱為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量的性質常用統(tǒng)計量的性質定理1的證明定理2的證明定理2的證明定理2的證明定理3的證明例2設有一容量n=8的樣本觀察值為(8,6,7,5,7,8,9,6)，求樣本均值及樣本方差的觀察值。例3已知某種紗的強力服從N(1.56,0.222)（單位：千克）今抽取容量為n=50的樣本，求樣本均值小于1.45千克的概率。設x1,x2,…,xn為總體X的一組觀察值，將它們按有小到大的順序排列，得到

x1*≤x2*≤…xn*稱它為順序統(tǒng)計量。則稱它為經驗分布。順序統(tǒng)計量和經驗分布順序統(tǒng)計量和經驗分布抽樣分布正態(tài)總體樣本的線性函數的分布X2-分布t-分布F-分布正態(tài)母體子樣均值和方差的分布返回繼續(xù)

統(tǒng)計量是我們對母體的分布律或數字特征進行推斷的基礎，因此求統(tǒng)計量的分布是數理統(tǒng)計的基本問題之一。我們所感到興趣的是下面兩類問題．第一類問題是：對于任意一個自然數n，要找出給定的統(tǒng)計量Un=f(X1,X2,…,Xn)的分布，這分布稱為這統(tǒng)計量的精確分布。求統(tǒng)計量的精確分布對于數理統(tǒng)計中的所謂小樣問題（即子樣容量比較小時的統(tǒng)計問題）的研究是非常有用的。第二類問題是：不對任何個別的n求出統(tǒng)計量Un的分布，而只求出當n∞時，統(tǒng)計量Un的極限分布，這極限分布對于數理統(tǒng)計中的所謂大樣抽樣分布問題(即子樣容量較大時的統(tǒng)計問題)的研究很有用處。一般說來，要確定一個統(tǒng)計量的精確分布是非常復雜的，可是對于一些重要的特殊情形，如正態(tài)母體，這個問題有較簡單的解法。在今后各章中將會看到，正態(tài)母體的研究處于特別顯著的地位，這一方面是由于其統(tǒng)計量的精確分布的數學分析比較容易；另一重要原因是：在許多領域的統(tǒng)計研究中所遇到的母體，正態(tài)分布是它的一個很好的近似。當然，中心極限定理也保證了這一狀況。正態(tài)總體樣本的線性函數的分布正態(tài)總體樣本的線性函數的分布X2—分布定理1的證明定理1的證明定理1的證明定理1的證明及密度函數圖X2—分布t—分布定理1的證明定理1的證明t—分布的密度函數圖t—分布與正態(tài)分布t