2017年全國碩士研究生考試《數(shù)學一》試題（網(wǎng)友回憶版）

2017年全國碩士研究生考試《數(shù)學一》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.若函數(shù)在x＝0處連續(xù)，則（）。A.ab＝1/2B.ab＝－1/2C.ab＝0D.ab＝2參考答案：A參考解析：由連續(xù)的定義知即又當x→0時，代入得1/（2a）＝b，即ab＝1/2。[單選題]2.設函數(shù)f（x）可導，且f（x）f′（x）＞0，則（）。A.f（1）＞f（－1）B.f（1）＜f（－1）C.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜D.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜參考答案：C參考解析：構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f2（x），求導得F′（x）＝2f（x）f′（x），由已知條件知函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，即F（1）＞F（－1），代入得f2（1）＞f2（－1），即f（1）＞f（－1）。[單選題]3.函數(shù)f（x，y，z）＝x2y＋z2在點（1，2，0）處沿向量＝（1，2，2）的方向?qū)?shù)為（）。A.12B.6C.4D.2參考答案：D參考解析：計算方向余弦得：cosα＝1/3，cosβ＝cosγ＝2/3。偏導數(shù)fx′＝2xy，fy′＝x2，fz′＝2z。得af/au＝fx′cosα＋fy′cosβ＋fz′cosγ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。[單選題]4.甲，乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，如圖1所示，圖中實線表示甲的速度曲線v＝v1（t）（單位：m/s）。虛線表示乙的速度曲線v＝v2（t），三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10、20、3，計時開始后乙追上甲的時刻記為t0（單位：s），則（）。圖1A.t0＝10B.15＜t0＜20C.t0＝25D.t0＞25參考答案：C參考解析：從0到t0時刻，甲乙的位移分別為與。根據(jù)圖像，t0＝0時，甲在乙前方10m，由定積分的幾何意義知，乙追上甲滿足方程：而在t0＝25時，乙比甲多跑10m，滿足題意，故t0＝25。[單選題]5.設α為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則（）。A.E－ααT不可逆B.E＋ααT不可逆C.E＋2ααT不可逆D.E－2ααT不可逆參考答案：A參考解析：不妨設α＝（1，0，…，0）T，則ααT的特征值為1，0，…，0，易得E－ααT的特征值為0，1，…，1，所以E－ααT＝0×1×1×…×1＝0。又A為可逆矩陣的充要條件是A≠0，所以E－ααT不可逆。[單選題]6.已知矩陣則（）。A.A與C相似，B與C相似B.A與C相似，B與C不相似C.A與C不相似，B與C相似D.A與C不相似，B與C不相似參考答案：B參考解析：計算知A、B的特征值均為2、2、1，A有3個線性無關(guān)的特征向量，B只有2個，又C為對角矩陣，因此A與C相似，B與C不相似。[單選題]7.設A、B為隨機概率，若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，則P（AB）＞P（A）的充分必要條件是（）。A.P（B｜A）＞P（B｜）B.P（B｜A）＜P（B｜）C.P（｜A）＞P（B｜）D.P（｜A）＜P（B｜）參考答案：A參考解析：因為P（AB）＞P（A），得化簡得P（AB）＞P（A）P（B）。A項中，P（BA）＝P（AB）/P（A），化簡得P（AB）＞P（A）P（B），所以選A。[單選題]8.設X1，X2，…，Xn（n≥2）為來自總體N（μ，1）的簡單隨機樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（）。A.服從χ2分布B.2（Xn－X1）2服從χ2分布C.服從χ2分布D.n（－μ）2服從χ2分布參考答案：B參考解析：A項，Xi－μ～N（0，1），故B項，即（Xn－X1）2/2～χ2（1）。C項，由D項，（－μ）～N（0，1/n），則，所以n（－μ）2～χ2（1）。[問答題]1.（本題滿分10分）設函數(shù)f（u，v）具有2階連續(xù)偏導數(shù)，y＝f（ex，cosx），求，參考答案：因為y＝f（ex，cosx），所以dy/dx＝f1′（ex）′＋f2′（cosx）′＝f1′exsup>－f2′sinx。即由上述過程知d2y/dx2＝（f1′ex－f2′sinx）′＝（f11″ex－f12″sinx）e^x＋f1′e<s<sub="">up>x</sup>－（f21″e^x－f22″sinx）sinx－f2′cosx所以[問答題]2.（本題滿分10分）求參考答案：由定積分的定義知再利用分部積分法知[問答題]3.（本題滿分10分）已知函數(shù)y（x）由方程x3＋y3－3x＋3y－2＝0確定，求y（x）的極值。參考答案：將原方程兩邊同時對x求導得3x2＋3y2y′－3＋3y′＝0①令y′＝0，代入①，解得x＝±1。當x＝1時，代入原方程得y＝1；當x＝－1時，代入原方程得y＝0。對等式①兩邊同時對x求導得6x＋6y（y′）2＋3y2y″＋3y″＝0②將x＝1，y＝1，y′＝0代入②得y″＝－1，將x＝－1，y＝0，y′＝0代入②得y″＝2。所以當x＝1時函數(shù)有極大值1；當x＝－1時有極小值0。[問答題]4.（本題滿分10分）設函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上具有2階導數(shù)，且f（1）＞0，，證明：（Ⅰ）方程f（x）＝0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一個實根；（Ⅱ）方程f（x）f″（x）＋[f′（x）]2＝0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在兩個不同實根。參考答案：（Ⅰ）因為，由函數(shù)極限的局部保號性知，存在δ＞0，使得當c∈（0，δ）時，有f（c）＜0。又因為f（1）＞0，由零點定理知，存在ξ∈（c，1），使得f（ξ）＝0，得證。（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）f′（x）。由，可知又由（Ⅰ）知存在x0∈（0，1）使得f（x0）＝0。由羅爾定理知，存在ξ1∈（0，x0），使得f′（ξ1）＝0，得F（0）＝F（ξ1）＝F（x0）。再由羅爾定理知：存在ξ2∈（0，ξ1），ξ3∈（ξ1，x0），使得F′（ξ2）＝F′（ξ3）＝0，即F′（x）＝f（x）f″（x）＋[f′（x）]2＝0在（0，x_{0）?（0，1）內(nèi)有兩個不同的實根。[問答題]5.（本題滿分10分）設薄片型物體S是圓錐面被柱面z2＝2x割下的有限部分，其上任意一點的密度為記圓錐與柱面的交線為C。（Ⅰ）求C在xOy平面上的投影曲線的方程；（Ⅱ）求S的質(zhì)量m。參考答案：（Ⅰ）C的方程為投影到xOy平面的方程為即（Ⅱ）S的質(zhì)量將代入上式得其中D為平面區(qū)域{（x，y）x2＋y2＝2x}。令易得{（r，θ）0＜r＜2cosθ，－π/2＜θ＜π/2}。所以因為In的定積分公式為所以[問答題]6.（本題滿分11分）設3階矩陣A＝（α1，α2，α3）有3個不同的特征值，且α3＝α1＋2α2。（Ⅰ）證明r（A）＝2；（Ⅱ）若β＝α1＋α2＋α3，求方程組Ax＝β的通解。參考答案：（Ⅰ）設A的特征值為λ1，λ2，λ3，因為A有3個不同的特征值，所以A可以相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得因為λ1，λ2，λ3兩兩不同，所以r（A）≥2。又因為α3＝α1＋2α2，所以α1，α2，α3線性相關(guān)，從而r（A）＜3，得r（A）＝2。（Ⅱ）因為r（A）＝2，所以Ax＝0的基礎(chǔ)解析只有一個解向量。又因為α3＝α1＋2α2，即α1＋2α2－α3＝0，（α1，α2，α3）（1，2，－1）T＝0，得Ax＝0的基礎(chǔ)解系的解向量為（1，2，－1）T。同理由β＝α1＋α2＋α3，得（α1，α2，α3）（1，1，1）T＝β，得Ax＝β的特解為（1，1，1）T。所以Ax＝β的通解為k（1，2，－1）T＋（1，1，1）T（k為任意常數(shù)）。[問答題]7.（本題滿分11分）設二次型f（x1，x2，x3）＝2x12－x22＋ax32＋2x1x2－8x1x3＋2x2x3在正交變換x＝Qy下的標準型為λ_{1ub>y12＋λ2y2}2，求a的值及一個正交矩陣Q。參考答案：二次型對應的矩陣為因為二次型在正交變換下的標準型為λ1y12＋λ2y2}2，故A有特征值0，所以A＝0，計算得a＝2。解得λ＝0，－3，6。當λ＝－3時，得特征向量η1＝（1，－1，1）T；當λ＝6時，得特征向量η2＝（－1，0，1）T；當λ＝0時，得特征向量η3＝（1，2，1）T。η1，η2，η3屬于不同特征值的特征向量，正交化得所以正交矩陣對應的標準型為f＝－3y12＋6y2</sub>2。[問答題]8.（本題滿分11分）設隨機變量X，Y相互獨立，且X的概率分布為P（X＝0）＝P（X＝2）＝1/2，Y的概率密度為（Ⅰ）求P（Y≤EY）；（Ⅱ）求Z＝X＋Y的概率密度。參考答案：（Ⅰ）計算得則（Ⅱ）Z的分布函數(shù)為FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z，X＝0}＋P{X＋Y≤z，X＝2}＝P{X＝0，Y≤z}＋P{X＝2，Y＋2≤z}＝[P{Y≤z}＋P{Y≤z－2}]/2＝[FY（z）＋FY（z－2）]/2故Z的概率密度函數(shù)為[問答題]9.（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量μ是已知的，設n次測量結(jié)果X1，X2，…，Xn相互獨立，且均服從正態(tài)分布N（μ，σ2）。該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差Zi＝Xi－μ（i＝1，2，…n），利用Z1，Z2，…，Zn估計σ。（Ⅰ）求Z1的概率密度；（Ⅱ）利用一階矩求σ的矩估計量；（Ⅲ）求σ的最大似然估計量。參考答案：（Ⅰ）Z1，Z2，…，Zn獨立同分布，則Z1的概率密度即為總體Z的概率密度。因為Xi～N（μ，σ2），所以Yi＝X<sub>i－μ～N（0，σ2），對應的概率密度為設Z的分布函數(shù)為F（z），對應的概率密度為f（z）。當z＜0時，F(xiàn)（z）＝0；當z≥0時，有則Z的概率密度為（Ⅱ）因為所以得σ的矩估計量為其中（Ⅲ）由題知對應的似然函數(shù)為對上式兩邊取對數(shù)得所以令dlnL（σ）/dσ＝0，得所以σ的最大似然估計量為[填空題]1.已知函數(shù)f（x）＝1/（1＋x2），則f（3）（0）（）。參考答案：0參考解析：因為求三階導數(shù)得代入得f（3）（0）＝0。[填空題]2.微分方程y″＋2y′＋3y＝0的通解為（）。參考答案：參考解析：由微分方程知，特征方程為λ2＋2λ＋3＝0，解得，得通解為[填空題]3.若曲線積分在區(qū)域D＝{（x，y）x2＋y2＜1}內(nèi)與路徑無關(guān)，則a＝（）。參考答案：－1參考解析：P（x，y）＝x/（x2＋y2－1），Q（x，y）＝－ay/（x2＋y2－1），曲線積分與路徑無關(guān)等價于aP/ay＝aQ/ax。又aP/ay＝－2xy/（x2＋y2－1）2，aQ/ax＝2axy/（x2＋y2－1）2，計算得a＝－1。[填空題]4.冪級數(shù)在區(qū)間（－1，1）內(nèi)的和函數(shù)S（x）＝（）。參考答案：1/（1＋x）2參考解析：[填空題]5.設矩陣α1，α2，α3為線