向量的概念及其加減法運算

向量的概念及其加減法運算第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二教學目標（一）知識目標

1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念2、掌握向量的加法和減法的運算法則及運算律（二）能力目標

在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎上能結合圖形進行向量的計算，將數(shù)和形有機結合，并能利用向量運算完成簡單的幾何證明（三）情感目標

通過闡述向量的減法運算可以轉化為向量加法運算及多個向量的加法運算可以轉化成兩個向量的加法運算，可以滲透化歸的數(shù)學思想，使學生理解事物之間相互轉化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強了數(shù)學學科與物理學科之間的聯(lián)系，提高學生的應用意識．第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二教學重點

向量的加減法的運算法則及其應用教學難點

向量的概念的理解以及運算法則的推導第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二知識鏈接在物理學中，研究物體在平面內(nèi)的位置和運動規(guī)律時，一般忽略它的大小，把它看作一個質點，用點表示它在平面內(nèi)的位置。如果一個質點從點A運動到點B，如果我們不考慮質點運動的路線，只考慮點B相對于點A的“方向”和“直線距離”，這時，我們就說質點在平面內(nèi)作了一次位移。問題：位移和那些因素有關？如何確定位移？AB位移的概念第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二一、向量的概念

既有大小又有方向的量叫向量注意：（1）向量的兩要素：大小和方向請說出下列一些量那些是數(shù)量那些是向量?距離、位移、身高、力、質量、時間、速度、加速度、面積、電場強度、溫度.課前預習第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二（2）自由向量有些向量不僅有大小方向，還有作用點，例如力；有些向量只有大小和方向，而無特定的位置，例如位移、速度等。通常后一類向量叫做自由向量。以后我們學習的向量，無特別指明，指的都是自由向量。（3）向量能否比較大??？第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

以A為起點、B為終點的向量記作：

有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．AB用一條有向線段來表示．②字母表示法：

或用、、等小寫字母表示；二、向量的表示方法：

①幾何表示法：第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二特殊向量：零向量的方向是任意的.長度為０的向量叫零向量，記為長度為１個單位的向量叫單位向量三、向量的模：例如向量的長度記作：→AB||→AB向量的長度叫做向量的模。第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二四、兩種特殊關系：相等向量:長度相等且方向相同的向量.

記作：

,與它們起點位置無關.第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二共線向量:

通過有向線段的直線，叫做向量的基線如果向量的基線互相平行或者重合，則稱這些向量共線或平行。向量a平行于b,記作規(guī)定：零向量與任一向量平行.第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二五、用向量表示點的位置任給一定點O和向量a，過點O作有向線段，則點A相對于點O的位置被向量a所唯一確定，這時向量，又常叫做點A相對于點O的位置向量。OAa第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二例如，在談到天津相對于北京的位置時，我們說，“天津位于北京東偏南50°，114km”如圖所示，北京天津50°點O表示北京的位置，點A表示天津的位置，那么向量就表示了天津相對于北京的位置。第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

例1．判斷下列命題真假或給出問題的答案：（1）平行向量的方向一定相同．

（2）不相等的向量一定不平行．

（3）與零向量相等的向量是什么向量？

（4）存在與任何向量都平行的向量嗎？

（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（6）兩個非零向量相等的條件是什么？

（7）共線向量一定在同一直線上．××零向量零向量平行向量（共線向量）

模相等且方向相同

×第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二例2如圖,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中與向量、、相等的向量.問題:(1)與相等嗎?(2)與相等嗎?(3)與長度相等的向量有幾個?(4)與共線的向量有哪幾個?O第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二B第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二1.下列說法正確的是()A)方向相同或相反的向量是平行向量.B)零向量是0.C)長度相等的向量叫做相等向量.D)共線向量是在一條直線上的向量.A2.已知a、b是任意兩個向量,下列條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a與b都是單位向量.其中是向量a與b平行的有_____.①③④練習第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

由于大陸和臺灣沒有直航，因此2003年春節(jié)探親，乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和是什么？引例二：臺北香港上海向量的加法定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二1、三角形法則baAaaaabbCbaBa+b作法：⑴在平面內(nèi)任取一點Ａ⑵作，bBC＝aAB＝AC＝a+b⑶則向量首尾相連第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二(1)同向(2)反向ABCABC注：第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二向量和的特點：（1）兩個向量的和仍是一個向量．（2）當向量a與向量b不共線時，a+b的方向與a，b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|．（3）當a與b同向時，則a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；

當a與b反向時，若|a|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|．第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二+baba:=+向量的運算律⑴交換律證明：作AB=a，AD=baＡＢＤＣ以AB,AD為鄰邊做平行四邊形ABCD則，BC=b，DC=abAC=AD+DC=b+a因為AC=AB+BC=a+b,所以a+b=b+a第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二)cb(ac)ba(:++=++ＡＢＣＤ⑵結合律第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二baAaaaaaaaabbbBbaDaCba+b2、平行四邊形法則(1)在平面內(nèi)取一點A⑵以點A為起點以向量a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD.（3）則以點A為起點的對角線AC＝a+b作法:首首相連第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二3、向量求和的多邊形法則

已知n個向量，依次把這n個向量首尾相連，異第一個向量的始點為始點，第n個向量的終點為終點的向量叫做這n個向量的和向量。第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二例4:

求向量之和.

第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二引例三已知：兩個力的合力為求：另一個力

其中一個力為第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二相反向量及其性質

與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量。記作-a，a和-a互為相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。性質：-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;若a、b是互為相反的向量，則有

a=-b,b=-a,a+b=0.第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二向量減法的定義：向量a加上b相反向量，叫做a與b的差.即：a

b=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二CD第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二如圖，已知a、b，求作a-b。例5(1)ab(2)abab(3)ab(4)第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二2、已知a、b是任意兩個向量,下列條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a與b都是單位向量.能判定向量a與b共線的是_____.①③④1、下列說法正確的是()A)方向相同或相反的向量是平行向量.B)零向量是.C)長度相等的向量叫做相等向量.D)共線向量是在一條直線上的向量.達標練習第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二4、

化簡第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二5.一艘船以的速度和垂直于對岸的方向行駛，同時，河水的流速為，求船實際航行速度的大小與方