高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)空間向量與空間角空間向量與空間距課件

空間向量與空間角空間向量與空間距離

空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問(wèn)題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證.求空間角與距離是立體幾何的一類(lèi)重要的問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一.本節(jié)課主要是討論怎樣用向量的辦法解決空間角問(wèn)題.OAB.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步曲：1.（化為向量問(wèn)題）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.2.（進(jìn)行向量運(yùn)算）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題.3.（回到圖形問(wèn)題）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.探究點(diǎn)1異面直線所成的角lmlm若兩直線所成的角為.提示：【總結(jié)提升】?jī)蓷l異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)余弦值非負(fù):兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值,而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍:異面直線所成的角θ∈,故兩直線的方向向量夾角α的余弦值為負(fù)時(shí),應(yīng)取其絕對(duì)值.探究點(diǎn)2線面角ll提示：2.向量法求直線與平面所成角的原理?xiàng)l件直線l(方向向量為a)與平面α(法向量為n)所成的角為θ圖形關(guān)系

計(jì)算sinθ=|cos<a,n>|DClBA探究點(diǎn)3二面角注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角l二面角的范圍：提示：求異面直線的夾角考點(diǎn)一

兩條異面直線所成角可以通過(guò)這兩條直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等．當(dāng)兩方向向量夾角為鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．

四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°.在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)B、P的坐標(biāo)；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．例1求直線與平面所成的角考點(diǎn)二【思路點(diǎn)撥】利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，取A1B1的中點(diǎn)M，連結(jié)C1M，證明∠C1AM是AC1與平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．例2利用向量法求二面角的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；(3)求出兩個(gè)法向量的夾角；(4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定出二面角的平面角的大?。笃矫媾c平面所成的角考點(diǎn)三

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．例3【思路點(diǎn)撥】解答本題首先建立空間坐標(biāo)系，寫(xiě)出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求解．探究4：1.空間兩點(diǎn)之間的距離

根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式或(其中)，可將兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量模長(zhǎng)問(wèn)題.提示：2.點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P與直線l的距離為d。

設(shè)E為平面α外一點(diǎn),F為α內(nèi)任意一點(diǎn),為平面α的法向量,則點(diǎn)E到平面的距離為。3.點(diǎn)到平面的距離

a,b是異面直線,E,F分別是直線a,b上的點(diǎn),是a,b公垂線的方向向量,則a,b間距離為4.異面直線間的距離5.平面與平面的距離問(wèn)題：A，P分別是平面a與b上任意一點(diǎn)，平面a與b的距離為d,則mDCPA類(lèi)型一空間兩點(diǎn)間距離【典例】1.若O為原點(diǎn)，=(1，1，-2)，

=(3，2，8)，=(0，1，0)，則線段AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離為(

)2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M為BC上一點(diǎn)，且BM=，MP⊥AP，則PO的長(zhǎng)為_(kāi)_______.3.如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a(0<a<).(1)求MN的長(zhǎng).(2)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??？類(lèi)型二求點(diǎn)到直線的距離【典例】1.已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，AD=4，在CD上截取CE=4，以BE為棱將△BCE折起成△BC1E，使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD，則點(diǎn)C1到AB的距離為_(kāi)_______.2.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)M是線段DC1上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值.【解析】1.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，0)，B(6，0，0)，C1(4，2，2)，D(0，4，0)，于是上的單位向量是n0=(-1，0，0)，所以點(diǎn)C1到AB的距離為d=又所以d=答案：22.設(shè)M(0，m，m)(0≤m≤a)，=(-a，0，a)，直線AD1的一個(gè)單位方向向量s=，=(0，-m，a-m)，故點(diǎn)M到直線AD1的距離d=根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m=時(shí)取最小值故d的最小值為a.類(lèi)型三求點(diǎn)到平面的距離【典例】設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，求點(diǎn)D1到平面A1BD的距離.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，所以設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n=(x，y，z)，則