2019屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義附練習(xí)第8章第7節(jié)拋物線

第七節(jié)拋物線[考綱傳真]1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、極點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形聯(lián)合的思想.3.認(rèn)識(shí)拋物線的實(shí)質(zhì)背景及拋物線的簡單應(yīng)用．1．拋物線的觀點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)11．(思慮辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡必定是拋物線．( )(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是aa4，0，準(zhǔn)線方程是x＝－4.( )(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．( )(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)Fp2，0的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，2則x1x2＝p，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.( )4[答案](1)×(2)×(3)×(4)√．教材改編若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱2()坐標(biāo)是()1715A.16B.167C.8D.01B[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－16，115設(shè)M(x，y)，則y＋16＝1，∴y＝16.]123．拋物線y＝4x的準(zhǔn)線方程是()A．y＝－1B.y＝－2C．x＝－1D.x＝－2122A[∵y＝4x，∴x＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.]．·西安質(zhì)檢)若拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一4(2017個(gè)焦點(diǎn)，則p＝__________.p22[拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，p>0，雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－2，0)，2F2(2，0)，所以－p2，p＝22.]2＝－2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到5．(2016·浙江高考)若拋物線yy軸的距離是________．[設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為x0＋1，由拋物線的定義知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.]拋物線的定義及應(yīng)用(1)(2014全·國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(x0，y0)5)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(4A．1B.2C．4D.8(2)(2017廣·東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|＋|PN|的最小值為( )A．3B.4C．5D.2＋1(1)A(2)A[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝1，211所以焦點(diǎn)F4，0，準(zhǔn)線l的方程為x＝－4.設(shè)點(diǎn)A(x0，y0到準(zhǔn)線l的距離為，則由拋物線的定義可知＝)dd|AF|.15進(jìn)而x0＋4＝4x0，解得x0＝1.由拋物線方程2＝4x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F(2)y重合．3過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.][規(guī)律方法]1.凡波及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)變?yōu)榈綔?zhǔn)線距離辦理．如本例充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)行轉(zhuǎn)變，使解答簡捷、明快．．若P(x0，y0為拋物線2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|＝x0＋p；若2)y2過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1，B(x2，y2)，則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，)1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出．x[變式訓(xùn)練1](2017·鄭州調(diào)研)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，→→P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP＝4FQ，則|QF|＝( )75A.2B.2C．3D.2→→[∵FP＝4FQ，→→|FP|＝4|FQ|，|PQ|3|PF|＝4.如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|＝4，|PQ||QQ′|3|PF|＝|AF|＝4，|QQ′|＝3.依據(jù)拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|＝3.]4拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772323】212121A．x＝12yB.x＝12y或x＝－36y1D.x2＝12y或x2＝－36yC．x2＝－36y(2)(2016全·國卷Ⅰ)以拋物線C的極點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝42，|DE|＝25，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )A．2B.4C．6D.8221(1)D(2)B[(1)將y＝ax化為x＝ay.111當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－4a，則3＋4a＝6，∴a＝12.當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－1，則＋1＝6，∴a＝－14a34a36.∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y.(2)設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.|AB|＝42，|DE|＝25，p拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，4p∴不如設(shè)Ap，22，D－2，5.∵點(diǎn)A4p，22，D－p2，5在圓x2＋y2＝r2上，5162，2p2p＋8＝r16∴p2∴p2＋8＝4＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)．4＋5＝r2，∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.][規(guī)律方法]1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只要一個(gè)條件確立p值即可．(2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，所以求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量．2．由拋物線的方程能夠確立拋物線的張口方向、焦點(diǎn)地點(diǎn)、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；進(jìn)而進(jìn)一步確立拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程．[變式訓(xùn)練2](1)(2017河·南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為43，則拋物線的方程為()A．y2＝6xB.y2＝8xC．y2＝16xD.y2＝15x222若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓x＋y＝1的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的(2)95準(zhǔn)線方程為__________．p(1)B(2)x＝－2[(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝2，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，p由拋物線定義知x＋2＝2p，3所以x＝2p，所以y＝±3p.又△MFO的面積為43，1p所以2×2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x.6x2y2(2)由橢圓9＋5＝1，知a＝3，b＝5，所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.所以橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，又拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為p2，0.p依題意，得2＝2，于是拋物線的準(zhǔn)線x＝－2.]直線與拋物線的地點(diǎn)關(guān)系角度1直線與拋物線的交點(diǎn)問題(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M對(duì)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延伸交C于點(diǎn)H.|OH|(1)求|ON|；(2)除H之外，直線MH與C能否有其余公共點(diǎn)？說明原因．t2[解](1)如圖，由已知得M(0，t)，P2p，t.又N為M對(duì)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，t2故Np，t，2分p故直線ON的方程為y＝tx，將其代入y2＝2px整理得px2－2t2＝x0,解得x1＝0，x2＝2t2所以22t，2t.p.Hp所以N為OH的中點(diǎn)，即|OH|＝2.5分|ON|(2)直線MH與C除H之外沒有其余公共點(diǎn)．原因以下：7直線MH的方程為y－t＝p，即＝2t－t).8分2txxp(y代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H之外，直線MH與C沒有其余公共點(diǎn).12分[規(guī)律方法]1.(1)此題求解的重點(diǎn)是求出點(diǎn)N，H的坐標(biāo)．(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，依據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組獲得交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的鑒別式來確立，需注意利用鑒別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧．角度2與拋物線弦長或中點(diǎn)有關(guān)的問題(2017·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772324】(1)求拋物線C的方程；(2)可是原點(diǎn)的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不一樣的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．[解](1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)，2分∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.5分(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1，2，y2)，且直)B(x線l2與x軸的交點(diǎn)為M.6分y2＝8x，得y2－8y－8m＝0，由x＝y(tǒng)＋m，＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，22y1y22∴x1x2＝64＝m.8分由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0).10分81故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝2·|FM||y·1－y2|＝3y1＋y22－4y1y2＝245.12分[規(guī)律方法]1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線能否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若可是焦點(diǎn)，則一定用一般弦長公式．2．波及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等有關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采納“設(shè)而不求”“整體代入”等方法．3．波及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解．[思想與方法]1．拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))，一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)，一個(gè)定值1(拋物線的離心率)．2．拋物線的定義中指了然拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)性，故兩者可相互轉(zhuǎn)變，這一轉(zhuǎn)變思想在解題中有側(cè)重要作用．3．拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：2(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p4；2p(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝2＝x1＋x2＋p.sinθ[易錯(cuò)與防備]1．仔細(xì)劃分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)劃分y＝ax2(a≠0)與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確立形式，必需時(shí)要進(jìn)行分類議論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．直線與拋物線聯(lián)合的問題，不要忘掉考證鑒別式．3．拋物線的定義中易忽略“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與直線垂直的直線．當(dāng)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，其實(shí)不表示直線與拋物線相切．9第八節(jié)曲線與方程[考綱傳真]1.認(rèn)識(shí)方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.認(rèn)識(shí)分析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法.3.能夠依據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程．1．曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C(看作點(diǎn)的會(huì)合或合適某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解成立了以下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．2．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟(1)成立合適的坐標(biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上隨意一點(diǎn)M的坐標(biāo)．(2)寫出合適條件p的點(diǎn)M的會(huì)合P＝{M|p(M)}．(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式．(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．3．兩曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)＝0，曲線C2的方程為F2(x，y)＝0，則C1，C2F1x，y＝0，的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的實(shí)數(shù)解．F2x，y＝0若此方程組無解，則兩曲線無交點(diǎn)．1．(思慮辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．( )方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線．( )(2)10(3)到兩條相互垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2.( )方程y＝x與2表示同一曲線．( )(4)x＝y(tǒng)[分析]由曲線與方程的定義，知(2)，(3)，(4)不正確，只有(1)正確．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×．教材改編)已知點(diǎn)1，0，直線l：x＝－1，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過2(F44點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直均分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是( )A．雙曲線B.橢圓C．圓D.拋物線D[由已知|MF|＝|MB|，依據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．]3．(2016·州模擬廣)已知點(diǎn)F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過→→→→，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且QP·＝FP·QFFQ為()A．x2＝4yB.y2＝3xC．x2＝2yD.y2＝4x[設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)．→→→→，∵QP·＝FP·QFFQ(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.應(yīng)選A.]4．已知△ABC的極點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則極點(diǎn)A的軌跡方程為__________．22xy(x－10)＋y＝36(y≠0)[設(shè)A(x，y)，則D2，22y|CD|＝2－5＋4＝3，x22化簡得(x－10)＋y＝36，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)組成三角形，→5．(2017鄭·州模擬)在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，11→→，則極點(diǎn)且|BD－|CD|＝2A的軌跡方程為__________．|2x2y22－2＝1(x>2)[以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線所在直線為y軸成立如圖所示的坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn)．則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝22，所以點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，x2y2所以軌跡方程為2－2＝1(x>2)．]直接法求軌跡方程已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程．[解]如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|＝|O1M|.2分當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，∴|O1M|＝x2＋42.5分又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化簡得，y2＝8x(x≠0).10分當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也知足方程y2＝8x，∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.12分12[規(guī)律方法]1.假如動(dòng)點(diǎn)知足的條件是易于用x，y表達(dá)的與定點(diǎn)、定直線有關(guān)的幾何量的等量關(guān)系時(shí)，等量關(guān)系又易于表完成含有x，y的等式，可利用直接法求軌跡方程．2．運(yùn)用直接法應(yīng)注意的問題：(1)在用直接法求軌跡方程時(shí)，在化簡的過程中，有時(shí)損壞了方程的同解性，此時(shí)就要補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或刪除剩余的點(diǎn)，這是不可以忽略的．(2)若方程的化簡過程是恒等變形，則最后的考證能夠省略．→→→→→→[變式訓(xùn)練1]已知兩點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，且點(diǎn)P使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差數(shù)列，求點(diǎn)P的軌跡方程．→[解]設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則MP＝(x＋1，y)，→→分NP＝(x－1，y)，MN＝(2,0).3→→＝2(x＋1)，故MP·MN→→→→222→→＝－2(x－1)＝2(1PM·PN＝MP·＝(x＋1)×(x－1)＋y＝x＋y－1，NM·NPNP－x).6分→→→→→→22因?yàn)镸P·，PM·，NM·成公差小于零的等差數(shù)列，所以2(x＋y－1)MNPNNP2(x＋1)＋2(1－x).10分→→→→且NM·NP－MP·MN＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x<0，整理得，x2＋y2＝3(x>0)，故點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝3(x>0).12分定義法求軌跡方程如圖8-8-1所示，已知點(diǎn)C為圓(x＋2)2＋y2＝4的圓心，點(diǎn)A(2，→→→0)．P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在的直線上，且MQ·AP＝0，AP＝2→AM.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．13圖8-8-1[解]由(x＋2)2＋y2＝4知圓心C(－2，0)，半徑r＝2.2分→→→→∵M(jìn)Q·AP＝0，AP＝2AM，∴MQ⊥AP，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，所以QM垂直均分線段AP.6分如圖，連結(jié)AQ，則|AQ|＝|QP|，||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.又|AC|＝22>2.8分依據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(－2，0)，A(2，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線.10分由c＝2，a＝1，得b2＝1，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為x2－y2＝1.12分[遷徙研究]若將本例中的條件“圓C的方程(x＋2)2＋y2＝4”改為“圓C的方程(x＋2)2＋y2＝16”，其余條件不變，求點(diǎn)Q的軌跡方程．[解]由(x＋2)2＋y2＝16知圓心C(－2，0)，半徑r＝4.2分14→→→→AP∴QM垂直均分AP，連結(jié)AQ，則|AQ|＝|QP|，6分|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.8分依據(jù)橢圓定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(－2，0)，A(2，0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.10分由c＝2，a＝2，得b＝2.x2y2所以點(diǎn)Q的軌跡方程為4＋2＝1.12分[規(guī)律方法]1.定義法求軌跡方程，重點(diǎn)是理解分析幾何中有關(guān)曲線的定義．在求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量利用幾何條件研究軌跡的曲線種類，進(jìn)而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣能夠減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程．2．利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是不是完好的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，假如不是完好的曲線，則應(yīng)付此中的變量x或y進(jìn)行限制．[變式訓(xùn)練2](2016·全國卷Ⅰ選編)設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|＋|EB|為定值；(2)求點(diǎn)E的軌跡方程，并求它的離心率．[解](1)證明：因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.3分又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，進(jìn)而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.5分(2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)所以|AB|＝2，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|.8分由橢圓定義，知點(diǎn)E的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))，所以a＝2，c＝1，則b2＝a2－c2＝3.10分15x2y2所以點(diǎn)E的軌跡方程為4＋3＝1(y≠0)．1故曲線方程的離心率e＝a＝2.12分有關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程如圖8-8-2所示，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸4上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝5|PD|.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772336】圖8-8-2(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；4(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為5的直線被C所截線段的長度．[解]P，yP，(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(x)4∵點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝5|PD|，∴xP＝x，5且yP＝4y.2分∵P在圓x2＋y2＝25上，2x2＋54y2＝25，整理得25x＋16y＝1，故軌跡C的方程是x2＋y2＝1.5分251644(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為5的直線l的方程是y＝5(x－3)，7分設(shè)此直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1，B(x2，y2，))將直線方程y＝4－22代入C的方程x＋y＝1得：5(x3)251622x＋x－3＝1，化簡得x2－3x－8＝0，252516∴x1＝3－413＋412，x2＝2，10分1624