信號(hào)與系統(tǒng)課件 第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

4.2傅里葉級(jí)數(shù)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.0引言

4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)4.3周期信號(hào)的頻譜

4.4非周期信號(hào)的頻譜

4.5傅里葉變換的性質(zhì)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

4.6能量譜和功率譜

4.7周期信號(hào)的傅里葉變換4.9取樣定理

4.10序列的傅里葉分析

4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)§4.0引言時(shí)域分析:以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)本章:將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，

可分解為一系列沖激函數(shù)之和,即而任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)yzs(t)=h(t)*f(t)

任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。

用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率，故稱為頻域分析。變換域分析

1.學(xué)習(xí)3種變換域：頻域、復(fù)頻域、z域⑴頻域：傅里葉變換，t→ω；對(duì)象：連續(xù)信號(hào)⑵復(fù)頻域：拉普拉斯變換，t→s；對(duì)象：連續(xù)信號(hào)⑶z域：z變換，k→z；對(duì)象：離散序列⑴

是信號(hào)內(nèi)在的頻率特性

2.頻域分析：t→ω⑵時(shí)間特性與其頻率特性之間關(guān)系⑶信號(hào)的頻譜、帶寬等重要概念學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、了解信號(hào)的正交分解；了解傅立葉系數(shù)與周期信號(hào)波形對(duì)稱性的關(guān)系2、掌握周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)；掌握非周期信號(hào)的傅立葉變換的定義及其典型信號(hào)的傅立葉變換3、掌握傅立葉變換的主要性質(zhì)4、掌握周期信號(hào)傅立葉變換的求法及其傅立葉系數(shù)與傅立葉變換的關(guān)系5、理解抽樣信號(hào)的概念；掌握時(shí)域抽樣定理；了解頻域抽樣定理6、掌握連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法7、了解理想低通濾波器及其傳輸特性和信號(hào)傳輸?shù)牟皇д鏃l件重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)2、傅立葉變換的定義和典型信號(hào)的傅立葉變換3、傅立葉變換的主要性質(zhì)4、連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法5、時(shí)域抽樣定理傅里葉變換發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)

矢量正交與正交分解信號(hào)正交與正交函數(shù)集信號(hào)的正交分解一、矢量正交與正交分解

矢量正交的定義：

指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)的內(nèi)積為0。即

正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。且完備.矢量A=(2，5，8)表示為A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間。二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1.信號(hào)正交：

定義在(t1，t2)區(qū)間的

1(t)和

2(t)滿足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足

則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。

3.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足例如：三角函數(shù)集

{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}

虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)沃爾什（Walsh）函數(shù)集在區(qū)間（0，1）內(nèi)是完備正交函數(shù)集。三、信號(hào)的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的均方值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為:為使上式最小展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為

即

所以系數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有

上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)

f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量的能量之和。

函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和小結(jié)函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和帕斯瓦爾能量公式：§4.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式周期信號(hào)的功率一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式1.三角函數(shù)集

在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。由積分可知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}2．級(jí)數(shù)形式系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)

注意：an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)設(shè)f(t)=f(t+mT)----周期信號(hào)、m、T、=2/T滿足狄里赫利Dirichlet條件，——稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)可分解為如下三角級(jí)數(shù)其他形式式中，A0=a0上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。A0/2為直流分量

A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號(hào)相同

A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍

可見(jiàn)：An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an=Ancosn，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為式中，A0=a0可見(jiàn)：An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an=Ancosn，bn=–Ansin

n，n=1,2,…一般而言：Ancos(nt+n)稱為n次諧波。

例4.2-1將圖4.2-2所示的方波信號(hào)f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。方波的組成：

Gibbs現(xiàn)象表明：用有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)表示有間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近會(huì)不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會(huì)隨項(xiàng)數(shù)的增加而減少。只是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率變高，向間斷點(diǎn)處壓縮，而使它所占有的能量減少。二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)bn=0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)an=0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。例3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04．f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0例4.2-2

正弦交流信號(hào)

經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如圖4.2-7（a）、（b）所示，求它們的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。圖4.2-7例4.2-2圖(2)半波整流信號(hào)圖4.2-7（b）的半波整流信號(hào)可寫(xiě)為（其周期

）

它的傅里葉系數(shù)

可直接由式(4.2-3)、（4.2-4）求得，也可將它分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，如圖4.2-8所示。圖4.2-8半波整流信號(hào)的分解

由圖可見(jiàn)，其偶函數(shù)部分是幅度為的全波整流信號(hào)，奇函數(shù)部分是幅度為、角頻率為

的正弦信號(hào)，于是半波整流信號(hào)可寫(xiě)為將

的展開(kāi)式代入上式，得半波整流信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)為三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算系數(shù)Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可從三角形式推出：推導(dǎo)虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}復(fù)雜，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。指數(shù)形式傅氏級(jí)數(shù)推導(dǎo)上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An、–n=–n令A(yù)0=A0ej0ej0t，0=0

所以上式寫(xiě)為：令復(fù)數(shù)

n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。F0=A0/2為直流分量。傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an，An，|Fn|n的奇函數(shù):

bn，n

周期信號(hào)的功率信號(hào)頻譜的概念周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)

頻譜帶寬§4.3周期信號(hào)的頻譜

復(fù)習(xí)1.三角函數(shù)集

{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集，周期信號(hào)f(t)可分解為傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式：即：周期信號(hào)可分解為直流分量和n次諧波分量。A0/2為直流分量Ancos(nt+n)稱為n次諧波

其中：n:正值指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)2.虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集，周期信號(hào)f(t)可分解為傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式：推導(dǎo)：上式中第三項(xiàng)：n用–n代換，A–n=An、–n=–n令A(yù)0=A0ej0ej0t，0=0所以指數(shù)形式的傅里葉形式n:正負(fù)其中：Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)/各頻率分量的復(fù)數(shù)幅度表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和，F(xiàn)0=

A0/2為直流分量。所以指數(shù)形式的傅里葉形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式一、周期信號(hào)的功率——Parseval等式Parseval定理證明直流功率各次諧波功率和直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為二、周期信號(hào)頻譜的概念周期信號(hào)f(t)分解為：或其中：n:正值n:正負(fù)周期信號(hào)頻譜的概念周期信號(hào)的頻譜：指各次諧波幅值A(chǔ)n或Fn、相位n振幅頻譜圖：n~ω的關(guān)系畫(huà)在以ω為橫軸的平面隨頻率ω（nΩ）的變化關(guān)系。相位頻譜圖：將An或Fn~ω的關(guān)系分別畫(huà)在以ω為橫軸的平面上得到的圖。上得到的圖。單邊頻譜圖：雙邊頻譜圖：An~ωFn~ω頻譜圖示（單邊）幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線ω=nΩ單邊頻譜圖例1例：周期信號(hào)f(t)=解

首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號(hào)的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率Ω，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率P。是f(t)的(π/4)/(π/12)=3次諧波分量；是f(t)的(π/3)/(π/12)=4次諧波分量；畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖：例2請(qǐng)畫(huà)出其幅度譜和相位譜解：化為余弦形式單邊頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù)

雙邊頻譜圖整理三、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示,求頻譜。

令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）

,n=0,±1，±2，…

(1)包絡(luò)線形狀：取樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)

T一定，變小，此時(shí)=2/T(譜線間隔)不變,兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。

(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性，譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；

一定，T增大，間隔減小，頻譜變密，幅度減小。

如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜，各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。(2)一般具有收斂性，總趨勢(shì)減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系:四．頻帶寬度1.問(wèn)題提出第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。周期矩形脈沖信號(hào)的功率而總功率二者比值2．頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為0.1|Fn|max

的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。矩形：一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。語(yǔ)音信號(hào) 頻率大約為

300~3400Hz音樂(lè)信號(hào)

50~15,000Hz擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為

15~20,000Hz3.系統(tǒng)的通頻帶>信號(hào)的帶寬，才能不失真帶寬與脈寬成反比內(nèi)的信號(hào)來(lái)表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。記為：

§4.4非周期信號(hào)的頻譜

傅里葉變換常用函數(shù)的傅里葉變換一．傅里葉變換1.引出周期信號(hào)f(t)，其指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)：

其頻譜Fn：

T→∞頻譜強(qiáng)度Fn→無(wú)窮小對(duì)非周期信號(hào)：再用Fn表示頻譜就不合適了。傅里葉變換2.頻譜密度的概念知道：

F(jω)：稱為頻譜密度函數(shù)（含義）。T→∞頻率Ω=譜線間隔Δ(nΩ)→無(wú)窮小離散頻率nΩ→連續(xù)頻率ω表示→無(wú)窮小T→∞頻譜強(qiáng)度Fn→0，但FnΤ≠0且連續(xù)定義：

F(jω)=F(nΩ)T=

Ω:頻率量綱F(jω)表示單位頻率上頻譜值傅里葉變換3.傅里葉變換對(duì)的推導(dǎo)譜線間隔Δ(nΩ）=Ω⑴F(jω)=F(jω)=⑵f(t)f(t)=f(t)=F(jω)=FnT

函數(shù)f(t)的傅里葉變換傅里葉變換Δ(nΩ）→ｄω變換：f(t)=nΩ→ωejnΩt→ejωtf(t)=F(jω)=FnT

函數(shù)F（jω)的傅里葉逆變換也可簡(jiǎn)記為

f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為

F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)

說(shuō)明(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分或F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]f(t)傅里葉變換存在的充分條件:復(fù)習(xí)一、周期信號(hào)：1.傅里葉的三角函數(shù)形式2.傅里葉的復(fù)指數(shù)形式復(fù)習(xí)3.頻譜的概念振幅頻譜圖：相位頻譜圖：An或Fn~ωn~ω單邊頻譜圖：雙邊頻譜圖：An~ωFn~ω二、非周期信號(hào)：1.傅里葉變換復(fù)習(xí)F(jω)=f(t)=二、常用函數(shù)的傅里葉變換1.矩形脈沖(門(mén)函數(shù)）記為gτ(t)(t10tgτ)2t-2t頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：F(jω)一般是復(fù)函數(shù)：F(jω)=|F(jω)|ej(ω)2．單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，>0頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：3．雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–|t|，

>0F(jω)=|F(jω)|ej(ω)4．沖激函數(shù)(t)、′(t)5．直流信號(hào)1有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在，直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{fα(t)}逼近f

(t)

，即而fα(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且{fα(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fα(j)}是極限收斂的，則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。討論：推導(dǎo)

1←→?構(gòu)造

f(t)=e-t，>0←→所以又因此，

1←→2()雙邊指數(shù)函數(shù)ω≠0ω=0求F

[1]另一種方法將(t)←→1代入反變換定義式，有將=-u，有再根據(jù)傅里葉變換定義式，得將t=ω，有將u=t，有直流/常數(shù)傅里葉變換是沖激函數(shù)6.符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件f(t)=e–tε(t)，>0頻譜圖7.階躍函數(shù)1←→2()歸納記憶：1.F

變換對(duì)2.常用函數(shù)F

變換對(duì)：δ(t)ε(t)

e-t

ε(t)

gτ(t)

sgn

(t)

e–|t|

1

12πδ(ω)§4.5傅里葉變換的性質(zhì)

線性奇偶性對(duì)稱性尺度變換時(shí)移特性

頻移特性卷積定理時(shí)域微分和積分頻域積分和微分相關(guān)定理一．線性性質(zhì)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)then[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]Proof:F

[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)]例1線性性質(zhì)例Forexample

F(jω)=?Ans:

f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)=-二．奇偶虛實(shí)性如果f(t)是實(shí)函數(shù)，

f(t)←→F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)thenR(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)Proof--3|F(jω)|=|F(–jω)|，(ω)=–(–ω)f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)奇偶虛實(shí)性證明設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）變換：t=-u即：三*、對(duì)稱性Iff(t)←→F(jω)thenProof:上式：t→ω，ω→t變化：ω→-ω∴

F(jt)←→2πf(–ω)F(jt

)←→2πf(–ω)例題--3對(duì)稱性舉例1例如：f1(t)F1(ω)F2(ω)f2(t)1(2π)(1)

f(t)←→F(jω)F(jt

)←→2πf(–ω)1對(duì)稱性舉例2Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1∴

f(t)←→F(jω)F(jt

)←→2πf(–ω)例4.5-1求取樣函數(shù)

的頻譜函數(shù)解直接利用式（4.5-1）不易求出Sa(t)的傅里葉變換，利用對(duì)稱性則較為方便由式（4.4-12）知，寬度為

，幅度為1的門(mén)函數(shù)

的頻譜函數(shù)為

，即取，即

且幅度為。根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，脈寬為2，幅度為

的門(mén)函數(shù)【見(jiàn)圖4.5-1（a）】的傅里葉變換為四、尺度變換性質(zhì)如果f(t)←→F(jω)則

其中“a”是非零實(shí)常數(shù)Proof令：

a=-1,f(-t)←→F(-jω)

奇偶虛實(shí)性尺度變換證明Proof:F[f(at)]=

a>0:F[f(at)]

a<0:

F[f(at)]f(a

t)←→

Thatis

尺度變換例Forexample1f(t)=←→F(jω)=?Ans:利用對(duì)稱性：因此：

f(t)←→F(ω)F(jt

)←→2πf(–ω)f(-t)←→F(-jω)

尺度變換意義(1)

f(at)0<a<1時(shí)域擴(kuò)展,頻帶壓縮脈沖持續(xù)時(shí)間增加---1/a倍---變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮---a倍、高頻分量減少、幅度上升a倍。t/2=τ/2t=τf(a

t)←→

(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍

(3)a=-1時(shí)域反轉(zhuǎn)，頻域也反轉(zhuǎn)

脈沖持續(xù)時(shí)間短，變化快；尺度變換意義f(a

t)←→

在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。f(-t)←→F(-jω)五、時(shí)移特性如果f(t)←→F(jω)則：其中“t0”是實(shí)常數(shù).Proof:

F

[f(t–t0)]Example1-101-2012-11-11-1圖4.5-3例4.5-3圖

例：多個(gè)門(mén)函數(shù)的疊加(a)(b)圖4.5-45個(gè)矩形脈沖的頻譜時(shí)移特性舉例1Forexample

F(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴

F(jω)=‖+時(shí)移特性舉例2求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：

時(shí)移特性舉例2因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。

時(shí)移尺度舉例3Forexample2若f(t)←→F(jω),

則：f(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)orf(at)←→f(at–b)=f(at–b)←→六、頻移性質(zhì)如果f(t)←→F(jω)則證明:其中ω0是一個(gè)實(shí)常數(shù)。F

[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]例1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:

1←→2πδ(ω)

ej3t×1←→2πδ(ω-3)Example2頻移（調(diào)制）特性例例：已知矩形調(diào)幅信號(hào)

解：因?yàn)槠渲術(shù)τ(t)為矩形脈沖，脈寬為τ

，求頻譜函數(shù)。矩形脈沖gτ(t)的頻譜Gτ

(jω):由頻移特性：頻移（調(diào)制）特性例意義將頻譜的包絡(luò)線一分為二，向左、向右各平移ω0七、卷積性質(zhì)時(shí)域卷積定理：如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則

f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)頻域卷積定理：如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則

f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)ProofExample時(shí)域卷積定理的證明

F[f1(t)*f2(t)]因此：交換積分次序使用時(shí)移特性f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)卷積定理舉例例：結(jié)果:Usingsymmetry,八、時(shí)域的微分和積分如果f(t)←→F(jω)則證明:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)f(t)=(t)*f(t)f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→F[(n)(t)*f(t)]F[(n)(t)*f(t)]=時(shí)域的微分和積分如果f(t)←→F(jω)證明:時(shí)域微分定理：時(shí)域微分定理：兩邊對(duì)t求導(dǎo)：所以：反復(fù)：時(shí)域的微分和積分Examplef(-1)(t)=(t)*f(t)←→時(shí)域積分定理：證明:時(shí)域微分特性例1f(t)=1/t2←→?例1：Ans:

f(t)←→F(ω)F(t)←→2πf(–ω)例2：定義f(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2

F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)f，(t)=ε(t+2)–2ε(t)+ε(t–2)總結(jié):如果

f

(n)(t)←→Fn(jω)，且

f(-∞)+f(∞)=0

則

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n九、頻域的微分和積分如果f(t)←→F(jω)則

(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)其中：Example1頻域的微分定理：頻域的積分定理：例1假定f(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:注意:

tε(t)=ε(t)*ε(t)←→這是錯(cuò)誤的.

因?yàn)?)()

和(1/j)()

沒(méi)有定義。(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)例2DetermineAns:十、相關(guān)定理如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，f(t)←→F(jω)則

F[R12(τ)]=F1(jω)F2*

(jω)F[R21(τ)]=F1*

(jω)F2(jω)

F[R(τ)]=|F

(jω)|2Proof相關(guān)定理證明利用相關(guān)函數(shù)與卷積積分的關(guān)系

R12(τ)=f1(τ)*f2(–τ)

F[R12(τ)]=F[f1(τ)*f2(–τ)]=F[f1(τ)]F[f2(–τ)]由于F[f2(–τ)]

=F2(–jω)=F2*(jω)

所以：F[R12(τ)]=F1(jω)F2*(jω)§4.6能量譜和功率譜帕斯瓦爾關(guān)系Parseval’sRelation

能量譜功率譜能量譜和功率譜分析一．帕塞瓦爾關(guān)系Parseval’sRelation

ExampleProof帕塞瓦爾能量關(guān)系證明證法一：證法二證明方法二由相關(guān)定理知所以又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是因此，得帕塞瓦爾能量關(guān)系例ForexampleDeterminetheenergyofAns:二．能量譜密度（能量譜）

定義能量譜指單位頻率的信號(hào)能量，記為E(ω)在頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為E(ω)df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的總能量E(ω)E(ω)由帕塞瓦爾關(guān)系可得E(ω)=|F(jω)|2R(τ)←→E(ω)能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。三、功率譜是功率有限信號(hào)

則

的平均功率為：

定義功率譜指單位頻率的信號(hào)功率，記為P(ω)

在頻帶df內(nèi)信號(hào)的功率為P(ω)df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的總功率P(ω)P(ω)P(ω)=因此R(τ)←→P(ω)功率有限信號(hào)的功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。維納-欣欽關(guān)系式例1例2功率譜例1求余弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解：對(duì)此功率有限信號(hào)，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有求功率譜因?yàn)楣β视邢扌盘?hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換,所以功率譜為:P(ω)功率譜例2白噪聲，其功率譜密度為PN(ω)=N(常量)，-∞<ω<∞解：利用維納-欣欽關(guān)系式，得自相關(guān)函數(shù)由于白噪聲的功率譜密度為常數(shù)，所以白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為沖激函數(shù)，表明白噪聲在各時(shí)刻的取值雜亂無(wú)章，沒(méi)有任何相關(guān)性。求自相關(guān)函數(shù)。四、能量譜和功率譜分析時(shí)域頻域因此

顯然

物理意義：響應(yīng)的能譜等于激勵(lì)的能譜與|H(jω)|2的乘積。同樣，對(duì)功率信號(hào)有

Py(ω)=|H(jω)|2Pf(ω)例功率譜分析例解：系統(tǒng)函數(shù)為輸出功率譜：自相關(guān)函數(shù)考慮到由得平均功率§4.7周期信號(hào)的傅里葉變換

正余弦函數(shù)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換

傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系周期信號(hào)：f(t)←→傅里葉級(jí)數(shù)Fn

離散譜

周期信號(hào)的傅里葉變換如何求？與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系？非周期信號(hào)：f(t)←→傅里葉變換F(jω)

連續(xù)譜一．正、余弦函數(shù)的傅里葉變換已知1←→2πδ(ω)同理e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)ejω0t←→2πδ(ω–ω0)

頻移特性

頻譜圖（a）余弦函數(shù)及其頻譜（b）正弦函數(shù)及其頻譜圖4.6-1

正、余弦函數(shù)及其頻譜二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換說(shuō)明：(1)離散譜---周期信號(hào)fT(t)的傅氏變換由沖激序列(2)譜線的幅度不是有限值，而是沖激函數(shù)；組成，且沖激函數(shù)僅存在于諧波頻率處；ejnΩt←→2πδ(ω–nΩ)(3)含義—在頻譜點(diǎn)取得無(wú)限大的頻譜值。指數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)：傅里葉系數(shù)：(t10tgτ)2t-2t矩形脈沖周期矩形脈沖矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜離散譜連續(xù)譜圖4.7-2

周期矩形脈沖的傅里葉變換展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)→傅里葉系數(shù)Fn進(jìn)行傅里葉變換→頻譜密度F（jw）周期信號(hào)傅氏變換例例1：周期性單位沖激函數(shù)序列如圖，求其傅里葉變換。解：1tωT2T3T-T00Ω2Ω3Ω-Ω表達(dá)式：傅里葉系數(shù)：周期信號(hào)的傅里葉變換：Ω在積分區(qū)間內(nèi)只有δ(t)周期信號(hào)傅氏變換例1tωT2T3T-T00Ω2Ω3Ω-ΩΩFSFT例2：周期性矩形脈沖信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號(hào)f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)·

F0(jω)F(jω)f0(t)=g2(t)←→,即單脈沖信號(hào)f0(t)，則一般：從周期信號(hào)fT(t)中截取一個(gè)周期如fT(t)=T(t)*f0(t)其中F(jω)=ΩΩ(ω)·

F0(jω)=

F0(jω)·

ΩΩ(ω)時(shí)域卷積定理周期信號(hào)fT(t)傅氏變換的求解方法三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換關(guān)系截?。阂粋€(gè)單脈沖f0(t)，其傅氏變換F0(jω)Fn：周期信號(hào)fT(t)的傅里葉系數(shù)F0(jω)：第一個(gè)周期的單脈沖信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換的兩種求解方法:兩者關(guān)系:§4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

基本信號(hào)ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j)的求法無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波

傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：其基本信號(hào)為ejt一．虛指數(shù)函數(shù)ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω上式積分

正好是h(t)的傅里葉變換，y(t)=H(j)ejt表明：激勵(lì)為幅度為1的虛指數(shù)函數(shù)ejωt時(shí)，系統(tǒng)y(t)=h(t)*ejt由卷積定義：的虛指數(shù)信號(hào)ejt時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)

記為H(j)，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。的響應(yīng)是系數(shù)為H(j)的同頻率虛指數(shù)函數(shù)。二、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j)ejtF(j)ejtdF(j)H(j)ejtd齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)頻域分析法步驟：頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變

H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；φ()稱為相

傅里葉變換法換Y(j)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即

頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，φ()是的奇函數(shù)。頻域分析例例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)解法二：用三角型傅里葉級(jí)數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)三、頻率響應(yīng)H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]H(j)=Y(j)/F(j)（1）由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。（2）由電路直接求出。例頻率響應(yīng)例1例4.8-2某系統(tǒng)的微分方程為解：對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j)+2Y(j)=F(j)f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)求輸入f(t)=e-tε(t)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。y′(t)+2y(t)=f(t)考慮到?jīng)_激函數(shù)的取樣性質(zhì)，并將上式第二項(xiàng)展開(kāi)，得取式（4.7-8）的傅里葉逆變換，得輸出電壓上式是大家熟知的結(jié)果，這里只是用它來(lái)說(shuō)明頻域分析的基本方法。四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波

系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：信號(hào)的傳輸濾波傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。

1、無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為

y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為

Y(j)=Ke–jtdF(j)

(2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a)對(duì)h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)對(duì)H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)時(shí)，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。例相位特性為什么與頻率成正比關(guān)系？只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時(shí)間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延遲時(shí)間td是相位特性的斜率：群時(shí)延或稱群延時(shí)在滿足信號(hào)傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時(shí)延特性應(yīng)為常數(shù)。

例失真的有關(guān)概念線性系統(tǒng)引起的信號(hào)失真由兩方面的因素造成●幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；●相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置產(chǎn)生變化。

●線性系統(tǒng)的失真——幅度，相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分；●非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真——產(chǎn)生新的頻率成分。

對(duì)系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：●無(wú)失真?zhèn)鬏?；●利用失真波形變換。2、理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。

理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫(xiě)為：●

的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真

。理想低通的沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g

2c()e-jtd]=可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。理想低通的階躍響應(yīng)g(t)=h(t)*(t)=

經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分階躍響應(yīng)波形說(shuō)明（1）上升時(shí)間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時(shí)間，：（2）有明顯失真，只要c<∞，則必有振蕩，其過(guò)沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895一種可實(shí)現(xiàn)的低通理想低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，近似理想低通濾波器的實(shí)例3、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0,t<0

即

響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。

就頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足

并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）

從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。§4.9取樣定理

信號(hào)的取樣取樣定理

取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一．信號(hào)的取樣

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。

這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)fs(t)

。

它是對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。脈沖序列數(shù)字處理過(guò)程：需要解決的問(wèn)題：Fs(jω)與F(jω)的關(guān)系由fs(t)能否恢復(fù)f(t)?1．理想取樣（周期單位沖激取樣）

f(t)←→F(jω)(–ωm<ω<ωm)

s(t)←→S(jω)

fs(t)←→Fs

(jω)2．沖激取樣信號(hào)的頻譜×=*=TS取樣間隔ωS

取樣角頻率畫(huà)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm

,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t);

否則將發(fā)生混疊。二、時(shí)域取樣定理

一個(gè)頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號(hào)f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts≤1/(2fm)]上的樣點(diǎn)值f(kTs)確定。恢復(fù)由取樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)理想低通濾波器濾除高頻成分，即可恢復(fù)原信號(hào)從時(shí)域運(yùn)算解釋對(duì)ωC要求:ωm≤ωC≤ωS-ωm時(shí)域運(yùn)算以理想抽樣為例理想低通濾波器：

說(shuō)明連續(xù)信號(hào)f(t)可以展開(kāi)成Sa函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)等于取樣值f(nTs)。也可以說(shuō)在取樣信號(hào)fs(t)的每個(gè)取樣值上畫(huà)一個(gè)峰值為f(nTs)的Sa函數(shù)波形，由此合成的信號(hào)就是fs(t)。奈奎斯特(Nyquist)頻率和間隔注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：（1）f(t)必須是帶限信號(hào)；（2）取樣頻率不能太低，必須fs≥2fm，或者說(shuō)，取樣間隔不能太大，必須Ts≤1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。

通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率；

把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。頻域取樣定理根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)偶性，可推出頻域取樣定理:一個(gè)在時(shí)域區(qū)間（-tm，tm)以外為0的時(shí)限信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs[fs≤1/(2tm)]上的樣值點(diǎn)F(jns)確定?！?.10序列的傅里葉分析周期序列序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換DTFT)四種傅里葉變換的特點(diǎn)和關(guān)系

將傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的分析方法應(yīng)用于離散時(shí)間信號(hào)稱為序列的傅里葉分析。一．周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)

周期序列記為fN(k)，N為周期，數(shù)字角頻率為

由于也是周期為N的序列，即由于

也是周期為N的序列，即則fN(k)可展開(kāi)為推導(dǎo)注意：ejk是周期為2π的周期函數(shù)。離散傅里葉系數(shù)推導(dǎo)兩端同乘e-jmΩk，并在一個(gè)周期求和，有上式右端對(duì)k求和時(shí)，僅當(dāng)n=m時(shí)為非零且等于N，故上式可寫(xiě)為DFS定義令則FN(n)稱為離散傅里葉系數(shù)。稱為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DiscreteFourierSeries,DFS)。令

則

離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)注意：fN(k)只有N個(gè)諧波分量。例離散傅里葉級(jí)數(shù)例例求圖所示周期脈沖序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解周期N=4，=2/N=/2，求和范圍取為[0，3]

fN(k)=[2+(1–j1)ej0.5πk

+(1+j1)ej1.5πk]/4=0.5[1+cos(0.5πk)+sin(0.5πk)]二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)周期序列fN(k)非周期序列f(k)連續(xù)譜；離散譜1.引出0θ定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)為逆變換的導(dǎo)出fN(k)→f(k)由于n的取值周期為N，2πn/N的周期為2，所以θ周期為2

。

非周期序列的離散時(shí)間傅里葉逆變換表示說(shuō)明：F(ejθ)是θ的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。DTFT存在的充分條件是f(k)滿足絕對(duì)可和，即例DTFT舉例例：求下列序列的離散時(shí)間傅里葉變換。

解

F1(ej)=DTFT[f1(k)]=三、四種傅里葉變換的特點(diǎn)和關(guān)系

，，類(lèi)別時(shí)域特點(diǎn)頻域特點(diǎn)(連續(xù))傅里葉級(jí)數(shù)(CFS)連續(xù)、周期信號(hào)fT(t)（周期為T(mén)）離散、非周期頻譜Fn(離散間隔為Ω=2π/T)(連續(xù)時(shí)間)傅里葉變換(CTFT)連續(xù)、非周期信號(hào)f(t)連續(xù)、非周期頻譜F(j)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)離散、周期序列fN(n)（周期為N）

離散、周期頻譜FN(n)（周期為N,離散間隔為Ω=2π/N)離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)離散、非周期序列f(k)連續(xù)、周期頻譜F(ej)（周期為2）一般說(shuō)來(lái)，在一個(gè)域中為連續(xù)的表示，在另一個(gè)域中就是非周期性的表示；與此對(duì)比，在一個(gè)域中為離散的表示，在另一個(gè)域中就是周期性的表示。

關(guān)系fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)(CFS)與f(t)的傅里葉變換(CTFT)的關(guān)系f(t)為剪裁fT(t)主周期得到的非周期信號(hào)。

fN(k)的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)與f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的關(guān)系FN(n)=F(ej)，F(xiàn)(ej)=FN(n)f(k)為剪裁fN(k)主周期得到的非周期序列?！?.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散傅里葉變換DFT與DTFT、DFS的關(guān)系DFT

的性質(zhì)

離散信號(hào)分析和處理的主要手段是利用計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換F(ej)是的連續(xù)函數(shù)。為便于計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，引入離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform,DFT)一．離散傅里葉變換(DFT)

借助周期序列DFS的概念導(dǎo)出有限長(zhǎng)序列的DFT。將有限長(zhǎng)序列f(k)延拓成周期為N的周期序列fN(k)若將f(k)，F(xiàn)(n)分別理解為fN(k)，F(xiàn)N(n)的主值序列，那么，DFT變換對(duì)與DFS變換對(duì)的表達(dá)式完全相同。

例DFT舉例例：求下列矩形脈沖序列的離散傅里葉變換。