2022-2023學(xué)年山西省太原市校高二年級上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年山西省太原市校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

X2y2,X2y2

---1---=1-------=1

1.橢圓4/與雙曲線。22有相同的焦點(diǎn)，則()

A.-IB.1C.±1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決即可.

【詳解】由題知，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在x軸上，且焦點(diǎn)相同，

所以c="一/=\la2+2,

解得a=±l(經(jīng)檢驗，都符合題意)，

故選：C.

心|33一人)

2.若函數(shù)/()可導(dǎo)，則以旬3等于()

A.卬①B./①C.f①「‘出

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義得—4，根據(jù)

|im./(l-Ar)-/(l),1lim川+3)]二川)

3。2Ar2^-0-Ar,即可求出結(jié)果.

/(1-Ax)-/(1)_1./[l+(-Ax)]-./(l)_1

【詳現(xiàn)軍]以…2Ar2-Ax2

故選：C.

V3

y——x

3.已知雙曲線的一條漸近線方程為3,虛軸長為2,則該雙曲線的焦距為()

473473

A.2B.4C.2或3D.4或3

【答案】D

【分析】分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況，根據(jù)漸近線求得。力的關(guān)系，根據(jù)虛軸長求得b的值,

進(jìn)而得到。的值，然后利用a力，。的平方關(guān)系求得c的值，進(jìn)而得到焦距2c的值.

【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為2a,虛軸長為26,焦距為2c.

=-與=1（。］>0）y=+-x

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，雙曲線的方程為少從，漸近線方程為。

百b垂）

y——x-二—

???已知雙曲線的一條漸近線方程為‘3，:.a3,

又?.?虛軸長2b=2,...a=56=1,

...c=y[a~+b~=2，二焦距2c-4.

4-二■=l（a,6>0）y=±—x

當(dāng)焦點(diǎn)在歹軸上時，雙曲線的方程為?！?，漸近線方程為b

a

y=-x=

???已知雙曲線的一條漸近線方程為3,.JT,

aJL

又二,虛軸長26=2,...3,6=1,

c7/+b2=空2c;處

3一?.焦距3

故選:D.

4.已知知是拋物線C：/=4y上一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)N?，-2）,若|〃尸|=加尸］,則

的面積為（）

A.2五B.2上C.36D.36

【答案】C

【分析】利用已知條件求出點(diǎn)"（X。'比）坐標(biāo)，代入面積公式求解即可.

【詳解】已知點(diǎn)/?D,設(shè)點(diǎn)Mx。-。），也尸口。+1,又也尸1=1忖=3,故%=2,故|%|=2及，

=1=372

故選：C

5.設(shè)PH#是雙曲線《一丁=1的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式+/一2歹+1-+/_6X+9的最小

值為（）

AVToB2>/5—VToQx/To-V5DA/5+>/6—3

【答案】B

【分析】設(shè)"（o』）'7"。,。）,所求式表示歸山一盧周，利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，利用距離三角不

等式即可求得最小值.

［詳解］J.?+.2_2y+］-Jx、+/-6x+9=J、+（y-］）2_^（x-3）-+y2,

X2y2

設(shè)“（0,1）,尸（3,。）,上式表示M|一|"|,由于雙曲線丁-7=1的左焦點(diǎn)為尸（-3,。）,“3,。），

雙曲線的實(shí)軸2a=2石產(chǎn)卜加-2a=|尸尸［-2石，

\P^-\PF\=\PA\-\PF'\+2亞=-Q叫-附）+2亞

「尸1-歸/閆/尸1=行］=布,當(dāng)「在尸為的延長線與雙曲線右支的交點(diǎn)處時取到等號，所以

附-附=-（|PPH白上2石的最小值為26一加

故選：B

X2_

—+y2=1

6.已知橢圓4?,點(diǎn)P是橢圓第一象限上的點(diǎn)，直線/是橢圓在點(diǎn)尸處的切線，直線/分別交

兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)M，N.則AOW面積的最小值是（）

A.2B.4C.2&D.4a

【答案】A

￡Zl

【分析】設(shè)必（見°）,N（0，"），機(jī)得直線MN方程為機(jī)+n=,由直線與橢圓相切可得

—m2n2—mn

孫〃的關(guān)系，由基本不等式求得4的最小值，即得面積2的最小值.

±Z

【詳解】設(shè)阻（嘰°）,N（0，"）,直線方程為機(jī)+〃=,1

M『2=1.

<

xy.,12/2

--F—=1（-+―-）x------X4-/7-1=0

由1加〃得4加m

...直線MN與橢圓相切,

24/

.4/24.A2IXA

△=-7-4(-+—)(?*--1)=0m=——

所以病4加2化簡得〃-1,

由橢圓方程知〃>1,

；/〃2=含="2+1+力=(〃2-1)+達(dá)+2N2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃2-1=￡

即“=/時

等號成立.

Sc.=-tnn

所以2取得最小值2.

故選：A.

7.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射

x2y2

E:-----——1((2>0,Z?>0)

光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線?！ǖ淖?、右焦點(diǎn)分別為

tanZ.CAB-12

小月，從巴發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的48兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，且‘a(chǎn)11一一M,

2

\BD\=ADRDt則雙曲線E的離心率為(

2屈V14

A.5B.5C.5D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量數(shù)量積為0的條件，判定結(jié)合已知

AF,13

條件得到8耳12,設(shè)出M制=13"，表示出直角三角形"84的其余邊，結(jié)合雙曲線的定義表示

出監(jiān)此，利用忸耳|+此=/建立方程求得。=5根，進(jìn)而求得此I

=2m,然后利用勾股定理求得歸從而得到,=亞加，從而得到離心率的值.

【詳解】如圖，由1瓦汗="。?筋，有而2+方.麗=o,

可得而?+而)=。，可得而屈=0,有BDJ.AB.

F.AB=—

在RtZ\Z8O中，由5,

不妨設(shè)忸用=12"'"">°),貝=由勾股定理得"用=

又由雙曲線的定義可得附=13*2a,此=12m-2a,

根據(jù)M+此I=|陽可得03加-）+（12〃L2a）=55，

解得。=5機(jī),所以忸閭=2冽,

22

在RtA￡8E中，2c=\FtF2\=yj\44m+4m=2737m（可得°=歷加

c_y/31m737

故雙曲線E的離心率為0。5加5.

8.已知雙曲線匚/-3二1?''。）的左、右焦點(diǎn)分別是勺

用，點(diǎn)C是雙曲線「右支上異于頂

CD=2.

2eR,若7而-5反+西=6,則

點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)。在直線x=”上，且滿足

雙曲線「的離心率為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

CD=A

【分析】根據(jù)的角平分線上，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義以及切線

長性質(zhì)可判斷。為△打牛的內(nèi)心，結(jié)合重心的向量表示以及重心的性質(zhì)，即可得

15：陽:怩周=4:3:5,進(jìn)而由離心率公式即可求解.

【詳解】由于點(diǎn)。在直線上,，可知。在/耳’耳的角平分線上,

設(shè)8的內(nèi)切圓分別與邊HC,耳工C用相切于點(diǎn)M，N,Q,（如圖1）則有切線長定理可得

|CM|=|C0|,|肛|=|N劇,“用=|C0|

5

結(jié)合雙曲線的定義可得防T明卜網(wǎng)1=2網(wǎng)=2心l°M”,所以“；叫的內(nèi)心在直線

x=。上，故。為鋁紙的內(nèi)心，

由痂-5反+小6得祝-7歷-布修反+7而-②=6,由于。是“的中點(diǎn)所

以而專件+西），

因此5反+g密+函何-函）=6=5反+4函+3函=6

分別延長DC，DF”DF\至C&F$隼使得DC<t=5DC,DF^=4麗，麗=3諉，如圖?

故小西+訴=6,因此。是A"和的重心，

設(shè)S.叫=肛%*=〃￡呀=P，由Q是AC咐F的重心，所以Sz=Ss=s用抑=也”，

乂S.C”=；|OCMwLsinE）CPE=|||M4lMsinDCP/；：=1V^\DC^DF^sinDCPF

=J_,_

15次邱，DSA比印—15〃？，同理工/乂”一20〃,5期中廣12p,即]5次=2o〃=]2p,故

加：〃：〃=4:3:5

由于。為“GC尸2的內(nèi)心，故。到記C鳥三條邊的距離相等，可得@|：|明：麻21=4：3:5,

因此瑞?，敒橹苯侨切危择-您|=2a,|￡闖=2c,

c_2c,|^|_5_5

因此離心率2a函-笛4-3,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)心，重心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).對于離心

率問題，要充分挖掘幾何性質(zhì)和圖形中體現(xiàn)的等量關(guān)系，建立出“力，C的關(guān)系系，從而求解離心率.

二、多選題

--------1---------=1

9.己知曲線C的方程為機(jī)+28-2加，則（）

A.當(dāng)機(jī)=2時，曲線C為圓

芹

y—±—x

B.當(dāng)力=5時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為7

C.當(dāng)1時，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

D.存在實(shí)數(shù)機(jī)使得曲線C為雙曲線，其離心率為血

【答案】AD

【分析】對于AB,代入曲線C的方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的性質(zhì)即可判斷：

對于C,結(jié)合選項B的分析舉反例即可排除；

對于D,先由曲線C為雙曲線求得〃，的范圍，再由離心率為及求得分類討論機(jī)＜-2與

加＞4兩種況情，從而求得旭=1。,據(jù)此判斷即可.

【詳解】對于A,當(dāng)加=2時，方程機(jī)+28-2加可化為44,即廠+P所以曲線

°是圓，故A正確；

對于B,當(dāng)〃?=5時，方程機(jī)+28-2?2可化為72,所以曲線C為雙曲線，其漸近線方

^714

y=±---x

程為‘7,故B錯誤；

對于C,當(dāng)時，不妨令機(jī)=5,由選項B可知曲線C為雙曲線，故C錯誤;

對于D,假設(shè)存在實(shí)數(shù)機(jī)使得曲線C為雙曲線，其離心率為虛,

因為曲線C為雙曲線，所以（帆+2）（8-2"?）＜°,解得加＜-2或機(jī)＞4,

因為雙曲線離心率為亞，即￡一，結(jié)合。2=/+4,易得

______=—=1

當(dāng)〃?＜一2時，曲線c：8-2/72一（"?+2）,則2機(jī)=一（機(jī)+2）,解得機(jī)=10,舍去；

---^=1

當(dāng)機(jī)＞4時，曲線c：機(jī)+22機(jī)-8,則，“+2=2加-8,解得機(jī)=10,滿足題意；

綜上：存在機(jī)=10滿足題意，故D正確.

故選：AD.

《=1

10.已知橢圓元+正二,可、鳥分別為它的左、右焦點(diǎn)，A、8分別為它的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是

橢圓上的一個動點(diǎn)，下面結(jié)論中正確的有（）

A.阿+尸局的最小值為8

7

B.cosN《P6的最小值為石

/FPF=巴16G

C.若,2-3,則△片桃的面積為丁

16

D.直線4與直線總斜率乘積為定值石

【答案】ABC

【分析】設(shè)點(diǎn)°（x。，％）,則利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模長公式可判斷A選項；

利用余弦定理結(jié)合橢圓定義、基本不等式可判斷B選項；利用三角形的面積公式可判斷C選項；

利用斜率公式可判斷D選項.

-X

【詳解】對于A選項，設(shè)點(diǎn)尸（X。，/）,則與石"，且%-25",耳（-3,0）、月。，。）,

西+麗=（-3-%,-%）+（3-%,-%）=（-2x,-2y）

00f

|所+阿=2jx：+y；=2，；+16-柴=2/6+誓28

所以，VV”,

當(dāng)且僅當(dāng)%=°時，等號成立，故阿+明的最小值為8,A對;

對于B選項，設(shè)仍匹卜"?，歸閭=",其中機(jī)+"=10,

nr+n2-4c2（/n+/7）2-4c24a2-4c23232

cosZ-FPF=---------------=-------------1=----------1=----1>------了-1

X22mn2mn2mnmn（加+

〔三J

_32_1_2_

2525,當(dāng)且僅當(dāng)加=力=5時，等號成立，

7

因此，8S/K產(chǎn)鳥的最小值為云，B對；

cosZ.F.PF-,=-1=—mn=—

對于C選項，由B選項可知'mn2,可得3,

C1.兀16G

S^,PF=-mnsm-=

所以,23C對;

—（25-xj）

"="人=42=25^

對于D選項，由題意可知與H±5,則x°+5x°-5x0-25x0-2525,口錯.

故選：ABC.

11.已知正方體的棱長為2,"為的中點(diǎn)，N為正方形/8CD所在平面內(nèi)一

動點(diǎn)，則下列命題正確的有（）

A.若MN=2,則"N的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為兀

71

B.若MN與平面/BCZ）所成的角為則N的軌跡為圓

C.若N到直線8片與直線。c的距離相等，則N的軌跡為拋物線

兀

D.若2N與所成的角為5,則N的軌跡為雙曲線

【答案】BCD

【分析】設(shè)MN中點(diǎn)為，，中點(diǎn)為。，連接P。，計算出尸?？芍能壽E為圓可判斷A；根

據(jù)已知算出。N,可判斷B；根據(jù)拋物線定義可判斷C；以DA、DC、所在直線分別為x軸、y

軸、Z軸，利用向量的夾角公式計算可判斷D.

unurwTHQ=-DN

【詳解】對于A,設(shè)MN中點(diǎn)為，，OM中點(diǎn)為。，連接，0,則且2,

〃0=在

如圖，若MN=2,則所以。解=河/-。/=4-1=3,DN=6則~2,所以點(diǎn)，的軌

—S=兀廠=—

跡是以。為圓心，半徑為2的圓，面積4,故A錯誤;

「曾DM石

DN=------=——

3

tanZMND=-ZMND=-tan-

對于B,DN,3,則3,所以N的軌跡是以。為圓心，半

旦

徑為3的圓，故B正確;

對于C,點(diǎn)N到直線8用的距離為BN,所以點(diǎn)N到定點(diǎn)8和直線。C的距離相等，且8點(diǎn)不在直

線。C上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；

對于D,如圖，以。/、DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

N(x,y,0),￡),(0,0,2)；4(2,0,0),8(2,2,0)

D、N-AB田1

2

所以麗=(",-2)方=(0,2,0)DtN^AB舊+y+4x22

化簡得3/一》2=4,即3,所以N的軌跡為雙曲線，故D正確;

2

12.已知拋物線C：J'2=2px（P>0）與圓0：4/=5交于/,B兩點(diǎn),且即|=4,直線/過。

的焦點(diǎn)尸，且與C交于M,N兩點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

在

A.若直線/的斜率為3,則眼叫=8

B.陟1+2|陽的最小值為3+20

’。用3

C.若以心為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為I）,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2

D.若點(diǎn)G（2,2）,則4G尸M周長的最小值為4+石

【答案】BC

【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出"N坐標(biāo)聯(lián)立進(jìn)行求解當(dāng)，”=6時，1加叫二16,進(jìn)而判斷

選項A；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項B；畫出大致圖像過點(diǎn)”作準(zhǔn)線的垂

線，垂足為"'，交夕軸于例1,結(jié)合拋物線定義判斷選項C；過G作G”垂直于準(zhǔn)線，垂足為“，

結(jié)合4GFM的周長為阿6|+|加尸|+\GF\=\MG\+\MM'\+45>\GH\+45=3+45進(jìn)而進(jìn)行判斷選項

D即可.

【詳解】解：由題意得點(diǎn)°'2）在拋物線C：丁=2處上，

所以2=2p,解得P=2,所以c：V=4x,則尸（1，°）,

設(shè)直線/：戈='g+1,與/=以聯(lián)立得V-4吵-4=0,

設(shè)/（再，乂），N5,%）,所以必+為=4機(jī)，%為=-4,

所以\MN\=』+"/帆一力|=+（必+%丫一例為=4（1+/），

當(dāng)m=為時，WM=16,故人項錯誤；

1111x,+x+2機(jī)（凹+%）+44M2+4

------+------="+------2------------=1

|X]+1X2+1X^2+X]4-X24-1（必先）’-44"0+4A

----------F/W（凹+%）+3

16則

\MF\+212VF|=（|MF|+21NF\）-

當(dāng)且僅當(dāng)陟仁"&J陰4彳時等號成立,

故B項正確；

如圖，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為"'，交y軸于“I

取M/的中點(diǎn)為。，過點(diǎn)。作y軸的垂線，

垂足為R,則“必〃°尸，是梯形的中位線,

由拋物線的定義可得W閾=眼"卜也”卜阿尸1,

\OF\+\MM\_\+\MF\-\_\MF\

|阻=t

所以2―2~^7

所以以MF為直徑的圓與y軸相切,

V6

為圓與y軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,

又。為M尸的中點(diǎn)，所以點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為逐，

3

又點(diǎn)“在拋物線上，所以點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為萬，

故C項正確；

過G作G”垂直于準(zhǔn)線，垂足為〃，

所以△GF”的周長為|MG|+|MF|+|GE|=|MG|+|〃"|+J^|GH|+后=3+K

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1'2）時取等號，

故D項錯誤.

故選:BC.

三、填空題

y1"-=1—z?--r=l（di>0,h>0）,41、z-1

13.雙曲線0：4,設(shè)雙曲線/b-經(jīng)過點(diǎn)d，，且與C具有相同漸近線，則

C的方程為.

【答案】123

22

2X2X

y----1y----A,代入點(diǎn)（41）,即得解

【分析】所有與4共漸近線的雙曲線可表示為：.4,

2x2x2y2

y=1-r—=i（tz>o,z>>o）

【詳解】由題意，雙曲線4與〃2從共漸近線,

,2X2_2/

y----=1y----=A

所有與4共漸近線的雙曲線可表示為：.4

24~

由于過點(diǎn)（4J）,代入得到1一^一""一"

2/2

”-『3

，即123

xi_/=1

故答案為：123

/(x)=/“與卜inx+cosx

14.己知函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)為了‘（X）

【答案】一也

/（x）=/'田sinx+cosxX=1

【分析】對13J求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)的3即可計算解出

f(x)=f'\—jsinx+cosx

【詳解】?'Bl

則以cosx-sinx

故答案為：

E:=+4=l(a>b>0)

15.已知橢圓或b-的左、

點(diǎn)，且尸尸2，相,且工相一2"‘熙川瑪。卜匕則橢圓E的短軸長為

【答案】20

【分析】連接尸勺根據(jù)橢圓的對稱性可知與里°為矩形，根據(jù)已知條件，利用橢圓的定義求得

。=2,利用勾股定理，結(jié)合己知三角形的面積，求得b的值，進(jìn)而得解.

【詳解】連接尸耳。耳，根據(jù)橢圓的對稱性可知6P&。為矩形，

由阿|+附|=2a=4,得0=2,

由附f+|叫2=|甲球=4c2,結(jié)合附|+|因=2a,

求得2附||P周=4(a2-c2)=462=4S.2=4x；a2=8

..*=四,

橢圓的短軸長為油=2&,

故答案為：2五.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是利用對稱性，連接26,根據(jù)橢圓的對稱性可

知內(nèi)「乙。為矩形，注意熟練掌握橢圓的定義是關(guān)鍵.

16.在圓錐2°中，己知高產(chǎn)0=2,底面圓的半徑為4,/為母線％的中點(diǎn)；根據(jù)圓錐曲線的定

義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的序號

①圓的面積為4萬；

②橢圓的長軸為亞；

_3

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為4

475

④拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為三一.

【答案】①②

【分析】①根據(jù)點(diǎn)用是母線的中點(diǎn)，易得截面的半徑廠=2求解判斷；②利用余弦定理求解判斷；

③在與底面、平面尸48的垂直且過點(diǎn)"的平面內(nèi)，以M為右頂點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易得雙曲線與

底面的交點(diǎn)為CG'2&),將其代入雙曲線方程求解判斷；④以M為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，易得

拋物線與底面的交點(diǎn)為eg*),將其代入拋物線方程求解判斷：

【詳解】①：點(diǎn)河是母線的中點(diǎn)，，截面的半徑廠=2,因此面積=乃、22=4/,故①正確；

②因為在圓錐尸°中，高20=2,底面圓的半徑為4,所以4==疝，由余弦定理得

COSNAPB/P2+BP-B2=33

2APBP405,所以橢圓的長軸為

22

=yjAP+MP-2AP-MP-cosZAPB=y/31t故②正確;

③在與底面、平面尸/8的垂直且過點(diǎn)”的平面內(nèi)，以M為右頂點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為靛一記一乂"'"＞°),則“(L°),即。=1,易知雙曲線與底面的交點(diǎn)為

(22也、4一鳥=16=2,「.2=2

CV9A將其代入雙曲線方程可得b2,解得a,設(shè)雙曲線兩漸近線的夾角為

“2x24

tan20=---=一

29,1-2-3,③不正確：

④以M為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為『二2px,由②易知拋物線與底面的交點(diǎn)為c《行'4),將其代入拋物

=8-8A/5

線方程可得平=2。＞＜解得'一飛一，.?.拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離P為飛一，④不正確，

故答案為：①②

四、解答題

17.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴y=sinx+3x2+x.⑵=x2(Inx+sinx).

2x1

(3)'x2+l.(4)(l-3x>.

［答案］(i)y'=cosx+6x+l；(2)yr=2xlnx+2xsinx4-x+x2cosx.

=2(—2)

(3“(XT),⑷"僅一

【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴因為尸sinx+3x2+x,所以/=cosx+3x2x+l=cosx+6x+l；

(2)因為y=x“l(fā)nx+sinx),所以/=(『)(心》+411尤)+才2(111》+$m》),

y>=2x(Inx+sinx)4-x21—+cosx|,

化簡可得，\x)=2xlnx+2xsinx+x+x2cosx.

2x

y=-------

(3)因為x2+l,由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則可得，

,(2x)'+2x(x2+1)2(X2+1)-2X-2X2(1-X2)

2222

」(x+l)(41)2(x+l)；

(4)因廣FW,所以7(1-3X)」'(1-3X)J(1.3X『X(-3)

化簡可得，"=I2(1_3X)[

【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；考查運(yùn)算求解能力；

熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.

18.設(shè)函數(shù)"'"Minx)(人為常數(shù))，名⑸二一嚏/⑺曲線N=/(x)在點(diǎn)(1J0))處的切線

與x軸平行

⑴求人的值；

⑵求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】

(2)單調(diào)遞減區(qū)間為(°」)，單調(diào)遞增區(qū)間為°'+8).

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得；

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，在定義域內(nèi)研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間.

【詳解】⑴/OMlnx),

//(x)=^-lnx-l

因為曲線在點(diǎn)a/。))處的切線與x軸平行，

所以/

所以1=1.

⑵g(x)=fx)=「+lnx,定義域為｛小叫，

g'(x)=_>:=?

令g'(x)=。，得x=l,

當(dāng)X變化時，g'(x)和g(x)的變化如下表：

X(0,1)1(1,+8)

g'(x)

——0+

g(x)

增0減

由上表可知g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(1'+°°),

19.如圖，已知拋物線C：丁=2川(">0)的焦點(diǎn)廠到其準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求p的值；

(2)設(shè)過焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線C交于/,8兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△/OB的面積為S,當(dāng)

附附=6S時,求直線’的方程

【答案】⑴2

(2)x—2\/2y-1=0或x+2.y[2.y—1=0

【分析】(1)由拋物線的幾何性質(zhì)可得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距離為0,根據(jù)已知即可得到"的值；

(2)根據(jù)題意可設(shè)直線/的方程為、=毆+1,利用韋達(dá)定理可三角形面積公式得到S"。,關(guān)于，〃的

表達(dá)式，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求得歸關(guān)于機(jī)的表達(dá)式，根據(jù)已知得到關(guān)于〃，的方程，求解

后即得直線/的方程.

i尸/x=-—

【詳解】(1)拋物線C：y=2px(p>0)焦點(diǎn)為(2)t準(zhǔn)線為2,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距

離為P,由已知得拋物線C：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)n到其準(zhǔn)線的距離為2,

(2)由(1)可得拋物線的方程為V=4x,焦點(diǎn)產(chǎn)。，0),

顯然直線/的斜率不可能為零，故可設(shè)直線/的方程為欠=叼+1,

代入拋物線方程整理得V-4叼-4=0,

設(shè)“包，乂)B(X2%)，則必+%=4〃?，為%=-4

S.AOB=11。同比-%|=gJ(4w7-4x(-4)=2ylm2+\

I尸山閥=(%+就X2+5)=a+1)(z+1)=(孫+2)(叼2+2)

=m2yly2+2m(必+y2)+4=-4〃/+8〃?？+4=4加？+4

由歸，MM=6S,得4M72+4=124?2+l,解得〃?=±20,

二直線/的方程為x-2⑦-1=°或x+2&y-l=°.

1

20.已知雙曲線.a2b2的焦距為4,以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線

x-y+#=°相切

(1)求雙曲線后的方程；

(2)已知點(diǎn)廠為雙曲線￡的左焦點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)加，過點(diǎn)加任意作一條直線/交

雙曲線E于P,。兩點(diǎn)，使麗.而為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)河的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

【答案】⑴3-

(2)存在，定值為1,"(一3一廄°)

【分析】(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式求得。的只，再根據(jù)焦距，求得方即可求解；

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)“，先在直線垂直于N軸時，求得定值，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，分析

驗證直線不垂直于N軸時，求得此定值的情況，從而得出結(jié)論.

d=7b=6

【詳解】（i）原點(diǎn)到直線x-y+&=°的距離6,

...c=2,a=VJ,：.b=\t

v.2

E:-y2=\

雙曲線E的方程為3?.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（〃?，0）滿足條件，

①當(dāng)直線/方程為…時，則。（一后。）。/。）？"。），

,爐河式肉2,0）S+2,0）=l

2

②當(dāng)直線/方程不是N=°時，可設(shè)直線/：x=O+m,@片土百）代入“：§一-’’川

整理得（“一3）西+2機(jī)少+機(jī)2一3=。［*±百），*

由△>（）得加2+*>3,

_2mt_m2-3

設(shè)方程*的兩個根為必，%,滿足"+"-I2-3*_3,

...FPFQ=（tyl+m+2,yxy（ty1+m+2,y1）

=C+1）yty2+1（相+2）（必+力）+（機(jī)+2）2

t2-2m2-\2m-\5

=,

當(dāng)且僅當(dāng)2"「+12"?+15=3時，尸2尸。為定值1,

解得"?=-3±石，

機(jī)=-3+6不滿足對任意〃±73,A>0,.,.不合題意，舍去.

而且加=_3_石滿足△>（）；

綜上得：過定點(diǎn)“卜3一6,0）任意作一條直線/交雙曲線E于P,Q兩點(diǎn)，

使而?河為定值1.

x2,P1,也］

21.已知橢圓靛+F一“>>上有點(diǎn)（'2左、右焦點(diǎn)分別為耳

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)。為橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓上有異于0的兩點(diǎn)〃，N滿足%M+%N=1,求證：直線MN恒過

定點(diǎn).

--y=1

【答案】⑴2

（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)題意可求得°，6，c的值，即得答案.

（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程＞"=履+'并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)

合勺”+%,v=l化簡可得參數(shù)人/的關(guān)系式，從而化簡直線方程，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率不存在

時，可同理推得直線過該定點(diǎn).

2a=\PFt\+\PF2\

【詳解】（1）根據(jù)橢圓定義得,即,

2

____Xt2_|

c=l,..b=yla2-c2故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為了+'一.

（2）證明：設(shè)加（再，必），*&,%）,當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)直線也義方程：""+f,

則由題意得演馬，將必=g+‘，%=包+，代入整理得:

(2發(fā)一1)》R2+?-l)(X1+%)=0(*),

將"履+/代入橢圓方程萬+…整理得（1+2k工＞2+4板+2/-2=0,