第四章-整群抽樣課件

第四章整群抽樣4.1引言4.2群規(guī)模相等時的估計4.3總體比例的估計6/9/20231第一節(jié)引言一.整群抽樣的定義與特點(一)定義整群抽樣（clustersampling）或集團抽樣,是將總體劃分為若干群，然后以群為抽樣單元，從總體中隨機抽取一部分群，對中選群中的所有基本單元進行調(diào)查的一種抽樣技術(shù)。6/9/20232【例1】對某校的學生思想或身體情況進行調(diào)查:

某校學生學生宿舍宿舍學生估計某居民區(qū)現(xiàn)有的電話擁有率全體居民若干幢樓居民【例2】某地小學生的視力狀況進行調(diào)查【例3】

某地小學生某所小學小學生6/9/20233整群抽樣是由一階抽樣向多階段抽樣過渡的橋梁。此章介紹的是單階段整群抽樣。

注:多階段抽樣與多階段整群抽樣的不同。

(二)特點

1.抽樣框編制得以簡化。在大規(guī)模抽樣調(diào)查中，常常沒有或很難編制出包括總體所有次級單元在內(nèi)的抽樣框，而整群抽樣則不需要編制龐大的抽樣框。因此,在缺少基本單元名單,但群有現(xiàn)成的名單或明顯的空間界限時使用此方法很方便。

6/9/20234【例】某市有100所小學共50,000名學生,要從中抽2000名學生顯然是困難的,而若以小學為單位抽取若干小學,再對抽中的學校的全體學生進行調(diào)查就簡化了.【例】調(diào)查農(nóng)村居民住戶，不必列出農(nóng)村所有居民住戶的抽樣框，可以利用現(xiàn)成的行政區(qū)域，如縣、鄉(xiāng)、村，將農(nóng)村劃分為若干群，這給抽樣設(shè)計方案帶來很大方便。

即使具備總體基本單元的名單,能直接抽取,但總體基本單元在空間上的分布面很廣,那么選定調(diào)查單位后的調(diào)查工作卻可能相當大。如果是實地觀測調(diào)查費用則很高,并需要較長的時間。2.實施調(diào)查便利，節(jié)省費用。6/9/20235對于整群抽樣,由于樣本單元的分布相對較集中，在樣本單元數(shù)相同的條件下，整群抽樣與簡單隨機抽樣相比，雖然樣本的代表性較差，但調(diào)查組織實施過程更加便利，同時還可以大大地節(jié)省調(diào)查費用。因此，實際工作中，在權(quán)衡費用和精度之后，有時寧可適當增加一些樣本單元數(shù)，也采用整群抽樣方法。6/9/20236例如，在進行農(nóng)村居民戶收入情況調(diào)查時，在一個縣抽千分之五的村莊，對其所有居民戶進行調(diào)查，明顯地比從全縣直接抽千分之五的農(nóng)戶進行調(diào)查，更便于組織，節(jié)省人力、旅途往返時間及費用。6/9/20237３．整群抽樣的隨機性體現(xiàn)在群與群間不重疊，也無遺漏，總體任何一個基本單元都必須且只能歸于某一群,群的抽選按概率確定。４．如果把每一個群看作一個單位，則整群抽樣可以被理解為是一種特殊的簡單隨機抽樣。理解這一點對給出整群抽樣的估計量的方差有幫助.５．整群抽樣也是多階段抽樣的前提和基礎(chǔ)。6/9/20238６．整群抽樣有特殊的用途。有些現(xiàn)象的研究，如果直接調(diào)查作為基本單元的個體，很難說明問題，必須以一定范圍所包括的基本單元為群體，進行整群抽樣，才能滿足調(diào)查的目的。例1:

人口普查后的復查、要想估計出普查的差錯率，只有通過對一定地理區(qū)域(如省,市,縣,街道等)內(nèi)的人口群體作全面調(diào)查才行。類似地諸如人口出生率、流動率等調(diào)查都需要采用整群抽樣。例2:

對某地人口性別比例的調(diào)查,以家庭作為群比直接抽取個人進行估計精度要高,因為家庭的結(jié)構(gòu)基本相似。７．整群抽樣要求分群后各群所含次級單元數(shù)目應該確知，否則會給抽樣推斷帶來不便。6/9/20239缺點:

整群抽樣由于調(diào)查單位只能集中在若干群上，而不能均勻分布在總體的各個部分，因此，它的精度比起簡單隨機抽樣來要低一些。例如，在一個有500個村莊、100000個農(nóng)戶的縣，抽取1％的農(nóng)戶就是1000戶，而抽1％的村莊則只有5個村莊，也許抽到的5個村莊農(nóng)戶多于1000，但由于樣本單位只集中在5個村莊，顯然不如在全縣范圍內(nèi)簡單隨機抽取1000戶分布均勻，代表性一般要差一些，抽樣誤差較大。6/9/202310當然，由于整群抽樣省時省力，每個單元的平均調(diào)查費用較少，我們可以通過多抽幾個群，適當增大樣本量的方法彌補估計精度的損失。6/9/202311

二.群的劃分

1.根據(jù)行政或地域形成的群體;

如:村莊、城鎮(zhèn)、一片森林等

2.調(diào)查人員人為確定的;

對可控制規(guī)模的群，群規(guī)模不宜過大6/9/202312分群的原則:劃分群時應使群內(nèi)方差盡可能大,群間方差盡可能小。（注意：這一點與分層抽樣中總體內(nèi)層的劃分有著極大的差別）這意味著每個群均具有足夠的代表性。如果劃分的群相互之間頗多相似之處，那么少量群的抽取足以提供良好的精度。6/9/202313分析:

整群抽樣對于群而言是非全面調(diào)查,對于被抽中群內(nèi)基本單元而言則是全面調(diào)查,是“先部分,后全體”的抽樣組織形式,與分層抽樣正好相反。根據(jù)方差分析原理，當總體劃分為群后,總體方差可以分解為群間方差和群內(nèi)方差兩部分。這兩部分是此消彼長的關(guān)系。由于整群抽樣是對入選群中的所有單元都進行調(diào)查,因此影響整群抽樣誤差的主要是群間方差。為了提高整群抽樣估計的精度,劃分群時應使群內(nèi)方差盡可能大,群間方差盡可能小。6/9/202314群間相似群間差異較大6/9/202315

三.群的規(guī)模即組成群的單元的數(shù)量。

整群抽樣中，如何有效地對群的大小進行計量，直接關(guān)系到抽樣估計效率的高低。研究表明，對群的大小的最優(yōu)計量尺度是各群在所研究標志上的標志總量大小。但在實際工作中，它是未知的。因此通常選擇與所研究標志高度線性相關(guān)的另一輔助標志作為計量尺度。

6/9/202316注:整群抽樣與分層抽樣的的比較二者在分組（層或群）的條件、調(diào)查的方式、分組（層或群）的目的、分組（層或群）的原則、總體方差的分解等方面都存在著較為明顯的差別。6/9/202317群的規(guī)模大,估計的精度差但費用省;群的規(guī)模小,估計的精度高但費用增大。

通常我們面臨的總體會有自然的初級單元，例如各所中學它們互相之間關(guān)于學生的體質(zhì)很相似，但在一個學校里每個學生之間有一定的差異。倘若需要我們自行劃分群，一般還要考慮到組織管理上的方便、精度上的要求以及費用的多少等因素。6/9/202318當各群所含次級單元數(shù)相等時，就稱群的大小相等；當各群所含次級單元數(shù)不相等時，就稱群的大小不相等。當群的大小接近時，常采用簡單隨機抽樣抽取群；當群的大小相差比較大時，為提高效率則更多地采用不等概率（按與群的大小成比例的概率抽樣）方法。6/9/202319第二節(jié)群規(guī)模相等時的估計一.符號說明總體有N個群,每個群包含的單元數(shù)M相等(或相近)。

符號:總體群數(shù):N樣本群數(shù):n總體第i群中第j個單元的指標值:樣本第i群中第j個單元的指標值:第i群中的單元數(shù):6/9/202320總體中單元總數(shù):總體中第i群的群總值:樣本中第i群的群總值:總體中第i群的個體均值:6/9/202321樣本中第i群的個體均值:

總體中的群均值:

樣本中的群均值:

總體中的個體均值:6/9/202322樣本中的個體均值:總體方差:總體群間方差:6/9/202323總體群內(nèi)方差:樣本方差:

樣本群間方差:樣本群內(nèi)方差:6/9/202324

總體ANOVA（方差分析）表---群規(guī)模相等的整群抽樣來源自由度平方和均方群間群內(nèi)

N-1N（M-1）總計NM-16/9/202325二.估計量整群抽樣是以群為單位進行抽樣，如果群的抽取是簡單隨機的，則當群的大小都相等時，可以將簡單隨機抽樣理解為是一種特殊的整群抽樣，特別當總體分群后的每個群都只包括一個次級單元時，整群抽樣和簡單隨機抽樣一致。因此，整群抽樣的估計量可以比照簡單隨機抽樣方式來構(gòu)造。6/9/202326(一)均值估計量的定義在群的抽取是簡單隨機的,且群的大小(M)相等,則總體均值的估計為:6/9/202327(二)估計量的性質(zhì)性質(zhì)1

是

的無偏估計.性質(zhì)2的方差為:6/9/202328證明:因為,則6/9/202329總體總值的估計量及相應的方差為:性質(zhì)3的樣本估計為:6/9/202330三、整群抽樣效率分析整群抽樣的估計精度與群內(nèi)相關(guān)系數(shù)有關(guān)。分子可寫成:6/9/202331分母可寫成:于是又可以寫成:6/9/202332的方差可以用群內(nèi)相關(guān)系數(shù)近似表示:（當N-1=N，NM-1=NM時）6/9/202333其中：6/9/202334若采用簡單隨機抽樣,則樣本均值的方差為:等群抽樣的設(shè)計效應為:說明整群抽樣的方差約為簡單隨機抽樣方差的倍.6/9/202335另外,群內(nèi)相關(guān)系數(shù)也可以用群內(nèi)方差和群間方差表示:6/9/202336證明：因為而

于是（1）6/9/202337

當N很大，而M相對于NM很小，NM-1NM-M，則上式可寫成：又因為（2）（3）總離差的分解群間方差群內(nèi)方差6/9/202338則將其代入（1），（2）式，便有由（3）式（4）（5）6/9/202339因為是的無偏估計，是的無偏估計，故由（6）、（2）或（5）式整理得

N很大時（6）6/9/202340整群抽樣的估計效率,與群內(nèi)相關(guān)系數(shù)關(guān)系密切。

如果群內(nèi)各單元的值都相等,則群內(nèi)方差等于零,此時為最大值,deff=M,即整群抽樣的估計量方差是簡單隨機抽樣估計量的方差的M倍;

若群內(nèi)方差與總體方差相等,意味著分群是完全隨機的,此時,,deff=1,整群抽樣與簡單隨機抽樣估計效率相同;

當群內(nèi)方差大于總體方差時,為負值,deff<1,整群抽樣的效率高于簡單隨機抽樣。6/9/202341當群間方差等于0,即各群均值都相等時,

有極小值,所以的取值范圍是。

當＝1時，deff＝M

當＝0時，deff＝1

當為負時，deff<1

群內(nèi)方差為0群間方差為0群內(nèi)方差大于總體方差相等6/9/202342【例】在一次對某寄宿中學在校生零化錢的調(diào)查中,以寄宿作為群進行整群抽樣。每個宿舍有6名學生。用簡單隨機抽樣在全部315間宿舍中抽取n=8間宿舍。全部48個學生上周每人的零化錢及相關(guān)計算數(shù)據(jù)如下頁表,試估計該學校平均每個學生每周的零化錢,并給出其95%的置信區(qū)間。6/9/2023438個宿舍48名學生每周零化錢支出額(元)宿舍1宿舍2宿舍3宿舍4宿舍5宿舍6宿舍7宿舍8學生158911239911011112096學生28383891059910011580學生37479949813211611763學生482111109107879999130學生5661017912999107106105學生68769809012410512086758995.67104.67108.5106.33112.8393.33125.6233.6299.07177.87287.542.2772.57527.876/9/202344解:N=315n=8M=6f=n/N=0.02546/9/202345置信區(qū)間:【例】估計上例中宿舍為群的群內(nèi)相關(guān)系數(shù)與設(shè)計效應。6/9/2023466/9/202347

deff=1+(M-1)=1+(6-1)0.348256=2.741若采用簡單隨機抽樣,其樣本量為:6/9/202348

【練習題】在一次某城市居民小區(qū)居民食品消費量調(diào)查中，以每個樓層（相當于居民小組）為群進行整群抽樣。每個樓層都有M=8個住戶。用簡單隨機抽樣在全部N=510個樓層中抽取n=12個樓層。全部96個樣本戶人均月食品消費額yij及按樓層的平均數(shù)與標準差si如下表所示。試估計該居民小區(qū)人均食品消費額的戶平均值，并給出其95%的置信區(qū)間，計算群內(nèi)相關(guān)系數(shù)與設(shè)計效應6/9/20234912個樓層96戶居民人均月食品消費額資料

iyijsi123456789101112240,187,162,185,206,197,154,173210,192,184,148,186,175,169,180149,168,145,130,170,144,125,167202,187,166,232,205,263,198,210210,285,308,198,264,275,183,231394,256,192,280,267,334,216,289192,121,172,165,152,224,195,241230,205,187,176,212,253,189,240274,208,195,307,264,258,210,309232,187,150,182,175,212,169,222342,294,267,309,258,198,244,286228,294,182,312,267,254,232,298188.00180.50149.75207.875244.25278.50182.75211.50253.125191.125274.75258.37527.1917.9817.3229.1745.2063.8738.7727.4844.5228.2943.7043.526/9/202350解：已知N＝510，n＝12，M＝8，f＝n/N=0.0235故6/9/202351于是的置信度為95％的置信區(qū)間為也即6/9/202352例2由例1數(shù)據(jù)，計算群內(nèi)相關(guān)系數(shù)與設(shè)計效應解：由前已算出樣本群間方差而群內(nèi)方差為6/9/2023536/9/202354若令為簡單隨機抽樣的樣本量則即可達到整群抽樣96戶樣本量相同的估計精度6/9/202355第三節(jié)群規(guī)模不等的估計一、等概抽樣,簡單估計條件:群之間的規(guī)模差異相差不很大對總體均值的估計為:的方差估計為:當群Mi規(guī)模不等時，有不同的抽取方法和估計方法6/9/202356此法特點1.估計量是有偏的2.操作簡便，易于掌握和使用3.適用條件，群之間的規(guī)模差異不大時6/9/202357二、等概抽樣,加權(quán)估計思路:

以群規(guī)模Mi為權(quán)數(shù),乘以各群均值得到群觀察值總和yi.再將樣本中n個群的總和平均,求得群總和均值,再除以群平均規(guī)模,

求得均值估計.6/9/202358如果總體平均規(guī)模未知,可以用樣本平均規(guī)模代替.6/9/202359總體的總量Y的估計:

或為總體中的個體單元總數(shù).

方差:6/9/202360它的無偏估計為:均值的方差:6/9/202361特點:

此種方法由于考慮了群規(guī)模,所以估計量是無偏估計量。在估計精度方面,如果群規(guī)模差別很大時,該方法與前一種方法相比沒有明顯改觀。三、等概抽樣,比率估計該種方法適合大樣本量情況。

總體均值:這里輔助變量不是Xi而是群規(guī)模Mi6/9/202362它是一個有偏估計。當樣本群數(shù)n很大時，其偏倚很小，可以忽略不計?？傮w總值Y的比率估計為：

6/9/202363估計量的方差分別是：

對比6/9/202364由方差公式可以看出，估計量的方差取決于群的個體均值的差異。所以，盡管群的規(guī)模差異可能很大，但之間的差異比之間的差異要小得多。因此，與前一種方法相比，在大樣本量情況下，比率估計的精度要更高一些。的樣本估計分別為：6/9/202365及

6/9/202366四、方法比較【例】某縣有33個鄉(xiāng)，共726個村，該年度某農(nóng)作物種植面積為30525畝。（見下表）現(xiàn)采用等概抽樣隨機抽取10個鄉(xiāng)進行該種農(nóng)作物的產(chǎn)量調(diào)查，根據(jù)下面的資料估計全縣總產(chǎn)量以及估計量標準差，并對上述方法進行比較分析。6/9/202367樣本鄉(xiāng)編號村莊數(shù)農(nóng)作物總產(chǎn)量（鄉(xiāng)）yi（萬公斤）種植面積（鄉(xiāng)）xi（畝）115228001.466721822.87801.266732630.210001.161541421.77001.5552025.38801.26562831.211001.1143721268501.238181920.58001.07993133.812001.0903101723.68301.3882合計209257.18940_6/9/202368解:1、用等概抽樣，簡單估計：平均每個村的產(chǎn)量為：=726*1.262=916.212（萬公斤）6/9/202369由上述計算結(jié)果可知：此種方法的估計過程雖不復雜，但卻是有偏估計。

(二)、等概抽樣，加權(quán)估計6/9/202370此種方法雖可獲得無偏估計量，但與前種方法相比，估計量的估計方差沒有改觀，反而有所增大。6/9/202371(三)等概抽樣，比率估計6/9/202372比率估計將群規(guī)模作為輔助變量引入估計，其估計方差取決于群均值的差異。從計算的結(jié)果看，其估計量的方差比上面兩種方法要小，所以比率估計比前兩種方法獲得更好的估計效果，但比率估計是有偏估計，當樣本群數(shù)n較大時，比率估計是比較理想的估計方法。6/9/202373

(四)以其他變量作為輔助變量的比率估計由于目標變量—農(nóng)作物的總產(chǎn)量不僅受村莊數(shù)（群規(guī)模）的影響，而且更受種植面積的影響，下面采用種植面積為輔助變量進行比率估計：6/9/202374評價：與前面幾種方法相比，估計量的估計誤差最小，估計效果最好。因為和相比，更小，因而有更好的估計效果。此種方法不僅用于群規(guī)模相等時的估計，也可用于群規(guī)模不等時的估計。其前提條件是能夠獲得與目標變量關(guān)系密切的輔助變量的總體信息。6/9/202375

【例】某企業(yè)欲估計上季度每位職工的平均病假天數(shù)。該企業(yè)共有8個分廠,現(xiàn)用不等概整群抽樣擬抽取3個分廠為樣本,并以95%的置信度計算其置信區(qū)間。(資料見下表)

解:n=3

在1-12950之間產(chǎn)生隨機數(shù):02011,07972,10281則3,6,8分廠入樣.

調(diào)查得三個分廠的職工的病假天數(shù):y1=4320,y2=4160,y3=57906/9/202376

8個分廠的職工人數(shù)資料分廠編號職工人數(shù)()累積區(qū)間112001—120024501201-1650321001651-375048603751-4610528404611-7450619107451-936073909361-9750832009751-129506/9/202