2022-2023學(xué)年人教A版選擇性必修第三冊(cè)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)講義

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

L通過(guò)2X2列聯(lián)表統(tǒng)計(jì)意義的學(xué)

習(xí)，能對(duì)兩個(gè)事件是否關(guān)聯(lián)做出判1.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想方

斷.法.

2.了解兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)2.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理和分

析，增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力，

的應(yīng)用.

培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的

3.借助爐計(jì)算公式進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，

能力.

并能利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想來(lái)

解決實(shí)際問(wèn)題.

課前篇咱主學(xué)習(xí)固基礎(chǔ)

［筆記教材］

知識(shí)點(diǎn)12義2列聯(lián)表

(1)定義：如果隨機(jī)事件A與3的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格形

式.

A總計(jì)

Baba~\~b

~Bcdc~\~d

總計(jì)a+cb+d

因?yàn)檫@個(gè)表格中的核心數(shù)據(jù)是中間4個(gè)格子，所以這樣的表格通

常稱為2X2列聯(lián)表.

(2)記〃=a+Z?+c+d,則由表可知：

①事件A發(fā)生的概率可估計(jì)為0(4)=，產(chǎn)；

②事件B發(fā)生的概率可估計(jì)為P(B)=；

③事件AB發(fā)生的概率可估計(jì)為P(AB)=.

答案：⑵②審酰

知識(shí)點(diǎn)2/（讀作“卡方”）統(tǒng)計(jì)量

/2計(jì)算公式：,2=,其中"=

n（ad一兒丫

a+0+c+d

口木.(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+tZ)

知識(shí)點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)

根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律.在假定飛

的條件下，對(duì)于有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量〃充分大時(shí)，忽

略/的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值a,可以

找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)Xa,使得下面的關(guān)系成立：

P（x~N%a）=a.

我們稱乂為a的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷,2大小的標(biāo)

準(zhǔn).概率值a越小，臨界值.基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則

是：

當(dāng)________時(shí)，我們就推斷為不成立，即認(rèn)為x和y不獨(dú)立，

該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷“0不成立，可以認(rèn)為X

和y獨(dú)立.

這種利用才?的取值推斷分類變量x和y是否獨(dú)立的方法稱為/

獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

/獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

答案：越大/2<Xa

［重點(diǎn)理解］

1.按研究問(wèn)題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存,

因?yàn)檫@個(gè)表格中的核心數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子.

2.作2X2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.

3./計(jì)算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時(shí)不能

張冠李戴；三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心.

4.統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過(guò)部分?jǐn)?shù)據(jù)

的性質(zhì)來(lái)推測(cè)全部數(shù)據(jù)的性質(zhì).因此，統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯(cuò)誤的，即

從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)關(guān)系，而不是因果關(guān)系.

［自我排查］

1.（2021?天津河西月考）如表是2X2列聯(lián)表，則表中的a、b的

值分別為（）

Vy合計(jì)

X1a835

X113445

合計(jì)b4280

A.27,38B.28,38

C.27,37D,28,37

答案：A解析：4=35—8=27,8=4+11=27+11=38.

故選A.

2.（2021?湖南石門第六中學(xué)高二月考）根據(jù)下表：

a0.0500.0100.001

z?3.8416.63510.828

若有99%的把握說(shuō)事件A與事件8有關(guān)，那么具體算出,2一定

滿足（）

A./2>10.828B./2<10.828

C./>6.635D./<6.635

答案：C解析：因?yàn)橛?9%的把握說(shuō)事件A與事件8有關(guān)，所

以有1一99%=0.01,根據(jù)臨界值表，x2>6.635.

故選C.

3.（2021?江蘇星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二）某班班主任對(duì)全班50名學(xué)生學(xué)

習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

積極參加不太主動(dòng)參

合計(jì)

班級(jí)工作加班級(jí)工作

學(xué)習(xí)積極性高18725

學(xué)習(xí)積極性一般61925

合計(jì)242650

臨界值表:

a0.50.40.250.150.10

0.4550.7081.3232.0722.706

Q0.050.0250.0100.0050.001

43.8415.0246.6357.87910.828

根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，以下說(shuō)法正確的是（）

A.有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)

度有關(guān)系

B.有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)

度有關(guān)系

C.有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度

有關(guān)系

D.沒(méi)有充分的證據(jù)顯示學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)

度有關(guān)系

2

M50X（18X19-7X6）~

答案：A解析：/0=:年”乂彳乂”[11?54>10.828,所以

有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)

系.

故選A.

4.（2021?遼寧丹東高三二模）（多選題）晚上睡眠充足是提高學(xué)習(xí)效

率的必要條件，河北衡水某高中的高三年級(jí)學(xué)生晚上10點(diǎn)10分必須

休息，另一所同類高中的高三年級(jí)學(xué)生晚上11點(diǎn)休息，并鼓勵(lì)學(xué)生

還可以繼續(xù)進(jìn)行夜自習(xí)，稍晚再休息.有關(guān)人員分別對(duì)這兩所高中的

高三年級(jí)學(xué)習(xí)總成績(jī)前50名學(xué)生的學(xué)習(xí)效率進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中衡

水某高中有30名學(xué)生的學(xué)習(xí)效率高，且從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取

1人，抽到學(xué)習(xí)效率高的學(xué)生的概率是0.4,貝U()

Mad-b*

(a+b)(a+c)(b+d)(c-\~d)，

a0.0500.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

A彳斷水某高中的前50名學(xué)生中有60%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高

B.另一所同類高中的前50名學(xué)生中有40%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高

C.有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生學(xué)習(xí)效率高低與晚上睡眠是否充

足有關(guān)”

D.認(rèn)為“學(xué)生學(xué)習(xí)效率高低與晚上睡眠是否充足有關(guān)”的犯錯(cuò)

概率超過(guò)0.05

答案：AC解析：設(shè)這100名學(xué)生中學(xué)習(xí)效率高的人數(shù)有〃人,

n

由題意有y^=0.4,得〃=40.

因?yàn)槟掣咧械?0名學(xué)生中有30名學(xué)生的學(xué)習(xí)效率高，

所以另一所同類高中的50名學(xué)生中有10名學(xué)生的學(xué)習(xí)效率高，

30

所以某高中的前50名學(xué)生中有石=60%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高，故

選項(xiàng)A正確，

另一所同類高中的前50名學(xué)生中有肝=20%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高，

故選項(xiàng)B不正確.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到所下的列聯(lián)表：

學(xué)習(xí)效率學(xué)習(xí)效率

總計(jì)

高人數(shù)不高人數(shù)

某高中302050

另一所同類

104050

高中

總計(jì)4060100

,100X(30X40-20X10)2

z-=40X60X50X50%16,667>10,828'

所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確.

故選AC.

5.(2021?四川內(nèi)江高二期末)有人發(fā)現(xiàn)，多看手機(jī)容易使人近視,

下表是調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此現(xiàn)象的調(diào)查數(shù)據(jù)：

近視不近視總計(jì)

少看手機(jī)154560

多看手機(jī)15520

總計(jì)305080

則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________的前提下認(rèn)為近視與多看手

機(jī)有關(guān)系.

附表：

a0.150.100.050.0100.0250.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：/=講布麗而謝’其中〃=a+b+c+d.

答案：0.001解析：根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算/J。.裝不：二2；；5)2

入DU入ZU/XOU

=16>10.828,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為近視與多看手

機(jī)有關(guān)系.

故答案為0.001.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)要突破

研習(xí)1用2X2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系

［典例1］在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，

其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人.六十歲以上的人中有

43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人

中有21人的飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主.請(qǐng)根據(jù)以上

數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用七與七判斷二者是否

a-rbc-vd

有關(guān)系.

對(duì)變量進(jìn)求出分類變量作出2X2

思路點(diǎn)撥:

行分類的不同取值列聯(lián)表

、、出a.c

計(jì)算T丁點(diǎn)與二PZ

的值并作出判斷

解：飲食習(xí)慣與年齡2義2列聯(lián)表如下:

年齡在六十年齡在六十

合計(jì)

歲以上歲以下

飲食以蔬

432164

菜為主

飲食以肉

273360

類為主

合計(jì)7054124

將表中數(shù)據(jù)代入公式得

號(hào)二江。67,南磊=0.45.

顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為

飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.

［巧歸納］

1.作2X2列聯(lián)表時(shí)，注意應(yīng)該是4行4歹U,計(jì)算時(shí)要做到準(zhǔn)確

無(wú)誤.

2.作2義2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.

［練習(xí)1］某村莊對(duì)該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的

情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

每年體檢每年未體檢合計(jì)

老年人a7C

年輕人6bd

合計(jì)ef50

已知抽取的老年人、年輕人各25名，則對(duì)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)

誤的是（）

A.a=18B.。=19

C.c+d=50D.e-f=2

答案：D解析：由題意得，a+7=c=25,6+b=d=25,a+6

=e,7+Z?=/,e+/=50,

所以。=18,b=l9,c+d=50,e=24,/=26,則e-/=-2.

故選D.

研習(xí)2由x2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)

［典例2］為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān),

某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語(yǔ)有興

趣的有138人，無(wú)興趣的有98人，文科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有73人，無(wú)

興趣的有52人.能否在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)

生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān)聯(lián)”？

解：設(shè)Ho：對(duì)外語(yǔ)的興趣與文、理科獨(dú)立，即學(xué)生選報(bào)文、理

科與對(duì)外語(yǔ)的興趣無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:

理科文科合計(jì)

對(duì)外語(yǔ)有興趣13873211

對(duì)外語(yǔ)無(wú)興趣9852150

介計(jì)236125361

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得

。361X(138X52-73X98)2,

y2=-------------------------------^1871Xio-4

X211X150X236X125

；1.871X1(F4<2.7O6=%O」.

，沒(méi)有充分證據(jù)可以推斷出“0不成立，因此可以認(rèn)為“0成立，

即認(rèn)為學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣無(wú)關(guān)聯(lián)，即不能在犯錯(cuò)誤的

概率不大于0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣

有關(guān)聯(lián)”.

［巧歸納］

利用好進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟

⑴列表：列出2X2列聯(lián)表.

(2)求值：求出/的值.

(3)判斷：與臨界值比較，得出事件有關(guān)的可能性大小并作出判

斷.

［練習(xí)2］(2021?湖南永州高三三模)(多選題)某校對(duì)“學(xué)生性別

和喜歡鍛煉是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相

同，男生喜歡鍛煉的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的會(huì)女生喜歡鍛煉的人數(shù)占

3

女生總?cè)藬?shù)的1若至少有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別和喜歡鍛煉有

關(guān)”，則被調(diào)查學(xué)生中男生的人數(shù)可能為()

n(ad-be?

附：/=(a+b)(c+6/)(a+c)3+田?(〃=a+)+c+d)

a0.0500.010

Xa3.8416.635

A.35B.40

C.45D.50

答案：CD解析：由題意知，被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，設(shè)男

生的人數(shù)為：5H,由題意可列出2義2列聯(lián)表：

男生女生合計(jì)

喜歡鍛煉4〃3nIn

不喜歡鍛煉n2n3n

合計(jì)5n5n10rt

n(ad—be?

1OnX(4nX2n_3nX/i)210〃

=5HX5/?X7HX3H二不

由于有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別和喜歡鍛煉有關(guān)”，

所以3.841W*<6.635,

解得8.0661W〃<13.9335,

則〃的可能取值為9,10,11,12,13.

則選項(xiàng)中被調(diào)查學(xué)生中男生的人數(shù)可能45或50.

故選CD.

研習(xí)3獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用

［典例3］某生物研究所研發(fā)了某種型號(hào)的新冠疫苗，為檢驗(yàn)該

種型號(hào)疫苗的效果，研究所將疫苗用在小白鼠身上進(jìn)行科研實(shí)驗(yàn)，得

到如下數(shù)據(jù)：

未感染病毒感染病毒總計(jì)

未注射疫苗a60m

注射疫苗b30n

總計(jì)11090200

從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白

鼠的概率為§2

(1)能否有99.9%的把握認(rèn)為注射此疫苗有效？

(2)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽

取6只進(jìn)行病理分析，然后從這6只小白鼠中隨機(jī)抽取2只對(duì)注射疫

苗的情況進(jìn)行核實(shí)，求至少有1只為注射過(guò)疫苗的概率.

,________Z?c)2____________

X(a+Z?)(c+6Z)(a+c)("+J)，

a0.050.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴根據(jù)條件祟=|，得加=100,

從而。=40,b=70,n—100,

?、200X(40X30—70X60)2

由y2=-----------------------------—18182,

100X100X110X90

因?yàn)?8.182>10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為注射此疫苗有效.

(2)在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例為2：

1,

所以從未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，記為a,b,c,d；

從注射疫苗的小白鼠中抽取2只，記為e,/

從6只小白鼠中抽取2只共有15種方法，

即有(。，b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(h,

e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f).

記事件A為“至少有1只注射過(guò)疫苗”，則A包含9個(gè)基本事

93

件，從而尸(4)=正=§，

故至少有1只為注射過(guò)疫苗的概率為1.

［巧歸納］

檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是計(jì)算X2的值，再利用

該值與分位數(shù)人進(jìn)行比較作出判斷.

［練習(xí)3］(2021?遼寧沈陽(yáng)二中高三模擬)馬拉松(Marathon)長(zhǎng)跑

是國(guó)際上非常普及的長(zhǎng)跑比賽項(xiàng)目，全程距離26英里385碼，折合

為42.195千米(也有說(shuō)法為42.193千米).分全程馬拉松(Full

Marathon)>半程馬拉松(HalfMarathon)和四分馬拉松(Quarter

Marathon)三種.以全程馬拉松比賽最為普及，一般提及馬拉松，即

指全程馬拉松.2021年沈陽(yáng)國(guó)際馬拉松于9月19日在遼寧沈陽(yáng)舉行，

本次“沈馬”獲評(píng)“2021世界田聯(lián)標(biāo)牌”賽事.為了調(diào)查學(xué)生喜歡

跑步是否與性別有關(guān)，某高中選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得

到如下的2X2列聯(lián)表：

喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)

男生80

女生20

合計(jì)

已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6.

(1)判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)？

(2)從上述不喜歡跑步的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，

再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運(yùn)動(dòng)，用X表示3人中女生的人

數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：-=1小/，啜八，其中n=a+b

A+b)(c-i-a)(a+c)(b+a)

+c+d.

a0.500.400.250.150.10

工"0.4550.7081.3232.0722.706

a0.050.0250.010.0050.001

3.8415.0246.6357.87910.828

解：(l)：200名學(xué)生隨機(jī)抽取1人是喜歡跑步的概率為06

，喜歡跑步的人數(shù)為200X0.6=120,可得列聯(lián)表如下：

喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)

男生8060140

女生402060

合計(jì)12080200

,200X(80X20-60X40)2

‘-=一120X80X140X60—七L587<2.706,

沒(méi)有90%的把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān).

(2)由分層抽樣抽取8名學(xué)生，則男生6人，女生2人，再?gòu)?

人中抽取3人，用X表示其中女生的人數(shù)，則'={0』,2}.

CSC?5

.?.P(X=O)=

14,

CJQ15

尸(X=l)=

3

P(X=2)=

28,

分布列如下：

X012

5153

P

142828

,5is33

故期望七(X)=OXm+lx森+2X*

14ZoZo4

課后篇?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)延伸閱讀

1.（2021?河北石家莊第六中學(xué)高二月考）為了解某大學(xué)的學(xué)生是

否愛(ài)好體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，

得到如下2義2列聯(lián)表：

男女總計(jì)

愛(ài)好ab73

不愛(ài)好C25

總計(jì)74

則a—h—c等于()

A.7B.8

C.9D.10

答案：C解析：根據(jù)題意，可得

c=120-73-25=22,

(7=74-22=52,

8=73—52=21,

即2義2列聯(lián)表為

男女總計(jì)

愛(ài)好522173

不愛(ài)好222547

總計(jì)7446120

：.a-b-c=52~2l-22=9.

故選C.

2.（2021?陜西西安高二期末）在研究肥胖與高血壓的關(guān)系時(shí)，通

過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“高血壓與肥胖有關(guān)”的結(jié)論，并且

在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.下列

說(shuō)法中正確的是（）

A.在100個(gè)高血壓患者中一定有肥胖的人

B.在100個(gè)肥胖的人中至少有99人患有高血壓

C.在100個(gè)高血壓患者中可能沒(méi)有肥胖的人

D.肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓

答案：C解析：因?yàn)樵诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為

這個(gè)結(jié)論是成立的，所以得有99%的把握認(rèn)為“高血壓與肥胖有

關(guān)”，只是結(jié)論成立的可能性與有多少個(gè)人患高血壓無(wú)關(guān)，更談不上

概率，A,B,D不正確，C正確.

故選C.

3.（2021?四川雅安高二期末）為了調(diào)查高中學(xué)生參加課外興趣活

動(dòng)選籃球和舞蹈是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了30名學(xué)生，得到如

下2X2列聯(lián)表:

籃球舞if臼合計(jì)

男13720

女2810

合計(jì)151530

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，及觀測(cè)值

____n(ad—be?、

Z2其中/=參考數(shù)據(jù):

(a+Z?)(c+<i)(a+c)(b+

a0.050.0250.010

Xa3.8415.0246.635

則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________前提下，認(rèn)為選擇舞蹈與性別

有關(guān).

答案：0.025解析：由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，

,30X(13X8-2X7)227

2=-------------------------------------=—=54>5024

zy15X15X20X105''Ui

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下，認(rèn)為選擇舞蹈與性

別有關(guān).

故答案為0.025.

4.(2021?全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(理))甲、乙兩臺(tái)機(jī)床