第8講加乘綜合題

第八講加乘綜合題1．甲、乙、丙三個(gè)組，甲組6人，乙組5人，丙組4人，現(xiàn)每組各選1人一起參加會(huì)議，一共有種選法；如果三組共同推選一名代表，有種選法。答案：120；15；解：各選1人，甲組有6種選法，乙組有5種選法，丙組有4種選法，一共有6×5×4=120（種）選法。三組共同推選1人，有6+5+4=15（種）選法。2．10顆相同的玻璃球分給3個(gè)人，每人至少1顆，有種分配方法。答案：36；解：當(dāng)A分得8顆時(shí)，有10=8+1+1，有1種方法；當(dāng)A分得7顆時(shí)，有10=7+2+1=7+1+2，有2種方法；當(dāng)A分得6顆時(shí)，有10=6+3+1=6+2+2=6+1+3，有3種方法；……當(dāng)A分得1顆時(shí)，有8種方法；綜上所述，一共有1+2+3+…+8=36（種）分配方法。3．在1000到1999這些自然數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于百位數(shù)字的有個(gè)。答案：450；解：設(shè)1000到1999中的數(shù)字為，當(dāng)a=0時(shí)，c可取1~9的任一數(shù)字，b可取0~9中的任一數(shù)字，于是共有9×10=90（個(gè)）；當(dāng)a=1時(shí)，c可取2~9的任一數(shù)字，b可取0~9中的任一數(shù)字，于是共有8×10=80（個(gè)）；當(dāng)a=2時(shí)，c可取3~9的任一數(shù)字，b可取0~9中的任一數(shù)字，于是共有7×10=70（個(gè)）；…………當(dāng)a=8時(shí)，c可取9，b可取0~9中的任一數(shù)字，于是共有10（個(gè)）；所以符合條件的數(shù)由90+80+70+…+10=450（個(gè)）。4．在下圖所示的線段中，至少包括“☆”和“△”中一個(gè)的線段有條。答案：21；解：所有的線段一共有1+2+3+…+7=28條，其中不含“☆”和“△”中至少一個(gè)的線段有5+2=6條（即5條1段的和2條由兩段組成的），所以符合要求的線段一共有28–7=21（段）。5．在1、2、3、…、10000中，共有個(gè)數(shù)，其各位數(shù)字中恰好有兩個(gè)連續(xù)的9。答案：261；解：在兩位數(shù)中，只有99這樣1個(gè)數(shù)，在三位數(shù)中，有199、299、399、…、899和990、991、992、993、…998，一共17個(gè)數(shù)，在四位數(shù)中，先選兩個(gè)連續(xù)的位置，有三種選法，即99××、×99×、××99三種。對(duì)于99××，十位有9種選法，個(gè)位有10種取法，有90種方法；對(duì)于×99×，千位不能取0，9，個(gè)位不能取9，有8×9=72種方法；對(duì)于××99，千位不能取0，百位不能取9，有9×9=81種方法；所以有90+72+81=243（種）。綜上所述，一共有1+17+243=261（個(gè)）數(shù)滿足條件。6．不重復(fù)的使用數(shù)碼0、1、2、3、4、5，請(qǐng)問(wèn)共可組成個(gè)不同的三位偶數(shù)。答案：52；解：當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，個(gè)位有2、4兩種可能，個(gè)位確定之后，百位有4種可能，此時(shí)十位有4種可能，一共有2×4×4=32（個(gè)）數(shù)字。當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，百位有5種可能，十位有4種可能，有20個(gè)這樣的三位偶數(shù)。所以一共有32+20=52（個(gè)）滿足條件的三位偶數(shù)。7．用0、1、2、3、4、5組成各位數(shù)字都不相同的六位數(shù)，，并把這些六位數(shù)從小到大排列，第505個(gè)數(shù)是.答案：510234；解：十萬(wàn)位數(shù)字為1的六位數(shù)有5！=120（個(gè)），同樣十萬(wàn)位數(shù)字為2、3、4的六位數(shù)都有5！=120（個(gè)），120×4=480，下面開始數(shù)十萬(wàn)位是5的六位數(shù)，其中萬(wàn)位為0的數(shù)有4！=24個(gè)，480+24=504，所以第505個(gè)數(shù)是萬(wàn)位為1的數(shù)中最小的數(shù)，即510234.8．2011這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為2+0+1+1=4，如果我們把各位數(shù)字之和等于4的自然數(shù)稱為“學(xué)而思數(shù)”，那么2011是第個(gè)“學(xué)而思數(shù)”。答案：27；解：在一位數(shù)中，只有4這1個(gè)數(shù)；在兩位數(shù)中有22、13、31、40這4個(gè)數(shù)，在三位數(shù)中有112、121、211、130、103、202、220、301、310、400，共10個(gè)數(shù)；在四位數(shù)中，比2011小的有1003、1030、1300、1210、1201、1102、1120、1012、1021、1111、2002，共11個(gè)，下面就該數(shù)2011了，所以2011是第1+4+10+12=27（個(gè)）數(shù)。9．過(guò)年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個(gè)孩子每人一件，其中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一個(gè)，朋友的女兒小玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件，那么媽媽送出這5件禮物共有種方法。答案：180；解：讓小強(qiáng)先挑，那么小強(qiáng)可能選智力拼圖或遙控汽車，當(dāng)小強(qiáng)選智力拼圖時(shí)，則小玉有2種選法，其余3人從其余的禮品中選，有5×4×3=60（種）選法，此時(shí)共有120種選法，若小強(qiáng)選遙控汽車時(shí)，小玉只能選學(xué)習(xí)機(jī)，其余3人從其余的禮品中選，有5×4×3=60（種）選法，此時(shí)共有60種選法，綜上所述，一共有120+60=180種方法。10．若三位數(shù)（其中a，b，c都是非零數(shù)字）滿足，則稱該三位數(shù)為“龍騰數(shù)”，那么共有個(gè)“龍騰數(shù)”。答案：120；解：因?yàn)?，所以a≥b≥c≠0，且a、b、c不全相等，（1）若a=b，則b>c，此時(shí)，當(dāng)a=b=9時(shí)，c可以取8、7、6、…、1有8種取法，當(dāng)a=b=8時(shí)，c可以取7、6、5、…、1有7種取法，…，當(dāng)a=b=2時(shí)，c可以取1有1種取法，此時(shí)共有1+2+3+…+8=36個(gè)龍騰數(shù)；（2）b=c，則a>b，不滿足，沒有龍騰數(shù)；（3）當(dāng)a>b>c時(shí)，應(yīng)該有（個(gè)）龍騰數(shù)，綜上所述，一共有36+84=120（個(gè)）龍騰數(shù)。11．有白、紅、藍(lán)、黃顏色的卡片各2張，共8張，相同顏色的卡片上寫著相同的整數(shù)，不同顏色的卡片寫著不同的整數(shù)，并且滿足下列條件：（1）2張白卡片和1張紅卡片上的整數(shù)之和是15；（2）8張卡片上整數(shù)之和是80；（3）1張紅卡片上的整數(shù)的3倍與1張黃卡片上的整數(shù)相等；（4）某張白或藍(lán)的卡片上寫的是1；問(wèn)題1：如果有若干張卡片上的整數(shù)和是35，那么，各種顏色的卡片的張數(shù)（0張就寫0）：白張；紅張，藍(lán)張，黃張；問(wèn)題2：如果從8張卡片中取出3張卡片，這3張卡片上整數(shù)之和有種可能。答案：（1）2；0；2；1；（2）16；解：由（4）假設(shè)白卡片上寫的是1，由（1）知紅卡片是13，由（3）知黃卡片則是39，這樣卡片上的數(shù)和總和超過(guò)80，與（2）矛盾，所以白卡片不會(huì)是1，只能藍(lán)卡片上的數(shù)字是1，以白卡片為基準(zhǔn)，紅卡片=15–2×白，黃=3×紅=45–6×白，藍(lán)+白+紅+黃=40，即1+白+(15–2白)+(45–6×白)=40，得7×白=21，所以白卡片上的數(shù)字是3，問(wèn)題1：紅卡片上的數(shù)字是9，黃卡片上的數(shù)字是27，要使若干張卡片上的數(shù)字和為35，應(yīng)取1張黃色的卡片，35–27=8，而紅色卡片為9，所以紅色卡片不能取，白色卡片為3，藍(lán)色卡片為1，所以取2張藍(lán)色、2張白色和1張黃色即可。問(wèn)題2：若3張卡片的顏色都不同，則在4種顏色中選3種即可，有4種選法。若恰好有兩張卡片顏色相同，則先選1種顏色，有4種選法，把它作為取2張卡片。再在其它3種顏色中確定取1張的卡片顏色，有3種方法，這樣有3×4=12種方法。綜上所述，一共有4+12=16（種）不同的選法。12．美國(guó)職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA）總決賽在洛杉磯湖人隊(duì)和波士頓凱爾特人隊(duì)之間進(jìn)行，比賽采用7場(chǎng)4勝制，即先獲得4場(chǎng)勝利的球隊(duì)將得到總冠軍。比賽分主場(chǎng)和客場(chǎng)，由于洛杉磯湖人隊(duì)常規(guī)賽成績(jī)較好，所以第1，第2，第6，第7場(chǎng)均在洛杉磯進(jìn)行，第3、4、5場(chǎng)在波士頓進(jìn)行。最后湖人隊(duì)在自己的主場(chǎng)獲得總冠軍，那么比賽過(guò)程中勝負(fù)結(jié)果共有種可能。答案：30；解：由于湖人隊(duì)在自己的主場(chǎng)獲得總冠軍，所以只能是第6場(chǎng)或第7場(chǎng)取勝時(shí)完成。（1）如果是第6場(chǎng)獲得第4場(chǎng)勝利，就是說(shuō)在前5場(chǎng)比賽中是3勝2負(fù)，也就是在5個(gè)位置中選3個(gè)場(chǎng)次取勝，其余兩場(chǎng)為負(fù)，，這樣有10種勝負(fù)結(jié)果，再加上第6場(chǎng)取勝，完成4勝。（2）如果是第7場(chǎng)獲得第4場(chǎng)勝利，需要前6場(chǎng)中取得三勝三負(fù)的結(jié)果，，有20種勝負(fù)結(jié)果，最后第7場(chǎng)勝利取得冠軍。兩種結(jié)果和在一起，一共有10+20=30（種）不同的比賽結(jié)果。13．任意給出一個(gè)數(shù)字不全相等的三位數(shù)（首位不為0），把這個(gè)數(shù)中的各位數(shù)字按遞減的順序和遞增的順序重新排列，并將所得的兩數(shù)相減，即可得到一個(gè)新的三位數(shù)（首位可以為零）。這樣的變化稱為一次操作，繼續(xù)對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行操作，如此反復(fù)，總會(huì)得到一個(gè)結(jié)果為495，且結(jié)果不再變化，那么有個(gè)三位數(shù)只進(jìn)行一次操作就得到495.答案：139；解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)由a、b、c組成，且a≤b≤c，則，可知c–a=5，滿足條件的數(shù)組有①c=5，a=0；②c=6，a=1；③c=7，a=2；④c=8，a=3；⑤c=9，a=4；（1）當(dāng)c=5，a=0時(shí)，b=0時(shí)，有1個(gè)三位數(shù)（500），b=1、2、3、4時(shí)，各有4個(gè)三位數(shù)（如b=1，則有105，150，501，510），當(dāng)b=5時(shí)，有2個(gè)三位數(shù)（505、550），這樣一共有1+4×4+2=19（個(gè)）三位數(shù)；（2）當(dāng)c=6，a=1時(shí)，b=1時(shí)，有3個(gè)三位數(shù)（611、116、161），b=2、3、4、5時(shí)，各有6個(gè)三位數(shù)（如b=2，則有126，162，621，612，216，261），當(dāng)b=6時(shí)，有3個(gè)三位數(shù)（505、550），這樣一共有3+4×6+3=30（個(gè)）三位數(shù)；同樣當(dāng)c=7，a=2或c=8，a=3或c=9，a=4時(shí)，也都有30個(gè)滿足條件的三位數(shù)，綜上所述，滿足要求的三位數(shù)一共有4×30+19=139（個(gè)）。14．如圖所示，每個(gè)小正三角形邊長(zhǎng)為1，小蟲每步走過(guò)1，從A出發(fā)，走4步恰好回到A的路有條。（途中不再回A）答案：54；解：恰好走4步回到A，分兩種情況：①走兩條邊，即向前走兩步，再往回走兩步，回到A