八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)13.3.2.1《等邊三角形的性質(zhì)》同步訓(xùn)練(含解析)

等邊三角形的性質(zhì)一．選擇題作射線，若N1=20°,則作射線，若N1=20°,則N2的度數(shù)是（）A．100° B．80° ．C60°．D40°（2014秋?貴港期末）如圖，在等邊4中，=8是 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 =4是上一點(diǎn)，且=,則的長(zhǎng)為（ ）TOC\o"1-5"\h\z3 4 .5 .6（2014秋?岑溪市期中）在等邊△中，已知邊上的中線 =16則N 的平分線長(zhǎng)等于（ ）4 8 .16 .32（2015?港南區(qū)二模）如圖，等邊△ 的頂點(diǎn)分別在等邊△ 的各邊上，且，于，若=1則的長(zhǎng)為（ ）（2015春?張家港市期末）如圖， 是等邊三角形 的中線， =，則N （=）度..30 B.20 .30 B.20 則.25 ..15（2014?路南區(qū)一模）已知：如圖，〃，等邊△B的頂點(diǎn)B在直線上，邊B與直線所夾銳角為20°,則Na的度數(shù)為（.60° B.45° .C40° D.30.60° B.45° .C40° D.307（2013秋?沈丘縣校級(jí)期末）如圖，△B是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)B到E,使E二，D連接DE.下面給出的四個(gè)結(jié)論,其中正確的個(gè)數(shù)是（）①BD，；②BD平分/B；③BD=DE；④NBDE=120°..（2014春?賽罕區(qū)校級(jí)月考）如圖.陰影部分是邊長(zhǎng)為1的小正三角形，）.（2014春?賽罕區(qū)校級(jí)月考）如圖.陰影部分是邊長(zhǎng)為1的小正三角形，）,B,C,D,E,F,G,分別是.填空題..填空題.（2015?泉州）如圖，在正三角形B中，DLB于點(diǎn)D,則NBD=°.（2015?滕州市校級(jí)模擬）如圖，△B為等邊三角形，點(diǎn)E在B的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在B邊上，且ED=E.若△B的邊長(zhǎng)為4, E=2則BD的長(zhǎng)為.°．°．（201春?揚(yáng)中市期末）三個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若N3=40°,則N1Z2=（201秋?湖南校級(jí)月考）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)是BC上任意一點(diǎn)，E分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為，則E的值為.（2014?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形A沿軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2010次，點(diǎn)依次落在點(diǎn)1，2，3,…，2010的位置，則點(diǎn)2010的坐標(biāo)為 -三.解答題（2014秋?上蔡縣校級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BDLAC于D，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，AB=（1）求BE的長(zhǎng)；（2）判斷^BDE的形狀，并說(shuō)明理由.

.（0秋?維揚(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖：已知等邊4ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CD,DMLBC,垂足為M.（）求NE的度數(shù).（）求證：M是BE的中點(diǎn).6（0秋?宜春期末）4ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CA上一點(diǎn)，且BM=CN,BN與AM相交于Q點(diǎn)，()求證：△ABM04BCN；()求證：NAQN=607（0秋?北京校級(jí)期中）如圖，以4ABC的兩邊AB、AC向外作等邊三角形ABE和等邊三角形ACD,連接BD、CE,相交于（）試寫(xiě)出圖中和BD相等的一條線段并說(shuō)明你的理由；（）求出BD和CE的夾角大小，若改變^ABC的形狀，這個(gè)夾角的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)13.3.2.《1等邊三角形的性質(zhì)》同步訓(xùn)練習(xí)題（教師版）一．選擇題（2013?吉安模擬）如圖，過(guò)等邊4ABC的頂點(diǎn)A作射線，若N1=20°,則N2的度數(shù)是（ ）C．60°．D40°C．60°．D40°考點(diǎn)：考點(diǎn)：：分析：角相等解答：等邊三角形的性質(zhì)．先根據(jù)^ABC是等邊三角形，求出NB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N3的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂即可求出N2的度數(shù)；解：?「△ABC是等邊三角形，.,.NB=60°,VZ1=20°,AZ3=100°,AZ2=100°；E二ECE二EC則B的長(zhǎng)為（A.3 B.4C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，此題較簡(jiǎn)單，是一道基礎(chǔ)題.（2014秋?貴港期末）如圖，在等邊4ABC中，AB=8,E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EA=4, 是BC上一點(diǎn)，且.6考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.分析：過(guò)點(diǎn)E作EFLBC于F,先根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出BF,再根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出,即可得出BD解答：解：過(guò)點(diǎn)E作EFLBC于F；如圖所示：則NBFE=90°,「△ABC是等邊三角形，NB=60°??.NFEB=90°-60°=30°,VBE=AB+AE=8+4=12,.?.BF最BE=6,.\CF=BC-BF=2,VED=EC,EF±BC,.DF=CF=2,.BD=BF-DF=4；故選：B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)；培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.（2014秋?岑溪市期中）在等邊4ABC中，已知BC邊上的中線AD=16,則NBAC的平分線長(zhǎng)等于（ ）A.4B.8C.16D.32考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)等邊三角形三線合一可知AD就是NBAC的平分線，從而求得NBAC的平分線長(zhǎng).解答：解：\?在等邊4ABC中，AD是BC邊上的中線，.AD是NBAC的平分線，??.NBAC的平分線長(zhǎng)為16.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì).（2015?港南區(qū)二模）如圖，等邊4DEF的頂點(diǎn)分別在等邊4ABC的各邊上，且DELBC于E,若AB=1,則DB考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理.分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)求△BDE/AAFD,得BE=AD,再求得BD的長(zhǎng).解答：解：?「NDEB=90°AZBDE=90°-60°=30.\ZADF=180-30°-90°=90°同理NEFC=90°又?「NA=NB=NC,DE=DF=EF.?.△BED04ADF04CFE

.\AD=BE設(shè)BE=,則BD=2，.由勾股定理得BE=],.?.bd].故選C.點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、等邊三角形的性質(zhì)，2、勾股定理，3、全等三角形的判定和性質(zhì).D.15分析:（2015春?張家港市期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD,則NEDC=（）度.D.15分析:由AD是等邊三角形ABC的中線，根據(jù)三線合一與等邊三角形的性質(zhì)，即可求得NADC與NDAC的度數(shù)，又由AE=AD,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，即可求得NADE的度數(shù)，繼而求得NEDC的度數(shù).解答：解：.「△ABC是等邊三角形，.??AB=AC,NBAC=NC=60°,°,AD±BC,?「AD是4ABC的中線°,AD±BC,.??NADC=90°,VAE=AD,.八5 1800-ZBAC1800-30°=75°,..ZADE=ZAED= = =75°,AZEDC=ZADC-ZADE=90°-75°=15°.故選D.點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意三線合一與等邊對(duì)等角的性質(zhì)的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（2014?路南區(qū)一模）已知：如圖，l〃m,等邊4ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為20°,則Na的度數(shù)為（D30°D30°考點(diǎn)考點(diǎn):專(zhuān)題分析:即Na等邊三角形的性質(zhì)；平行公理及推論；平行線的性質(zhì).計(jì)算題.過(guò)C作CE〃直線m,由l〃m,推出l〃m〃CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NACE=Na,NBCE=NCBF=20°,+NCBF=NACB=60°,即可求出答案.解答：解：過(guò)C作CE〃直線m,?，l〃m,.??l〃m〃CE,.,.NACE=Na,ZBCE=ZCBF=20°,??,等邊4ABC,.??NACB=60°,.Na+NCBF=NACB=60°,.Na=40°.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行公理及推論等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個(gè)比較典型的題目，題型較好..（2013秋?沈丘縣校級(jí)期末）如圖，4ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E,使CE二CD,連接DE.下面給出的四個(gè)結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）①BDLAC；②BD平分NABC；③BD=DE；④NBDE=120°.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).分析：因?yàn)閊ABC是等邊三角形，又BD是AC上的中線，所以有，AD=CD,NADB=NCDB=90°（①正確），且NABD=NCBD=30°（②正確），NACB=NCDE+NDEC=60°,又CD=CE,可得NCDE=NDEC=30°,所以就有，NCBD二NDEC,即DB=DE（③正確），NBDE=NCDB+NCDE=120°（④正確）；由此得出答案解決問(wèn)題.解答：解：?「△ABC是等邊三角形，BD是AC上的中線，.NADB=NCDB=90°,BD平分NABC；ABDXAC；VNACB=NCDE+NDEC=60°,又CD=CE,.NCDE=NDEC=30°,.NCBD:NDEC,.DB=DE.NBDE=NCDB+NCDE=120°所以這四項(xiàng)都是正確的.故選：D.點(diǎn)評(píng)：此題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，注意三線合一這一性質(zhì)的理解與運(yùn)用..（2014春?賽罕區(qū)校級(jí)月考）如圖.陰影部分是邊長(zhǎng)為1的小正三角形，A,B,C,D,E,F,,分別是個(gè)正三角形，則A和B的邊長(zhǎng)分別是（ ）

A．2，4．B2.5，5 C．3，6D．4，8考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)．專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合．分析：設(shè)A的邊長(zhǎng)為x,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知圖形得到和的邊長(zhǎng)都為x,B的邊長(zhǎng)為2x,由于陰影部分是邊長(zhǎng)為1的小正三角形，易得C的邊長(zhǎng)為2x-1,和的邊長(zhǎng)為x1所以D的邊長(zhǎng)可表示為2x-1或x2則2x-1二x2然后解方程求出x即可得到A和B的邊長(zhǎng).解答：解：如圖,設(shè)A的邊長(zhǎng)為x,則和的邊長(zhǎng)都為x,B的邊長(zhǎng)為2x,??陰影部分是邊長(zhǎng)為1的小正三角形，??C的邊長(zhǎng)為2x-1,和的邊長(zhǎng)為x1??D的邊長(zhǎng)為2x-1或x2A2x-1=x2解得x=3,??A和B的邊長(zhǎng)分別3和6.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于600.也考查了觀察圖形的能力.二.填空題9（2015?泉州）如圖，在正三角形ABC中，ADLBC于點(diǎn)D,則NBAD=30^°.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)正三角形ABC得到NBAC=60°,因?yàn)锳DLBC,根據(jù)等腰三角形的三線合一得到NBAD的度數(shù).解答：解：.「△ABC是等邊三角形，.\ZBAC=60°,VAB=AC,AD±BC,.\ZBAD^ZBAC=30故答案為：30°.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.10.(2015?滕州市校級(jí)模擬)如圖，4ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED二EC.若△ABC的邊長(zhǎng)為，AE=2,則BD的長(zhǎng)為2.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF二BD,證得△EBD04EFC后即可證得NB二NF,然后證得AC〃EF,利用平行線分線段成比例定理證得CF二EA后即可求得BD的長(zhǎng).解答：解：延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF二BD,VED=EC,.\ZEDC=ZECD,.\ZEDB=ZECF,在AEBD和4EFC中，rDB=CF*ZBDE=ZFCE,tDE=CE.,.△EBD"EFC(A),AZB=ZF?「△ABC是等邊三角形，AZB=ZACB,.\ZACB=ZF,.??AC〃EF,??.里理，AECFVBA=BC,.AE=CF=2,.\BD=AE=CF=2,故答案為：2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線..(201春?揚(yáng)中市期末)三個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若23=40°,則N1+N2=*考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì).分析：先根據(jù)圖中是三個(gè)等邊三角形可知三角形各內(nèi)角等于60°,用21,22,23表示出^ABC各角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.解答：解：二?圖中是三個(gè)等邊三角形，23=40°,.\2ABC=180°-60°-40°=80°,2ACB=180°-60°-22=120°-22,2BAC=180°-60°-21=120°-21,V2ABC+2ACB+2BAC=180°,.??80°+(120°-22)+(120°-21)=180°,??.21+22=140°.故答案為：140點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形各內(nèi)角均等于60°是解答此題的關(guān)鍵..(201秋?湖南校級(jí)月考)如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)是BC上任意一點(diǎn)，、 分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為，則+的值為.3 C考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì).分析：利用等邊三角形的特殊角求出與的和，可得出其與三角形的高相等，進(jìn)而可得出結(jié)論.解答：解：.「△ABC是等邊三角形，.\AB=BC=AC,ZA=ZB=ZC=60°XVOE±AB,OF±AC,ZB=ZC=60°,.??OE=OB-sin60°后OB,同理OF作OC..?.OE+OF=^(OB+OC)=^BC.2 2在等邊^(qū)ABC中，高h(yuǎn)號(hào)ABY^BC....OE+OF=h.又??.等邊三角形的高為5,.??OE+OF=5,故答案為5．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,且都等于60°；三條邊都相等.13（2014?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形OAP沿軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2010次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P，…，P2010的位置，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)為_(kāi)⑵嗚,手_.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理.專(zhuān)題：規(guī)律型.分析：做題首先要知道經(jīng)過(guò)連續(xù)翻轉(zhuǎn)2010次后P點(diǎn)的位置，然后求出此點(diǎn)坐標(biāo).解答：解：觀察圖形結(jié)合翻轉(zhuǎn)的方法可以得出P1、P2的橫坐標(biāo)是1，P的橫坐標(biāo)是2.5,P4、P5的橫坐標(biāo)是4，P6的橫坐標(biāo)是5.5…依此類(lèi)推下去，P2005、P2006的橫坐標(biāo)是2005，P200的橫坐標(biāo)是2006.5，P200、P200的橫坐標(biāo)就是200..P2010的縱坐標(biāo)為g，橫坐標(biāo)=200+1.5=200.5?Ro（2007號(hào)）.點(diǎn)P2010處于頂點(diǎn)上，???三角形邊長(zhǎng)為1，_故P2010㈡。。,，當(dāng)）.故答案為（20。9,-￡）.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn).三.解答題14.（2014秋?上蔡縣校級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BDLAC于D，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，AB=6（1）求BE的長(zhǎng)；（2）判斷^BDE的形狀，并說(shuō)明理由.

考點(diǎn):專(zhuān)題考點(diǎn):專(zhuān)題等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).計(jì)算題.分析:()根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BC=AB=6cm,再根據(jù)“三線合一”得AD二CD《AC=3cm,而CD=CE=3cm,所以BE=BC+CE=9cm；()根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NABC=NACB=60°,再根據(jù)“三線合一”得NCBD2NABC=30°,而CD=CE,則NCDE二NE,接著利用三角形外角性質(zhì)得NCDE+NE=NACB=60°,所以NE=30°,于是得到NCBD二NE,然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得到^BDE為等腰三角形.分析:解答：解：()?「△ABC為等邊三角形，/.BC=AB=6cm,VBDXAC,.??AD=CD弓AC=3cm,\*CD=CE=3cm,；.BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm；()^BDE為等腰三角形.理由如下：「△ABC為等邊三角形，.\ZABC=ZACB=60°,VBDXAC,.\ZCBD=^ZABC=30°,「CD=CE,.\ZCDE=ZE,而NCDE+NE=NACB=60°,.\ZE=30°,.\ZCBD=ZE,??.△BDE為等腰三角形.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸.也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)..(0秋?維揚(yáng)區(qū)校級(jí)期中)如圖：已知等邊4ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CD,DMLBC,垂足為M.()求NE的度數(shù).()求證：M是BE的中點(diǎn).考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.分析：（）由等邊^(qū)ABC的性質(zhì)可得：NACB=NABC=60°,然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得：NE二NCDE,最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求NE的度數(shù)；（）連接BD,由等邊三角形的三線合一的性質(zhì)可得：NDBC^NABC弓X60°=30°,結(jié)合（）的結(jié)論可得：ZDBC=ZE,然后根據(jù)等角對(duì)等邊，可得：DB=DE,最后根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：M是BE的中點(diǎn).解答：（）解：二?三角形ABC是等邊^(qū)ABC,.\ZACB=ZABC=60°,又TCE=CD,AZE=ZCDE,XVZACB=ZE+ZCDE,AZE^ZACB=30°；（）證明：連接BD,??,等邊4ABC中，D是AC的中點(diǎn)，.??NDBC」NABC」X60°=30°2 2由（）知NE=30°.\ZDBC=ZE=30°.DB二DEXVDMXBC.M是BE的中點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等邊三角形的三線合一的性質(zhì).6（0秋?宜春期末）4ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CA上一點(diǎn)，且BM=CN,BN與AM相交于Q點(diǎn)，（）求證：△ABM04BCN；（）求證：NAQN=60考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：證明題．分析：()根據(jù)已知條件，利用A定理即可證明△ABM04BCN.()根據(jù)△ABM04BCN(E證)，可得NAMB二NBNC,然后利用△BQMs^BCN即可得出結(jié)論.解答：證明；()?「△ABC為等邊三角形，.\AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=ZABC=60°「,在^ABM和△BCN中"AB=BC，,tBM=CN.?.△ABM"BCN(A)；（）?:△ABM04BCN（E證）..\ZAMB=ZBNC,「NMBQ:NNBC（公共角），.△BQMMBCN,.\ZBQM=ZC=60°,ZZBQM和/AQN是對(duì)頂角，???NAQN=60°.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有點(diǎn)難度，屬于中檔題.7(0秋?北京校級(jí)期中)如圖，以^ABC的兩邊AB、AC向外作等邊三角形ABE和等邊三角形