概率論課本習(xí)題答案及概率論試題及答案

2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2）當(dāng)x<0時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0當(dāng)0≤x<1時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)=當(dāng)1≤x<2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x≥2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X的分布函數(shù)(3)7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，0.0001）8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p，則故所以.9.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，（1）進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.【解】（1）設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3）(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3）10.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關(guān)（時間以小時計）.（1）求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】（1）(2)12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計算,得14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1）保險公司虧本的概率;（2）保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）在1月1日，保險公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險公司獲利不少于10000)即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000）即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1）在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2）在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3）F（x）.【解】（1）(2)(3)當(dāng)x<100時F（x）=0當(dāng)x≥100時故18.設(shè)隨機變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分鐘計）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1）若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2）又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)X~N（3，22），（1）求P{2<X≤5}，P{-4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）(2)c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】28.設(shè)隨機變量X的分布律為X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3049.設(shè)隨機變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當(dāng)y≤e2時FY（y）=P(Y≤y)=0.當(dāng)e2<y<e4時，當(dāng)y≥e4時，即故8.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題10圖10.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)13.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2）X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X與Y不獨立.22.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX11.設(shè)隨機變量X的分布律為X-1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ-4X.【解】(1)(2)7.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X-2Y），D（2X-3Y）.【解】(1)(2)9.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨立性，得方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨立，故聯(lián)合密度為于是34.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YYX-101010.070.180.150.080.320.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ.【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX-101P0.080.720.2所以E（XY）=-0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0.12-0.6×0.2=0從而=01.一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為X.估計P{10<X<18}.【解】設(shè)表每次擲的點數(shù)，則從而又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而所以14.設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P{|X-Y|≥6}的估計.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則X~B（100，0.2）從而11.設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數(shù)，則X~B（10000，0.515）要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率，即求P{X≤5000}.由中心極限定理有試卷一一、填空（每小題2分，共10分）１．設(shè)是三個隨機事件，則至少發(fā)生兩個可表示為______________________。２.擲一顆骰子，表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”，表示“點數(shù)不大于3”，則表示______________________。３．已知互斥的兩個事件滿足，則___________。４．設(shè)為兩個隨機事件，，，則___________。５．設(shè)是三個隨機事件，，，、，則至少發(fā)生一個的概率為___________。二、單項選擇（每小題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分）1.從裝有2只紅球，2只白球的袋中任取兩球，記“取到2只白球”，則（）。(A)取到2只紅球 (B)取到1只白球(C)沒有取到白球 (D)至少取到1只紅球2．對擲一枚硬幣的試驗,“出現(xiàn)正面”稱為（）。(A)隨機事件 (B)必然事件(C)不可能事件 (D)樣本空間3.設(shè)A、B為隨機事件，則（）。(A)A(B)B(C)AB(D)φ4.設(shè)和是任意兩個概率不為零的互斥事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是（）。(A)與互斥 (B)與不互斥(C) (D)5.設(shè)為兩隨機事件，且，則下列式子正確的是（）。(A) (B)(C) (D)6.設(shè)相互獨立，則（）。(A) (B)(C) (D)7.設(shè)是三個隨機事件，且有，則（）。(A)0.1 (B)0.6(C)0.8 (D)0.78.進行一系列獨立的試驗，每次試驗成功的概率為p，則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為（）。(A)p2(1–p)3(B)4p(1–p)3(C)5p2(1–p)3(D)4p2(1–p)39.設(shè)A、B為兩隨機事件，且，則下列式子正確的是（）。(A)(B)(C)(D)10.設(shè)事件A與B同時發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，則（）。(A)P(AB)=P(C)(B)P(A)+P(B)–P(C)≤1(C)P(A)+P(B)–P(C)≥1(D)P(A)+P(B)≤P(C)三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1.袋中裝有5個白球，3個黑球。從中一次任取兩個。求取到的兩個球顏色不同的概率。2.10把鑰匙有3把能把門鎖打開。今任取兩把。求能打開門的概率。3.一間宿舍住有6位同學(xué)，求他們中有4個人的生日在同一個月份概率。4.50個產(chǎn)品中有46個合格品與4個次品，從中一次抽取3個，求至少取到一個次品的概率。5.加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分別為0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品與其它各道工序無關(guān)。求該種零件的次品率。6.已知某品的合格率為0.95，而合格品中的一級品率為0.65。求該產(chǎn)品的一級品率。7.一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中隨機抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率。8.某廠的產(chǎn)品，按甲工藝加工，按乙工藝加工，兩種工藝加工出來的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9?，F(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中有放回地取5件來檢驗，求其中最多有一件次品的概率。四、證明題（共6分）設(shè)，。證明試卷一參考答案一、填空1.或2.出現(xiàn)的點數(shù)恰為53.與互斥則4.0.6故5.至少發(fā)生一個，即為又由得故二、單項選擇1．2.A3.A利用集合的運算性質(zhì)可得.4．與互斥故5．故6．相互獨立7.且則8.9.B10.B故P(A)+P(B)–P(C)≤1三、計算與應(yīng)用題1.解：設(shè)表示“取到的兩球顏色不同”，則而樣本點總數(shù)故2.解：設(shè)表示“能把門鎖打開”，則，而故3.解：設(shè)表示“有4個人的生日在同一月份”，則而樣本點總數(shù)為故4.解：設(shè)表示“至少取到一個次品”，因其較復(fù)雜，考慮逆事件=“沒有取到次品”則包含的樣本點數(shù)為。而樣本點總數(shù)為故5.解：設(shè)“任取一個零件為次品”由題意要求，但較復(fù)雜，考慮逆事件“任取一個零件為正品”，表示通過三道工序都合格，則于是6.解：設(shè)表示“產(chǎn)品是一極品”，表示“產(chǎn)品是合格品”顯然，則于是即該產(chǎn)品的一級品率為7.解：設(shè)“箱中有件次品”，由題設(shè)，有，又設(shè)“該箱產(chǎn)品通過驗收”，由全概率公式，有于是8.解：依題意，該廠產(chǎn)品的合格率為，于是，次品率為設(shè)表示“有放回取5件，最多取到一件次品”則四、證明題證明，，由概率的性質(zhì)知則又且故試卷二一、填空（每小題2分，共10分）1.若隨機變量的概率分布為，，則__________。2.設(shè)隨機變量，且，則__________。3.設(shè)隨機變量,則__________。4.設(shè)隨機變量，則__________。5.若隨機變量的概率分布為則__________。二、單項選擇(每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分)1.設(shè)與分別是兩個隨機變量的分布函數(shù)，為使是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。ǎ?。(A) (B)(C) (D)2.設(shè)隨機變量的概率密度為，則（）。(A) (B)(C) (D)3.下列函數(shù)為隨機變量分布密度的是()。(A)(B)(C) (D)4.下列函數(shù)為隨機變量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)5.設(shè)隨機變量的概率密度為，，則的概率密度為（）。(A) (B)(C) (D)6.設(shè)服從二項分布，則（）。(A) (B)(C) (D)7.設(shè)，則（）。(A) (B)(C) (D)8．設(shè)隨機變量的分布密度為,則（）。(A)2 (B)1(C)1/2 (D)49．對隨機變量來說，如果，則可斷定不服從（）。(A)二項分布 (B)指數(shù)分布(C)正態(tài)分布 (D)泊松分布10．設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機變量，則()。(A)9(B)6(C)4(D)-3三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1.盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個是舊球。采取不放回抽取，每次取一個，直到取到新球為止。求抽取次數(shù)的概率分布。2.車間中有6名工人在各自獨立的工作，已知每個人在1小時內(nèi)有12分鐘需用小吊車。求（1）在同一時刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？（2）若車間中僅有2臺小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？3.某種電子元件的壽命是隨機變量，其概率密度為求（1）常數(shù)；（2）若將3個這種元件串聯(lián)在一條線路上，試計算該線路使用150小時后仍能正常工作的概率。4.某種電池的壽命（單位：小時）是一個隨機變量，且。求（1）這樣的電池壽命在250小時以上的概率；（2），使電池壽命在內(nèi)的概率不小于0.9。5.設(shè)隨機變量。求概率密度。6.若隨機變量服從泊松分布，即，且知。求。7.設(shè)隨機變量的概率密度為。求和。8.一汽車沿一街道行使，需要通過三個均沒有紅綠燈信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，求紅或綠兩種信號燈顯示的時間相等。以表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。求（1）的概率分布；（2）。四、證明題（共6分）設(shè)隨機變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。證明：在區(qū)間上，服從均勻分布。試卷二參考答案一、填空1.6由概率分布的性質(zhì)有即，得。2.，則3.0.54.5.0.25由題設(shè)，可設(shè)即010.50.5則二、單項選擇1.()由分布函數(shù)的性質(zhì)，知則，經(jīng)驗證只有滿足，選2.()由概率密度的性質(zhì)，有3.()由概率密度的性質(zhì)，有4.()由密度函數(shù)的性質(zhì)，有5.()是單減函數(shù)，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得由公式，的密度為6.()由已知服從二項分布，則又由方差的性質(zhì)知,7.()于是8.(A)由正態(tài)分布密度的定義,有9.(D)∴如果時,只能選擇泊松分布.10.(D)∵X為服從正態(tài)分布N(-1,2),EX=-1∴E(2X-1)=-3三、計算與應(yīng)用題1.解：設(shè)為抽取的次數(shù)只有個舊球,所以的可能取值為：由古典概型，有 則12342.解：設(shè)表示同一時刻需用小吊車的人數(shù)，則是一隨機變量，由題意有，，于是（1）的最可能值為，即概率達到最大的（2）3.解：（1）由可得（2）串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個元件都能正常工作，而這里三個元件的工作是相互獨立的，因此，若用表示“線路正常工作”，則而故4.解：（1）（查正態(tài)分布表）（2）由題意即查表得。5.解:對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，又由題設(shè)知故由公式知：6.解:，則而由題設(shè)知即可得故查泊松分布表得，7.解:由數(shù)學(xué)期望的定義知,而故8.解:（1）的可能取值為且由題意,可得即0123（2）由離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有四、證明題證明：由已知則又由得連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù)且當(dāng)時，則故即試卷三一、填空（請將正確答案直接填在橫線上。每小題2分，共10分）1.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為，則__________，__________.2.設(shè)隨機變量和相互獨立，其概率分布分別為，則__________.3.若隨機變量與相互獨立，且，，則服從__________分布.4.已知與相互獨立同分布，且則__________.5.設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有__________.二、單項選擇(在每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分)1.若二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則系數(shù)（）.(A) (B)(C) (D)2.設(shè)兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是（）.(A) (B)(C) (D)3.設(shè)隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布密度為,則（）.(A)(X,Y)服從指數(shù)分布 (B)X與Y不獨立(C)X與Y相互獨立 (D)cov(X,Y)≠04.設(shè)隨機變量相互獨立且都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，則下列隨機變量中服從均勻分布的有（）.(A) (B)(C) (D)5.設(shè)隨機變量與隨機變量相互獨立且同分布,且,則下列各式中成立的是（）.(A)(B)(C) (D)6．設(shè)隨機變量的期望與方差都存在,則下列各式中成立的是（）.(A) (B)(C) (D)7.若隨機變量是的線性函數(shù)，且隨機變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，則與的相關(guān)系數(shù)（）.(A)(B)(C) (D)8.設(shè)是二維隨機變量，則隨機變量與不相關(guān)的充要條件是（）.(A) (B)(C) (D)9.設(shè)是個相互獨立同分布的隨機變量，，則對于，有（）.(A) (B)(C) (D)10.設(shè),為獨立同分布隨機變量序列，且Xi(i=1,2,…)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)為,則（）.三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分