《一元二次不等式的應(yīng)用》示范公開課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)必修5（北師大版）】

4/4《一元二次不等式的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)【知識與能力目標(biāo)】會求解方程的存在性問題，會解簡單的分式不等式和簡單的高次不等式．【過程與方法目標(biāo)】培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力．【情感態(tài)度價值觀目標(biāo)】激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索、創(chuàng)新的精神，同時體會從不同側(cè)面觀察同一立場的思想．教學(xué)重難點教學(xué)重難點【教學(xué)重點】熟練掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及簡單高次不等式的解法．【教學(xué)難點】分式不等式及簡單高次不等式的解法的理解．教學(xué)過程教學(xué)過程解分式不等式的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，根據(jù)實數(shù)運算的符號法則，分式不等式的同解變形有如下幾種：eq\f(f（x）,g（x）)>0?f(x)g(x)>0；eq\f(f（x）,g（x）)<0?f(x)g(x)<0；eq\f(f（x）,g（x）)≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；eq\f(f（x）,g（x）)≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0.一元高次不等式f(x)>0用穿針引線法(或數(shù)軸穿根法，或根軸法，或區(qū)間法)求解，其步驟是：①將f(x)最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；②將f(x)分解為若干個一次因式的積或一次因式與二次不可分解的因式的積；③將每一個使一次因式等于0的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次穿過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根既穿又過)；④根據(jù)曲線顯現(xiàn)的f(x)的值的符號，寫出不等式的解集．【問題導(dǎo)思】不等式eq\f(x＋2,x－3)>0①，eq\f(x＋2,x－3)≥0②.不等式①與(x＋2)(x－3)>0同解嗎？不等式②與(x＋2)(x－3)≥0同解嗎？1.eq\f(f（x）,g（x）)＞0與f(x)·g(x)＞0同解．2.eq\f(f（x）,g（x）)＜0與f(x)·g(x)＜0同解．3.eq\f(f（x）,g（x）)≥0與f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．4.eq\f(f（x）,g（x）)≤0與f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．高次不等式的解法:【問題導(dǎo)思】對于函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)有幾個零點？分別是什么？若x分別屬于下列區(qū)間，f(x)的符號怎樣？①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)．【提示】三個，0，1，2.①f(x)<0②f(x)>0③f(x)<0④f(x)>0如果把函數(shù)f(x)圖像與x軸的交點形象地看成“針眼”，函數(shù)f(x)的圖像看成“線”，那么這種求解不等式的方法，我們形象地把它稱為穿針引線法．分式不等式的解法:解不等式：(1)eq\f(2x＋1,1－x)<0；(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1.【思路探究】(1)eq\f(2x＋1,1－x)<0等價于哪個整式不等式？(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1應(yīng)如何變形？【自主解答】(1)由eq\f(2x＋1,1－x)<0，得eq\f(x＋\f(1,2),x－1)>0，此不等式等價于(x＋eq\f(1,2))(x－1)>0，解得x<－eq\f(1,2)或x>1，∴原不等式的解集為{x|x<－eq\f(1,2)，或x>1}．(2)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0.∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0.即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等價于(x－4)(x－eq\f(3,2))≥0，且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4，∴原不等式的解集為{x|x<eq\f(3,2)，或x≥4}．1．本例(2)易出現(xiàn)把eq\f(x＋1,2x－3)≤1直接變形為x＋1≤2x－3這樣的錯誤．2．解分式不等式一般先移項，使不等式的一端為零，再利用不等式的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化整式不等式(組)來解．簡單高次不等式的解法：解不等式eq\f(3x2,2x－1)－x>0.【思路探究】先把不等式通分化簡，再用穿針引線法求解．【自主解答】原不等式可改寫為eq\f(3x2－x（2x－1）,2x－1)＞0.即eq\f(x（x＋1）,2x－1)＞0，此不等式可轉(zhuǎn)化成x(x＋1)(2x－1)＞0，函數(shù)f(x)＝x(x＋1)(2x－1)的函數(shù)值的符號如圖所示．由圖可知，不等式x(x＋1)(2x－1)＞0，即原不等式的解集為{x|－1＜x＜0，或x＞eq\f(1,2)}．高次不等式的解法：化成標(biāo)準型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0(或<0)．再利用穿針引線法寫出解集，穿根的步驟：(1)分解因式；(2)確定零點；(3)在數(shù)軸上按照從小到大的順序標(biāo)根；(4)當(dāng)最高次項的系數(shù)為正時，右起為正(其中奇過偶不過)進行穿根．解不等式x－eq\f(8,x)<2.【解】先化簡不等式得x(x2－2x－8)<0，分解因式得x(x＋2)(x－4)<0.如圖所示，由穿針引線法可知原不等式的解集為(－∞，－2)∪(0，4)．一元二次不等式的實際應(yīng)用:解不等式應(yīng)用題，一般可按以下四步進行：(1)閱讀理解、認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準不等關(guān)系；(2)引進數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實際問題．等價轉(zhuǎn)化思想在解分式不等式中的應(yīng)用:(12分)解不等式eq\f(x＋1,x)≤3.【思路點撥】先通分再轉(zhuǎn)化整式不等式．【規(guī)范解答】原不等式可化為eq\f(x＋1,x)－3≤0，即eq\f(1－2x,x)≤0，∴eq\f(2x－1,x)≥0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（2x－1）≥0，,x≠0，))解得x≥eq\f(1,2)或x<0.故原不等式的解集為{x|x≥eq\f(1,2)或x<0}.解分式不等式就是把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．要注意轉(zhuǎn)化時看一下是否等價．這體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想．總結(jié)：1．解分式不等式和高次不等式一般的方法是穿針引線法，先將不等式化為標(biāo)準型，即右邊為零，左邊分解成幾個因式的積或商，使每個因式的x系數(shù)全為1，再把各根依次從小到大排在數(shù)軸上后，要從右上方開始往左穿，若有重根，則奇次重根一次穿過，偶次重根要穿而不過，