系統(tǒng)傳遞函數(shù)課件

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1控制系統(tǒng)時域數(shù)學(xué)模型§2.2拉普拉斯變換和傳遞函數(shù)§2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖§2.4MATLAB在系統(tǒng)建模中的應(yīng)用主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解

控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號流圖-梅遜公式脈沖響應(yīng)函數(shù)各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)2.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3.控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及化簡

4.自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)難點(diǎn)如何由實(shí)際的物理系統(tǒng)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換§2.1控制系統(tǒng)時域數(shù)學(xué)模型2.1.1線性系統(tǒng)的微分方程

列寫方法：（1）確定元件的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開始，根據(jù)物理、化學(xué)基本定律寫出原始方程式。（3）消去中間變量，寫出只含輸入、輸出變量的微分方程。（4）標(biāo)準(zhǔn)化——將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號的右邊,與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號的左邊，各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列。例2-1試列寫圖2-1所示電樞控制直流電動機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓（V）為輸入量，電動機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出量。圖中、分別是電樞電路的電阻和電感，是折合到電動機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通為常值。圖2-1電樞控制直流電動機(jī)原理圖解：1.電樞回路電壓平衡方程：2．電磁轉(zhuǎn)矩方程：3．電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：

（2-1）（2-2）（2-3）

由式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）中消去中間變量、及便可得到以為輸出量，以為輸入量的直流電動機(jī)微分方程為：在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感較小，通常忽略不計，因而式（2-4）可簡化為:式中是電動機(jī)機(jī)電時間常（s），

,是電動機(jī)傳遞系數(shù)。例2.2

速度控制系統(tǒng)_+uf+ug功率放大TG負(fù)載

R1R2R3R3R4__+ua_MR1u1C1、運(yùn)放Ⅰ：2、運(yùn)放Ⅱ：3、功放：4、電機(jī)：5、測速機(jī)：最后合并上述方程有：令可見：既與有關(guān)又與有關(guān)。①當(dāng)為變化量，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速跟蹤時，為速度隨動系統(tǒng)，一般不變：則有為常值，②當(dāng)為變化量，系統(tǒng)為恒值調(diào)速系統(tǒng)：當(dāng)兩方程的系統(tǒng)相同時，從動態(tài)性能的角度看，兩系統(tǒng)是相同的。這就有可能利用電氣來模擬機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，而對系統(tǒng)理論來說，就有可能撇開系統(tǒng)的物理屬性進(jìn)行普遍意義的分析研究。2.1.2

非線性特性的線性化

在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定常控制系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。

若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f（x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如右圖中的。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為，當(dāng)很小時，AB段可近似看做線性的。AByx0設(shè)f(x)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開為泰勒級數(shù)，得：AByx0若很小，則，即式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性近似。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開。對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點(diǎn)為。則可近似為：式中：，。 為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。[注意]：⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級數(shù)展開的。⑵實(shí)際的工作情況在工作點(diǎn)附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點(diǎn)附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)?！?.2拉普拉斯變換和傳遞函數(shù)2.2.1拉普拉斯變換與反變換若令是復(fù)數(shù)，上式就是拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換，記為式中，稱為原函數(shù)；稱為象函數(shù)。拉氏變換就是由原函數(shù)求象函數(shù)的過程。定義：當(dāng)已知象函數(shù)，可用求出與唯一對應(yīng)的原函數(shù)稱上式為拉普拉斯反變換，簡稱拉氏反變換。

定義：，2.2.2傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，在系統(tǒng)的分析和綜合中可解決如下問題：不必求解微分方程就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程?？梢匝芯肯到y(tǒng)參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響，因而使分析系統(tǒng)的問題大為簡化?？梢园褜ο到y(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使綜合問題易于實(shí)現(xiàn)。系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的微分方程為：式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，即：環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是它的微分方程在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。也可寫成：Y(s)=G(s)X(s)。通過拉氏反變換可求出時域表達(dá)式y(tǒng)(t)。[總結(jié)]:

傳遞函數(shù)是由線性微分方程（線性系統(tǒng)）當(dāng)初始值為零時進(jìn)行拉氏變化得到的。已知傳遞函數(shù)G(s)和輸入函數(shù)X(s)，可得出輸出Y(s)。通過反變換可求出時域表達(dá)式y(tǒng)(t)。可以由環(huán)節(jié)的微分方程直接得出傳遞函數(shù)，只要將各階導(dǎo)數(shù)用各階s代替即可。即：

傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。

傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。

傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。

傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。

傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。

傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明][傳遞函數(shù)的幾種表現(xiàn)形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?！獋鬟f系數(shù)（零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)增益）寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或：其中系數(shù)由或求得。同樣，共軛復(fù)零點(diǎn)可表示如下：或：若再考慮有n個零值點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)二階微分振蕩環(huán)節(jié)一階微分

傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。其中，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。2.傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或元件數(shù)學(xué)模型的另一種形式，是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式。它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也與系統(tǒng)的初始條件無關(guān)。3.傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。只要把系統(tǒng)或元件微分方程中各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)階次的變量代替，就很容易求得系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。4.傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)。2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

從上述傳函的一般表示中看出，任何系統(tǒng)均由等環(huán)節(jié)組成，此為典型環(huán)節(jié)。1、微分方程：c(t)=Kr(t)2、傳函：G(s)=K.

既無零點(diǎn)也無極點(diǎn)。（一）比例環(huán)節(jié)：3、響應(yīng)：若r(t)=1(t)，則c(t)=K1(t)。輸出與輸入成比例，不失真也不延時，如無彈性變形的杠桿、放大器、分壓器、齒輪、減速器等。1.微分方程：2.傳遞函數(shù)：

只有一個零值極點(diǎn)。（二）積分環(huán)節(jié)：3.階躍響應(yīng)：時所需的時間。

其中T=RC是

增長到

象積分器：

1．微方：有一個負(fù)極點(diǎn)

2．傳函：3．響應(yīng)：（三）慣性環(huán)節(jié)：如RC網(wǎng)絡(luò)、LR回路。（四）微分環(huán)節(jié)：1．微方：2．傳函：，只有一個零值零點(diǎn)。

則——階躍函數(shù)因此微分環(huán)節(jié)能預(yù)示的變化趨勢。—脈沖函數(shù),3．響應(yīng)：，則因此運(yùn)放組成的微分器：實(shí)際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，如右圖的RC網(wǎng)絡(luò)：當(dāng)時，才有（五）一階微分環(huán)節(jié)：1．微方：2．傳函：有一個負(fù)值零點(diǎn)

同樣實(shí)際中常帶有慣性，如右圖的RC網(wǎng)絡(luò)：令只有當(dāng)時，才有（六）振蕩環(huán)節(jié)：1．微方：2．傳函：有兩個極點(diǎn)：為兩個不相等的負(fù)實(shí)根。一對共軛復(fù)數(shù)根。（輸出延遲后復(fù)現(xiàn)輸入）（七）延遲環(huán)節(jié)：如樞控電機(jī)、R-L-C網(wǎng)絡(luò)、動力系等。2.響應(yīng)：當(dāng)時，圖所示。四種不同的響應(yīng)如3．處理方法：展開成臺勞級：很小時，可將為超越函數(shù)，當(dāng)2．傳函：如皮帶傳輸機(jī)、晶閘管整流裝置等。

1．微方：即將延遲環(huán)節(jié)近似為慣性環(huán)節(jié)?！?.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2.3.1控制的基本構(gòu)成

1．定義：由具有一定函數(shù)關(guān)系組成的、并標(biāo)明信號傳遞方向的系統(tǒng)方框圖稱為動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。2．組成：4個基本單元。①信號線：帶箭頭的直線，表示信號傳遞的方向，線上標(biāo)注信號所對應(yīng)的變量，信號傳遞具有單向性。②引出點(diǎn)：信號引出或測量的位置，從同一信號線上取出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。③比較點(diǎn)：表示兩個或兩個以上信號在該點(diǎn)相加減，運(yùn)算符號必須表明，一般正號可省略。④方框：表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞關(guān)系，方框的輸出信號等于方框的輸入信號與方框中G(s)的乘積。2.3.2

結(jié)構(gòu)圖的等效變換與化簡1.環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián)是很常見的一種結(jié)構(gòu)形式，其特點(diǎn)是，前一個環(huán)節(jié)的輸出信號為后一個環(huán)節(jié)的輸入信號，如下圖所示。2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點(diǎn)是，各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（或相減），如圖所示。3.環(huán)節(jié)的反饋連接若傳遞函數(shù)分別為和的兩個環(huán)節(jié)如圖(a)形式連接，則稱為反饋連接?！?”號為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加，“-”號則表示相減，為負(fù)反饋。構(gòu)成反饋連接后，信號的傳遞形成了封閉的路線，形成了閉環(huán)控制。按照控制信號的傳遞方向，可將閉環(huán)回路分成兩個通道，前向通道和反饋通道。前向通道傳遞正向控制信號，通道中的傳遞函數(shù)稱為前向通道傳遞函數(shù)，如圖(a)中的。反饋通道是把輸出信號反饋到輸入端，它的傳遞函數(shù)稱為反饋通道傳遞函數(shù)，如圖(a)中的。當(dāng)時，稱為單位反饋。4.比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化過程中，有時為了便于進(jìn)行方框的串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接的運(yùn)算，需要移動比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置。這時應(yīng)注意在移動前后必須保持信號的等效性，而且比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間一般不宜交換位置。表2-1列出了結(jié)構(gòu)圖簡化（等效變換）的基本規(guī)則。利用這些規(guī)則可以將比較復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡化。表2-1結(jié)構(gòu)圖簡化（等效變換）的基本規(guī)則序號名稱原方框圖等效方框圖1串聯(lián)2并聯(lián)3反饋4等效單位反饋5比較點(diǎn)前移6比較后移點(diǎn)7引出點(diǎn)前移8引出點(diǎn)后移9交換或合并比較點(diǎn)10交換比較點(diǎn)或引出點(diǎn)下面舉例說明結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化過程。例2-11

試求圖2-16所示多回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

圖2-16例2-11系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解：按照圖2-17所示的步驟，根據(jù)環(huán)節(jié)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的規(guī)則簡化?？梢郧蟮脠D2-17例2-11結(jié)構(gòu)圖的化簡2.3.3

系統(tǒng)傳遞函數(shù)

1.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，是用根軌跡法和頻率法分析系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)模型。在圖2-21中，將反饋環(huán)節(jié)的輸出端斷開，則前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。相當(dāng)于。作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2-20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖3.作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)令，圖2-20簡化為圖2-21，輸出對輸入的傳遞函數(shù)為

稱為作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖2-21作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為了研究擾動對系統(tǒng)的影響，需要求輸出對的傳遞函數(shù)。令，圖2-20轉(zhuǎn)化為圖2-22由圖可得稱為作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖2-22作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4.系統(tǒng)的總輸出當(dāng)給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)時，根據(jù)線性疊加原理，線性系統(tǒng)的總輸出應(yīng)為各輸入信號引起的輸出之總和。因此有5.閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)誤差大小直接反映了系統(tǒng)的控制精度。在此定義誤差為給定信號與反饋信號之差，即

作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)令，則可由圖2-20轉(zhuǎn)化得到的圖2-23（a）求得作用下閉環(huán)系統(tǒng)的擾動誤差傳遞函數(shù)取，則可由圖2-23（b）求得

圖2-23、作用下誤差輸出的結(jié)構(gòu)圖(a)(b)系統(tǒng)的總誤差根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)的總誤差為對比上面導(dǎo)出的四個傳遞函數(shù)、、和的表達(dá)式，可以看出，表達(dá)式雖然各不相同，但其分母卻完全相同，為,這是閉環(huán)控制系統(tǒng)的本質(zhì)特征。2.3.4

信號流圖與梅遜公式

控制系統(tǒng)的信號流圖與結(jié)構(gòu)圖一樣都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。對于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣而費(fèi)時。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號流圖符號簡單，更便于繪制和應(yīng)用，而且可以利用梅遜公式直接求出任意兩個變量之間的傳遞函數(shù)。但是，信號流圖只適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖不僅適用于線性系統(tǒng)，還可用于非線性系統(tǒng)。1.信號流圖

-+組成：信號流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。見下圖：

上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點(diǎn)來說是輸出支路，對節(jié)點(diǎn)y來說是輸入支路。節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示信號，輸入節(jié)點(diǎn)表示輸入信號，輸出節(jié)點(diǎn)表示輸出信號。支路：連接節(jié)點(diǎn)之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。[幾個術(shù)語]：輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。如：X8?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7?；旌瞎?jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。它上面的信號是所有輸入支路引進(jìn)信號的疊加。通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點(diǎn)和終點(diǎn)都在節(jié)點(diǎn)上。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一節(jié)點(diǎn)稱為開通路。起點(diǎn)在源點(diǎn)，終點(diǎn)在阱點(diǎn)的開通路叫前向通路。輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：X1，X9。

回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的通路稱為回路。

互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，這種回路稱為互不接觸回路。

通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。

回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。2.梅遜增益公式用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：（正負(fù)號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；

第k個前向通道的特征余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分。例2-13一系統(tǒng)信號流圖如圖2-25所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2-13信號流圖解：由圖可知此系統(tǒng)有兩條前向通道，其增益各為和。有三個回路，即，，，因此。上述三個回路中只有與互不接觸，與及都接觸，因此。