2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

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一、挑選題:1:8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,惟獨(dú)一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的.

(1)若函數(shù)

1cos

,0()

,0

x

x

fx

bx

?-

>

?

=

?≤

?

在0

x=處延續(xù)，則（）

(A)

1

2

ab=(B)

1

2

ab=-(C)0

ab=(D)2

ab=

(2)設(shè)函數(shù)()

fx可導(dǎo)，且()'()0,

fxfx

?>則（）

(A)(1)(1)

ff

>-(B)(1)(1)

ff

-(D)(1)(1)

ff

(5)設(shè)α為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則（）

(A)EααT

-不行逆(B)EααT

+不行逆

(C)2

EααT

+不行逆(D)2

EααT

-不行逆

(6)已知矩陣200021001A???=????，210020001B???=????，100020002C???=????

，則（）

(A)A與C相像,B與C相像(B)A與C相像,B與C不相像

(C)A與C不相像,B與C相像(D)A與C不相像,B與C不相像

(7)設(shè),AB為隨機(jī)概率，若0()1PA的充分須要條件是

（）

(A)()()PBAPBA>(B)()()PBAPBA(D)()()PBAPBA，0()lim0xfxx

+→<，證實(shí)：(Ⅰ)方程()0fx=在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；

(Ⅱ)方程'''2

()()(())0fxfxfx+=在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根。

(19)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)薄片型物體S是圓錐面z

被柱面22zx=割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的密度為.記圓錐面與柱面的交線(xiàn)為C.

(Ⅰ)求C在xOy平面上的投影曲線(xiàn)的方程；

(Ⅱ)求S的質(zhì)量M.

(20)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)3階矩陣()123,,Aααα=有3個(gè)不同的特征值，且3122ααα=+.

(Ⅰ)證實(shí)()2rA=；

(Ⅱ)若123βααα=++，求方程組Axβ=的通解.

(21)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)二次型()222

123123121323,,2282fxxxxxaxxxxxxx=-++-+在正交變換xQy=下的標(biāo)準(zhǔn)形為221122yyλλ+，求a的值及一個(gè)正交矩陣Q.

(22)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)隨機(jī)變來(lái)那個(gè)為X，Y互相自立，且X的概率分布為()()102,2

PXPXY====的概

率密度為()2,010,yyfy<<?=??其他

(Ⅰ)求()PYEY≤;

(Ⅱ)求ZXY=+的概率密度.

(23)(本題滿(mǎn)分11分)

某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做n次測(cè)量，該物體的質(zhì)量μ是已知的，設(shè)n次測(cè)量結(jié)果12,,...,nXXX互相自立且均聽(tīng)從正態(tài)分布()2

,Nμσ.該工程師記錄的是n次測(cè)量的肯定誤差()1,2,iiZXinμ=-=L，利用12,,nZZZL估量σ.

(Ⅰ)求i