數(shù)值分析課件插值法

數(shù)值分析課件插值法1第一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三2插值法

許多實(shí)際問題都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系

但函數(shù)表達(dá)式無法給出，只有通過實(shí)驗(yàn)或觀測得到的數(shù)據(jù)表函數(shù)表達(dá)式已知，但較復(fù)雜，計(jì)算函數(shù)值或積分比較困難如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)推測或估計(jì)其它點(diǎn)的函數(shù)值？例：已測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：

深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500、600、800米…）處的水溫。問題的提出

第二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三3問題的數(shù)學(xué)提法已知[a,b]上的函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)互異點(diǎn)處的函數(shù)值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x求簡單函數(shù)Pn(x)，使得x0x1x2x3x4xP(x)

第三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三4插值基本概念已知函數(shù)y=f(x)

在[a,b]

上有定義，且已經(jīng)測得在點(diǎn)

a

x0

<x1

<···

<xn

b處的函數(shù)值為

y0

=f(x0)，…，yn

=f(xn)如果存在一個(gè)簡單易算的函數(shù)P(x)，使得

P(xi)=f(xi)，i=0,1,...,n則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)P(x)

的方法就稱為插值法插值節(jié)點(diǎn)無需遞增排列，但必須確?；ゲ幌嗤〔逯禇l件第四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三5其插值函數(shù)的圖象如圖第五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三6常用插值法

多項(xiàng)式插值：P(x)為多項(xiàng)式函數(shù)---最常用的插值函數(shù)

分段插值：P(x)為分段多項(xiàng)式函數(shù)

三角插值：P(x)為三角函數(shù)……

多項(xiàng)式插值

polynomialinterpolationWeierstrass定理對(duì)于在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f以及,總存在多項(xiàng)式P(x)滿足第六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三7多項(xiàng)式插值

對(duì)于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問題：

滿足插值條件的多項(xiàng)式P(x)是否存在且唯一？若滿足插值條件的P(x)存在,又如何構(gòu)造出P(x);即插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法有哪些？用P(x)代替f(x)的誤差估計(jì)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于f(x)。第七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三8插值多項(xiàng)式的存在唯一性ExistenceandUniquenessofinterpolationpolynomials?且滿足第八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三9上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式插值多項(xiàng)式的存在唯一性定理已知函數(shù)y=f(x)

在[a,b]

上n

+1

個(gè)點(diǎn)

a

x0

<x1

<···

<xn

b處的函數(shù)值為

y0

=f(x0)，…，yn

=f(xn)求次數(shù)不超過

n

的多項(xiàng)式P(x)=c0+c1x+···+cnxn，使得P(xi)=yi，i=0,1,...,n

存在且唯一第九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三10關(guān)于唯一性證明的幾點(diǎn)說明

插值多項(xiàng)式的唯一性表明，對(duì)同一組節(jié)點(diǎn)，它們的插值多項(xiàng)式是唯一的，可能由不同的方法，會(huì)得到不同形式的插值多項(xiàng)式，但它們之間一定可以相互轉(zhuǎn)化，一定會(huì)相同，當(dāng)然誤差也一樣。

上述證明是構(gòu)造性的（給出解決問題的方法）即以通過解線性方程組來確定插值多項(xiàng)式，但這種方法的計(jì)算量偏大，計(jì)算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實(shí)際計(jì)算中不采用這種方法，而用下面介紹的幾種常用的方法。第十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三11基函數(shù)插值法通過基函數(shù)來構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法就稱為基函數(shù)插值法Zn(x)

=

{次數(shù)不超過n

的多項(xiàng)式的全體}記n+1維線性空間設(shè)z0(x),z1(x),...,zn(x)

構(gòu)成Zn(x)

的一組基，則插值多項(xiàng)式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)

+···+anzn(x)尋找合適的基函數(shù)確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)基函數(shù)法基本步驟

若通過前述方法來求解插值多項(xiàng)式，不但計(jì)算工作量較大,且難于得到簡單表達(dá)式第十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三12Lagrange插值

十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家Lagrange提出了易于掌握和計(jì)算的統(tǒng)一公式稱為Lagrange插值公式

線性插值已知兩個(gè)插值點(diǎn)及其函數(shù)值：xx0x1f(x)f0f1求一次多項(xiàng)式

first-degreepolynomial使得：第十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三13線性插值所以，按Cramer法則，有唯一解點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式第十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三14線性插值的線性組合得到，即：注意到：稱，為線性插值基函數(shù)由兩點(diǎn)式看出，是由兩個(gè)線性函數(shù)第十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三15

拋物線插值

已知三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其函數(shù)值：f2f1f0f(x)x2x1x0x求一個(gè)二次多項(xiàng)式使得：拋物線插值第十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三16拋物線插值

（B-2）令：第十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三17拋物線插值所以為二次插值基函數(shù)第十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三18Lagrange插值設(shè)lk(x)是n次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿足則稱lk(x)

為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

上的拉格朗日插值基函數(shù)

n次Lagrange插值第十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三19P(x)=y0l0(x)+y1l1(x)

+···+ynln(x)Lagrange插值多項(xiàng)式

Lagrange插值

Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式:第十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三20插值舉例例：已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)值如下解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試分別用線性插值和拋物線插值計(jì)算

ln0.54的近似值線性插值：取x0=0.5,x1=0.6得將x=0.54

代入可得：ln0.54L1(0.54)=-0.6202為了減小截?cái)嗾`差，通常選取插值點(diǎn)x

鄰接的插值節(jié)點(diǎn)第二十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三21插值舉例拋物線插值：取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153在實(shí)際計(jì)算中，不需要給出插值多項(xiàng)式的表達(dá)式

ln0.54

的精確值為：-0.616186···可見，拋物線插值的精度比線性插值要高Lagrange插值多項(xiàng)式簡單方便，只要取定節(jié)點(diǎn)就可寫出基函數(shù)，進(jìn)而得到插值多項(xiàng)式，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。第二十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三22matlabprogramfunctions=Lagrange(x0,y0)n=length(x0);%取長度s=0;forj=0:(n-1)t=1;

fori=0:(n-1)ifi~=jt=t*(x-x0(i+1))/(x0(j+1)-x0(i+1));endends=s+t*y0(j+1);ends第二十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三23誤差估計(jì)插值余項(xiàng)定理設(shè)f(x)

Cn[a,b](

n

階連續(xù)可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)

內(nèi)存在，則對(duì)x[a,b]，有其中x(a,b)

且與x

有關(guān),證明：如何誤差估計(jì):第二十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三24插值余項(xiàng)由插值條件可知：Rn(xi)=0,

i=0,1,…,nRn(x)在[a,b]上至少有n+1個(gè)零點(diǎn)對(duì)任意給定的x[a,b](xxi,i=0,1,...,n)，構(gòu)造輔助函數(shù)則在[a,b]

中有n+2

個(gè)互不相同的零點(diǎn)：x,

x0,

…,xnRn(x)可寫成羅爾定理第二十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三25插值余項(xiàng)由Rolle定理可知在(a,b)

內(nèi)至少有n+1個(gè)不同的零點(diǎn)；同理可知在(a,b)

內(nèi)至少有n

個(gè)零點(diǎn)；又f(x)

Cn[a,b]，且f(n+1)(x)在(a,b)

內(nèi)存在以此類推，可知在(a,b)

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x

，即，x

(a,b)。第二十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三26注余項(xiàng)公式只有當(dāng)f(x)

的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用

從余項(xiàng)Rn(x)中的n+1(x)知，當(dāng)點(diǎn)x位于x0,x1,…,xn的中部時(shí)，比較小，精度要高一些；而位于兩端時(shí)，精度要差一點(diǎn)；若x位于x0,x1,…,xn的外部，一般稱為外插，此時(shí)精度一般不理想，使用時(shí)必須注意。如果，則

x

與x

有關(guān)，通常無法確定,實(shí)際使用中通常是估計(jì)其上界第二十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三27Lagrange基函數(shù)性質(zhì)

當(dāng)f(x)為一個(gè)次數(shù)n

的多項(xiàng)式時(shí)，有

故即n

次插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)n

的多項(xiàng)式是精確的

若f(x)=xk，kn，則有

特別地，當(dāng)k=0時(shí)有Lagrange基函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)第二十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三28插值誤差舉例例：已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試估計(jì)線性插值和拋物線插值計(jì)算

ln0.54的誤差解：線性插值

x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)第二十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三29插值誤差舉例拋物線插值：x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,(0.4,0.6)高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對(duì)不是次

數(shù)越高就越好，嘿嘿…第二十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三30Lagrange插值優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)

公式簡潔,理論分析方便容易編程上機(jī)缺點(diǎn)

基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大，計(jì)算量為每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有系數(shù)都得重算；第三十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三31第二章

插值法——Newton插值法第三十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三32Newton插值為什么Newton插值Lagrange插值簡單易用，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)lk(x)

都需重新計(jì)算，不太方便。設(shè)計(jì)一個(gè)可以逐次生成插值多項(xiàng)式的算法，即

pn(x)=

pn-1(x)+un(x)其中pn(x)和

pn-1(x)分別為n

次和n-1

次插值多項(xiàng)式解決辦法

第三十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三33新的基函數(shù)

設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為

x0,…,xn

，考慮插值基函數(shù)組當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)xn+1時(shí)，只需加上基函數(shù)第三十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三34Newton插值

此時(shí)

f(x)

的n

次插值多項(xiàng)式為問題如何從pn-1(x)得到pn(x)?怎樣確定參數(shù)a0,…,an?

第三十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三35Newton插值

再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜為此引入差商的概念

第三十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三36差商什么是差商設(shè)函數(shù)f(x)，節(jié)點(diǎn)x0,…,xn

f(x)

關(guān)于點(diǎn)xi

,xj

的一階差商f(x)

關(guān)于點(diǎn)xi

,xj,xk的二階差商k

階差商差商的一般定義

第三十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三37差商的性質(zhì)

差商可以表示為函數(shù)值的線性組合：用歸納法可以證明差商與節(jié)點(diǎn)的排序無關(guān)，即差商具有對(duì)稱性其中i0,i1,…,ik

是0

,1,…,k

的任一排列第三十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三38差商的性質(zhì)

k階差商與k階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：若f(x)在[a,b]上

具有k階導(dǎo)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得若h(x)=cf(x)，則若h(x)=f(x)+g(x)，則若f(x)是n次多項(xiàng)式，則一階差商f[x,xi]是n1次多項(xiàng)式。

第三十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三39差商的計(jì)算第三十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三40差商舉例例：已知y=(x)

的函數(shù)值表，試計(jì)算其各階差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：差商表如下xi?(xi)一階差商二階差商三階差商-2-112531721-2743-1-1第四十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三41Newton插值公式Newton插值公式由差商的定義可得12……n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)第四十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三42Newton插值公式f

(x)=Nn(x)+Rn(x)

其中Nn(x)

是n次多項(xiàng)式第四十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三43注f

(x)

在x0,x1,…,xn

上的n次插值多項(xiàng)式是唯一的！Nn(x)Ln(x)且余項(xiàng)相同

第四十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三44注

牛頓插值公式利用差商可簡單地表為

因此,每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn),Newton插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng),克服了Lagrange插值的缺點(diǎn)。第四十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三45注

在實(shí)際計(jì)算中，特別是在函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或

f(x)的表達(dá)式?jīng)]有給出時(shí)，我們可以用差商表示的余項(xiàng)公式來估計(jì)誤差。

實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n+1階差商變化不激烈時(shí)，可用近似代替

Newton插值多項(xiàng)式需要除法次,及2n次乘法,大約比Lagrange公式節(jié)省3到4倍工作量.

第四十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三46插值舉例例

給出的函數(shù)表（見表2-2），求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算的近似值.

首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表.

第四十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三47插值舉例

按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入于是

截?cái)嗾`差這說明截?cái)嗾`差很小，可忽略不計(jì).第四十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三48第二章

插值法——Hermite插值法第四十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三49Hermite插值在許多實(shí)際應(yīng)用中，不僅要求函數(shù)值相等，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也相等，如機(jī)翼設(shè)計(jì)等。（i=0,1,…,n）滿足函數(shù)值相等且導(dǎo)數(shù)也相等的插值方法成為Hermite插值

第四十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三50Hermite插值

典型的Hermite插值兩點(diǎn)三次Hermite插值插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1插值條件：P(xi)=f(xi)，P’(xi)=f’(xi)，i=

0,1考慮插值問題

插值條件2n+2個(gè)，確定2n+2個(gè)待定系數(shù)。因此插值多項(xiàng)式最高次為2n+1第五十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三51兩點(diǎn)三次Hermite插值插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1插值條件：P(xi)=f(xi)=yi，P’(xi)=f’(xi)=mi，i=

0,1模仿Lagrange多項(xiàng)式的思想，設(shè)其中均為3次多項(xiàng)式，且滿足i,j=0,1

第五十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三52兩點(diǎn)三次Hermite插值將插值條件代入立即可得0(x),1(x),0(x),1(x)的表達(dá)式？

第五十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三53兩點(diǎn)三次Hermite插值0(x)第五十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三54兩點(diǎn)三次Hermite插值同理可得第五十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三55兩點(diǎn)三次Hermite插值滿足插值條件P(x0)=f(x0)=y0，P’(x0)=f’(x0)=m0P(x1)=f(x1)=y1，P’(x1)=f’(x1)=m1的三次Hermite插值多項(xiàng)式為余項(xiàng)第五十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三56非標(biāo)準(zhǔn)型Hermite插值

給(xi,yi)i=0,1,2,…,n及某些節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值（而不是全部導(dǎo)數(shù)值）Hermite插值問題的非標(biāo)準(zhǔn)型是：

例如求滿足下列條件的Ｈermite插值多項(xiàng)式。12324123

基本方法為待定系數(shù)法

利用重節(jié)點(diǎn)差商構(gòu)造Hermite插值第五十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三57三點(diǎn)三次Hermite插值插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1,x2插值條件：P(xi)=f(xi)，i=

0,1,2，P’(x1)=f’(x1)設(shè)將P’(x1)=f’(x1)代入可得

第五十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三58三點(diǎn)三次Hermite插值由于x0,x1,x2是R(x)的零點(diǎn)，且x1是二重零點(diǎn)，故可設(shè)余項(xiàng)公式與Lagrange插值余項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程類似，可得其中x

位于由x0,x1,x2和x所界定的區(qū)間內(nèi)

第五十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三59利用重節(jié)點(diǎn)差商構(gòu)造Hermite插值定理設(shè)f(x)Cn[a,b]，

x0,…,xn為[a,b]

上的互異節(jié)點(diǎn)，則f[x0,…,xn]

是其變量的連續(xù)函數(shù)重節(jié)點(diǎn)差商一般地，n

階重節(jié)點(diǎn)差商定義為第五十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三60重節(jié)點(diǎn)Newton插值

在節(jié)點(diǎn)x0處的n次Hermite插值多項(xiàng)式

在Newton插值公式中，令xix0,i=

1,…,n,則Taylor插值多項(xiàng)式余項(xiàng)啟示：將同時(shí)具有函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值條件的節(jié)點(diǎn)視為重節(jié)點(diǎn)處理第六十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三61重節(jié)點(diǎn)Newton插值舉例第六十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三62重節(jié)點(diǎn)Newton插值舉例第六十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三63第二章

插值法——分段低次插值第六十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三64多項(xiàng)式插值的缺陷n時(shí)Ln(x)不一定收斂于f(x)例：Runge現(xiàn)象

在插值方法中，為了提高插值多項(xiàng)式的逼近程度，常常提高多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)逐步提高時(shí)，是否逼近程度也越來越好呢？一般總認(rèn)為Ln(x)的次數(shù)n越高，逼近f(x)的程度越好，實(shí)際上并非如此。

高次多項(xiàng)式插值的病態(tài)性質(zhì)：

從計(jì)算的含入誤差看，高次插值可能會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的誤差積累，即穩(wěn)定性得不到保證。第六十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三65Runge現(xiàn)象

Runge函數(shù)第六十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三66Runge現(xiàn)象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式的比較圖第六十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三67

在-2,2上L10(x)對(duì)f(x)逼近較好,但在端點(diǎn)附近很差.可以證明

即隨著n的增長Ln(x)在兩端點(diǎn)附近的振蕩會(huì)越來越大.高次代數(shù)插值所發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象.在上個(gè)世紀(jì)初由Runge發(fā)現(xiàn).

增加節(jié)點(diǎn)并不一定能保證在兩節(jié)點(diǎn)之間插值函數(shù)Ln(x)能很好地逼近f(x)，即高次插值（如7，8次上）在實(shí)際應(yīng)用中很少被采用。常用的方法就是分段低次插值結(jié)論第六十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三68分段插值用分段低次多項(xiàng)式函數(shù)來逼近原函數(shù)f(x)分段低次插值常見的分段低次插值分段線性插值分段三次Hermite插值每個(gè)小區(qū)間上用線性多項(xiàng)式來逼近f(x)

每個(gè)小區(qū)間上用三次Hermite多項(xiàng)式來逼近f(x)

第六十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三69分段線性插值分段線性插值設(shè)a

x0

<x1

<···

<xn

b

為[a,b]

上的互異節(jié)點(diǎn)f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為y0,y1,…,yn記，

求分段函數(shù)Ih(x)

滿足

Ih(x)

在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]上是線性函數(shù)第六十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三70分段線性插值由以上條件直接可得Ih(x)在小區(qū)間[xk,xk+1]上的表達(dá)式x[xk,xk+1]，k=

0,1,…,n-1第七十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三71誤差估計(jì)誤差估計(jì)在小區(qū)間[xk,xk+1]上有當(dāng)h0

時(shí)，Ih(x)

在[a,b]

上一致收斂

到f(x)分段線性插值的不足：Ih(x)

在節(jié)點(diǎn)不可導(dǎo)第七十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三72分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值設(shè)a

x0

<x1

<···

<xn

b

為[a,b]

上的互異節(jié)點(diǎn)yk＝f(xk),mk＝f(xk)

，

k=

0,1,…,n

求分段函數(shù)Ih(x)

滿足

Ih(x)

在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]上是三次多項(xiàng)式第七十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三73分段三次Hermite插值由以上條件直接可得Ih(x)在小區(qū)間[xk,xk+1]上的表達(dá)式x[xk,xk+1]，k=

0,1,…,n-1誤差估計(jì)第七十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三74第二章

插值法——三次樣條插值第七十四頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三75分段低次插值具體作法：(1)把整個(gè)插值區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間(2)在每個(gè)小區(qū)間上作低次插值多項(xiàng)式(3)將所有插值多項(xiàng)式拼接整一個(gè)多項(xiàng)式

基本思想：用分段低次多項(xiàng)式來代替單個(gè)多項(xiàng)式

優(yōu)點(diǎn)：公式簡單、運(yùn)算量小、穩(wěn)定性好、收斂性…

其光滑性較差。前面所介紹的方法只保證函數(shù)連續(xù)或其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，滿足不了許多工程技術(shù)提出的對(duì)插值函數(shù)的光滑性有較高要求的計(jì)算問題例如，船體、飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。為解決這一類問題，導(dǎo)致產(chǎn)生了樣條插值。第七十五頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三76三次樣條插值是分段三次多項(xiàng)式具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)插值條件：S(xi)=f(xi)=yi

給定插值節(jié)點(diǎn)

x0,x1,…,xn

[a,b]及函數(shù)值

f(xi)=yi

，i=0,1,2,…,n求一個(gè)定義在[a,b]上的插值函數(shù)S(x)，滿足：三次樣條插值第七十六頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三77三次樣條插值設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為

a=

x0<x1<…<xn-1<xn=

b

若函數(shù)S(x)C2[a,b]，且在每個(gè)小區(qū)間[xj,xj+1]上是三次多項(xiàng)式，則稱其為三次樣條函數(shù)如果同時(shí)還滿足

S(xi)=f(xi)=yi

，i=0,1,2,…,n

則稱s(x)為f

(x)在[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)定義第七十七頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三78三次樣條插值S(x)滿足：①S(x)C2[a,b]；②在[xj,xj+1]是三次多項(xiàng)式③

S(xi)=yi

，i=0,1,2,…,n其中sj(x)為[xj,xj+1]上的三次多項(xiàng)式，且滿足sj(xj)=yj，sj(xj+1)=yj+1

j=0,1,…,n-1怎樣計(jì)算三次樣條插值函數(shù)第七十八頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三79邊界條件每個(gè)sj(x)

均為三次多項(xiàng)式，有4個(gè)待定系數(shù)，所以共有4n

個(gè)待定系數(shù)，故需4n

個(gè)方程才能確定。前面已經(jīng)得到2n+2(n-1)=4n-2

個(gè)方程，還缺2個(gè)方程！實(shí)際問題通常對(duì)樣條函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的狀態(tài)有要求，即所謂的邊界條件第七十九頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三80常用的邊界條件第一類邊界條件：給定函數(shù)在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，即第二類邊界條件：給定函數(shù)在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)S”(x0)=

S”(xn)=0時(shí)，稱為自然邊界條件，此時(shí)的樣條函數(shù)稱為自然樣條函數(shù)第三類邊界條件：設(shè)f(x)是周期函數(shù)，并設(shè)xn–x0是一個(gè)周期，于是要求S(x)滿足第八十頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三81三次樣條函數(shù)的計(jì)算設(shè)S”(xj)=Mj，j=0,1,2,…,n由于

sj(x)

是三次多項(xiàng)式，故

sj”(x)

為線性函數(shù)，且

sj”(xj)=Mj

,sj”(xj+1)=Mj+1下面計(jì)算S(x)在[xj,xj+1]的表達(dá)式sj

(x)

由線性插值公式可得求積分，可得第八十一頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三82三次樣條函數(shù)的計(jì)算將插值條件sj(xj)=yj，sj(xj+1)=yj+1

代入，即可確定積分常數(shù)c1和c2。整理后可得sj(x)

的表達(dá)式為只需確定M0,M1,…,Mn的值，即可給出sj(x)的表達(dá)式，從而可以得到S(x)的表達(dá)式。j=0,1,…,n-1第八十二頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三83條件：易知6f[xj-1,xj,xj+1]djjj三次樣條函數(shù)的計(jì)算第八十三頁，共九十三頁，編輯于2023年，星期三84或j=1