數(shù)論與有限域 第五章

數(shù)論與有限域第五章第一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三

通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道對于給定的兩個整數(shù)a和b，利用帶余數(shù)除法一定會找到一個整數(shù)q以及一個非負(fù)整數(shù)r，使得a=qb+r，在后面的學(xué)習(xí)過程中，還會發(fā)現(xiàn)，這個規(guī)則對于多項式，高斯整數(shù)等也是成立的。于是，人們?yōu)榱藢⑦@樣一大類的研究對象進(jìn)行統(tǒng)一處理，引入了一個新的概念－歐氏環(huán)。如此，就可以在歐氏環(huán)中做我們所熟知的除法，因子分解等等，許多的結(jié)論我們不必再分別對整數(shù)，多項式，高斯整數(shù)等一一驗證，只要知道是歐氏環(huán)，那么相應(yīng)的結(jié)論就是正確的。類似這樣的一套由具體到抽象的理論是由一些偉大的數(shù)學(xué)家迦羅瓦，阿貝爾等將我們所熟知的數(shù)上的一些理論加以高度概括，提煉出來的結(jié)果－稱之為近世代數(shù)又稱之為抽象代數(shù)。和我們已經(jīng)接觸到的經(jīng)典代數(shù)中的初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)不同，其研究對象不再是代數(shù)方程和線性方程組，而是代數(shù)系統(tǒng)。

第二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三定義設(shè)S是任意一個集合，并記S×S×…×S為所有有序?qū)?s1,s2,…,sn)，siS，1≤i≤n，所構(gòu)成的集合，則稱由S×S×…×S到S的映射為集合S上的（n元）代數(shù)運(yùn)算，并稱由集合S以及定義在集合S上的一個或多個代數(shù)運(yùn)算構(gòu)成的系統(tǒng)為代數(shù)系統(tǒng)或代數(shù)結(jié)構(gòu)。在這個定義中，要求有序?qū)?s1,s2,…,sn)S×S×…×S的像必須在集合S中，即運(yùn)算要滿足封閉性。例如，由整數(shù)集合Z以及定義在其上的整數(shù)加法運(yùn)算“+”所構(gòu)成的系統(tǒng)就是一個代數(shù)系統(tǒng)；而由整數(shù)集合Z和整數(shù)加法運(yùn)算“+”以及乘法運(yùn)算“×”所構(gòu)成的系統(tǒng)也是一個代數(shù)系統(tǒng)，

第三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群定義5.1.1

設(shè)G是定義了二元運(yùn)算“?”的非空集合，如果在集合G中：

a,b,cG，有(a?b)?c=a?(b?c)；存在一個特殊的元素e，使得

aG，有e?a=a?e=a；

aG，可以找到一個特殊的元素a-1G，使得a?a-1=a-1?a=e。則稱{G,?}為群，并稱元素e為群{G,?}的單位元，而稱a-1為元素a的逆元。

定義5.1.2若對群{G,?}中任意的元素a，b，有a?b=b?a，即運(yùn)算“?”滿足交換律，則稱該群為阿貝爾（或可換）群。

第四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群例5.1.1證明(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群，(Z,×)不構(gòu)成群。證明：由整數(shù)加法的運(yùn)算性質(zhì)知加法運(yùn)算滿足封閉性(即任意兩個整數(shù)做加法還是整數(shù))，結(jié)合律與交換律，同時容易驗證：整數(shù)0是整數(shù)集合在加法運(yùn)算下的單位元；對任意的整數(shù)a，都可以找到其對應(yīng)地逆元-a。因而(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群。雖然容易驗證整數(shù)集合在乘法運(yùn)算下有單位元1，但是對任意的整數(shù)a≠1都找不到其對應(yīng)的逆元。因而(Z,×)不構(gòu)成群。

第五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群例5.1.1證明(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群，(Z,×)不構(gòu)成群。證明：由整數(shù)加法的運(yùn)算性質(zhì)知加法運(yùn)算滿足封閉性(即任意兩個整數(shù)做加法還是整數(shù))，結(jié)合律與交換律，同時容易驗證：整數(shù)0是整數(shù)集合在加法運(yùn)算下的單位元；對任意的整數(shù)a，都可以找到其對應(yīng)地逆元-a。因而(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群。雖然容易驗證整數(shù)集合在乘法運(yùn)算下有單位元1，但是對任意的整數(shù)a≠1都找不到其對應(yīng)的逆元。因而(Z,×)不構(gòu)成群。

第六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群例5.1.2

給定由模4的全體剩余類構(gòu)成的集合Z4={[0],[1],[2],[3]}，則可對Z4定義加法“+”運(yùn)算：[i]+[j]=[i+j]。該“+”運(yùn)算可用如下運(yùn)算表來完全刻劃表5-1群{Z4,+}中運(yùn)算表在如上定義的“+”運(yùn)算下，{Z4,+}構(gòu)成群。+[0][1][2][3][0][0][1][2][3][1][1][2][3][0][2][2][3][0][1][3][3][0][1][2]第七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群例5.1.1證明(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群，(Z,×)不構(gòu)成群。證明：由整數(shù)加法的運(yùn)算性質(zhì)知加法運(yùn)算滿足封閉性(即任意兩個整數(shù)做加法還是整數(shù))，結(jié)合律與交換律，同時容易驗證：整數(shù)0是整數(shù)集合在加法運(yùn)算下的單位元；對任意的整數(shù)a，都可以找到其對應(yīng)地逆元-a。因而(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群。雖然容易驗證整數(shù)集合在乘法運(yùn)算下有單位元1，但是對任意的整數(shù)a≠1都找不到其對應(yīng)的逆元。因而(Z,×)不構(gòu)成群。

第八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群由上述運(yùn)算表易知Z4對該加法“+”運(yùn)算封閉；“+”滿足結(jié)合律；由于對任意的元素[a]Z4，都有[0]+[a]=[0+a]=[a+0]=[a]+[0]=[a]，因而[0]為Z4中的加法零元；而對Z4中任意的元素[a]，都可以找到Z4中的元素-[-a]，使得[-a]+[a]=[-a+a]=[0]=[a+(-a)]=[a]+[-a]，因而Z4中的每個元素都有負(fù)元，具體地[0]的負(fù)元是自身，[1]的負(fù)元為[-1]=[3]，[2]的負(fù)元是[-2]=[2]，[3]的負(fù)元為[-3]=[1]。因而{Z4,+}構(gòu)成了加法群，稱之為整數(shù)模4的剩余類加群。利用同樣的證明過程，可以得到整數(shù)模的剩余類加群{Zn,+}。

第九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群一般地，在乘法群中，一個元素aG作n次運(yùn)算的結(jié)果可以記為an=aa…a，同時稱an為a的n次冪；而在加法群中，一個元素aG作n次運(yùn)算的結(jié)果則可以記為na=a+a+…+a。并且類似于普通的數(shù)的集合中的加法和乘法運(yùn)算，群中的加法和乘法運(yùn)算具有如下性質(zhì)對于乘法：a-n=(a-1)n，anam=an+m，(am)n=anm;對于加法：(-n)a=n(-a)，na+ma=(n+m)a，m(na)=(mn)a。在n=0時，作如下約定：在乘法記號中a0=e；在加法記號中0a=0，其中最后一個“0”為加法群中的零元。

第十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群定義5.1.3設(shè)a為群G中的元素，則稱使得an=e的最小正整數(shù)n為元素a的階，記為|a|，如果這樣的n不存在，則稱a的階為無限（或稱是零）。由定義5.1.3可知，群中單位元的階是l，而其他任何元素的階都大于1，例如在非零有理數(shù)乘法群中，單位元1的階是1，而元素-1的階是2，其余元素的階均為無限。定義5.1.4

群G中的元素個數(shù)稱為G的階，通常記為|G|。例5.1.3

集合G={1,-1,i,-i}關(guān)于數(shù)的普通乘法作成群，即4次單位根群。其中群G的階為4，元素l的階是l，-1的階是2，而虛單位根i與-i的階都是4。第十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)群定義5.1.5

設(shè)S為定義了代數(shù)運(yùn)算“?”的任一非空集合。若在集合S中，運(yùn)算“?”滿足封閉性與結(jié)合律，則稱{S,?}為半群。例5.1.4

設(shè)A={1,2,3,4}，而令S為A的全部子集構(gòu)成的集合（通常稱之為A的冪集），則易知{S,∩}及{S,∪}都是半群。

第十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)子群、陪集與拉格朗日定理

一、子群二、陪集與拉格朗日定理第十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、子群定義5.1.5

如果群G的子集H對于群G的運(yùn)算也構(gòu)成了群，則稱H為群G的子群，并稱群G的除了{(lán)e}和G之外的子群為G的真子群。例如容易驗證所有偶數(shù)構(gòu)成的集合就是整數(shù)加法群的真子群。定義5.1.6

如果群G中存在一個子集H，使得子集H中的任意元素b，都可以表示為H中某個特殊的元素a的冪次，則稱子集H為群G的循環(huán)子群，而稱元素a為H的生成元，記為H=(a)。特別地，若H=G，則稱群G為循環(huán)群。例5.1.5

容易驗證整數(shù)模4的剩余類加群Z4中的任意元素都可以由元素[1]做若干次運(yùn)算而得到，即[1]是Z4的生成元。

第十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、子群顯然循環(huán)群的乘法滿足交換律，故循環(huán)群都是可換群。同時一個循環(huán)群的生成元很可能不止一個。例如容易證明[3]也是整數(shù)模4的剩余類加群Z4的生成元。推論5.1.1由群G中一個固定的元素a的所有冪次所構(gòu)成的子群，稱為由a生成的子群，記為（a）。子群（a）必然是循環(huán)群，并且若這個子群的階是有限的，則此子群的階就是元素a的階，而若子群的階是無限的，則元素a的階也是無限的。

第十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定義5.1.7(集合的積)

設(shè)X和Y是群G的兩個非空子集，于是子集X與Y

的積記為XY={xy|xX,yY}。特別地，如果Y={y}是一個單元素集，而子集X={x1,x2,…}，那么子集X和Y的積為XY={x1y,x2y,…}，此時我們記XY為Xy，并稱Xy為元素y右乘X的積。定義5.1.8設(shè)H為群G的子群，aG，則稱群G的子集aH={ax|xH}為群G關(guān)于子群H的一個左陪集，而稱Ha={xa|xH}為群G關(guān)于子群H的一個右陪集。同時稱a為代表元。第十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定理5.1.1設(shè)H為群G的子群，則a，bG，Ha=Hb與下面兩個條件等價aHb

ab-1H證明：(aHb→Ha=Hb)：設(shè)aHb，則存在h∈H使得a=hb，因而h-1a=h-1hb=b，即b=h-1a。首先xHa，存在h1H使得x=h1a=h1(hb)=(h1h)b，由子群H對乘法運(yùn)算的封閉性得到h1hH，因而x=(h1h)bHb，故HaHb。第十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理(aHb→Ha=Hb)：h-1a=h-1hb=b，即b=h-1a。其次yHb，存在h2H使得y=h2b=h2(h-1a)=(h2h-1)a，由子群H對乘法運(yùn)算的封閉性得到h2h-1H，因而y=(h2h-1)aHa，故HbHa。綜上，得到Ha=Hb。(Ha=Hb→ab-1H)：設(shè)Ha=Hb，則haHa，都存在h’

H，使得ha=h’b，即ab-1=h-1h’

H，進(jìn)而ab-1H。(ab-1∈H→aHb)：設(shè)ab-1H，則存在hH，使得ab-1=h，于是a=hbHb，即aHb。第十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定理5.1.2

設(shè)H為群G的子群，a，bG，則aHa；右陪集Ha與Hb或者相等或者相交為空集，即Ha=Hb或Ha∩Hb=Φ；G=證明：因為H為群G的子群，所以H中有單位元e，使得aG，有a=eaHa；第十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理若Ha∩Hb≠Φ，則存在xHa∩Hb，由xHa，可以得到Hx=Ha，而由xHb，又可以得到Hx=Hb，所以Ha=Hb；第二十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理因為每個右陪集Ha都是G的子集，所以這些右陪集的并也是G的子集，即另一方面，gG，由1)知gHg，而顯然有所以g，由g的任意性得到所以第二十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理由定理5.1.2我們看到：每個右陪集的代表元都含在該右陪集內(nèi)，任兩個右陪集要么相等，要么不相交，將不重復(fù)的全部右陪集并起來以后恰好等于整個群G，即群G的所有右陪集構(gòu)成了G的一個劃分。定義5.1.9

設(shè)H為群G的子群，由上述定理決定的G的劃分G=稱為G的一個右陪集分解。第二十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定義5.1.9

設(shè)H為群G的子群，由上述定理決定的G的劃分G=稱為G的一個右陪集分解。特別地，由上可見群G的右陪集分解具有如下特點：分解式中必含有子群(即以單位元為代表的右陪集)而其余的右陪集都不是G的子群；右陪集分解式中出現(xiàn)的右陪集彼此都不相交；分解式中每個右陪集的代表元都可以適當(dāng)替換。第二十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理設(shè)H為群G的子群，若記SR={Ha|aG},SR為H的所有不重復(fù)的右陪集做成的集合，SL={cH|cG}，SL為H的全部不重復(fù)的左陪集做成的集合。則左陪集將與右陪集具有完全相似的性質(zhì)。同時有如下結(jié)論定理5.1.3

設(shè)H為群G的子群，則SR與SL之間存在雙射。第二十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定理5.1.3

設(shè)H為群G的子群，則SR與SL之間存在雙射。證明：作φ:SR→SL，其中φ(Ha)=a-1H。

(φ必是映射)：Ha，HbSR，若Ha=Hb，則

ab-1H，即存在hH，使得ab-1=h，即b-1=a-1h，

進(jìn)而b-1a-1H，故a-1H=b-1H，即φ(Ha)=φ(Hb)，這說明φ是個映射。第二十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定理5.1.3

設(shè)H為群G的子群，則SR與SL之間存在雙射。證明：作φ:SR→SL，其中φ(Ha)=a-1H。

(φ必是滿射)：cHSL，存在Hc-1R，使

φ(Hc-1)=(c-1)-1H=cH，所以φ必是滿射。(φ必是單射)：設(shè)φ(Ha)=a-1H，若a-1H=b-1H，則ab-1H=H，即存在h1，h2H，使得

ab-1h1=h2，即ab-1=h2h1-1，進(jìn)而a=h2h1-1b，即

h2-1a=h1-1b，故Ha=Hb，所以φ必是單射。綜上知φ必是雙射。第二十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定義5.1.10若H為群G的子群，則稱H的右(左)陪集的個數(shù)為H在G中的指數(shù)，記為[G:H]。引理5.1.1設(shè)H為群G的子群，則H與H的任一個右陪集Ha之間都存在雙射。證明:設(shè)φ:H→Ha，其中hH，有φ(h)=ha。hH，作為h在φ下的象ha是唯一確定的，所以φ是映射。haHa，顯然ha有原象h，所以φ是滿射。設(shè)φ(h1)=h1a，φ(h2)=h2a，若h1a=h2a，則h1aa-1=h2aa-1，即h1=h2，所以φ必是單射。綜上知φ是雙射。

第二十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理定理5.1.4(拉格朗日定理)

設(shè)H為群G的子群，若|G|=N，|H|=n，且[G:H]=j，則N=nj。證明：因為[G:H]=j，即H在群G中的右陪集只有j個，從而有G的右陪集分解：G=Ha1∪Ha2∪Ha3∪…∪Haj，其中Ha1=H。由引理5.1.1知，|Ha1|=|Ha2|=|Ha3|=…=|Haj|=n，所以|G|=|Ha1|j，即N=nj。由等式“N=nj”知子群H的階n是G的階N的因子，于是第二十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、陪集與拉格朗日定理推論5.1.2設(shè)G為有限群，則a∈G，其階m必是|G|的因子，即|a|||G|。證明：設(shè)以元素a生成G的一個循環(huán)子群H=(a)，則由拉格朗日定理知|H|||G|，但|H|=m，所以m||G|，即|a|||G|。第二十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第三節(jié)環(huán)一、環(huán)的定義二、陪集與拉格朗日定理

第三十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義定義5.2.1

設(shè)在非空集合R中定義了兩個二元運(yùn)算“+”與“·”，如果在集合R中{R,+}構(gòu)成阿貝爾群；{R,·}構(gòu)成半群；乘法“·”對加法“+”滿足左、右分配律，即a,b,cR，有a·(b+c)=a·b+a·c，且(b+c)·a=b·a+c·a。則稱{R,+,·}為環(huán)。例5.2.1在環(huán){R,+,·}中，取集合R為整數(shù)集Z，“+”和“·”為整數(shù)的加法和乘法運(yùn)算，則容易驗證{R,+,·}構(gòu)成環(huán)，稱之為整數(shù)環(huán)，記為Z。同理還可以得到有理數(shù)環(huán)，實數(shù)環(huán)，復(fù)數(shù)環(huán)，由于這四個環(huán)都是由數(shù)的集合組成的，故均稱之為數(shù)環(huán)。第三十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義例5.2.2設(shè)集合Z[i]={a+bi|a,bZ}，則按照整數(shù)加法運(yùn)算，集合Z[i]也構(gòu)成了環(huán)，稱為高斯整數(shù)環(huán)。例5.2.3

模m的剩余類環(huán){Zm,+,·}，前邊我們曾討論了模m的剩余類加群{Zm,+}，這里再為Zm定義一個乘法“·”：[i]·[j]=[i·j]，于是可以驗證{Zm,+,·}構(gòu)成一個環(huán)。為了便于理解，這里特取m=7，接下來證明{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。第三十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義例5.2.3

證明{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。事實上：{Z7,+}正是模7剩余類加群；{Z7,·}是半群：由下邊的乘法運(yùn)算表可知{Z7,·}對乘法運(yùn)算封閉，且滿足結(jié)合律；+[0][1][2][3][4][5][6][0][0][0][0][0][0][0][0][1][0][1][2][3][4][5][6][2][0][2][4][6][1][3]5][3][0][3][6][2][5][1]4][4][0][4][1][5][2][6][3][5][0][5][3][1][6][4][2][6][0][6][5][4][3][2][1]第三十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義例5.2.3證明{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。a,b,cZ7，有[a]·([b]+[c])=[a]·[b+c]=[a·(b+c)]=[a·b+a·c]=[a·b]+[a·c]=[a]·[b]+[a]·[c]，同理([b]+[c])·[a]=[b]·[a]+[c]·[a]，因而{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。第三十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義環(huán){R,+,·}在集合R上定義了兩個二元運(yùn)算，并且這兩個二元運(yùn)算通過分配律建立了彼此的聯(lián)系，但同時注意到集合R對于乘法只要求構(gòu)成半群—乘法滿足封閉性和結(jié)合律，所以為環(huán)在乘法方面留下了很大的發(fā)展空間，一旦某些乘法再滿足其它一些條件，就可以得到一些特殊類型的環(huán)。首先引入如下定義定義5.2.2若環(huán)R中存在非零元素a和b，使得a·b=0，則稱a是R的一個左零因子，b是R的一個右零因子，進(jìn)一步地，若環(huán)R中的元素a既是左零因子，又是右零因子，則稱a為零因子。第三十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義例5.2.4容易驗證在環(huán){Z6,+,·}中，有[2]·[3]=[0]，因而[2]是Z6的一個左零因子，同時[3]是Z6的一個右零因子，又由[3]·[2]=[0]，知[2]也是Z6的一個右零因子，[3]也是Z6的一個左零因子，而因而[2]和[3]都是Z6的零因子。但是觀察環(huán){Z7,+,·}的乘法運(yùn)算表2，我們會發(fā)現(xiàn)找不到這樣的非零元素a與b，故環(huán){Z7,+,·}中既無左零因子，也無右零因子。注：在環(huán)R中左零因子和右零因子這兩個概念彼此依賴，有左零因子有右零因子；若a是R的左零因子，一般a未必同時是R的右零因子；若環(huán)R是交換環(huán)，則R的每個左(或右)零因子都是零因子。第三十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義定義5.2.3若環(huán)R中沒有左零因子(自然也就沒有右零因子)，則稱環(huán)R為無零因子環(huán)。進(jìn)一步地，定義5.2.4

若環(huán){R,+,·}中具有乘法運(yùn)算的單位元，則稱環(huán){R,+,·}為有單位元環(huán)。若環(huán){R,+,·}中的乘法運(yùn)算滿足交換律，則稱環(huán)R為可換環(huán)。一個不含零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。若環(huán){R,+,·}中的非零元在乘法運(yùn)算下構(gòu)成群，則稱環(huán){R,+,·}為除環(huán)?？山粨Q的除環(huán)稱為域。第三十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義注意：環(huán)中的乘法單位元顯然不只代表整數(shù)1，例如{Z7,+,·}中的單位元為[1]；并不是每個環(huán)都有單位元，例如偶數(shù)環(huán)。若環(huán)R中有單位元,則這個單位元必是唯一的。例5.2.5所有數(shù)環(huán)以及剩余類環(huán)Zm都是可換環(huán)。整數(shù)環(huán)，模m剩余類環(huán)(m為素數(shù)時)都是整環(huán)；而偶數(shù)環(huán)(無單位元)，模m剩余類環(huán)(m為合數(shù)時，有零因子)不是整環(huán)。第三十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義接下來，有必要對域的概念及性質(zhì)做進(jìn)一步地強(qiáng)調(diào)。首先，域是定義了兩個二元運(yùn)算－加法和乘法的非空集合。該集合對加法構(gòu)成了阿貝爾群，其加法的零元記為0；集合中的所有非零元對乘法也構(gòu)成了阿貝爾群，其乘法的單位元記為e，且0≠e。兩個二元運(yùn)算乘法和加法通過分配律a(b+c)=ab+ac聯(lián)系在一起。前面曾介紹的很多數(shù)環(huán)都是域(稱為數(shù)域)，例如有理數(shù)域Q，實數(shù)域R，復(fù)數(shù)域C。定義5.2.5只包含有限個元素的域稱為有限域，或迦羅瓦域。

第三十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義定理5.2.1

若p是素數(shù)，則模p的剩余類環(huán)Zp構(gòu)成域。證明：首先模p的剩余類環(huán)Zp是不含零因子的可換環(huán)，即整環(huán)。否則設(shè)[a]是Zp的任意一個零因子，則存在[b]Zp，且[b]≠[0]，使得[a][b]=[0]，由[b]≠[0]，得到p?b，而由[a][b]=[ab]=[0]，又知p|ab。故p|a，即[a]=[0]，也即Zp的零因子只有[0]，故Zp是整環(huán)。其次易知Zp有單位元[1]。第四十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義最后由域的定義只需證明每個非零元素[a]都有逆元即可。為此，

[x]Zp，作映射f:[x]→[a][x]，則由乘法運(yùn)算的封閉性知[a][x]Zp，即f(Zp)Zp。若f(Zp)=Zp，則必定可以找到一個[x]Zp，使得[a][x]=[1]，即[x]=[a]-1。下面證明f(Zp)=Zp。第四十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義下面證明f(Zp)=Zp。由于f(Zp)={[a][x]|[x]Zp}，故當(dāng)[x]取遍Zp時，[a][x]取遍Zp，且若[x1]≠[x2]，則由中無零因子知[a][x1]≠[a][x2]，因而|f(Zp)|=|Zp|，即集合f(Zp)與Zp有相同個數(shù)的元素，因而結(jié)合f(Zp)Zp，就得到f(Zp)=Zp。

第四十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義定義5.2.6（子環(huán)）若環(huán)R的一個子集S在環(huán)R的加法和乘法運(yùn)算下也構(gòu)成環(huán)，則稱S為R的子環(huán)。類似地可以給出如下子整環(huán)，子除環(huán)和子域的定義。定義5.2.7若整環(huán)（除環(huán)或域）R的子集S在整環(huán)（除環(huán)或子域）R的加法和乘法運(yùn)算下也構(gòu)成整環(huán)（除環(huán)或域），則稱S為整環(huán)（除環(huán)或域）R的子整環(huán)（子除環(huán)或子域）。例5.2.6容易驗證整數(shù)模7的剩余類環(huán)Z7中的子集S={[0],[1],[2],[4]}構(gòu)成了Z7的子環(huán)，且該子環(huán)還是一個子域，其中[1]為單位元，而[2]與[4]互為逆元。

第四十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、環(huán)的定義定義5.2.8（理想）設(shè)I是環(huán)R的一個子環(huán)，若aI，rR，都有raI（或arI），則稱I是R的一個左理想（或右理想）；若aI，rR，都有arI且raI，則稱I是R的一個理想。例5.2.7任一個環(huán)R至少都有如下兩個理想：{0}—零理想，R—單位理想，統(tǒng)稱為環(huán)R的平凡理想，而將其它理想(若存在)稱之為環(huán)R的真理想。例5.2.8容易驗證偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的理想。

第四十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)設(shè)R是任意環(huán)，則環(huán)R上的多項式可以表示為f(x)=a0+a1x+…+anxn，其中n為非負(fù)整數(shù)，系數(shù)ai為環(huán)R上的元素，x是不屬于環(huán)R的一個符號，稱為環(huán)R上的不定元。約定當(dāng)系數(shù)ai=0時，項aixi可以不寫，在此約定下，上面的多項式也可以等價地表述為f(x)=a0+a1x+…+anxn+0xn+1+…+0xn+h，其中h為任意正整數(shù)。如此對環(huán)R上的兩個多項式f(x)=a0+a1x+…+anxn與g(x)=b0+b1x+…+bmxm進(jìn)行比較時，就可以假設(shè)他們都具有相同的冪指數(shù)，即m=n。環(huán)R上的兩個多項式f(x)=g(x)ai=bi，0≤i≤n。第四十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)兩個多項式f(x)與g(x)的加法與乘法運(yùn)算分別定義為f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+…+(an+bn)xn，f(x)g(x)=c0+c1x+…+cn+mxn+m，

容易驗證環(huán)R上的多項式集在定義了如上的多項式的和與乘積運(yùn)算之后構(gòu)成環(huán)。稱之為環(huán)R上的多項式環(huán)，記為R[x]。R[x]中的零元是系數(shù)全為零的多項式，這個多項式稱為零多項式，記為0。第四十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)定義5.2.9設(shè)f(x)=a0+a1x+…+anxn為環(huán)R上的一個非零多項式，故可設(shè)an≠0，并稱an為多項式f(x)的首系數(shù)，a0為f(x)的常數(shù)項，而n稱為f(x)的次數(shù)，記n=deg(f(x))=deg(f)。并約定deg(0)=-∞。次數(shù)≤0的多項式稱為常數(shù)多項式。若環(huán)R有單位元1且f(x)的首系數(shù)為1，就稱f(x)為首一多項式。例5.2.9多項式環(huán)Z7[x]中，多項式f(x)=6x5+5x4+x2+4的次數(shù)deg(f(x))=5，首系數(shù)為6，常數(shù)項為4。由于多項式f(x)的首系數(shù)不為1，因而f(x)不是首一多項式。第四十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)定理5.2.2設(shè)f(x)和g(x)R[x]，則deg(f(x)+g(x))≤max(deg(f(x)),deg(g(x)))；deg(f(x)·g(x))≤deg(f(x))+deg(g(x))若R是整環(huán)，則deg(f(x)·g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))。例5.2.10多項式環(huán)Z6[x]中，多項式f(x)=2x3+x2+4，g(x)=3x2+x+3則deg(f(x))=3，deg(g(x))=2，而f(x)+g(x)=2x3+4x2+x+1，f(x)g(x)=5x4+x3+3x2+4x，deg(f(x)+g(x))=3=max(deg(f(x)),deg(g(x)))，deg(f(x)·g(x))=4<deg(f(x))+deg(g(x))=5。第四十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)而在多項式環(huán)Z7[x]中，多項式f(x)=6x5+5x4+x2+4，g(x)=3x4+5x2+x+5則deg(f(x))=5，deg(g(x))=4，而f(x)+g(x)=6x5+x4+6x2+2，f(x)g(x)=4x9+x8+2x7+6x6+x3+4x2+6，deg(f(x)+g(x))=5=max(deg(f(x)),deg(g(x)))，deg(f(x)·g(x))=9=deg(f(x))+deg(g(x))。第四十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)定理5.2.3設(shè)R是一個環(huán)，則R[x]是可換環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是可換環(huán)；R[x]是有單位元的環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R有單位元；R[x]是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是整環(huán)。并且與整數(shù)環(huán)上的素數(shù)相對應(yīng)，在域F的多項式環(huán)F[x]上可以定義既約多項式。定義5.2.11設(shè)f(x)是次數(shù)大于零的多項式，若除了常數(shù)和常數(shù)與多項式f(x)本身的乘積以外，f(x)再不能被域F上的其它多項式除盡，則稱f(x)為域F上的既約多項式或不可約多項式。第五十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)注：由此定義

f(x)是不可約多項式的充要條件為f(x)不能再分解為兩個次數(shù)比f(x)的次數(shù)更低的多項式的乘積。

f(x)是否可約與所討論的域有很大關(guān)系，例如f(x)=3x2+1在實數(shù)域上是不可約的，但在復(fù)數(shù)域上可分解為f(x)=(x+i)(x-i)。但不論在哪一個域上，凡是一次首一多項式都是不可約多項式。第五十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、多項式環(huán)定理5.2.4設(shè)f(x)和g(x)F[x]，g(x)≠0，則存在多項式q(x)和r(x)F[x]，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)其中deg(r(x))<deg(g(x))。定理5.2.5域F的多項式環(huán)F[x]中的每一個首一多項式必定可以分解為首一不可約多項式的乘積，并且當(dāng)不考慮因式的順序時，這種分解是唯一的。第五十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第四節(jié)整環(huán)中的因子分解一、一些基本概念二、唯一分解整環(huán)第五十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念定義5.3.1設(shè)D是有單位元的整環(huán)，則a,bD，若c=ab，則稱a是c的因子，并稱a可整除c，記作a|c。若a|b且b|a，則稱a與b相伴，記作a~b。若a與b之積ab為單位元，則稱a與b互為逆元，此時也稱a與b皆為可逆元（或稱a與b為單位）。若c=ab，且a與b都不是可逆元，則稱a是c的真因子。第五十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念例5.3.1整數(shù)環(huán)中兩個整數(shù)相伴的充要條件為這兩個整數(shù)相等或只差一個負(fù)號；在多項式環(huán)中兩個多項式相伴的充要條件為這兩個多項式相差一個常數(shù)多項式；高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中的可逆元為1，i，故兩個高斯整數(shù)相伴的充要條件為這兩個高斯整數(shù)相差1或i，例如-3+i~1+3i。第五十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念由定義5.3.1可得以下基本事實，其中集合U(D)表示整環(huán)D中的所有可逆元構(gòu)成的集合：由于aD，均有0=a·0，a=a·1，因而任意元素都是0的因子，而單位元l是任意元素的因子。由于若uU(D)，則aD，均有a=u(u-1a)，因而可逆元是任意元素的因子。由于a,b,cD，若a|b且b|c，則a|c，因而整除關(guān)系滿足傳逆性。第五十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念兩元素相伴，則它們差一可逆元因子：設(shè)a~b，則

a|b且b|a，即存在元素u和v使得b=ua，a=vb，因而b=uvb，由于D中有單位元且無零因子，因而由b(1-uv)=0，即得uv=1，所以u和v都是可逆元。相伴關(guān)系是等價關(guān)系?？赡嬖獰o真因子，且所有可逆元都與單位元l相伴：若uU(D)，u=ab，則u-1ab=a(u-1b)=(u-1a)b=1，即a與b都是可逆元，因而可逆元無真因子；又uU(D)，有u-1u=1，而u-1為可逆元，故由4）知u與1相伴。第五十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念定義5.3.2設(shè)D是有單位元的整環(huán)，且D*為D中的所有非零元構(gòu)成的集合，則a,bD，pD*\U(D)，若由等式p=ab，可知aU(D)，或bU(D)，則稱p是不可約元或既約元；若由p|ab，可知p|a或p|b，則稱p是素元。例5.3.2在多項式環(huán)中的既約元與素元均指不可約多項式；在整數(shù)環(huán)中，既約元與素元均是指全體素數(shù)；但在高斯整數(shù)環(huán)中，素數(shù)就不一定是既約元了，例如，2是素數(shù)，且2=(1+i)·(1-i)，而高斯整數(shù)環(huán)中的可逆元只有1與i，故1+i與1-i均不是可逆元，故2在Z[i]中不是既約元，顯然也不是素元。

第五十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念定理5.3.1設(shè)D是有單位元的整環(huán)，則D中的素元必是既約元。證明：設(shè)p是素元且p=ab，則由p=ab可得p|ab，而由p是素元可得p|a或p|b。若p|a，則由p=ab可得a|p，即p~a，因而bU(D)。若p|b，則由p=ab可得a|p，即p~b，因而aU(D).即a與b中總有一個可逆元，所以p是既約元。

第五十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念定義5.3.3設(shè)D是有單位元的整環(huán)，a,bD，若存在dD使得以下兩個條件成立，則稱d是a和b的最大公因子。d|a，d|b；d’D，若d’|a且d’|b，則d’|d。引理5.3.1：a與b的任意兩個最大公因子是相伴的。證明：若d是a與b的最大公因子，則uU(D)，ud也是a與b的最大公因子，即a與b的任意兩個最大公因子是相伴的。因而以下當(dāng)a與b的最大公因子存在時，以(a,b)表示a與b的任意一個最大公因子。

第六十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念引理5.3.2：(a,(b,c))~((a,b),c)。證明：設(shè)dl=(a,(b,c))，d2=((a,b),c)，則dl|a且dl|(b,c)，進(jìn)而dl|a，dl|b，則dl|(a,b)，又dl|c，因而d1|((a,b),c)=d2，類似d2|d1，所以d2～d1，即(a,(b,c))~((a,b),c)。第六十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念引理5.3.3：c(a,b)~(ac,bc)。證明：令d=(a,b)，d1=c(a,b)=cd，d2=(ca,cb)，則d1=cd|ca和d1=cb，得d1|d2。令d2=ud1，ca=xd2，則ca=xud1=xucd，得a=xud，類似地，若令cb=yd2，可得b=yud，因而ud|(a,b)=d，得u~1。所以d1～d2，即c(a,b)~(ac,bc)。第六十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念引理5.3.4：若(a,b)~1，(a,c)~1，則(a,bc)~1。證明：由于(a,bc)=((a,ac),bc)，又由引理5.3.2知((a,ac),bc)~(a,(ac,bc))，即存在vU(D)，使得(a,ac),bc)=v(a,(ac,bc))。由引理5.3.3知(ac,bc)~c(a,b)，即存在mU(D)，使得(ac,bc)=mc(a,b)。而由(a,b)~1，知存在uU(D)，使得(a,b)=u，因而(ac,bc)=mcu。進(jìn)而(a,bc)=v(a,(ac,bc))=v(a,mcu)=v(a,muc)。又(a,c)~1，故存在wU(D)，使得(a,c)=w。下證(a,c)~(a,muc)。

第六十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念首先由(a,c)=w知w|a，w|c，因而w|a，w|muc，即w是a與muc的公因子，因而w|(a,muc)；又令(a,muc)=s，則s|a，s|muc，由于mu為可逆元，因而s|c，故s|(a,c)，即(a,c)~(a,muc)。故存在xU(D)，使得x(a,c)=(a,muc)，因而(a,bc)=v(a,muc)=vx(a,c)=xvw，由于x，v與w，都是可逆元，因而它們的乘積仍然是可逆元，故(a,bc)~1。第六十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三一、一些基本概念定理5.3.2設(shè)D是有單位元的整環(huán)，若a,bD，(a,b)存在，則D中的每個既約元也是素元。證明：設(shè)p是D中的既約元，并設(shè)p|ab，若p不是素元，則p?a且p?b。若p?a，令(a,p)=d，則d|a且d|p，即在D中存在元素c與e，使得a=dc且p=de，由p是D中的既約元，得到dU(D)或eU(D)。若eU(D)，則d=pe-1，因而a=pe-1c，即p|a，矛盾，故dU(D)，即(a,p)~1。同理若p?b，則(p,b)~1。由引理5.3.4知(p,ab)~1。另一方面，由p|ab，可知(p,ab)~p，結(jié)合(p,ab)~1，知p~1，這與p不是可逆元矛盾。此矛盾表明p|a或p|b。第六十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)定義5.3.4設(shè)D是有單位元的整環(huán)，若aD*\U(D)a可分解為有限個既約元之積，即a=p1p2…ps，其中pi，i=1,2,…,s，為既約元。若a=p1p2…ps=q1q2…qt，其中pi，1≤i≤s，qj，1≤j≤t，均為既約元，則s=t，且適當(dāng)調(diào)換次序后可以使得pi~qi（1≤i≤s），則稱D是唯一分解整環(huán)。由定理5.3.2知唯一分解整環(huán)有以下重要性質(zhì)：定理5.3.3設(shè)D是唯一分解整環(huán)，則D中任何兩個不全為0的元素均有最大公因子，因而D中每一個既約元也是素元。

第六十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)定理5.3.4設(shè)D是有單位元的整環(huán)，則以下三個命題等價：D是唯一分解整環(huán)。D滿足下列兩條件：D中的任意真因子序列a1,a2,…,ai,…(其中ai+1是ai的真因子)只能含有有限項。D中任何兩元素均有最大公因子。D滿足下列兩條件：D中的任意真因子序列a1,a2,…,ai,…(其中ai+1是ai的真因子)只能含有有限項。D中每一既約元都是素元。第六十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)證明：1)→2)：由于D是唯一分解整環(huán)，a1只能分解為有限個既約元之積，因而a1的真因子序列只有有限項，條件a)滿足，由定理5.3.3知條件b)也滿足。2)→3)：由定理5.3.3可得。3)→1)：設(shè)a是D*\U中任一元素，首先證明a可分解為有限個既約元之積。若a是既約元，則得證；否則a可分解為a=p1a1，其中p1為既約元。再對a1作同樣的分解，則或a1是既約元（結(jié)論得證），或a1=p2a2，其中p2為既約元（繼續(xù)分解）。如此，可得真因子序列a,a1,…。由條件a)該序列必終止于有限項，設(shè)as=ps+1是既約元，則a=p1p2…psps+1。第六十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)再證分解式的唯一性：設(shè)a=p1p2…ps=q1q2…qt。對分解式中因子的個數(shù)s作數(shù)學(xué)歸納。s=1時a=p1為既約元，不可能再分解為兩個以上的既約元的乘積，故t=1，a=p1=q1。假設(shè)結(jié)論對s-1成立。當(dāng)a=p1p2…ps=q1q2…qt時，p1|q1q2…qt，由于p1是素元，故必有某個qk使p1|qk，由于qi的次序可任意排列，不妨設(shè)p1|q1，于是q1=up1，又q1也是既約元，故uU(D)，即p1~q1，將q1=up1代入a的分解式，并消去p1得到a’=p2p3…ps=(uq2)q3…qt，由歸納假設(shè)，得s=t，并適當(dāng)排列次序后可得pi~qi（2≤i≤s）。因此結(jié)論對任何正整數(shù)s均成立。第六十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)例5.3.3由高等代數(shù)知識知整數(shù)環(huán)Z和數(shù)域F上的多項式環(huán)均滿足唯一分解整環(huán)的定義，因而都是唯一分解整環(huán)，且每一既約元都是素元。而環(huán)Z()，即由所有形如x+y，x,yZ，的元素構(gòu)成的集合中，并不是任意兩個元素都有最大公因子，因而不是唯一分解整環(huán)。例如取a=(2+)(2-)，b=3(2+)，則容易驗證(a,b)就不存在。第七十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)引理5.3.5在唯一分解整環(huán)內(nèi)，n次代數(shù)方程最多有n個根。利用這一性質(zhì)可以證明以下定理。定理5.3.6域的乘群的任何有限子群是循環(huán)群。證明：設(shè)G是域F的有限子乘群，令m是G中所有元素的階的最小公倍數(shù)，由拉格朗日定理G中任意元素的階均為群G的階的因子，因而若設(shè)c為G中階為m的元素，則m≤|G|。另一方面，G中的元素均滿足方程xm-l=0，而多項式f(x)=xm-lF[x]在F上最多有m個不同的根，故|G|≤m，由此得|G|=m，所以G=(c)。第七十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三二、唯一分解整環(huán)2.1、主理想整環(huán)2.2、歐幾里德整環(huán)第七十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.1、主理想整環(huán)定義5.3.5在可換環(huán)R中，由一個元素aR所生成的理想I(a)={ra+na|rR,nZ}稱為環(huán)R的一個主理想，稱元素a為該主理想的生成元。如果在一個有單位元的整環(huán)中每一個理想都是主理想，則此環(huán)稱為主理想整環(huán)。例5.3.4環(huán)(Z,+,·)是否為主理想整環(huán)?解：設(shè)I是Z的任一理想，由于I首先是Z的子加群，而Z中的子加群都是循環(huán)群，所以存在nZ，使得I=(n)。即I是主理想，所以Z是主理想整環(huán)。

第七十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.1、主理想整環(huán)例5.3.5設(shè)F是數(shù)域，F(xiàn)[x]是否為主理想整環(huán)?解：設(shè)H是F[x]的任一理想，令I(lǐng)={deg(f(x))|f(x)∈H}，因為deg(f(x))≥0，I是非負(fù)整數(shù)集的一個子集，由自然數(shù)集的良序性，I有最小元。設(shè)m是I的最小元，即存在多項式f(x)H，使得deg(f(x))=m。由帶余數(shù)除法對任何g(x)H有g(shù)(x)=p(x)f(x)+r(x)，其中r(x)=0或deg(r(x))<m，但因r(x)=g(x)-p(x)f(x)H，如若r(x)≠0，將與m的最小性矛盾。故g(x)=p(x)f(x)，所以H=(f(x))，即F[x]是主理想整環(huán)。

第七十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.1、主理想整環(huán)定理5.3.7每個主理想整環(huán)都是唯一分解整環(huán)。證明：設(shè)D是主理想整環(huán)。首先用反證法證明xD*\U(D)，其真因子序列只有有限項。假設(shè)存在一個元素aD*\U(D)，其真因子序列a(=a0),a1,a2…具有無限項，則對應(yīng)的可以得到一個主理想的升鏈：(a)(a1)(a2)…。令，則A也是D的一個理想，由于D是主理想整環(huán)，故存在元素rD，使得A=(r)。第七十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.1、主理想整環(huán)A=(r)。由rD，可設(shè)r(ak)，則ik，均有(ak)(r)，同時i，均有(ai)A=(r)，因而ik，均有(r)(ai)。故ik，均有ai~r，于是i，這些ai彼此相伴，因而D中任意的真因子序列均終止于有限項。

其次證明a,bD，(a,b)存在。令I(lǐng)={xa+yb|x,yD}。則I是由a，b生成的理想第七十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.1、主理想整環(huán)I={xa+yb|x,yD}是由a，b生成的理想，由D是主理想整環(huán)，存在元素dD，使得I=(d)，由于a=1·a+0·b，b=0·a+1·b，因而(a)(d)，(b)(d)，即d|a，d|b。又若存在d’，使得d’|a且d’|b，則(a)(d’)，(b)(d’)，因而(d’)中包含了所有形如ra+sb的元素，即(d)(d’)，從而d’|d，即d=(a,b)。綜上，知D是唯一分解整環(huán)。

第七十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.1、主理想整環(huán)推論5.3.1設(shè)D是主理想整環(huán)，a，bD，d是a，b的最大公因子，則存在p,qD，使pa+qb=d。推論5.3.2設(shè)D是主理想整環(huán)，p是既約元，則D/(p)是域。證明：因p是既約元，故p必定不是可逆元，因而p不與1相伴，即1(p)，故D/(p)≠0。又[a]D/(p)，若[a]≠[0]，則(a,p)~1，進(jìn)而由推論5.3.1知存在r,sD，使得ra+sp=1，則[ra]=[r][a]=[1]，所以[a]可逆，因而D/(p)中的所有非零元對乘法做成群。因而D/(p)是域。

第七十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)定義5.3.6設(shè)D是有單位元的整環(huán)，若存在一個從D的所有非零元構(gòu)成的集合D*到非負(fù)整數(shù)集的映射d，使得取定aD*之后，bD，都存在q，rD，使得b=q?a+r，這里r=0或者d(r)<d(b)，則稱D為歐幾里得整環(huán)(簡稱歐氏環(huán))。例5.3.6證明整數(shù)環(huán)Z是歐氏環(huán)。證明：因為aZ*?？梢砸?guī)定d(a)=|a|，則d是Z*到非負(fù)整數(shù)集的映射，進(jìn)而由整數(shù)的性質(zhì)知a，bZ，a≠0，都會存在q，rZ，使得b=q?a+r，這里0≤r<|a|。因而由歐氏環(huán)的定義知道整數(shù)環(huán)是歐氏環(huán)。第七十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)例5.3.7證明域F上的多項式環(huán)F[x]是歐氏環(huán)。證明：因為f(x)F[x]*?？梢砸?guī)定d(f(x))=deg(f(x))，則d是F[x]*到非負(fù)整數(shù)集的映射，進(jìn)而由多項式環(huán)的性質(zhì)知f(x)，g(x)F[x]，g(x)≠0，在F[x]中都可以找到多項式q(x)與r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，這里r(x)=0或deg(r(x))<deg(g(x))。因而由歐氏環(huán)的定義知道域F上的多項式環(huán)F[x]是歐氏環(huán)。

第八十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)定理5.3.8歐氏環(huán)是主理想整環(huán)，因而是唯一分解整環(huán)。證明：設(shè)R是歐氏環(huán)，I是R的任意理想，若I={0}，則I=(0)；若理想I包含非零元，由歐氏環(huán)定義，存在R*到非負(fù)整數(shù)集的一個映射d，令A(yù)={d(x)|xI，x≠0}則A是非負(fù)整數(shù)的集合。在集合A中，由自然數(shù)集的良序性一定有一個最小者，設(shè)為d(a)，即xI，x≠0，均有d(a)≤d(x)。第八十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)同時，由歐氏環(huán)的定義，bI都有b=q?a+r，其中r=0或者d(r)<d(a)。若r≠0，則應(yīng)有d(r)<d(a)，但由于a和b都屬于理想I，由理想的吸收性知r=b-q?aI，因而d(a)≤d(r)，矛盾。因此r=0，即b=q?a，從而I=(a)。綜上，歐氏環(huán)是主理想整環(huán)，進(jìn)而歐氏環(huán)是唯一分解整環(huán)。例5.3.8由例5.3.6與例5.3.7知整數(shù)環(huán)Z與域F上的多項式環(huán)F[x]都是歐氏環(huán)，因而都是唯一分解整環(huán)。

第八十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)本節(jié)證明只要給定歐氏環(huán)D以及素元p，就可以構(gòu)造一個域。首先由歐氏環(huán)中任意選取一個元素m，同時定義等價關(guān)系“~”：a~b當(dāng)且僅當(dāng)m|(a-b)。由這個等價關(guān)系，可以將歐氏環(huán)D劃分為若干個互不相交的等價類。這里仍然沿用數(shù)論部分的記號，記m|(a-b)當(dāng)且僅當(dāng)a≡b(modm)，同時將D中的元素a所在的等價類記為。第八十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)接下來為這些等價類所構(gòu)成的集合定義與數(shù)論部分相同的二元運(yùn)算（加法和乘法）。加法：；乘法：。容易驗證此等價類集合在如上定義的兩個二元運(yùn)算下構(gòu)成環(huán)，記為Dm。在這個環(huán)中加法的零元為={xD：x≡0(modm)}，乘法的單位元為={xD：x≡1(modm)}。那么在什么條件下環(huán)Dm可以構(gòu)成域呢？第八十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)由域的定義注意到只要在這個環(huán)中每個非零元均有乘法逆元存在即可，即對任意的，都可以找到一個，使得

然而這個條件并不總是成立的。例如在Z6中，容易驗證有即Z6中有零因子，因而不能構(gòu)成域。一般地定理5.4.1若D是歐式環(huán)，p是素元，則Dp構(gòu)成域。證明：在前一節(jié)已經(jīng)證明了若D是主理想整環(huán)，p是既約元，則D/(p)構(gòu)成域。由于歐式環(huán)是主理想整環(huán)，并且在主理想整環(huán)中素元就是既約元，因而結(jié)論成立。第八十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)例5.4.1取歐氏環(huán)D=Z，同時設(shè)素元p是任意的素數(shù)，則得到一個恰有p個元素的重要有限域，記為Fp或GF(p)。由于存在無限多的素數(shù)，因而這樣的一個構(gòu)造方法可以得到無限多的有限域。例如取素數(shù)p=7，則

Dp構(gòu)成了有7個元素的域。接下來，在該域中找一下的逆元。首先利用歐幾里得算法來找5和7的一個等于1的線性組合。由于7×3-5×4=1，因而即為的逆元。第八十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三2.2、歐幾里德整環(huán)例5.4.2：取歐氏環(huán)為實數(shù)域上的多項式環(huán)，即D=R[x]，同時取素元p為不可約多項式p(x)=Ax2+Bx+C。實數(shù)域上的不可約性等價于有負(fù)的判別式，即?=B2-4AC<0。此時，會得到無限多個等價類。但是任意一個多項式對p(x)=Ax2+Bx+C取模，其結(jié)果都恰好會同余于一個次數(shù)為0或1的多項式：

f(x)≡r(x)(modAx2+Bx+C)，這里r(x)是f(x)被Ax2+Bx+C除得到的余式。因而等價類的代表元具有線性形式a+bx，其中a與b為實數(shù)。

第八十七頁，共一百頁，編輯于2