最小方差無(wú)偏估計(jì)

最小方差無(wú)偏估計(jì)第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三優(yōu)良的無(wú)偏估計(jì)都是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù).將之應(yīng)用在參數(shù)估計(jì)中可得:其中等號(hào)成立的充要條件為X與

(Y)幾乎處處相等.定理1:設(shè)X和Y是兩個(gè)r.v.,EX=μ,VarX>0,令則有是樣本,是θ的充分統(tǒng)計(jì)量,定理2:設(shè)總體的概率函數(shù)為p(x;θ),對(duì)θ的任一無(wú)偏估計(jì)

一、Rao-Blackwell定理第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三注:定理2表明:若無(wú)偏估計(jì)不是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù),則將之對(duì)充分統(tǒng)計(jì)量求條件期望可得一個(gè)新的無(wú)偏估計(jì),且它為充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)且方差會(huì)減小.

即,考慮點(diǎn)估計(jì)只需在充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)中進(jìn)行,這就是—

充分性原則.令θ=p2,則為θ的無(wú)偏估計(jì).因?yàn)槭浅浞纸y(tǒng)計(jì)量,由定理2,

從而可令可得故為θ的無(wú)偏估計(jì).且例1.設(shè)為來(lái)自b(1,p)的樣本,求p2的U.E為p的充分統(tǒng)計(jì)量解：前已求過(guò):進(jìn)一步改進(jìn)：第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、最小方差無(wú)偏估計(jì)定義:注：

一致最小方差無(wú)偏估計(jì)是一種最優(yōu)估計(jì).由定理2,只要它存在.它一定是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù).一般地,若依賴(lài)于充分統(tǒng)計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)只有一個(gè),它一定是UMVUE.Problem：無(wú)偏估計(jì)的方差是否可以任意小?如果不能任意小,那么它的下界是什么?第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三是總體X的樣本,定理3:(UMVUE準(zhǔn)則)設(shè)如果對(duì)任一個(gè)滿足是θ的任一無(wú)偏估計(jì),例2:

設(shè)為來(lái)自Exp(1/θ)的樣本,則為θ

的充分統(tǒng)計(jì)量,證明:為θ的UMVUE.反之亦成立.第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、Fisher信息量的定義.三、羅-克拉美（Cramer–Rao）不等式(1)是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)開(kāi)區(qū)間;設(shè)總體X的概率函數(shù)為p(x;),,且滿足條件:正則條件第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三(1)I(θ)越大,總體分布中包含未知參數(shù)的信息越多。

例3:設(shè)總體為Poisson分布，即注：

例4:設(shè)總體為指數(shù)分布Exp(1/θ)，即(2)I()的另一表達(dá)式為第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三注：常見(jiàn)分布的信息量I()公式

兩點(diǎn)分布X~b(1,p)泊松分布

指數(shù)分布正態(tài)分布第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)總體X的概率函數(shù)為p(x;),,滿足上面定義中的條件；x1,….,xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,T(x1,….,xn

)是g()的一個(gè)無(wú)偏估計(jì).2、定理4(Cramer-Rao不等式):的微分可在積分號(hào)下進(jìn)行，即則有特別地對(duì)θ的無(wú)偏估計(jì)有上述不等式的右端稱(chēng)為C-R下界,I()為Fisher信息量.第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三注:(1)定理對(duì)離散型總體也適用.只需改積分號(hào)為求和號(hào)。(2)在定理4條件下,若g()

的無(wú)偏估計(jì)量T的方差VarT達(dá)到下界,則T必為g()的最小方差無(wú)偏估計(jì).但是它不一定存在,也就是說(shuō),C-R不等式有時(shí)給出的下界過(guò)小.(3)當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí),T為達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì),此時(shí)稱(chēng)T為g(θ)的有效估計(jì)。

有效估計(jì)一定是UMVUE.（反之不真）第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.有效估計(jì)定義:定義:注:第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三綜上,

求證T是g()的有效估計(jì)的步驟為:第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例5.設(shè)總體X~Exp(1/θ),密度函數(shù)為為X的一個(gè)樣本值.求的最大似然估計(jì)量,并判斷它是否為達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì),即有效估計(jì).為參數(shù)解:

由似然函數(shù)第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三經(jīng)檢驗(yàn)知的最大似然估計(jì)為所以它是的無(wú)偏估計(jì)量,且而故是達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì).第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三所以C-R下界為第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例8.設(shè)x1,….xn為取自總體為正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本,驗(yàn)證因此,是μ的有效估計(jì).解：已證過(guò)為U.E,下求μ的C-R下界,由于而μ的C-R下界為是μ的有效估計(jì)因此第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

因此:解:由于

所以σ2的C-R下界為:例9.(接前例)設(shè)x1,….xn取自正態(tài)分布總體N(μ,σ2),若μ未知，討論σ2的無(wú)偏估計(jì)是否為有效估計(jì).第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由于其期望為n-1,方差為2(n-1）所以即不是σ2的有效估計(jì)，但為σ2的漸近有效估計(jì).,而σ2的C-R下界為注1:由P308第四題知其方差大于C-R下界,即有時(shí)C-R下界過(guò)小.是σ2的UMVUE.2:若μ已知,此時(shí)為σ2的有效估計(jì).第二十頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三注3對(duì)于的C-R下界為:當(dāng)已知μ=0時(shí),易證σ的無(wú)偏估計(jì)為可證,這是σ的UMVUE,其方差大于C-R下界.因此所有σ的無(wú)偏估計(jì)的方差都大于其C-R下界,即C-R下界過(guò)小.(P307)第二十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.最大似然估計(jì)的漸近正態(tài)性定理(略)在總體的分布滿足一定條件(P307)的情況下,存在具有相合性和漸近正態(tài)性的最大似然估計(jì),且即,最大似然估計(jì)通常是漸近正態(tài)的,且其漸近方差有一個(gè)統(tǒng)一的形式并主要依賴(lài)于Fishe