高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件7：29-函數(shù)的應(yīng)用

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ2.9函數(shù)的應(yīng)用1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線(xiàn)上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.1.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，常與導(dǎo)數(shù)、均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、最值等交匯出現(xiàn)，主要考查建模能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.2.選擇題、填空題、解答題三種題型都有所涉及，但以解答題為主.1.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y=ax(a>1）

y=logax(a>1）y=xn(n>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性增長(zhǎng)速度圖像的變化相對(duì)平穩(wěn)隨n值變化而不同單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)越來(lái)越快越來(lái)越慢隨x值增大,圖像與y軸接近平行隨x值增大,圖像與x軸接近平行【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考:對(duì)于直線(xiàn)上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)三種增長(zhǎng)模型，你作為老板，希望公司的利潤(rùn)和員工獎(jiǎng)金按何種模型增長(zhǎng)?提示:公司的利潤(rùn)選擇直線(xiàn)上升或指數(shù)模型增長(zhǎng),而員工獎(jiǎng)金選擇對(duì)數(shù)模型增長(zhǎng).(2)當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，判斷下列四個(gè)函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是______.①y=2x,②y=x10,③y=lgx,④y=10x2【解析】由函數(shù)圖像知，y=2x的增長(zhǎng)速度最快.答案：①(3)函數(shù)y=2x與y=x2的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是______.【解析】由y=2x與y=x2的圖像知有3個(gè)交點(diǎn).答案：32.常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型(1)直線(xiàn)模型:一次函數(shù)模型y=___________,圖像增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線(xiàn)式上升(x的系數(shù)k＞0),通過(guò)圖像可以直觀(guān)地認(rèn)識(shí)它,特例是正比例函數(shù)模型y=_________.(2)反比例函數(shù)模型:y=________,增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減小.(3)指數(shù)函數(shù)模型:y=a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0)，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(底數(shù)b＞1,a＞0)，常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸.kx+b(k≠0)kx(k＞0)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢(底數(shù)a＞1,m＞0).(5)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型:__________(a≠0)，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大(a＞0).y=ax2+bx+c(6)分段函數(shù)模型：其特點(diǎn)是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同.可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點(diǎn).【即時(shí)應(yīng)用】(1)據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2011年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2011年起，經(jīng)過(guò)x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是________.(2)某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，后期增長(zhǎng)越來(lái)越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用六種常見(jiàn)模型中的________.(3)某種電熱水器的水箱盛滿(mǎn)水是200L，加熱到一定溫度，即可用來(lái)洗浴.洗浴時(shí)，已知每分鐘放水34L，若放水t分鐘時(shí)，同時(shí)自動(dòng)注水總量為2t2

L.當(dāng)水箱內(nèi)的水量達(dá)到最少時(shí)，放水程序自動(dòng)停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水量為65L，則該熱水器一次至多可供______人洗浴.【解析】(1)設(shè)每年的冰雪覆蓋面積與上一年的比為a,則由題意得1-0.05=a50,∴(2)由增長(zhǎng)特點(diǎn)知應(yīng)選對(duì)數(shù)函數(shù)模型.(3)在放水程序自動(dòng)停止前,水箱中的水量為y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，經(jīng)過(guò)8.5min，放水停止,共出水34×8.5=289(L)，289÷65≈4.45,故至多可供4人洗浴.答案：(1)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型(3)4

用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】用函數(shù)圖像刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的解題思路將實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量間變化的規(guī)律(如增長(zhǎng)的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖像(增加、減少的緩急等)相吻合即可.【例1】如圖所示，向高為H的容器A，B，C，D中同時(shí)以等速注水，注滿(mǎn)為止：(1)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖像是下圖中的(a)，則容器的形狀是_________;(2)若水量v與水深h的函數(shù)圖像是下圖中的(b)，則容器的形狀是_______;(3)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖像是下圖中的(c)，則容器的形狀是_______;(4)若注水時(shí)間t與水深h的函數(shù)圖像是下圖中的(d)，則容器的形狀是_______.【規(guī)范解答】(1)該題圖中的(a)說(shuō)明了注入水的高度是勻速上升的，只有C中的容器能做到，所以應(yīng)填C；(2)該題圖中的(b)說(shuō)明了水量v增長(zhǎng)的速度隨著水深h的增長(zhǎng)越來(lái)越快，在已知的四個(gè)容器中，只有A中的容器能做到，所以應(yīng)填A(yù)；(3)該題圖中的(c)說(shuō)明水深h與注水時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且反映出來(lái)的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四個(gè)容器中，只有D中的容器能做到，所以應(yīng)填D；(4)該題圖中的(d)說(shuō)明水深h與注水時(shí)間t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且反映出來(lái)的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四個(gè)容器中，只有B中的容器能做到，所以應(yīng)填B．答案：(1)C(2)A(3)D(4)B【反思·感悟】用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是分析所給實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并與函數(shù)的圖像和性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，從而使問(wèn)題解決.

利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，或可確定其函數(shù)模型的圖像,求解時(shí)先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實(shí)際問(wèn)題.【提醒】要結(jié)合實(shí)際意義限制自變量的范圍．

【例2】(1)酒店用餐時(shí)顧客要求：將溫度為10℃、質(zhì)量為0.25kg的同規(guī)格某種袋裝黃酒加熱到30℃～40℃.服務(wù)生將n袋該種袋裝黃酒同時(shí)放入溫度為80℃、質(zhì)量為2.5kg的熱水中，5分鐘后取出可以供顧客飲用，此時(shí)袋裝黃酒的溫度與水的溫度恰好相等.假設(shè)m1kg該規(guī)格袋裝黃酒提高的溫度Δt1℃與m2kg水降低的溫度Δt2℃滿(mǎn)足關(guān)系：m1×Δt1=0.8×m2×Δt2,則n的最小值是_________.(2)(2012·咸陽(yáng)模擬)為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比;藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______.【規(guī)范解答】(1)設(shè)服務(wù)生將n袋該種袋裝黃酒加熱到t℃，則由：m1×Δt1=0.8×m2×Δt2，得：0.25n×(t-10)=0.8×2.5×(80-t),

它是一個(gè)關(guān)于t的減函數(shù)，而黃酒要加熱到30℃～40℃,∴當(dāng)t=40時(shí)，n取最小值，≈10.7,則n的最小值是10.(2)藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比,則設(shè)函數(shù)y=kt(k≠0),將點(diǎn)(0.1,1)代入可得k=10,則y=10t;將點(diǎn)(0.1,1)代入則所求關(guān)系式為答案：(1)10(2)【反思·感悟】解決這類(lèi)已給出數(shù)學(xué)模型的實(shí)際問(wèn)題,關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題分析出其經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)或滿(mǎn)足的特殊情況,從而代入求得其解析式.

自建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)；(2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(3)解模：用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(4)還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論．【例3】(2012·北京模擬)某特許專(zhuān)營(yíng)店銷(xiāo)售上海世博會(huì)紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為5元，同時(shí)每銷(xiāo)售一枚這種紀(jì)念章還需要向上海世博局交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，該店一年可銷(xiāo)售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元，則增加銷(xiāo)售400枚；而每增加一元?jiǎng)t減少銷(xiāo)售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格為x元.(1)寫(xiě)出該特許專(zhuān)營(yíng)店一年內(nèi)銷(xiāo)售這種紀(jì)念章所獲得的利潤(rùn)y(元)與每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格x元之間的函數(shù)關(guān)系式(并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的定義域);(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷(xiāo)售價(jià)格x為多少時(shí)，該特許專(zhuān)營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)y(元)最大，并求出這個(gè)最大值.【規(guī)范解答】(1)依題意銷(xiāo)售價(jià)格x∈(7,40)，即定義域?yàn)?7,40)，而當(dāng)7＜x≤20，x∈N+時(shí)，則增加銷(xiāo)售400(20-x)枚,故其一年內(nèi)銷(xiāo)售所獲得利潤(rùn)為y=［2000+400(20-x)］(x-7);當(dāng)20＜x＜40，x∈N+時(shí)，則減少銷(xiāo)售100(x-20)枚.故其一年內(nèi)銷(xiāo)售所獲得利潤(rùn)為y=［2000-100(x-20)］(x-7)(2)因?yàn)槿?＜x≤20,則當(dāng)x=16時(shí),ymax=32400(元).若20＜x＜40,則當(dāng)x=23或24時(shí),ymax=27200(元).綜上可得當(dāng)x=16時(shí)，該特許專(zhuān)營(yíng)店獲得的利潤(rùn)最大,為32400元.

【反思·感悟】解決這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的兩個(gè)誤區(qū)(1)不會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，從而無(wú)法求解.(2)在求解過(guò)程中忽視實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量參數(shù)的限制條件.1.(2012·銅川模擬)牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度是一種指數(shù)函數(shù)型關(guān)系.若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約是192h,而在22℃的廚房中則約是42h，則保鮮時(shí)間y(h)關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x(℃)的函數(shù)解析式是()【解析】選D.設(shè)y=a·bx.則由已知得：2.(2012·渭南模擬)某種產(chǎn)品市場(chǎng)產(chǎn)銷(xiāo)量情況如圖所示，其中l(wèi)1表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；l2表示產(chǎn)品各年