吉林省長春市市汽車產業(yè)開發(fā)區(qū)第三中學2021年高三數學理期末試題含解析

吉林省長春市市汽車產業(yè)開發(fā)區(qū)第三中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在邊長為4的正方形ABCD內任取一點M，則∠AMB＞90°的概率為（）A．B．1﹣C．D．1﹣參考答案：A考點：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：畫出滿足條件的圖形，結合圖形分析，找出滿足條件的點集對應的圖形面積，及圖形的總面積．解答：解：如圖正方形的邊長為4：圖中白色區(qū)域是以AB為直徑的半圓當P落在半圓內時，∠APB＞90°；當P落在半圓上時，∠APB=90°；當P落在半圓外時，∠APB＜90°；故使∠AMB＞90°的概率P===．故選：A．點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據P=求解．2.已知復數z滿足(i為虛數單位)，則z的共軛復數的虛部是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.函數的值域是（

）A.(0,1)

B.

C.

D.

參考答案：A4.已知P={﹣1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，則P∩Q=(

) A．? B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，}參考答案：C考點：交集及其運算；正弦函數的定義域和值域．專題：計算題．分析：由題意P={﹣1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函數的值域解出集合Q，然后根據交集的定義和運算法則進行計算．解答： 解：∵Q={y|y=sinθ，θ∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，∵P={﹣1，0，}，∴P∩Q={﹣1，0}故選C．點評：本題考查兩個集合的交集的定義和求法，以及函數的定義域、值域的求法，關鍵是明確集合中元素代表的意義．5.將函數f（x）=sin2x+cos2x圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則g（x）圖象的一個對稱中心是（）A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）參考答案：D【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得g（x）圖象的一個對稱中心．【解答】解：將函數f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數g（x）=2sin2x的圖象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）圖象的一個對稱中心為（，0），故選：D．6.設函數，若方程只有一個實數根，則（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：A【分析】設，則必有實數根，結合二次函數的根的分布分析只有一個實數根和有兩個不同實數根的情況，得到，的值.【詳解】設，則必有實數根，（1）若只有一個實數根時，當且僅當，否則有兩個實數根或者無實數根，此時的解也為0，所以，即，；（2）若有兩個不同實數根時，即圖象與x軸有兩個不同交點，，此時，均小于0，令，則，否則至少有兩個實數根，所以有，，即，，綜合（1）（2），故選：A.【點睛】本題主要考查函數方程根的個數的應用，利用換元法將復合函數問題轉化為簡單二次函數問題是解決本題的關鍵，考查了分析問題的能力，屬于綜合題．7.已知，則的最小值為（

）

A． B．

C．

D．6參考答案：D【知識點】基本不等式．E6解析：∵，則，故選：D．【思路點撥】利用基本不等式的性質、指數運算性質即可得出．8.某程序框圖如圖所示，該程序運行后，輸出的值為31，則等于（

）A0

B1

C2

D3參考答案：D略9.在極坐標系中，點（1，0）與點（2，π）的距離為（）A．1 B．3 C． D．參考答案：B【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】點（1，0）與點（2，π）分別化為直角坐標：P（1，0），Q（﹣2，0），即可求出點（1，0）與點（2，π）的距離【解答】解：點（1，0）與點（2，π）分別化為直角坐標：P（1，0），Q（﹣2，0）．∴點（1，0）與點（2，π）的距離為3．故選B．10.已知等比數列的公比為q，則’’”是.為遞減數列的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：D若，則數列前n項依次為-1，-，顯然不是遞減數列

若等比數列為-1，-2，-4，-8顯然為遞減數列，但其公比q=2，不滿足

綜上是為遞減數列的既不充分也不必要條件

注意點：對于等比數列，遞減數列的概念理解，做題突破點;概念，反例二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列說法：①“，使>3”的否定是“，使3”；②

函數的最小正周期是；③“在中，若，則”的逆命題是真命題；④“”是“直線和直線垂直”的充要條件；其中正確的說法是_______________.（只填序號）.參考答案：①②略12.下面求的值的偽代碼中，正整數的值可以為

．

參考答案：2013,2014,2015.13.已知N，且，CC，則可推出CCCCCCCCC，由此，可推出CCCCC

．參考答案：試題分析：．考點：推理與證明．14.已知O為坐標原點，點M（3，2），若N（x，y）滿足不等式組，則的最大值為_________．參考答案：1215.已知F1、F2分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2∠的平分線．則|AF2|=

.[來參考答案：6.本題主要考查了雙曲線的基本定義和三角形內角平分線定理，是中等難度題目。

由題意得焦點坐標：、，,由角平分線定理得：,①

由雙曲線定義得：②

聯立得.16.隨機抽取某中學甲、乙兩個班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm）后獲得身高數據的莖葉圖如圖甲所示，在這20人中，記身高在［150，160），［160，170），［170，180），［180，190］內的人數依次為，圖乙是統(tǒng)計樣本中身高在一定范圍內的人數的算法流程圖，則由圖甲可知甲、乙兩班中平均身高較高的是

，圖乙輸出的S的值為

參考答案：甲，18.17.函數的最小正周期為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大??；（2）若，求△ABC的面積．參考答案：【考點】HS：余弦定理的應用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數化簡求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面積．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B為三角形內角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因為A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，則…即，解得或，…又，所以．…19.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2+b2+c2=ac+bc+ca．（1）證明：△ABC是正三角形；（2）如圖，點D的邊BC的延長線上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】綜合題；轉化思想；數形結合法；配方法；解三角形．【分析】（1）由已知利用配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，從而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD=的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）證明：由a2+b2+c2=ac+bc+ca，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，…（3分）所以a﹣b=b﹣c=c﹣a=0，所以a=b=c，…（4分）即△ABC是正三角形…（2）因為△ABC是等邊三角形，BC=2CD，所以AC=2CD，∠ACD=120°，…（7分）所以在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC?CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD?CDcos120°，解得CD=1，…（9分）在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD===．…（12分）【點評】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和配方法的應用，屬于中檔題．20.若數列滿足：對于，都有（為常數），則稱數列是公差為的“隔項等差”數列．（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項等差”數列，求的前項之和；（Ⅱ）設數列滿足：，對于，都有．

①求證：數列為“隔項等差”數列，并求其通項公式；

②設數列的前項和為，試研究：是否存在實數，使得成等比數列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）易得數列前項之和

（Ⅱ）①（）（A）

（B）（B）（A）得（）．所以，為公差為2的“隔項等差”數列．

當為偶數時，，

當為奇數時，；

②當為偶數時，；當為奇數時，．

故當時，，，，

由，則，解得．所以存在實數，使得成等比數列（）略21.（本小題滿分12分）已知向量，函數（1）若，