非線性計算理論課件

第十一章橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性計算理論11.1概述1.幾種非線性問題工程上的非線性問題主要分為材料非線性、幾何非線性、接觸非線性三類.2.幾種幾何非線性問題—兩種幾何非線性問題大位移小應(yīng)變即有限位移理論和大位移大應(yīng)變即有限變形理論兩種.3.大跨度橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性效應(yīng)1)單元初內(nèi)力對單元剛度矩陣的影響;

常采用單元幾何剛度矩陣的方法來考慮。一般指軸力對彎曲剛度的影響，即初應(yīng)力引起結(jié)構(gòu)剛度的變化對后期荷載的影響。2)大位移對建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響;3)索單元垂度的影響.11.2橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的有限元方法11.2.1變形體的運動描述

基本概念：初始構(gòu)形，現(xiàn)時構(gòu)形；運動變形體及其上質(zhì)點的運動狀態(tài),隨不同坐標(biāo)選取有幾種描述方法:11.2橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的有限元方法11.2.1變形體的運動描述變形體及其上質(zhì)點的運動狀態(tài),隨不同坐標(biāo)選取有幾種描述方法:(1)物質(zhì)描述；(2)參照描述；(3)相關(guān)描述；(4)空間描述11.2.2總體拉格朗日列式法(T.LFormulation)

在整個分析過程中,以t=0時的構(gòu)形作為參考,且參考位形保持不變,這種列式稱為總體拉格朗日列式.

桿系單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到:其中應(yīng)變矩陣可進(jìn)一步寫成:[B]=[B0]+[BL]

將平衡方程寫成增量形式:上式左邊第一項可寫成:有關(guān)系式代入增量平衡方程左邊第二項后,經(jīng)整理,并記最后得:11.2.3更新的拉格朗日列式法(U.LFormulation)

以本增量步起始時的t時刻構(gòu)形為參照構(gòu)形,建立t+Δt時刻物體平衡方程.增量形式的U.L列式結(jié)構(gòu)平衡方程可寫成:11.2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍11.3橋梁結(jié)構(gòu)分析常用單元的切線剛度矩陣11.3.1平面桁架單元的切線剛度矩陣由前面的討論可知，T.L列式下，單元切線剛度矩陣可以分為三個部分，即彈性剛度矩陣0[k]0

、初位移剛度矩陣0[k]L、

和幾何剛度矩陣0[k]σ；而U、L列式下，單元切線剛度矩陣只有t[k]0

和t[k]σ;

考慮大位移條件,桁架單元軸向應(yīng)變可寫為:取桁架單元的形函數(shù)矩陣為:那么單元上任意點的位移可寫成:代入應(yīng)變關(guān)系式中可得:其中由此,代入前式[k]0

、

[k]L、

[k]σ的表達(dá)式中可得在T.L列式下,建立在變形前的初始狀態(tài)下的單元局部坐標(biāo)下的切線剛度矩陣:

U.L列式下的單元切線剛度矩陣:由此說明T.L列式與U.L列式的單元切線剛度矩陣具有等價性.11.3.3平面梁單元的切線剛度矩陣：11.3.4算例：11.3.4算例：11.3.2平面柔索單元的切線剛度矩陣一基本假定(1)柔索僅能承受張力而不承受彎曲內(nèi)力;(2)柔索僅受索端集中力和沿索長均勻分布的荷載;(3)柔索材料符合虎克定律;(4)局部坐標(biāo)系取在柔索荷載合力平面內(nèi).柔索單元如右圖:由平衡方程和幾何關(guān)系,可導(dǎo)得圖中各參量之間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,易導(dǎo)出各力素與幾何變量之間的關(guān)系對上式取全微分后,可得到索端力和位移的增量關(guān)系:將上式合并經(jīng)整理后可寫成:

在索端力未知的情況下,首先采用迭代法求算索端力,然后求取單元切線剛度矩陣.11.4橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析若干問題的討論11.4.1穩(wěn)定函數(shù)與幾何剛度

建立如圖所示壓桿的撓曲平衡微分方程:其解為:當(dāng)N為壓力時:式中:引入邊界條件:由此可得到壓桿的割線剛度矩陣:式中:而進(jìn)一步求該壓桿單元的切線剛度矩陣:通過由此可得單元的切線剛度矩陣:如此可得單元的增量平衡微分方程11.4.2彎矩對軸向剛度的影響11.4.3活載幾何非線性分析活載幾何非線性分析,會遇到如下問題:(1)線性疊加原理失敗,無法再用傳統(tǒng)的影響線加載法進(jìn)行活載分析.(2)確定影響區(qū)本身是一個非線性問題,僅用恒載初始狀態(tài)計算活載,會帶來影響區(qū)范圍改變和不正確載位引起的誤差.(3)單位強迫變位產(chǎn)生的等效力很大,用機動法求解影響區(qū)將破壞指定狀態(tài)結(jié)構(gòu)影響區(qū)的真實形狀.11.4.3幾何非線性調(diào)值計算橋梁結(jié)構(gòu)在設(shè)計和施工過程中常常遇到下列問題：(1)設(shè)計階段：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和支點位移，來優(yōu)化整個結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)；（2）施工階段：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和部分支點位移，來減少已建結(jié)構(gòu)和控制目標(biāo)的偏差；（3）服役結(jié)構(gòu)：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和支點位移，來優(yōu)化整個結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)；隨著新工藝和新技術(shù)的發(fā)展，調(diào)值問題在工程中越來越多，成為結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化必不可少的方法。11.5非線形方程組的求解11.5.1求解方法簡介1）直接求解法：基于全量列式的求解過程；

2）增量法

將整個荷載變形的過程看做一連串增量段，每一增量段中結(jié)構(gòu)的荷載

反應(yīng)近似為線形，不斷累加其位移增量。一階自校正的增量法。11.5非線形方程組的求解

3）Newton-RaphsonMethod：

11.5非線形方程組的求解11.5.3收斂準(zhǔn)則

一般依結(jié)構(gòu)的不平衡力向量和位移增量向量來判斷迭代的收斂性。向量的大小一般用該向量的范數(shù)表示：

例題