2022年河北省保定市涿州第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年河北省保定市涿州第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)是，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)、、，則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.圓x2+y2+2x﹣6y+1=0關(guān)于直線ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，則的最小值是（）A．2 B．C．4 D．參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓的圓心代入直線方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：∵圓x2+y2+2x﹣6y+1=0?（x+1）2+（y﹣3）2=9，圓x2+y2+2x﹣6y+1=0關(guān)于直線ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，∴該直線經(jīng)過(guò)圓心（﹣1，3），把圓心（﹣1，3）代入直線ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0），得：﹣a﹣3b+3=0∴a+3b=3，a＞0，b＞0∴+=×（+）（a+3b）=（10++）≥，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取得最小值，故選：D．3.有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5，15.5)

2

[15.5，19.5)

4

[19.5，23.5)

9

[23.5，27.5)

18[27.5，31.5)

1l

[31.5，35.5)

12

[35.5，39.5)

7

[39.5，43.5)

3根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，大于或等于31.5的數(shù)據(jù)約占（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B大于或等于31.5的數(shù)據(jù)共有12+7+3=22個(gè)，約占，選B．4.分配4名水暖工去3個(gè)不同的居民家里檢查暖氣管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一個(gè)居民家，且每個(gè)居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（）A．種 B．A33A31種 C．C41C31種 D．C42A33種參考答案：D考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．專題：排列組合．分析：根據(jù)題意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家檢查；分兩步進(jìn)行，①先從4名水暖工中抽取2人，②再將這2人當(dāng)做一個(gè)元素，與其他2人，共3個(gè)元素，分別分配到3個(gè)不同的居民家里，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案解答：解：根據(jù)題意，分配4名水暖工去3個(gè)不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每個(gè)居民家都要有人去檢查；則必有2名水暖工去同一居民家檢查，即要先從4名水暖工中抽取2人，有C42種方法，再將這2人當(dāng)做一個(gè)元素，與其他2人，共3個(gè)元素，分別分配到3個(gè)不同的居民家里，有A33種情況，由分步計(jì)數(shù)原理，可得共C42A33種不同分配方案，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意一般順序是先分組（組合），再排列，屬于中檔題．5.某出租車公司計(jì)劃用450萬(wàn)元購(gòu)買A型和B型兩款汽車投入營(yíng)運(yùn)，購(gòu)買總量不超過(guò)50輛，其中購(gòu)買A型汽車需要13萬(wàn)元/輛，購(gòu)買B型汽車需要8萬(wàn)元/輛，假設(shè)公司第一年A型汽車的純利潤(rùn)為5萬(wàn)元/輛，B型汽車的純利潤(rùn)為1.5萬(wàn)元/輛，為使該公司第一年純利潤(rùn)最大，則需安排購(gòu)買（

）A．8輛A型汽車，42輛B型汽車

B．9輛A型汽車，41輛B型汽車C．11輛A型汽車，39輛B型汽車

D．10輛A型汽車，40輛B型汽車參考答案：D略6.已知函數(shù)為增函數(shù)，則的取值范圍是（）

參考答案：A7.已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|，當(dāng)m取最大值時(shí)|PA|的值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PF|，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，即可求得|PA|的值．【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，則拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1，過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，屬中檔題．8.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果i=

A．3

B．4 C．5

D．6參考答案：C略9.設(shè)是非零向量,已知命題若則;命題若則則下列命題中真命題是參考答案：先判斷命題和命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假判斷方法得出答案.選A.當(dāng)非零向量方向相同且都和非零向量垂直時(shí),結(jié)論成立,但是不成立,可知命題是假命題,命題是真命題;而根據(jù)平行公理4知命題為真命題,命題是假命題.結(jié)合復(fù)合命題的真假判斷方法知,選項(xiàng)（A）正確.10.已知△ABC為銳角三角形，且A為最小角，則點(diǎn)P（sinA﹣cosB，3cosA﹣1）位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A考點(diǎn)：三角函數(shù)值的符號(hào)．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：根據(jù)A為△ABC最小角得A＜，由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷出3cosA﹣1的符號(hào)，再由△ABC為銳角三角形得A+B＞，根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷出sinA﹣cosB的符號(hào)，即可判斷出點(diǎn)P所在的象限．解答： 解：因?yàn)锳為△ABC最小角，所以A＜，則＜cosA＜1，所3cosA﹣1＞0，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A+B＞，則A＞﹣B，所以sinA＞sin（﹣B）=cosB，即sinA﹣cosB＞0，所以點(diǎn)P（sinA﹣cosB，3cosA﹣1）位于第一象限，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式，正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角形中的角的性質(zhì)，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了調(diào)查城市PM2.5的值，按地域把36個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)的城市數(shù)分別為6，12，18．若用分層抽樣的方法抽取12個(gè)城市，則乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為

▲

．參考答案：112.已知半徑為R的圓周上有一定點(diǎn)A，在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)A連接，則所得弦長(zhǎng)介于R與之間的概率為_(kāi)_________．參考答案：在圓上其他位置任取一點(diǎn)B，設(shè)圓半徑為R，其中滿足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR，則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==；故答案為：．13.已知，且，則與夾角的取值范圍是.參考答案：14.已知點(diǎn)、分別為的重心（三條中線的交點(diǎn)）、垂心（三條高所在直線的交點(diǎn)），若，則的值為

．參考答案：．另解：注意到題中的形狀不確定，因此可取特殊情形，則點(diǎn)即為點(diǎn)，由此可迅速得到答案.15.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表（每行比上一行多一個(gè)數(shù)）：設(shè)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中的從上往下數(shù)第行，從左往右數(shù)第列的數(shù)，如，則____.參考答案：48【分析】計(jì)算出前9行中元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得.【詳解】第9行的最后一個(gè)數(shù)為，所以.故填.16.若對(duì)任意恒意義,則實(shí)數(shù)的范圍____________.

參考答案：略17.若，則的取值范圍是___________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）如圖，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作曲線C:的切線，切點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線C的切線，切點(diǎn)為,設(shè)在x軸上的投影是；…；依此下去,得到一系列點(diǎn),,…,,…,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（Ⅰ）試求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（用的代數(shù)式表示）（Ⅱ）求證：（Ⅲ）求證：（注：）.

參考答案：解析：(Ⅰ),若切點(diǎn)是,則切線方程為.

1分當(dāng)n=1時(shí),切線過(guò)點(diǎn)(1,0),即,得當(dāng)n>1時(shí),切線過(guò)點(diǎn),即,解得.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故所求通項(xiàng)

.

4分

(Ⅱ)由（1）知

9分(Ⅲ)設(shè),則,兩式相減得，.

故.

14分19.已知函數(shù)f（x）=x2+（4a﹣2）x+1（x∈[a，a+1]）的最小值為g（a）．求函數(shù)y=g（a）的解析式．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中函數(shù)f（x）=x2+（4a﹣2）x+1我們可得函數(shù)的圖象是以x=1﹣2a為對(duì)稱軸，開(kāi)口方向朝上的拋物線，分析區(qū)間[a，a+1]與對(duì)稱軸的關(guān)系，求出各種情況下g（a）的表達(dá)式，綜合寫成一個(gè)分段函數(shù)的形式，即可得到函數(shù)y=g（a）的解析式．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x=1﹣2a．（1分）（1）當(dāng)a+1≤1﹣2a時(shí)，即a≤0時(shí)，f（x）在[a，a+1]上是減函數(shù)，g（a）=f（a+1）=（a+1）2+（4a﹣2）（a+1）+1=5a2+4a；（4分）（2）當(dāng)時(shí)，g（a）=f（1﹣2a）=（1﹣2a）2+（4a﹣2）（1﹣2a）+1=﹣4a2+4a（7分）（3）當(dāng)上是增函數(shù)，g（a）=f（a）=a2+（4a﹣2）a+1=5a2﹣2a+1．（10分）所以（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x2+（4a﹣2）x+1分析出函數(shù)圖象及性質(zhì)，以確定后面分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)及各段上g（a）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．20.（13分）已知函數(shù)f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）對(duì)a討論f（x）的單調(diào)性；（2）若x=x0是f（x）的極值點(diǎn)，求證：f（x0）≤．參考答案：考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解．（2）利用條件x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，確定a的數(shù)值，然后證明f（x0）≤．解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴當(dāng)a≥時(shí)，f'（x）≥0在定義域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜時(shí)，f'（x）=0時(shí)，x=，≤0?a≥0，∴0≤a＜時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；＞0?a＜0，∴a＜0時(shí)，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增．（2）由（1）可知當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值，∴x0=＞0，∴?a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，記g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，則g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：

x

（0，1）

1 （1，+∞）

g′（x） +

0 ﹣

g（x）

增

極大值

減∴g（x）max=g（x）極大值=g（1）=，∴f（x0）≤．點(diǎn)評(píng)： 本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值問(wèn)題．對(duì)于參數(shù)問(wèn)題要注意進(jìn)行分類討論．21.知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)F與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM、AN的斜率滿足（定值），求直線的斜率。參考答案：解：（1）

2分

又

解得

3分

橢圓C的方程是

…………4分

（2）若直線斜率不存在，顯然不合題意

………………5分

設(shè)直線方程為

取立方程組得

……7分

……8分

22.（18分）已知f（x）=定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，把方程f（x）=稱為函數(shù)f（x）的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根α、β（α＜β）稱為f（x）的特征根．（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）把函數(shù)y=f（x），x∈的最大值記作maxf（x）、最小值記作minf（x），令g（m）=maxf（x）﹣minf（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)奇偶性的判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可討論函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法即可得到結(jié)論．解答： 解：（1）當(dāng)