線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器

線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器第一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.1線性二次型問(wèn)題設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為（7-1）式中為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量；為維數(shù)適當(dāng)?shù)臅r(shí)變矩陣，其各元分段連續(xù)且有界，在特殊情況下可以是常陣。假定，且不受約束。第二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三若令表示維希望輸出向量，則（7-2）稱為誤差向量。要求確定最優(yōu)控制，是下列二次型性能指標(biāo)極?。海?-3）式中為維對(duì)稱非負(fù)定常陣，為維對(duì)稱非負(fù)定時(shí)變矩陣，為維對(duì)稱正定時(shí)變矩陣，初始時(shí)刻和末端時(shí)刻固定。第三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在二次型性能指標(biāo)（7-3）中，其各項(xiàng)都有明確的物理含義。（1）末值項(xiàng)（7-4）

不失一般性，取，表示對(duì)末態(tài)誤差要求的各元等加權(quán)，則有

此時(shí)，末值項(xiàng)表示時(shí)刻的跟蹤誤差，即末態(tài)誤差向量與希望的零向量之間的距離平方和。第四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，表示對(duì)末態(tài)跟蹤誤差的各元有不同的要求。若取則式（7-4）可以表示為

此時(shí)，末值項(xiàng)表示末態(tài)跟蹤誤差向量與希望的零向量之間的距離加權(quán)平方和。

如果對(duì)末態(tài)跟蹤誤差不必限制，則可取。此時(shí)性能指標(biāo)變?yōu)榉e分型。第五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）第一過(guò)程項(xiàng)（7-5）若取則有于是，式（7-5）可以表示為

上式表明，第一過(guò)程項(xiàng)表示在系統(tǒng)控制過(guò)程中，對(duì)動(dòng)態(tài)跟蹤誤差加權(quán)平均和的積分要求，是系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)態(tài)跟蹤誤差的總度量。第六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）第二過(guò)程項(xiàng)（7-6）若取于是，式（7-6）可以表示為則有

上式表明，第二過(guò)程項(xiàng)表示在系統(tǒng)控制過(guò)程中，對(duì)加權(quán)后的控制能量消耗的總度量。第七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

因此，二次型性能指標(biāo)（7-3）的物理意義是：是系統(tǒng)在控制過(guò)程中的動(dòng)態(tài)誤差與能力消耗，以及控制結(jié)束時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu)。二次型性能指標(biāo)有如下幾種重要的特殊情形。（1）狀態(tài)調(diào)節(jié)器的問(wèn)題在系統(tǒng)方程（7-1）和誤差向量（7-2）中，如果則有從而，性能指標(biāo)（7-3）演變?yōu)椋?-7）第八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（7-7）

這時(shí)，線性二次型問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受擾偏離原平衡零狀態(tài)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-7）極小，即使得系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在零平衡狀態(tài)附近。（7-8）（2）輸出調(diào)節(jié)器的問(wèn)題

在誤差向量（7-2）中，如果則有從而，性能指標(biāo)（7-3）演變?yōu)榈诰彭?yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（7-8）

這時(shí)，線性二次型問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受擾偏離原平衡狀態(tài)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-8）極小，即使得系統(tǒng)輸出始終保持在零平衡狀態(tài)附近。（3）跟蹤系統(tǒng)問(wèn)題

如果，式（7-2）成立，性能指標(biāo)保持式（7-3）的形式不變，則線性二次型問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)希望輸出量作用于系統(tǒng)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-3）極小，即使得系統(tǒng)的實(shí)際輸出始終跟隨的變化。第十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器

所謂狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持在平衡狀態(tài)附近。7.2.1有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7.1設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為（7-9）

式中無(wú)約束；矩陣與維數(shù)適當(dāng)，其各元連續(xù)且有界。要求確定最優(yōu)控制，使下列性能指標(biāo)極?。海?-10）

式中權(quán)矩陣其各元均連續(xù)有界；末端時(shí)刻固定且為有限值。第十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（1）最優(yōu)解的充分必要條件

定理7-1對(duì)于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-1，最優(yōu)控制的充分必要條件（7-11）最優(yōu)性能指標(biāo)為（7-12）

式中維對(duì)稱非負(fù)矩陣滿足黎卡提矩陣微分方程（7-13）其邊界條件為而最優(yōu)軌線，則是下列線性向量微分方程的解：（7-14）（7-15）第十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三證明：必要性：證(5-14)表示的u*確為最優(yōu)，取H函數(shù)為：根據(jù)最優(yōu)控制的控制方程：可得：因?yàn)椋汗蕌*為使哈密頓函數(shù)取極小控制。因末態(tài)自由，橫截條件為：（見P50定理3-1）由正則方程，得：（7-19）第十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)協(xié)態(tài)方程的解為則狀態(tài)方程為（7-23）解此方程，可得最優(yōu)軌線：此外：將（7-23）代入：與（7-19）式比較可得：第十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三該方程稱為黎卡提（Riccati)矩陣微分方程由和可知黎卡提微分方程的邊界條件為：因此，得最優(yōu)控制的必要條件為：必要性得證。充分性：若上式u*中P(t)為黎卡提方程滿足邊界條件的解，我們能證明它滿足哈密頓-雅可比方程，則根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，充分性成立。第十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三令哈密頓-雅可比方程為由于u(t)無(wú)約束，令第十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三解得：將該式與對(duì)照，可使從而可得代入哈密頓-雅可比方程，得注意到可以得到第十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三若P(t)滿足黎卡提方程則用描述的控制u*(t)對(duì)于任何x(t)均滿足哈密頓-雅可比方程而如此表述的故當(dāng)上述黎卡提方程的邊界條件為：對(duì)照性能指標(biāo)的終端項(xiàng)則有充分性得證。由取可得第十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）黎卡提方程解的若干性質(zhì)

由定理7-1可知，問(wèn)題7-1的最優(yōu)控制是狀態(tài)的線性反饋形式(7-16)式中(7-17)為反饋增益矩陣。由于式（7-17）中矩陣和是已知的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的性質(zhì)取決于黎卡提方程的解。①

是唯一的。②

是對(duì)稱的。第十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三命題7-1若矩陣是黎卡提方程（7-13）及其邊界條件（7-14）的唯一解，則必為對(duì)稱矩陣，即(7-18)證明：由黎卡提方程及邊界條件：考慮到F、R、Q均為對(duì)稱陣，將上式轉(zhuǎn)置：可見上述兩個(gè)矩陣微分方程和其邊界條件完全相同。由P(t)

解的惟一性，可知第二十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三③

是非負(fù)的。命題7-2對(duì)于性能指標(biāo)（7-10）如果對(duì)有所的，有則對(duì)于任意的和相應(yīng)的，總有命題7-3若矩陣是黎卡提方程（7-13）及其邊界條件（7-14）的唯一解，則其在區(qū)間上必為非負(fù)矩陣。第二十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）最優(yōu)控制解的存在性與唯一性

定理7-2對(duì)于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-1，若有限，則式（7-11）給出的最優(yōu)控制存在且唯一。P170－P172的兩個(gè)例題給出了如何應(yīng)用黎卡提方程來(lái)解最優(yōu)控制的例子。第二十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.2.2無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器

對(duì)既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問(wèn)題只能用無(wú)限時(shí)間調(diào)節(jié)器理論去解決。（1）無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-2設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為(7-19)性能指標(biāo)(7-20)式中向量及矩陣的假定同問(wèn)題7-1，控制不受約束。要求確定最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)（5-20）極小。第二十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三定理7-3對(duì)于無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-2,若陣對(duì)完全可控，則存在唯一的最優(yōu)控制(7-21)最優(yōu)性能指標(biāo)為(7-22)式中(7-23)是對(duì)稱、非負(fù)的，而是如下黎卡提方程：(7-24)及其邊界條件的唯一解。(7-25)第二十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

關(guān)于定理7-3,有如下幾點(diǎn)標(biāo)記.1）對(duì)系統(tǒng)提出的完全可控性要求，是為了保證最優(yōu)解的存在。例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為性能指標(biāo)試求最優(yōu)控制及最優(yōu)性能指標(biāo)。第二十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三解①狀態(tài)不可控。本例為線性定常系統(tǒng)，其可控性判據(jù)故系統(tǒng)不可控。②不可控狀態(tài)不穩(wěn)定。系統(tǒng)矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為顯然第二十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三③

不穩(wěn)定且不可控狀態(tài)包含于性能指標(biāo)之中。無(wú)論取何值時(shí)，性能指標(biāo)因而本例不存在使的最優(yōu)控制

實(shí)際上，本例為線性定常系統(tǒng)，性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣亦為常陣。因此，即使對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，為了保證最優(yōu)解存在，也必須要求系統(tǒng)完全可控。第二十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）對(duì)于無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器，由于黎卡提方程（7-24）在邊界調(diào)節(jié)（7-25）下的穩(wěn)態(tài)解仍為時(shí)變矩陣，因而最優(yōu)控制律是時(shí)變的，不便于工程應(yīng)用。2）對(duì)于無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，通常在性能指標(biāo)中不考慮終點(diǎn)指標(biāo)，取權(quán)陣。其原因有二：一是希望，即要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，因而性能指標(biāo)中不必加入體現(xiàn)終點(diǎn)指標(biāo)的末值項(xiàng)；二是工程上僅考慮在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的響應(yīng)，因而時(shí)的終點(diǎn)指標(biāo)將失去工程意義。第二十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-3設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為(7-26)性能指標(biāo)(7-27)

式中無(wú)約束；矩陣和是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且，和分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。要求確定最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)（7-27）極小。第二十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理7-4對(duì)于系統(tǒng)（7-26）和性能指標(biāo)（7-27），若對(duì)于任意矩陣，有，且是如下黎卡提矩陣代數(shù)方程：7-28的解，則陣對(duì)完全可觀的充分必要條件是為對(duì)稱正定矩陣第三十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理7-5對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-3,若陣對(duì)完全可控，陣對(duì)完全可觀，其中，且任意，則存在唯一的最優(yōu)控制(7-29)最優(yōu)性能指標(biāo)為(7-30)

式中為對(duì)稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一解(7-31)第三十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.2.3最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性

按定常調(diào)節(jié)器問(wèn)題進(jìn)行綜合，可得最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)方程為(7-32)研究該最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的必要條件。定理7-6設(shè)線性定常系統(tǒng)(7-33)性能指標(biāo)(7-34)第三十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7-35為漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，為一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。其中，為對(duì)稱正定常陣，是黎卡提矩陣代數(shù)方程7-31的唯一解。

式中無(wú)約束；矩陣和是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且，和分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。若陣對(duì)完全可控，陣對(duì)完全可觀，其中，而任意，則閉環(huán)系統(tǒng)第三十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三命題7-4對(duì)于系統(tǒng)（7-33）和性能指標(biāo)（7-34）,已知陣對(duì)可控，且系統(tǒng)（7-33）的可控標(biāo)準(zhǔn)形為式中為可控對(duì)。假定不可觀，其中。如果的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。第三十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.3具有給定穩(wěn)定度的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-4設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程(7-36)性能指標(biāo)(7-37)

式中無(wú)約束；矩陣和是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且，和分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。，為已知值。要求確定最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)7-37極小，并使最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，其特征值實(shí)部小于第三十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.3.1修正調(diào)節(jié)器問(wèn)題的最優(yōu)解設(shè)在問(wèn)題7-4完全可控，完全可觀，其中為任一使的矩陣?？煽丶翱捎^的要求，對(duì)確保無(wú)限時(shí)間問(wèn)題有解以及確定對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定度約束使必需的。通過(guò)變換方法，可將問(wèn)題7-4化為無(wú)限問(wèn)題定常調(diào)節(jié)器問(wèn)題，定義(7-38)(7-39)考查(7-40)第三十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三(7-41)

將式（7-38）和式（7-39）代入上式，得修正調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)(7-42)式中與仍然分別為非負(fù)和正定對(duì)稱矩陣。對(duì)于系統(tǒng)（7-41）和性能指標(biāo)（7-42），如果沒有可控性和穩(wěn)定性的附加約束，則這一最小化問(wèn)題可能無(wú)解。第三十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三根據(jù)線性系統(tǒng)理論，如下四種提法完全等價(jià)①是完全可控的。④是完全可控的。②對(duì)于定常向量和所有的意味著。③對(duì)于定常向量和所有的意味著。

由于已設(shè)完全可控，因此完全可控，根據(jù)對(duì)偶性原理，完全可觀等價(jià)于完全可觀。第三十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三根據(jù)定理7-5，修正調(diào)節(jié)器問(wèn)題存在唯一的最優(yōu)控制(7-43)最優(yōu)性能指標(biāo)(7-46)式中為正定對(duì)稱常陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程(7-45)根據(jù)定理7-5,最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。(7-44)第三十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.3.2具有給定穩(wěn)定度的調(diào)節(jié)器問(wèn)題的最優(yōu)解將式（7-38）和式（7-39）分別代入式（7-43）、式（7-44）、式（7-46），可得最優(yōu)控制（7-47）最優(yōu)性能指標(biāo)（7-48）最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。其中滿足式（7-45）。（7-49）第四十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三為了證明關(guān)于穩(wěn)定度的規(guī)定，由漸進(jìn)穩(wěn)定得式（7-46），有（7-50）將式（7-38）代入式（7-50），可得（7-51）當(dāng)時(shí)，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)（7-49）的狀態(tài)至少以的速度趨于零，完全滿足給定穩(wěn)定度的要求。越大，收于零的速度越快。通常將稱為閉環(huán)系統(tǒng)的最小穩(wěn)定度。第四十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三定理7-7設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程(7-52)性能指標(biāo)(7-53)

式中無(wú)約束；矩陣和是維數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ?。并且，和分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。為給定的正常數(shù)。若陣對(duì)完全可控，陣對(duì)完全可觀，其中為任一使的矩陣，則存在唯一最優(yōu)控制(7-54)第四十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三最優(yōu)性能指標(biāo)7-55

式中為對(duì)稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：7-56的唯一解。最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)7-57是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且穩(wěn)定度至少為。第四十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.4逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器

逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，是指已知某個(gè)具有未知定常擾動(dòng)的線性定常系統(tǒng)，在規(guī)定穩(wěn)定度要求下，尋求某個(gè)二次型性能指標(biāo)，使得由規(guī)定穩(wěn)定要求確定的線性狀態(tài)反饋控制律，對(duì)所構(gòu)造的性能指標(biāo)來(lái)說(shuō)是最優(yōu)的。逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的實(shí)質(zhì)：最優(yōu)調(diào)節(jié)器的極值點(diǎn)配置問(wèn)題。第四十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.4.1逆調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)完全可控系統(tǒng)狀態(tài)方程(7-58)式中為維狀態(tài)向量；為維控制向量，且無(wú)約束；為維常值未知擾動(dòng)向量；；和為維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。假設(shè)：①矩陣列滿秩②值域空間。③規(guī)定穩(wěn)定度要求。0ImRe第四十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三若令(7-59)(7-60)則逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題為：尋求二次型性能指標(biāo)(7-61)

使得由和確定的控制律，對(duì)性能指標(biāo)（7-61）是最優(yōu)的。其中，為非負(fù)對(duì)稱常陣，和為正定對(duì)稱常陣。第四十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三由假設(shè)②，能夠選取一個(gè)矩陣，使得將式（7-62）代入狀態(tài)方程（7-58），并考慮式（7-59）和式（7-60），可得(7-62)(7-63)定義(7-64)(7-65)第四十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三則系統(tǒng)方程（7-63）和（7-64），以及性能指標(biāo)（7-61）可以寫為(7-66)(7-67)式中和是維數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ?且和分別為非負(fù)和正定對(duì)稱矩陣第四十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三經(jīng)上述矩陣增廣后，逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)（7-66）和給定穩(wěn)定度約束和，尋求狀態(tài)反饋陣和權(quán)陣與，使得滿足和約束成為最優(yōu)控制，并使性能指（7-67）極小。7.4.2狀態(tài)反饋陣的表達(dá)式

一個(gè)完全可控的階連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)其給定穩(wěn)定度的一種評(píng)價(jià)規(guī)則是所有閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部和幅角有要求的上限。若用表示期望極點(diǎn)區(qū)域，易見為圖7-1中的陰影區(qū)。第四十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖7-1期望極點(diǎn)區(qū)域引理7-1定常齊次動(dòng)態(tài)方程其零解漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)給定的任一正定對(duì)稱陣，都存在唯一的正定對(duì)稱陣，使得第五十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三引理7-2對(duì)于完全可控的階連續(xù)系統(tǒng)如果必有即式中表示特征值，表示實(shí)部。第五十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三引理7-3對(duì)于任意給定的正定對(duì)稱矩陣，以及任意正數(shù)和，矩陣方程(7-68)有正定對(duì)稱解的充分必要條件是第五十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三定理7-8設(shè)系統(tǒng)（7-66）完全可控，給定正定對(duì)稱矩陣。若為正定對(duì)稱矩陣，則必存在滿足下式的狀態(tài)反饋陣：(7-69)使得閉環(huán)系統(tǒng)特征值。第五十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.4.3狀態(tài)反饋陣與性能指標(biāo)的關(guān)系(7-70)的一般解。式中，滿足若非奇異，則有(7-71)引理7-4對(duì)于完全可控系統(tǒng)（7-66），若列滿秩，對(duì)稱非負(fù)，漸進(jìn)穩(wěn)定，則存在對(duì)稱正定矩陣和狀態(tài)反饋陣，其中為對(duì)稱非負(fù)矩陣，是如下方程第五十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三定理7-9考慮完全可控（7-66），列滿秩，若①②為對(duì)稱非負(fù)矩陣。③對(duì)稱非負(fù)，其中第五十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三則當(dāng)正定對(duì)稱時(shí)，必存在非負(fù)對(duì)稱的和，滿足(7-72)(7-73)式中第五十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三推論在定理7-9中，若取為單位陣，則必存在非負(fù)對(duì)稱得和，滿足(7-74)(7-75)第五十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.4.4逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)步驟逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)，可按如下步驟進(jìn)行：①②③給定正定對(duì)稱矩陣，一般可取由式（7-69）求出使為對(duì)稱正定矩陣的取值范圍由定理7-9檢驗(yàn)所取陣是否滿足條件和，不滿足則返回至，重取陣，直至條件滿足。②③②第五十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三④取，按式（7-72）和式（7-73）分別計(jì)算和。⑤取為對(duì)角塊陣，可得使成為最優(yōu)反饋增益陣的性能指標(biāo)（7-67）。⑥由和，可得原系統(tǒng)要求構(gòu)造得性能指標(biāo)（7-61）。第五十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.5離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-5設(shè)線性離散系統(tǒng)狀態(tài)差分方程式中.性能指標(biāo)要求一最優(yōu)控制序列,使性能指標(biāo)最小問(wèn)題7-5是有限時(shí)間離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。可以證明,其最優(yōu)控制是一種線性狀態(tài)反饋規(guī)律,而且最優(yōu)性能指標(biāo)是初始狀態(tài)的二次型函數(shù)。定理7-10對(duì)于有限時(shí)間離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-5,存在唯一的線性狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制序列第六十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三最優(yōu)性能指標(biāo)式中反饋增益矩陣序列而是下列離散黎卡提方程的對(duì)稱非負(fù)定解邊界條件為第六十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖如圖7-5所示B(k)由定理7-10可見,反饋增益矩陣取決于系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A(k),,以及性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣,、和,而與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。因此實(shí)現(xiàn)上圖所示閉環(huán)最優(yōu)控制時(shí),可以離線算出,在線只進(jìn)行的簡(jiǎn)單運(yùn)算第六十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三例7-8已知離散系統(tǒng)試求最優(yōu)控制序列，使性能指標(biāo)為最小。其中為正數(shù)解本例為離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由題意（A）另，得（B）另，算得第六十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三求出（C）另，算得求出（Ｄ）另，算得第六十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三求出（E）計(jì)算最優(yōu)控制序列第六十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三第8章線性最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器與跟蹤系統(tǒng)8.1輸出調(diào)節(jié)器8.1.1有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-1設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程要求確定最優(yōu)控制，使下列性能指標(biāo)極小：引理8-1在問(wèn)題8-1中，若矩陣對(duì)完全可觀測(cè)，則下列矩陣：第六十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三必為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。定理8-1對(duì)于有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-1，若矩陣對(duì)在時(shí)刻完全可觀測(cè)，則存在唯一的最優(yōu)控制最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)軌線滿足下列線性微分方程：式中為對(duì)稱非負(fù)定矩陣，是下列黎卡提方程：在邊界條件下的唯一解。第六十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三8.1.2無(wú)限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-2設(shè)線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程要求確定最優(yōu)控制，使下列性能指標(biāo)極小定理8-2對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-2，若矩陣對(duì)完全可控，完全可觀，且對(duì)于滿足的任何，陣對(duì)完全可觀，則最優(yōu)控制最優(yōu)性能指標(biāo)第六十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三式中為正定對(duì)稱常數(shù)矩陣，滿足下列黎卡提代數(shù)方程最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，其解為最優(yōu)軌線例8-1設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程性能指標(biāo)試構(gòu)造輸出調(diào)節(jié)器，使性能指標(biāo)極小第六十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：（A）檢測(cè)系統(tǒng)的可控性與可觀性。由題意有因?yàn)樗?，可控，可觀，可觀，可以構(gòu)造漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。第七十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（B）解黎卡提代數(shù)方程。將各有關(guān)參數(shù)代入式（8-16）求得最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖如圖所示（C）求最優(yōu)控制。（D）檢驗(yàn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性由式（8-17）得閉環(huán)系統(tǒng)方程易驗(yàn)證閉環(huán)系統(tǒng)確是漸進(jìn)穩(wěn)定的。第七十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三定義8-1穩(wěn)定子空間與不穩(wěn)定子空間。對(duì)于齊次微分方程，其中有各異特征值，則所有由負(fù)實(shí)部特征值的特征向量所張成的線性子空間，稱為穩(wěn)定子空間;否則稱為不穩(wěn)定子空間。定義8-2可控子空間由相應(yīng)于可控特征值的特征向量所張成的線性子空間，稱為可控子空間。定義8-3可觀子空間。由相應(yīng)于可觀特征值的特征向量所張成的線性子空間，稱為可觀子空間。定義8-4可穩(wěn)定性對(duì)于系統(tǒng)，若不穩(wěn)定子空間包含在可控子空間中，則稱為可穩(wěn)定的第七十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三定義8-5可穩(wěn)定性。對(duì)于系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)在可控性分解式中漸進(jìn)穩(wěn)定，則可穩(wěn)定在式（8-18）中，為可控對(duì)，為系統(tǒng)的可控特征值，為不可控特征值定義8-6可檢測(cè)性。對(duì)于系統(tǒng)，若不可觀子空間包含在穩(wěn)定子空間內(nèi)，則稱為可檢測(cè)定義8-7可檢測(cè)性。系統(tǒng)為可檢測(cè)的，必要且僅要可觀性分解第七十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三式中漸進(jìn)穩(wěn)定。在式（8-19）中，為可觀時(shí)，為系統(tǒng)可觀特征值，為不可觀特征值定理8-3對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-2，若給定黎卡提矩陣微分方程邊界條件則（A）為常陣的充分必要條件是可穩(wěn)定（B）若可穩(wěn)定，可檢測(cè)，則滿足如下黎卡提代數(shù)方程（8-16）第七十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)控制為且閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是可穩(wěn)定，可檢測(cè)（D）當(dāng)時(shí)，的充分必要條件是可觀8.1.3輸出反饋次優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-3設(shè)完全可控且完全可觀的線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程第七十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三試確定輸出反饋次優(yōu)控制律使下列性能指標(biāo)極小式中和均為對(duì)稱正定常數(shù)矩陣。并使如下閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。其中輸出反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖所示，將（6-48）代入（6-49）得：第七十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中 下面采用李雅普諾夫第二法討論，確定，要求保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，并使性能指標(biāo)極小。取李雅普諾夫函數(shù)第七十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三將（8-50）代入上式，得令則因此按（8-55）選擇和，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定由（8-53）和（8-56），可得將（8-57）代入（8-51），得第七十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期三由于閉環(huán)系統(tǒng)（8-50）漸進(jìn)穩(wěn)定，必有。于是，問(wèn)題8-3的次優(yōu)性能指標(biāo)次優(yōu)控制其中和滿足由（8-60）解出用表示的，即，代入（8-58），得，然后令可以找到使極小的值。從而求得值第七十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2