直線與圓的位置關(guān)系

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第二課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

公共點(diǎn)名稱

直線名稱圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線d<rd=rd>r沒有一、溫故知新1（1）.當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)水飛出的方向是什么方向？（2）.砂輪打磨工件飛出火星的方向是什么方向？2、情景引入3.什么叫做切線？4.你已經(jīng)學(xué)會(huì)了哪些判斷一條直線是圓的切線的方法？（一)切線的判定

1、觀察、提出問題、分析發(fā)現(xiàn)

根據(jù)切線的定義可以判定一條直線是不是圓的切線，但有時(shí)使用定義判定很不方便．我們從另一個(gè)側(cè)面去觀察，那就是直線和圓的位置怎樣時(shí)，直線也是圓的切線呢?圖(2)中直線l是⊙O的切線，怎樣判定？圖（１）圖（２）圖（３）OOO二、探究新知O在⊙O中，經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)Ａ作直線l⊥OA。思考一下問題：1）圓心O到直線l的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?2）直線l和⊙O位置有什么關(guān)系？為什么？3）由此你發(fā)現(xiàn)了什么？lA發(fā)現(xiàn)：(1)直線

l經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A；

(2)直線l垂直于半徑0A．則:直線l與⊙O相切2、直線與圓相切的判定定理：AOl

經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線。

（1）對(duì)定理的理解：切線需滿足兩條：①經(jīng)過半徑外端；②垂直于這條半徑．Orl

A如圖所示∵OA是半徑，l⊥OA于A∴l(xiāng)是⊙O的切線。（2）定理的幾何符號(hào)表達(dá)：這個(gè)定理實(shí)際上就是：

d=r直線和圓相切的另一種說法。判斷1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的的直線是圓的切線（）3.過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）×××OrlAOrlAOrlA（3）問題：定理中的兩個(gè)條件缺少一個(gè)行不行?

兩個(gè)條件,缺一不可證明：連結(jié)OC(如圖)?！擗SOAB中，

OA＝OB

,CA＝CB,∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半徑∴AB是⊙O的切線。〖例1〗已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。OBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明AB⊥OC即可。三、應(yīng)用新知輔助線：有點(diǎn)連圓心，證垂直輔助線：無交點(diǎn)，作垂直，證等于半徑.〖例2〗已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過O作OE⊥AC于E?！逜O平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD

即圓心O到AC的距離d=r∴AC是⊙O切線。

例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED歸納分析1.如圖AB是⊙O的直徑,∠ABT=45°AT=AB,求證AT

是⊙O的切線.證明:∵∠ABT=45°，AT

=AB∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠TAB=180°－∠ATB－∠ABT=90°.∴TA⊥OA.∴AT是⊙O的切線.·ABTO∵

OA是⊙O的半徑，鞏固練習(xí)輔助線：連半徑，證垂直1、定義法：和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。2、數(shù)量法（d=r）：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線。3、判定定理：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。證明直線與圓相切有如下三種途徑:

即：（1）若直線與圓的一個(gè)公共點(diǎn)已指明，則連接這點(diǎn)和圓心，說明直線垂直于經(jīng)過這點(diǎn)的半徑；（2）若直線與圓的公共點(diǎn)未指明，則過圓心作直線的垂線段，然后說明這條線段的長(zhǎng)等于圓的半徑．.OAL（二）切線的性質(zhì)如果L是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,那么半徑OA與直線L是不是一定垂直呢?一定垂直切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

1.（中考題）Ａ、Ｂ是⊙O上的兩點(diǎn)，ＡＣ是⊙O的切線，∠B=70°，則∠OAB=____°，∠BAC=_____

O

ＡＢC（1）我能行：2.（中考題）如右圖，AB與⊙O相切于A點(diǎn)，

AB=4cm，BO=5cm，則⊙O的半徑為

。

7020°3cm3.如圖AB是⊙O的直徑,直線l1、l2是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，l1、l2有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．·OABl1l2證明:l1∥l2∵l1是⊙O切線，∴l(xiāng)1⊥OA.∵l2是⊙O切線，∴

l2⊥OB.AB為直徑，∴l(xiāng)1∥l2.鞏固練習(xí)輔助線：連半徑，得垂直結(jié)論：經(jīng)過直徑兩端點(diǎn)的切線互相平行4如圖，AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.求證：AC平分∠DAB．AODCB證明：連接OC．∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．課堂練習(xí)〖例３〗已知：△ABC

為等腰三角形，O是底邊

BC

的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D.

求證：AC是⊙O的切線．ABODCE分析：①連接OD，點(diǎn)D是半徑外端，OD⊥AB.②作OE⊥AC于E，證OE=OD.1.切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。應(yīng)用：∵點(diǎn)A在⊙O上，AB⊥OA∴AB是⊙O的切線.

2.切線的性質(zhì)：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。應(yīng)用：∵AB是⊙O的切線,A是切點(diǎn)∴AB⊥OA.本節(jié)知識(shí)點(diǎn)AOB課堂小結(jié)1.判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線3.常用的添輔助線方法？

⑴直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過公共點(diǎn)的半徑，再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直）⑵直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑）l是圓的切線l是圓的切線2、切線的性質(zhì)定理。（連半徑，得垂直）知識(shí)像一艘船讓它載著我們駛向理想的

……謝謝1、如圖，AB是⊙O

的直徑，∠ＰＡＢ＝９０°，連接ＰＢ交⊙O于點(diǎn)C，Ｄ是ＰＡ邊的中點(diǎn)，連接CD。求證：CD是⊙O

的切線OCPDAB2、如圖，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、C，∠BAD＝∠B＝30°，邊BD交圓于點(diǎn)D.BD是⊙O的切線嗎？為什么？解：BD是⊙O的切線.連結(jié)OD.又∵∠B＋∠BOD＋∠BDO＝180°∵OA＝OD

，

∠BAD＝30°(已知)∴直線BD⊥OD又∵直線BD經(jīng)過⊙O上的D點(diǎn)∴直線BD是⊙O的切線∴∠ODA＝∠A＝30°(等邊對(duì)等角)∴∠BOD＝∠A＋∠ODA＝60°O●ABCD∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90°ABODC3、已知：AB是⊙O的直徑，BC是⊙O切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：DC是⊙O的切線。BAEDCO如圖:⊙O的直徑AB=4,∠ABC=30°,BC=4,D是線段BC的中點(diǎn)。（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系（2)過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線3AB是⊙O的弦,C是⊙O外一點(diǎn),BC是⊙O的切線,AB交過C點(diǎn)的直徑于點(diǎn)D,OA⊥CD,試判斷△BCD的形狀,并說明你的理由.AB是⊙O的直徑,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)D,試判斷△AED的形狀,并說明理由.如圖，以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作半圓O，交斜邊于D,OE∥AC交AB于E求證：DE是⊙O的切線