2022高考數(shù)學大二輪 專題限時訓(xùn)練 第3講 與數(shù)列交匯的綜合問題 文

PAGEPAGE9第3講與數(shù)列交匯的綜合問題【選題明細表】知識點、方法題號數(shù)列與其他知識的綜合1、2、4、6、7、9創(chuàng)新信息題8、10與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題3、5、11一、選擇題1.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a2012=a2011+2a2010,且an·am=4a1,則6(1(A)23 (B)2 (C)4 (D)6解析:記數(shù)列{an}的公比為q,由題意知a2010q2=a2010q+2a2010,化簡得q2-q-2=0,所以q=-1(舍去)或q=2,又由已知條件anam=4a1,可得a12qm+n-2=16a12,所以2m+n-2=24,故m+n=6,所以6(1m+1n)=(m+n)(1m+1n)=2+nm+mn≥2.已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3,x≤7(A)[94,3) (B)(94,3解析:數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),則函數(shù)f(n)為增函數(shù),注意a8-6>(3-a)×7-3,所以a>13.(2011年高考湖北卷)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為(B)(A)1升 (B)6766升 (C)4744升 (D)解析:設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1,公差為d,則有a即4解得a1=1322,故第5節(jié)的容積為67664.一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù),它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列{an},若a3=8,且a1,a3,a7成等比數(shù)列,則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是(B)(A)13,12 (B)13,13 (C)12,13 (D)13,14解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),a3=8,a1a7=a(8-2d)(8+4d)=64,(4-d)(2+d)=8,2d-d2=0,又d≠0,故d=2,故樣本數(shù)據(jù)為:4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,平均數(shù)為S1010=(4+225.等比數(shù)列{an}的公比q>1,第17項的平方等于第24項,則使a1+a2+…+an>1a1+1a2+…(A)18 (B)19 (C)20 (D)21解析:由題意得(a1q16)2=a1q23,∴a1q9=1.由等比數(shù)列的性質(zhì)知,數(shù)列{1an}是以1a要使不等式成立,則須a1(q把a12=q得q-18(qn-1)>q(1-1qn),qn>q∵q>1,∴n>19,故所求正整數(shù)n的取值范圍是n≥20,故選C.6.已知正項等比數(shù)列{an}滿足:a7=a6+2a5,若存在兩項am,an,使得aman=4a1,則1(A)32 (B)53 (C)解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由a7=a6+2a5得a5q2=a5q+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2(舍去q=-1),則aman=a1∴1m+4n=（1m+4n)·(=56+2m3n+n6m≥5當且僅當2m3n=n6m時“即1m+4n的最小值為二、填空題7.滿足條件(x-3)2+解析:依題意得,曲線C是以點A(3,0)、B(-3,0)為端點的線段.結(jié)合圖形與題意知,在線段AB上的所有點中,到點(0,-4)的距離的最小值、最大值分別是4、5,因此有q>0,45≤q2≤54,由此解得2答案:[255,8.已知數(shù)列{an}滿足:an=logn+1(n+2),n∈N*,我們把使a1·a2·…·ak為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做數(shù)列{an}的理想數(shù).給出下列關(guān)于數(shù)列{an}的幾個結(jié)論:①數(shù)列{an}的最小理想數(shù)是2;②數(shù)列{an}的理想數(shù)k的形式可以表示為k=4n-2(n∈N*);③在區(qū)間(1,1000)內(nèi)數(shù)列{an}的所有理想數(shù)之和為1004;④對任意n∈N*,有an+1>an.其中正確結(jié)論的序號為.

解析:依題意得a1·a2·…·ak=log2(k+2)=m∈Z,k=2m-2,而k∈N*,則m≥2,m∈Z,因此數(shù)列{an}的最小理想數(shù)是2,①正確;數(shù)列{an}的理想數(shù)k的形式是k=2m-2(m≥2,m∈Z),②錯誤;注意到29=512,210=1024,在區(qū)間(1,1000)內(nèi)數(shù)列{an}的所有理想數(shù)之和等于(22-2)+(23-2)+…+(29-2)=22-2101-2-2×8=1004,③正確;注意到an+1an=logn+2(n+3)logn+1(n+2)=logn+2(n+1)·logn+2(n+3)≤[logn+2(n答案:①③三、解答題9.已知函數(shù)f(x)=12x2+32x,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)令bn=an2n-1(3)令cn=anan+1+an+1an,證明:2n<c1+c解:(1)∵點(n,Sn)在f(x)的圖象上,∴Sn=12n2+3當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n+1;當n=1時,a1=S1=2符合上式,∴an=n+1(n∈N*).(2)bn=an2nTn=b1+b2+…+bn=2+32+422+…+n12Tn=22+322+…+n①-②,得12Tn=2+12+122+…=（1+12+122+…+12n-=1-12n1-12+1-n∴Tn=6-n+32n-1(3)證明:由cn=anan+1+an+12n+1得c1+c2+…+cn>2n,又cn=n+1n+2+n+2n∴c1+c2+…+cn=2n+[(12-13]）+(13-14）+…+(=2n+12-1n+2∴2n<c1+c2+…+cn<2n+12成立.10.在平面直角坐標系上,設(shè)不等式組x>0y>0y≤-n(x-3)(n∈N(1)求a1,a2,a3并猜想an的表達式;(不必證明)(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{1Sn}的前n項和為Tn,求使不等式Tn+an>k17對一切n∈(3)設(shè)n∈N*,f(n)=an+2n是奇數(shù),a解:(1)當n=1時,D1為Rt△OAB1的內(nèi)部包括斜邊,這時a1=3;當n=2時,D2為Rt△OAB2的內(nèi)部包括斜邊,這時a2=6;當n=3時,D3為Rt△OAB3的內(nèi)部包括斜邊,這時a3=9;由此可猜想an=3n.(2)∵an=3n,∴數(shù)列{an}是首項為3,公差為3的等差數(shù)列,∴Sn=n(3+3n∵1Sn=23n(n+1)∴Tn=1S1+1S2=23[(1-12)+(12-13)+…+(=23(1-1n∴Tn+an=23[1-1n所以{Tn+an}單調(diào)遞增,(Tn+an)min=T1+a1=13+3=10由Tn+an>k17對一切n∈N*都成立得到(Tn+an)min=103>∴k<1703∴存在最大正整數(shù)k的值為56.(3)存在m∈N*,使f(m+15)=5f(m)成立.理由:f(n)=3①當m為奇數(shù)時,m+15為偶數(shù).由f(m+15)=5f(m),得3(m+15)+1=5(3m+2)求得m=3;②當m為偶數(shù)時,m+15為奇數(shù).由f(m+15)=5f(m),得3(m+15)+2=5(3m+1),求得m=72綜上存在m=3使得f(m+15)=5f(m)成立.11.2011年3月12日,因強震而出現(xiàn)故障的日本福島第一核電站發(fā)生爆炸,放射性物質(zhì)泄漏.據(jù)統(tǒng)計,該泄漏事件持續(xù)一個月,其中放射性物質(zhì)第n天泄漏量為xn,經(jīng)專家測算:x1=1,xn+1=3xn3+2xn2+xn.位于福島下游的武古城將受到放射性物質(zhì)的污染.第n天因水流對武古城的影響度為yn=11+2xn+3xn2,其中yn稱為水域影響度,且前n天水域影響度的乘積稱為“水域累積影響度Pn”.第n天空氣對武古城的影響度為z(1)求出P1、P2、S1、S2的值;(2)請?zhí)骄课涔懦堑木用袷欠裥枰D(zhuǎn)移,如果需要轉(zhuǎn)移,請求出需要轉(zhuǎn)移多少天,如果不需要轉(zhuǎn)移,請說明你的理由.解:(1)∵x1=1且xn+1=3xn3+2xn2∴x2=6,∵yn=11+2xn+3x∴y1=16,y2=1121,z1=56,z2∴P1=