2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)題型分類專項(xiàng)（離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征）練習(xí)(附答案)

2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)題型分類專項(xiàng)（離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征）練習(xí)

題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值

例1.（2022?遼寧?瓦房店市高級(jí)中學(xué)高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:

規(guī)律方法求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫(xiě)出分布列，一般分為四步：（1）確定X的可能取值；（2）計(jì)算出P（X

=k）；（3）寫(xiě)出分布列；（4）利用E（出的計(jì)算公式計(jì)算E（A）.

例2.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知甲盒子中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)臼球，

同時(shí)從甲，乙兩個(gè)盒子中取出，?個(gè)球進(jìn)行交換，交換后，分別記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)白次（i=L2）,則

（）

A.〃＜）=?（/）B.Eg）＜E（7）

C.￡?）=￡（%）D.E七）＜￡（%）

例3.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦

發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p（pr0）,發(fā)球次數(shù)為X,

若X的數(shù)學(xué)期望E（X）＞1.75,則p的取值范圍是（）

A-（*）B.導(dǎo)）C.陷D.

題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得。分，比賽進(jìn)

行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為"2，乙在每局中獲勝的概率為g1,

JJ

且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)4的期望為（)

241「266廠274C670

----B.-----C.-----D.-----

818181243

規(guī)律方法離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路

若給出的隨機(jī)變量y與X的關(guān)系為Y=aX+b,a,b為常數(shù)，一般思路是先求出E（X）,再利用公式E（aX

+6）=“E（㈤+6求￡（y）.也可以利用x的分布列得到y(tǒng)的分布列，關(guān)鍵是由x的取值計(jì)算y的取值，對(duì)應(yīng)

的概率相等，再由定義法求得E（y）.

例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為:

X124

P0.40.30.3

則E（5X+4）等于（）

A.15B.11

C.2.2D.2.3

例6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）林老師等概率地從1?3中抽取一個(gè)數(shù)字，記為X,葉老師等概率地從

1?5中抽取一個(gè)數(shù)字，記為Y,已知E（XT）="+2P2+…+15%，其中P*是XY=A的概率，其中1VZ415,

則E(XY)=()

A.3B.5C.6D.8

例7.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若X,丫是離散型隨機(jī)變量，且Y=aX+6,其中6為常數(shù)，則有

E（y）=aE（X）+b.利用這個(gè)公式計(jì)算E（E（X）-X）=（）

A.0B.1C.2D.不確定

題型三離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用

例8.（2022?廣東?佛山一中高三階段練習(xí)）某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項(xiàng)選擇題，每題設(shè)置了四個(gè)

選項(xiàng)/8CZ）,其中至少兩項(xiàng)、至多三項(xiàng)是符合題目要求的.在每題中，如果考生全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的

得0分，部分選對(duì)的得2分.小明同學(xué)參加考試時(shí)遇到一道這樣的多選題，他沒(méi)有能力判斷每個(gè)選項(xiàng)正確

與否，只能瞎猜.假設(shè)對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，正確或者錯(cuò)誤的概率均為g.

（1）寫(xiě)出正確選項(xiàng)的所有可能情況；如果小明隨便選2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，求出小明這道題能得5分的概率;

（2）從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來(lái)看，小明應(yīng)該只選一個(gè)選項(xiàng)？還是兩個(gè)選項(xiàng)？還是三個(gè)選項(xiàng)?

規(guī)律方法解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)，（1）把實(shí)際問(wèn)題概率模型化；（2）利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可

能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相應(yīng)均值.

例9.（2022?山東?日照青山學(xué)校高二期末）2020年12月4日，“直播帶貨”入選《咬文嚼字》2020年度十

大流行語(yǔ)，與電商直播相關(guān)的職業(yè)成了年輕人就業(yè)新選擇.有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品直播間，直播主持人的日

工資方案如下：甲直播間底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播間無(wú)底薪，80箱以內(nèi)（含80箱）

的部分直播主持人每箱抽成4元，超過(guò)80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.現(xiàn)從這兩家直播間各隨機(jī)選取

一名直播主持人，分別記錄其50天的售貨箱數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：

售貨箱數(shù)60708090100

甲直播間天

51510155

數(shù)

乙直播間天

51015128

數(shù)

（1）①?gòu)挠涗浖字辈ラg售貨的50天中隨機(jī)抽取3天，求這3天的售貨箱數(shù)都不小于80箱的概率；

②以樣本估計(jì)總體，視樣本頻率為概率，估計(jì)甲直播間主持人3天中至少有2天售貨箱數(shù)不小于80箱的

概率.

（2）假設(shè)同一個(gè)直播間的主持人一天的售貨箱數(shù)相同，將頻率視為概率，小張打算到甲、乙兩家直播間中

的一家應(yīng)聘主持人，如果從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家直播間應(yīng)聘？說(shuō)明你的理由.

例10.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）為了解決家長(zhǎng)接送孩子放學(xué)的問(wèn)題，教育部提出推行課后服務(wù)“5+2”模式，

即學(xué)校每周5天都要開(kāi)展課后服務(wù)，每天至少開(kāi)展2h,結(jié)束時(shí)間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r(shí)間相銜接，且不得利

用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序開(kāi)展，某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見(jiàn)征集，并

從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min,求另一份調(diào)查

表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)也超過(guò)200min的概率；

（2）為了進(jìn)?步了解課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)180min的人中分層抽取

10人，再?gòu)倪@10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)在［180,200）的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

題型四求離散型隨機(jī)變量的方差

例11.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球，從盒中

隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，取后不放回，直到藍(lán)球全部被取出為止，在這一過(guò)程中取球次數(shù)為4,則J的方差

。（力.

規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法

（1）已知分布列型（非兩點(diǎn)分布）：直接利用定義求解，先求均值，再求方差.

（2）已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式。（㈤=。（1一。）求解.

（3）未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成（1）中的情況.

例12.（2022?北京八中高二期末）隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,若尸（X=0）=/,EX=1,則。X=.

例13.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量彳的可能值123,且尸偌=l）=3p-l,尸偌=3）=l-p,則

0（。）的最大值為.

題型五方差的性質(zhì)的應(yīng)用

例14.（2022?遼寧?高一期末）已知樣本1+%，1+々，…，1+x,的平均數(shù)為5,方差為3,則樣本3+2國(guó)，

3+2々，…，3+2%的平均數(shù)與方差的和是

規(guī)律方法求隨機(jī)變量Y=aX+b方差的方法

求隨機(jī)變量y="x+b的方差，一種方法是先求丫的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是

應(yīng)用公式D（nX+/＞）=/〃（㈤求解.

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知入口8（3［）,且Y=—5X+2,則丫的方差為.

例16.（2022?重慶市蜀都中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量J的分布列如下表，34）表示f的方差，

則。3+1)=.

自012

j_

Pa\-2a

4

題型六均值與方差的綜合應(yīng)用

例17.（2022?廣東?佛山一中高三階段練習(xí)）某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項(xiàng)選擇題，每題設(shè)置了四

個(gè)選項(xiàng)N8CD,其中至少兩項(xiàng)、至多三項(xiàng)是符合題目要求的.在每題中，如果考生全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)

的得。分，部分選對(duì)的得2分.小明同學(xué)參加考試時(shí)遇到一道這樣的多選題，他沒(méi)有能力判斷每個(gè)選項(xiàng)正

確與否，只能瞎猜.假設(shè)對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，正確或者錯(cuò)誤的概率均為g.

（1）寫(xiě)出正確選項(xiàng)的所有可能情況；如果小明隨便選2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，求出小明這道題能得5分的概率；

（2）從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來(lái)看，小明應(yīng)該只選一個(gè)選項(xiàng)？還是兩個(gè)選項(xiàng)？還是三個(gè)選項(xiàng)？

規(guī)律方法（1）均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)

的，還需比較它們的取值的離散程度，即通過(guò)比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛?

（2）離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中所給出的條件，合理地

列出方程或方程組求解，同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式，簡(jiǎn)化問(wèn)題的解答過(guò)程.

例18.（2022?山東?日照青山學(xué)校高二期末）2020年12月4日，“直播帶貨”入選《咬文嚼字》2020年度

十大流行語(yǔ)，與電商直播相關(guān)的職業(yè)成了年輕人就業(yè)新選擇.有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品直播間，直播主持人的

日工資方案如下：甲直播間底薪100元，直播主持人每箱抽成3元：乙直播間無(wú)底薪，80箱以內(nèi)(含80箱)

的部分直播主持人每箱抽成4元，超過(guò)80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.現(xiàn)從這兩家直播間各隨機(jī)選取

一名直播主持人，分別記錄其50天的售貨箱數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：

售貨箱數(shù)60708090100

甲直播間天

51510155

數(shù)

乙直播間天

51015128

數(shù)

(1)①?gòu)挠涗浖字辈ラg售貨的50天中隨機(jī)抽取3天，求這3天的售貨箱數(shù)都不小于80箱的概率；

②以樣本估計(jì)總體，視樣本頻率為概率，估計(jì)甲直播間主持人3天中至少有2天售貨箱數(shù)不小于80箱的

概率.

(2)假設(shè)同一個(gè)直播間的主持人一天的售貨箱數(shù)相同，將頻率視為概率，小張打算到甲、乙兩家直播間中

的一家應(yīng)聘主持人，如果從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家直播間應(yīng)聘？說(shuō)明你的理由.

例19.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))為了解決家長(zhǎng)接送孩子放學(xué)的問(wèn)題，教育部提出推行課后服務(wù)“5+2”模式，

即學(xué)校每周5天都要開(kāi)展課后服務(wù)，每天至少開(kāi)展2h,結(jié)束時(shí)間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r(shí)間相銜接，且不得利

用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序開(kāi)展，某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見(jiàn)征集，并

從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min,求另一份調(diào)查

表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)也超過(guò)200min的概率；

(2)為了進(jìn)一步了解課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)180min的人中分層抽取

10人，再?gòu)倪@10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)在［180,200)的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

例20.(2022?山東?青島二中高三開(kāi)學(xué)考試)某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年

來(lái)的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后，擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：

每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員

工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額.

(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎(jiǎng)

勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大?。?/p>

(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬(wàn)元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案：第一方案是2張面

值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元.為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可

能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)問(wèn)選擇哪一種方案比較好？并說(shuō)明理由.

例21.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))2020年9月22日，中國(guó)政府在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上提出：“中國(guó)

將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)

取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫

室氣體的排放，助力碳中和.某校環(huán)保社團(tuán)為了解本校學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機(jī)抽取了

200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：假設(shè)每位學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨(dú)立.

高中部初中部

男生女生力:生女生

清楚1282424

不清楚28323834

（1）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率；

（2）從樣本高中部和初中部的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，以X表示這2人中清楚垃圾分類后處理方式的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

（3）從樣本中隨機(jī)抽取一名男生和一名女生，用表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“4=0”

表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式，用“〃=1”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“〃=0”表

示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式.直接寫(xiě)出方差。4和。〃的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

例22.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某財(cái)經(jīng)雜志發(fā)起一項(xiàng)調(diào)查，旨在預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景，隨機(jī)訪問(wèn)了100位業(yè)

內(nèi)人士，根據(jù)被訪問(wèn)者的問(wèn)卷得分（滿分10分）將經(jīng)濟(jì)前景預(yù)期劃分為三個(gè)等級(jí)（悲觀、尚可、樂(lè)觀）.分級(jí)

標(biāo)準(zhǔn)及這100位被訪問(wèn)者得分頻數(shù)分布情況如下:

經(jīng)濟(jì)前景等

悲觀尚可樂(lè)觀

級(jí)

1

問(wèn)卷得分4567

0

1121

頻數(shù)4

0947

假設(shè)被訪問(wèn)的每個(gè)人獨(dú)立完成問(wèn)卷(互不影響)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這100位人士的意見(jiàn)即可代表業(yè)內(nèi)人士意見(jiàn)，

且他們預(yù)測(cè)各等級(jí)的頻率可估計(jì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)各等級(jí)發(fā)生的可能性.

(1)該雜志記者又隨機(jī)訪問(wèn)了兩名業(yè)內(nèi)人士，試估計(jì)至少有一人預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“樂(lè)觀”的概率；

(2)某人有一筆資金，現(xiàn)有兩個(gè)備選的投資意向：物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目或人工智能項(xiàng)目，兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率

都與中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)有關(guān)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，大致關(guān)系如下(正數(shù)表示贏利，負(fù)數(shù)表示虧損)：

樂(lè)尚悲

經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)

觀可觀

-4

物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目年回報(bào)率(％)124

-2

人工智能項(xiàng)目年回報(bào)率(％)75

根據(jù)以上信息，請(qǐng)分別計(jì)算這兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率的期望與方差，并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)給出投資建議.

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量X的分布列為

X012

1￡

P

333

設(shè)y=2X+3,則。⑺等于（）

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則。（3X-1）的最大值為（）

X123

Pab2b~~a

A.,B.3

C.6D.5

3.（2022?浙江溫州?高三開(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X的分布列是:

X-101

]_

Pab

3

若E（X）=0,則O（X）=（）

A.0B.-C.1D.1

33

4.（2022?山東?廣饒一中高一階段練習(xí)）如果數(shù)據(jù)x/,電，…，X”的平均值為1方差為S2,則3制+2、

3打+2、…、3x〃+2的平均值和方差分別是（）

A.1和s?B.37+2和9s2

C.31+2和3s2D.3嚏+2和9s?+2

5.（2022?重慶?一模）通過(guò)核酸檢測(cè)可以初步判定被檢測(cè)者是否感染新冠病毒，檢測(cè)方式分為單檢和混檢.

單檢，是將一個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中單獨(dú)檢測(cè)；混檢，是將多個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管

中合為一個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)這多個(gè)人重新采集單管拭子，逐一進(jìn)行檢測(cè)，以確定

當(dāng)中的陽(yáng)性樣本.混檢按一個(gè)采樣管中放入的采集拭子個(gè)數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”

混檢等.調(diào)查研究顯示，在群體總陽(yáng)性率較低（低于0.1%）時(shí)，混檢能較大幅度地提高檢測(cè)效力、降低檢測(cè)

成本.根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市居民感染新冠病毒的概率為0.0005.若對(duì)該城市全體居民進(jìn)行核酸

檢測(cè),記采用“10合1”混檢方式共需檢測(cè)x次,采用“5合1”混檢方式共需檢測(cè)y次，已知當(dāng)0＜。＜0.001時(shí)，

（1-p）"=l-據(jù)此計(jì)算E（X）:E（y）的近似值為（）

A.；B."C.9D.2

227119

6.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）將3只小球放入3個(gè)盒子中，盒子的容量不限，且每個(gè)小球落入盒子的

概率相等.記X為分配后所剩空盒的個(gè)數(shù)，丫為分配后不空盒子的個(gè)數(shù)，則（）

A.E（X）=E（Y）,D[X）=D{Y）B.E（X）=E（Y）,

c.E（X）WE（Y）,o（x）=o（y）D.⑺,z）（x）wz＞（y）

1.（2022?浙江省義烏中學(xué)高三期末）隨機(jī)變量。的分布列如下表：

1a9

Pb\-2bb

其中1＜"9,0＜6＜；,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a=5,貝幅0＜6＜；時(shí)，E?隨b的增大而增大

B.若a=5,則當(dāng)0＜6＜；時(shí)，E4）隨人的增大而減小

C.若b=；,則當(dāng)。=5時(shí)，有最小值

D.若b=g,則當(dāng)。=5時(shí)，有最大值

8.（2022?河北?高三階段練習(xí)）小明參加某項(xiàng)測(cè)試，該測(cè)試一共3道試題，每道試題做對(duì)得5分，做錯(cuò)得

0分，沒(méi)有中間分，小明答對(duì)第1,2題的概率都是答對(duì)第3題的概率是：，則小明答完這3道題的得

分期望為（）

二、多選題

9.（2022?山東?模擬預(yù)測(cè)）己知〃?，〃均為正數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列如下表:

X012

Pmnm

則下列結(jié)論一定成立的是()

A.尸(X=l)<P(Xwl)B.￡(%)=1

C.mn<D.D^X+1)<1

10.（2022?廣東?梅州市梅縣區(qū)南口中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=3x+i,則下列結(jié)果正確的有（）

A.q=0.1B.E（X）=2,D（X）=L4

C.E（X）=2,O（X）=1.8D.E（Y）=7,O（y）=16.2

11.（2022?廣東肇慶?二模）已知甲盒中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙盒中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從乙盒

中隨機(jī)抽取i（i=l,2）個(gè)球放入甲盒中.放入i個(gè)球后，甲盒中含有黑球的個(gè)數(shù)記為x,（i=l,2）,現(xiàn)從甲盒中

取1個(gè)球是黑球的概率記為￡。=1,2）,則（）

〈

A.P\P[B.Pt>P2

C.￡（x2）<￡（%,）D.E（x2）>

12.（2022?江蘇海安?高三期末）一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，若出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2倍關(guān)系，則稱

這次拋擲“漂亮規(guī)定一次拋擲“漂亮”得分為3,否則得分為一1.若拋擲30次，記累計(jì)得分為《，則（）

A.拋擲一次，“漂亮”的概率為2

B.1=2時(shí),“漂亮”的次數(shù)必為8

C.E（J）=-10

三、填空題

13.（2022?吉林?東北師大附中高二期末）不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,…，8的八張

卡片.從中隨機(jī)取出3張.設(shè)X為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標(biāo)號(hào)為3,4,5,則

有兩組相鄰的標(biāo)號(hào)3、4和4、5,此時(shí)X的值是2）.則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=.

14.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）一袋中裝有分別標(biāo)記著1,2,3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)

球（每只小球被取到的可能性相同），現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中

標(biāo)號(hào)最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X,Y,設(shè)4=丫-牙，則E管）=.

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在羽毛球場(chǎng)進(jìn)行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概

率為P,乙勝的概率為1-p,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.當(dāng)比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局晶得比賽的概率

Q

為白.現(xiàn)甲、乙進(jìn)行7局比賽，采取7局4勝制，則甲獲勝時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望為

16.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)工期的影

響如下表：

X<30(300<%<70(700Kx<90(XN90(

降水量X

工期延誤天

02610

數(shù)Y

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0,7,0.9,則工期

延誤天數(shù)丫的方差為.

四、解答題

17.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）為響應(yīng)綠色出行，某市推出新能源租賃汽車.每次租車的收費(fèi)由兩部分組

成：①里程計(jì)費(fèi)：1元/公里；②時(shí)間計(jì)費(fèi)：0.12元/分.已知陳先生的家距離公司12公里，每天上下班租用

該款汽車各一次.一次路上開(kāi)車所用的時(shí)間記為/（分），現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了50次路上開(kāi)車所用時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)頻

數(shù)分布情況如下表所示.

時(shí)間t[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

（分）

次數(shù)122882

將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，一次路上開(kāi)車所用的時(shí)間視為用車時(shí)間，范圍為［20,60）.

（1）估計(jì)陳先生一次租用新能源汽車所用的時(shí)間不低于30分鐘的概率；

（2）求陳先生一次路上開(kāi)車所用的時(shí)間f（分）的分布列和數(shù)學(xué)期望（同一區(qū)間內(nèi)的值都看作該區(qū)間的中點(diǎn)

值）；

（3）若公司每月發(fā)放800元的交通補(bǔ)助，請(qǐng)估計(jì)是否足夠陳先生一個(gè)月上下班租用新能源汽車（每月按22

天計(jì)算），并說(shuō)明理由.

18.（2022?四川?高三階段練習(xí)（理））云南是我國(guó)野生菌菇資源豐富的省份，共有250多種可食用菌.每

年雨季，許多云南的當(dāng)?shù)鼐用癖氵M(jìn)山采菇拿到菌菇市場(chǎng)售賣.若某市場(chǎng)調(diào)研員跟蹤調(diào)查某居民每天的采菇

數(shù)量（單位：千克）及當(dāng)天所采菌菇平均售價(jià)（元/千克），得到如下概率分布表：

11

采菇數(shù)量（千克）56菌菇平均售價(jià)（元/千克）

5080

0000

概率概率

.6.4.8.2

假設(shè)該居民每天的采菇數(shù)量與每天的菌菇平均售價(jià)相互獨(dú)立.

（1）記該居民采菇一天所獲得的收入為X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）求該居民連續(xù)采菇三天所獲得的總收入不少于2500元的概率（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）.參考數(shù)

據(jù)：0.482*0.23,0.483?0.11.

19.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))2022年7月，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教

育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》(簡(jiǎn)稱‘‘雙減"政策).某校為了落實(shí)“雙減”政策，安排了25名

教師參與課后服務(wù)工作，在某個(gè)星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

O2345次數(shù)

(1)求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；

(2)從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕對(duì)值為X,求X的分布列

與數(shù)學(xué)期望.

20.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某商店計(jì)劃七月份訂購(gòu)某種飲品，進(jìn)貨成本為每瓶2元，未售出的飲品降價(jià)

處理，以每瓶1元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.依經(jīng)驗(yàn)，零售價(jià)與日需求量依據(jù)當(dāng)天的溫度而定，當(dāng)氣溫T235°C

時(shí)，零售價(jià)為每瓶5元，日需求量為300瓶；當(dāng)3(TCVT<35"C時(shí)，零售價(jià)為每瓶4元，日需求量為200瓶；

當(dāng)7<30℃時(shí)，零售價(jià)為每瓶3元，日需求量為100瓶.已知七月份每天氣溫7235(的概率為0.6,

30°C<T<35"C的概率為0.2,T<30℃的概率為0.2.

(1)求七月份這種飲品一天的平均需求量；

(2)若七月份某連續(xù)三天每天的氣溫均不低于3(rc,求這三天銷售這種飲品的總利潤(rùn)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

21.(2022?安徽?安慶一中高三期末(理))1971年“乒乓外交”翻開(kāi)了中美關(guān)系的新篇章，2022年休斯頓

世乒賽中美兩國(guó)選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊(yùn)含的友誼、尊重、合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延

得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來(lái)，乒乓球運(yùn)動(dòng)也成為國(guó)內(nèi)民眾喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)之一，今有小王、小張、小

馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場(chǎng)比賽，另一人做裁判，敗者下場(chǎng)做裁判，另兩人上場(chǎng)比賽，

依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王、小張先上場(chǎng)比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)比賽：小王與小張比

2iI

賽小王獲勝的概率為2,小馬與小張比賽小張獲勝的概率為:，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為:.

Sz3

(1)比賽完3局時(shí)，求三人各勝1局的概率；

(2)比賽完4局時(shí)，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X,求X的分布列和期望.

22.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))甲、乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù).已知本次比賽的主

辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場(chǎng)，則先贏4場(chǎng)者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無(wú)人先

贏4場(chǎng)且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.已知每場(chǎng)

比賽甲贏的概率為p(0<p<l),乙贏的概率為l-p,且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.

(1)當(dāng)P=g時(shí)，假設(shè)比賽不會(huì)意外終止，記比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量匕求丫的分布列：

(2)當(dāng)p時(shí)，若已進(jìn)行了5場(chǎng)比賽，其中甲贏了3場(chǎng)，乙贏了2場(chǎng)，此時(shí)比賽因意外終止，主辦方

決定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得的獎(jiǎng)金金額；

(3)規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可

能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽pw1,且在已進(jìn)行的3場(chǎng)比賽中甲贏2場(chǎng)、乙贏1場(chǎng),

請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說(shuō)明理由.

答案解析

題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值

例1.(2022?遼寧?瓦房店市高級(jí)中學(xué)高二期末)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:

X123

1]_

P

333

則數(shù)學(xué)期望鳳X)=()

A.-B.vC.1D.2

33

【參考答案】D

【答案解析】

【名師分析】

利用已知條件，結(jié)合期望公式求解即可.

【詳解】

解：由題意可知：￡(A1)=lx—+2xy+3x^=2.

故選：D.

規(guī)律方法求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫(xiě)出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計(jì)算出P(X

=k)；(3)寫(xiě)出分布列：(4)利用雙㈤的計(jì)算公式計(jì)算E(㈤.

例2.(2022?浙江?高三專題練習(xí))已知甲盒子中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，

同時(shí)從甲，乙兩個(gè)盒子中取出，?個(gè)球進(jìn)行交換，交換后，分別記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)。聞［=1,2),則

()

A.E值)=Eg)B.Eg)<Eg)

C.后值)=儀%)D.

【參考答案】C

【答案解析】

【名師分析】

分i=l和，=2兩種情況分別去求數(shù)學(xué)期望，再進(jìn)行比較即可解決.

【詳解】

交換后，記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)白,%（，=L2）,

當(dāng)i=l時(shí)，4=4,3,2,7=321

rlcl71

尸佃=4）=尸（/=1）=涼蘇三

c；c；+CC_8_1

尸信=3）=P（7=2）=

C：C：162

P夠=2）=P（7=3）=||^=A3

L4L41o8

11ali11aq

則E脩）=4xs+3x不+2x^=w，￡（^）=1X-+2XT+3X-=-

oZOoZo14

則E⑻〉Eg）.選項(xiàng)AB均判斷錯(cuò)誤;

當(dāng)i=2時(shí)，$=4,3,24,72=4,3,2,1

P（^=4）=P（72=l）=-^-=^=^

C4c43612

C\C\C'+CjC}_15_5

P?=3）=P（%=2）2

Cjci-36~12

C；C；+C；C；C；_15_5

尸（芻=2）=尸（%=3）=

區(qū)-36-12

C3C2_3_1

尸（42=1）=尸（%=4）=

C\C}-36-12

則E（g2）=4x-!-+3x』+2xa+lx-J-=2

v27121212122

L/一1c5r5yli5

v27121212122

即E（&）=E（%）=，

則選項(xiàng)C判斷正確；選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.

故選：C

例3.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦

發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p（p和），發(fā)球次數(shù)為X,

若X的數(shù)學(xué)期望￡（X）>1.75,則P的取值范圍是（）

A.*B.C.°4D.

【參考答案】c

【答案解析】

【名師分析】

根據(jù)題意，首先求出x=l、2、3時(shí)的概率，進(jìn)而可得EX的表達(dá)式，由題意EX>1.75,可得p?-3p+3>

1.75,解可得p的范圍，結(jié)合p的實(shí)際意義，對(duì)求得的范圍可得參考答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，學(xué)生發(fā)球次數(shù)為1即一次發(fā)球成功的概率為p,即P(X=1)=p,

發(fā)球次數(shù)為2即二次發(fā)球成功的概率尸(X=2)=p(1-p),

發(fā)球次數(shù)為3的概率P(X=3)=(1-p)2,

貝ijEx=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,

依題意有EX>1.75,則/-3p+3>i.75,

解可得，或

結(jié)合p的實(shí)際意義，可得OVp<[即”(0,y)

故選：C.

題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)

例4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得。分，比賽進(jìn)

行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為彳2，乙在每局中獲勝的概率為1

且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)4的期望E(J)為()

241-266八274八670

818181243

【參考答案】B

【答案解析】

【名師分析】

設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，若該輪結(jié)束比賽停止則某一方連贏兩局，概率為qr+q)2=]；若比賽繼續(xù)，則

4

甲、乙各得一分，概率為1,且對(duì)下一輪比賽是否停止無(wú)影響.由此可計(jì)算《為2,4的概率，J為6時(shí)，可

能被迫中止，只需計(jì)算前兩輪比賽不停止的概率即可.

【詳解】

解：依題意知，《的所有可能值為2,4,6,

715

設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為0）2+（?2=1.

若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停

止沒(méi)有影響.

從而有叱=2）［,四=4）=（和衿條

4為6時(shí)，即前兩輪比賽不分輸贏，繼續(xù)比第二輪

4,16

P(^=6)=(-)2

8?

266

,*tfc￡^=2x-+4x—+6x—

981817T

故選：B

規(guī)律方法離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路

若給出的隨機(jī)變量丫與X的關(guān)系為Y^aX+b,a,b為常數(shù)，一般思路是先求出E（X）,再利用公式E（aX

+與="￡（出+6求E（y）.也可以利用x的分布列得到y(tǒng)的分布列，關(guān)鍵是由x的取值計(jì)算丫的取值，對(duì)應(yīng)

的概率相等，再由定義法求得E（X）.

例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為:

X124

P0.40.30.3

則E（5X+4）等于（）

A.15B.11

C.2.2D.2.3

【參考答案】A

【答案解析】

【名師分析】

利用期望的公式求得E（X）,根據(jù)E（5X+4）=5E（X）+4,即可求解.

【詳解】

由隨機(jī)變量X的分布列，可得期望E（X）=1x0.4+2x0.3+4x0.3=2.2,

所以E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.

故選：A.

例6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))林老師等概率地從1?3中抽取一個(gè)數(shù)字，記為X,葉老師等概率地從

1?5中抽取一個(gè)數(shù)字，記為匕已知E(XX)=P1+2P2+…+1545,其中?！晔谴?%的概率，其中”左415,

則E(XX)=()

A.3B.5C.6D.8

【參考答案】C

【答案解析】

【名師分析】

首先求出E(x)、￡(r),再根據(jù)X與丫相互獨(dú)立，即可得到E(xy)=E(x)xE(y)計(jì)算可得；

【詳解】

解：依題意尸(x=1)=尸(x=2)=尸(x=3)=；,=1)=p(y=2)=尸(y=3)=p(y=4)=尸(y=5)=(,

所以E(X)=lx，+2x，+3x1=2,E(y)=lx」+2x，+3xl+4x，+5xL=3,因?yàn)閄與丫相互獨(dú)立，所以

33355555

￡(AT)=E(A,)x￡(y)=6

故選：C

例7.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若X,丫是離散型隨機(jī)變量，HY=aX+b,其中。，b為常數(shù)，則有

￡(Y)=aE(X)+6.利用這個(gè)公式計(jì)算E(E(X)-X)=()

A.0B.1C.2D.不確定

【參考答案】A

【答案解析】

【名師分析】

由期望的運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】

???E(X)是常數(shù)，，E(E(X)—X)=E(X)+E(-X)=E(X)-E(X)=0.

故選：A.

題型三離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用

例8.(2022?廣東?佛山一中高三階段練習(xí))某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項(xiàng)選擇題，每題設(shè)置了四個(gè)

選項(xiàng)其中至少兩項(xiàng)、至多三項(xiàng)是符合題目要求的.在每題中，如果考生全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的

得0分，部分選對(duì)的得2分.小明同學(xué)參加考試時(shí)遇到一道這樣的多選題，他沒(méi)有能力判斷每個(gè)選項(xiàng)正確

與否，只能瞎猜.假設(shè)對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，正確或者錯(cuò)誤的概率均為1.

(1)寫(xiě)出正確選項(xiàng)的所有可能情況；如果小明隨便選2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，求出小明這道題能得5分的概率：

(2)從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來(lái)看，小明應(yīng)該只選一個(gè)選項(xiàng)？還是兩個(gè)選項(xiàng)？還是三個(gè)選項(xiàng)？

【參考答案】(1)5;

(2)只選一個(gè)選項(xiàng).

【答案解析】

【名師分析】

(1)根據(jù)給定條件寫(xiě)出由兩項(xiàng)或三項(xiàng)組成的所有結(jié)果，再由古典概率公式計(jì)算作答.

(2)分別求出只選一個(gè)選項(xiàng)、選兩個(gè)選項(xiàng)、選三個(gè)選項(xiàng)的條件下得分的期望，比較大小作答.

(1)

依題意，對(duì)于這道多選題，可能的正確參考答案力8,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD

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