線性代數(shù)PPT（高職）全套完整教學(xué)課件

線性代數(shù)1第1章行列式2第2章矩陣3第3章線性方程組4第4章相似矩陣及二次型5第5章向量空間及線性變換第一節(jié)行列式的定義第二節(jié)行列式的性質(zhì)及計算第三節(jié)克拉默法則第一章行列式

1.行列式的定義。

2.行列式的基本性質(zhì)。

3.行列式的計算方法。

4.行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用。學(xué)習(xí)重點第一章行列式行列式這個概念究竟是如何形成的呢?這就得從求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等的一次(線性)方程組入手.解得

如果把線性方程組中未知量x1，x2的系數(shù)按原來的位置寫成兩行兩列的數(shù)表，并用兩根豎線加以標(biāo)出，那么，便得到一個二階行列式，對此除引入字母D作為記號外，還規(guī)定：一、二階和三階行列式第一節(jié)行列式的定義式最右邊的式子稱為二階行列式D的展開式.三階行列式也是在規(guī)定運算下的一個數(shù)值，它可轉(zhuǎn)化為二階行列式再計算得到.對于未知數(shù)個數(shù)等于方程個數(shù)的二元、三元線性方程組，當(dāng)它們的系數(shù)行列式不等于零時，利用行列式這一工具求解十分簡便，結(jié)果也容易記憶.因此我們想到：對于未知數(shù)的個數(shù)等于方程的個數(shù)的n(n>3)元線性方程組，是否也有類似的結(jié)果?這就需要引入n(n>3)階行列式的定義.一、二階和三階行列式第一節(jié)行列式的定義定義1由n2個元素aij(i,j=1，2，…，n)組成的記號二、n階行列式的定義第一節(jié)行列式的定義稱為n階行列式，其中橫排稱為行，豎排稱為列.二、n階行列式的定義第一節(jié)行列式的定義定義2在n階行列式D中,劃去元素aij所在第i行、第j列的元素，剩余元素按原順序組成的一個n-1階行列式，稱為aij的余子式，記為Mij.在Mij前乘上（-1）i+j,稱為aij的代數(shù)余子式，記為Aij=(-1)i+jMij.定理行列式D等于它的任意一行（列）所有元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和.設(shè)D的第i行元素ai1,ai2,…,ain對應(yīng)的代數(shù)余子式分別是Ai1，Ai2，…，Ain,則二、n階行列式的定義第一節(jié)行列式的定義的行列式分別稱為上三角行列式與下三角行列式，其特點是主對角線以下(上)的元素全為零.三、幾個常用的特殊行列式第一節(jié)行列式的定義一、行列式的性質(zhì)

第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計算性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.由性質(zhì)1可知，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質(zhì)，它的列同樣具有.性質(zhì)2交換行列式的兩行(列)，行列式變號.一、行列式的性質(zhì)

第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計算推論1若行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則此行列式為零.性質(zhì)3用數(shù)k乘行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘此行列式.推論2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論3行列式中若有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零.一、行列式的性質(zhì)

第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計算

性質(zhì)4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,則此行列式可以寫成兩個行列式之和.這兩個行列式分別以這兩個數(shù)為所在行(列)對應(yīng)位置的元素,其他位置的元素與原行列式相同.

性質(zhì)5將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.二、利用“三角化”計算行列式

第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計算計算行列式時，常用行列式的性質(zhì)，把它轉(zhuǎn)化為三角行列式來計算.例如，化為上三角行列式的步驟是：如果第一列第一個元素為0，先將第一行與其他行交換，使得第一列第一個元素不為0，然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除第一個元素外其余元素全為0；再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式；如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角行列式，這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.二、利用“三角化”計算行列式

第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計算此外，在行列式的計算中，還將行列式的性質(zhì)與行列式按行(列)展開的方法結(jié)合起來使用.一般可先用行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)化為僅含有一個非零元素，再將行列式按此行(列)展開，化為低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為二階行列式為止.按行(列)展開計算行列式的方法稱為降階法.

第三節(jié)克拉默法則含有n個未知數(shù)x1，x2，…，xn的線性方程組稱為n元線性方程組.當(dāng)其右端的常數(shù)項b1，b2，…，bn不全為零時，線性方程組稱為非齊次線性方程組，當(dāng)b1，b2，…，bn全為零時，線性方程組稱為齊次線性方程組.

第三節(jié)克拉默法則

定理1(克拉默法則)若線性方程組(1.9)的系數(shù)行列式D≠0，則線性方程組(1.9)有唯一解，其解為其中Dj(j=1，2，…，n)是把D中第j列元素a1j，a2j，…，anj相應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項b1，b2，…,bn,而其余各列保持不變所得到的行列式.

第三節(jié)克拉默法則

定理2如果線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則線性方程組(1.9)一定有解，且解是唯一的.

定理2′如果線性方程組無解或解不是唯一的，則它的系數(shù)行列式必為零.

定理3如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則齊次線性方程組只有零解.

定理3′如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D=0.謝謝觀看線性代數(shù)第一節(jié)矩陣及其運算第二節(jié)逆矩陣第三節(jié)分塊矩陣第四節(jié)矩陣的秩第二章

矩陣第五節(jié)初等矩陣

1.矩陣的概念。

2.矩陣的運算。

3.逆矩陣的概念。

4.初等矩陣的概念。學(xué)習(xí)重點

第二章矩陣

定義1由m×n個數(shù)aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成的m行n列，并用方括號括起來的矩形數(shù)表，稱為m×n矩陣，記作一、矩陣的概念第一節(jié)矩陣及其運算

橫的各排稱為矩陣的行，縱的各排稱為矩陣的列，aij稱為此矩陣的第i行第j列的元素.通常用大寫黑體字母A，B，C等表示矩陣，有時為了標(biāo)明一個矩陣的行數(shù)和列數(shù)，用Am×n或A=(aij)m×n表示一個m行n列的矩陣.(1)當(dāng)m=n時，矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣.(2)當(dāng)m=1時，矩陣A稱為行矩陣，此時A=(a11,a12,…,a1n).(3)當(dāng)n=1時，矩陣A稱為列矩陣，此時一、矩陣的概念第一節(jié)矩陣及其運算(4)當(dāng)所有的aij=0(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)時，矩陣A稱為零矩陣，一般記為Om×n或O.

(5)n階矩陣中，主對角線（從左上角到右下角）以外元素皆為零的方陣一、矩陣的概念第一節(jié)矩陣及其運算稱為n階對角矩陣.(6)主對角線上元素皆為1的n階對角矩陣稱為n階單位矩陣，簡記為E或En.(7)主對角線下（上）方元素皆為零的n階矩陣一、矩陣的概念第一節(jié)矩陣及其運算稱為上（下）三角矩陣.

定義2

若矩陣A和矩陣B的行數(shù)、列數(shù)分別相等，則稱A，B為同型矩陣.

定義3

若矩陣A=(aij)和矩陣B=(bij)為同型矩陣，并且對應(yīng)的元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B.一、矩陣的概念第一節(jié)矩陣及其運算

定義4

設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n為同型矩陣，把矩陣A，B對應(yīng)元素相加得到新的矩陣C，則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的和，記為C=A+B，即二、矩陣的加法第一節(jié)矩陣及其運算矩陣的加法具有以下運算律(設(shè)A，B，C都是m×n矩陣)：(1)交換律：A+B=B+A;(2)結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C.其特例為O+A=A+O=A.

定義5

設(shè)A=(aij)，則(-aij)稱為A的負(fù)矩陣，記為-A，即二、矩陣的加法第一節(jié)矩陣及其運算

定義6

設(shè)A=(aij)，B=(bij)，且A，B為同型矩陣，則二、矩陣的加法第一節(jié)矩陣及其運算

定義7

記數(shù)k乘矩陣Am×n是一個矩陣Cm×n，其定義為三、數(shù)與矩陣的乘法第一節(jié)矩陣及其運算它是用數(shù)k乘矩陣Am×n的每一個元素所得的矩陣，稱為數(shù)k與矩陣Am×n的乘法，簡稱數(shù)乘.數(shù)乘矩陣具有以下運算律(設(shè)A，B都是m×n矩陣，k，l是任意常數(shù))：(1)分配律：k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA;(2)結(jié)合律：(kl)A=k(lA)=l(kA);(3)0·A=O,1·A=A，(-1)A=-A.

定義8

設(shè)四、矩陣與矩陣的乘法第一節(jié)矩陣及其運算矩陣A與矩陣B的乘積記作AB，規(guī)定為矩陣的乘法滿足下列運算規(guī)律(假定運算都是可行的)：(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).矩陣的乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA.

定義9如果兩矩陣相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換,簡稱A與B可換.四、矩陣與矩陣的乘法第一節(jié)矩陣及其運算

定義10

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A′.五、矩陣的轉(zhuǎn)置第一節(jié)矩陣及其運算矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運算規(guī)律(假設(shè)運算都是可行的)：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；(4)(AB)T=BTAT.

定義11設(shè)方陣A=(aij)n×n，規(guī)定A0=E，Ak=A·A·…·A共k個(k為正整數(shù)).Ak稱為A的k次冪.方陣的冪滿足以下運算規(guī)律：(1)AmAn=Am+n(m，n為非負(fù)整數(shù))；(2)(Am)n=Amn.六、方陣的冪第一節(jié)矩陣及其運算定義12由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變)，稱為方陣A的行列式，記作|A|或detA.方陣A的行列式det(A)滿足以下運算規(guī)律(設(shè)A，B為n階方陣，k為常數(shù))：(1)det(AT)=det(A)；(2)det(kA)=kndet(A)；(3)det(AB)=det(A)det(B).七、方陣的行列式第一節(jié)矩陣及其運算

定義13設(shè)A為n階方陣，如果AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，則稱A為對稱矩陣.顯然，對稱矩陣A的元素關(guān)于主對角線對稱.八、對稱矩陣第一節(jié)矩陣及其運算

定義14設(shè)A=(aij)為復(fù)(數(shù))矩陣，記A=(aij)，其中aij為aij的共軛復(fù)數(shù)，稱A為A的共軛矩陣.共軛矩陣滿足以下運算規(guī)律(設(shè)A，B為復(fù)矩陣，λ為復(fù)數(shù)，且運算都是可行的)：(1)A+B=A+B；(2)λA=λA；(3)AB=AB；(4)(AT)=(A)T.九、共軛矩陣第一節(jié)矩陣及其運算

定義1對于n階矩陣A，如果存在一個n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A為可逆矩陣，而矩陣B稱為A的逆矩陣.命題若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的.

定義2如果n階矩陣A的行列式|A|≠0，則稱A為非奇異的，否則稱A為奇異的.一、逆矩陣的概念

第二節(jié)逆矩陣

定義3

行列式|A|的各個元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的矩陣二、伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系

第二節(jié)逆矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.它是將A的每個元素?fù)Q成其對應(yīng)的代數(shù)余子式，然后轉(zhuǎn)置得到的.

定理

n階矩陣A可逆的充分必要條件是其行列式|A|≠0，且當(dāng)A可逆時，有二、伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系

第二節(jié)逆矩陣其中A*是A的伴隨矩陣.推論若方陣A、B滿足AB=E(或BA=E)，則B=A-1.有了逆矩陣的概念，我們就可以來討論矩陣方程AX=B的求解問題了.事實上，如果A可逆，則A-1存在，用A-1左乘上式兩端，得X=A-1B.同理，對矩陣方程XA=B(A可逆)，AXB=C(A，B均可逆)，利用矩陣乘法的運算規(guī)律和逆矩陣的運算性質(zhì)，通過在方程兩邊左乘或右乘相應(yīng)矩陣的逆矩陣，可求出其解分別為X=BA-1，X=A-1CB-1.三、矩陣方程

第二節(jié)逆矩陣將大矩陣A用若干條縱線和橫線分成多個小矩陣.每個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.矩陣的分塊有多種方式，可根據(jù)具體需要而定.一、分塊矩陣的概念

第三節(jié)分塊矩陣

分塊矩陣的運算與普通矩陣的運算規(guī)則相似，分塊時要注意，運算的兩矩陣按塊可以運算，并且參與運算的子塊也可以運算，即內(nèi)外都可以運算.(1)加法運算：設(shè)矩陣A與矩陣B是同型矩陣，如果采用同樣的方式分塊，分塊矩陣A與B相加，只需要把對應(yīng)的子矩陣相加即可.不過，A與B的分塊結(jié)構(gòu)要一樣.(2)數(shù)乘運算：設(shè)A是一個分塊矩陣，k為一實數(shù)，則kA的每個子塊是k與A中對應(yīng)子塊的數(shù)乘.(3)乘法運算：兩分塊矩陣A與B的乘積依然按照普通矩陣的乘積進行運算，即把矩陣A與B中的子塊當(dāng)作數(shù)量一樣來對待，但對于乘積AB，A的列的劃分必須與B的行的劃分一致.二、分塊矩陣的運算

第三節(jié)分塊矩陣若矩陣A的分塊矩陣具有以下形式：三、分塊對角矩陣的運算

第三節(jié)分塊矩陣其特點是不在主對角線上的子塊都是零矩陣，而主對角線上的子塊均為方陣，這樣的矩陣稱為分塊對角矩陣，其運算可以化為對其主對角線上子塊的運算.定義1在m×n矩陣A中，任取k行k列(1≤k≤min{m，n})，位于這些行列相交處的元素按原順序構(gòu)成k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.

定義2矩陣A中不為零的子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為r(A).零矩陣的秩規(guī)定為0.一、矩陣的秩的概念

第四節(jié)矩陣的秩由定義及例題可以得到以下結(jié)論：(1)當(dāng)且僅當(dāng)A是零矩陣時，r(A)=0；(2)若A至少有一個r階子式不為零，而所有(r+1)階子式全為零，則r(A)=r；(3)對任意m×n矩陣A，有0≤r(A)≤min{m,n}，r(AT)=r(A)，r(kA)=r(A),k≠0；(4)對n階方陣A，若|A|=0，則r(A)<n；若|A|≠0，則r(A)=n.稱r(A)=n的n階方陣A為滿秩矩陣，r(A)<n的n階方陣A稱為降秩矩陣，因此n階方陣A可逆的充分必要條件是A滿秩［r(A)=n］.一、矩陣的秩的概念

第四節(jié)矩陣的秩

定義3

對矩陣的行實施下述三種變換：(1)交換i，j兩行的位置(i≠j)；(2)用非零數(shù)k乘第i行的所有元素；(3)將第j行所有元素的k倍加到第i行的對應(yīng)元素上去.這三種變換稱為矩陣的初等行變換，分別用記號rirj，ri×k，ri+krj表示.相應(yīng)地，對矩陣的列實施對應(yīng)的三種變換，稱為矩陣的初等列變換，分別用記號cicj，ci×k，ci+kcj表示.矩陣的初等行、列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定理初等變換不改變矩陣的秩.二、用初等變換求矩陣的秩

第四節(jié)矩陣的秩

定義單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣.對應(yīng)于三種初等變換，初等矩陣也有三種.(1)將E的第i，j行互換，記為一、初等矩陣的概念

第五節(jié)初等矩陣(2)將E的第i行乘以非零數(shù)k，記為一、初等矩陣的概念

第五節(jié)初等矩陣(3)將E的第j行的k倍加到第i行，記為一、初等矩陣的概念

第五節(jié)初等矩陣

定理1設(shè)m×n矩陣A，對A實施一次初等行變換就相當(dāng)于對A左乘一相應(yīng)的m階行初等矩陣；對A實施一次初等列變換，就相當(dāng)于對A右乘一相應(yīng)的n階列初等矩陣，即RijA——將A的i，j行對換.Ri(k)A——用非零數(shù)k乘A的第i行的所有元素.Rij(k)A——將A的j行的k倍加到i行上.ACij——將A的i，j列對換.ACi(k)——用非零數(shù)k乘A的第i列的所有元素.ACij(k)——將A的j列的k倍加到i列上.一、初等矩陣的概念

第五節(jié)初等矩陣

推論1

秩為r的矩陣A，必存在可逆矩陣P，Q使PAQ為標(biāo)準(zhǔn)形.

推論2

設(shè)A為m×n矩陣，P，Q分別為m階，n階可逆矩陣，則r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A).

推論3

矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)A可表示成有限個初等矩陣的乘積.一、初等矩陣的概念

第五節(jié)初等矩陣設(shè)方陣A可逆，則A-1亦可逆，由推論3，設(shè)A-1=P1P2…Pr，其中Pi(i=1，2，…，r)為初等矩陣，將其代入A-1A=E及A-1E=A-1,有P1P2…Pr·A=E，P1P2…Pr·E=A-1.上面式子表示A經(jīng)一系列初等行變換化為單位矩陣E時，相同的初等行變換就把E化為A的逆矩陣A-1，即(A|E)初等行變換(E|A-1).這給出了用初等行變換求逆矩陣的方法.二、初等變換求逆法

第五節(jié)初等矩陣

定理2

兩矩陣的乘積的秩不大于各因子矩陣的秩.設(shè)m×k矩陣A和k×n矩陣B，則有r(AB)≤min{r(A),r(B)}.

定理3

兩矩陣和的秩不大于兩矩陣秩的和，即r(A+B)≤r(A)+r(B).三、有關(guān)矩陣的秩的一些定理

第五節(jié)初等矩陣謝謝觀看線性代數(shù)第一節(jié)高斯消元法第二節(jié)線性方程組的相容性定理第三節(jié)向量組的線性組合第四節(jié)向量組的線性相關(guān)性第三章

線性方程組第五節(jié)向量組的秩第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1.線性方程組的解法。

2.線性方程組解的存在性。

3.線性方程組解的結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)重點

第三章線性方程組設(shè)有線性方程組第一節(jié)高斯消元法其中系數(shù)aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)、常數(shù)項bi(i=1，2，…，m)都是已知數(shù)，xj(j=1，2，…，n)是未知數(shù).當(dāng)bi(i=1，2，…，m)不全為零時，稱方程組為非齊次線性方程組

當(dāng)bi(i=1，2，…，m)全為零時，即第一節(jié)高斯消元法稱為齊次線性方程組.

線性方程組的矩陣表達式為Ax=b.其中第一節(jié)高斯消元法

矩陣A稱為線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣，x稱為未知數(shù)矩陣，b稱為常數(shù)項矩陣.將矩陣［A┆b］，即第一節(jié)高斯消元法稱為線性方程組的增廣矩陣,有時記為A.顯然，增廣矩陣包含了線性方程組的全部信息.一般的線性方程組的求解問題都從增廣矩陣入手.

定理若將增廣矩陣［A┆b］用初等行變換化為［S┆t］，則Ax=b與Sx=t是同解方程組.

為了求方程組的解，運用定理，我們用初等行變換把增廣矩陣［A┆b］化簡.由第2章知，通過初等行變換總能把［A┆b］化為階梯形矩陣，再利用階梯形矩陣所表達的方程組求出解.由于兩者為同解方程組，所以也就得到原方程組的解.這個方法稱為高斯消元法.第一節(jié)高斯消元法在用高斯消元法解線性方程組的過程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣后，得到相應(yīng)的階梯形方程組，并用回代的方法來求解.其實，回代的過程也可用矩陣表示出來，這個過程實際上就是對階梯形矩陣進一步化簡，使其最終化成一種特殊的矩陣，從這種矩陣中可直接解出方程的解.我們稱這種特殊的矩陣為行簡化矩陣，下面給出其定義.

定義滿足下列兩個條件的階梯形矩陣稱為行簡化階梯形矩陣：(1)各個非零行的首非零元(即非零行的第1個不為零的元素)都是1；(2)所有首非零元所在列的其余元素都是0.第一節(jié)高斯消元法解線性方程組的高斯消元法的一般步驟：(1)將線性方程組的增廣矩陣［A┆b］，通過初等行變換化為行簡化階梯形矩陣；將行簡化階梯形矩陣首非零元所在列的未知數(shù)稱為基本未知數(shù)（元），設(shè)為r個，其余未知數(shù)稱為自由未知數(shù)（元），共有n-r個(n是未知數(shù)的個數(shù)).(2)求行簡化階梯形矩陣所對應(yīng)的線性方程組的解，把此方程組含有自由元的項移至方程右端.得到用自由元表達的基本元，這就是方程組的一般解.(3)為得到所有解的矩陣形式，可以把n-r個自由元依次令為(任意)常數(shù)k1，k2，…，kn-r，對應(yīng)地解出基本元，即可寫出方程所有解的矩陣形式.第一節(jié)高斯消元法

定理1線性方程組有解(相容)的充分必要條件是r(A)=r(［A┆b］).當(dāng)r(A)=r(［A┆b］)=r時，方程組有解，而且有r個基本未知元，有n-r個自由未知元，易知，只要方程組有自由元，方程組的解就有無窮多組，而當(dāng)方程組沒有自由元時，即r=n時，解才唯一.

定理2設(shè)對于線性方程組有r(A)=r(［A┆b］)=r，則當(dāng)r=n時，線性方程組有唯一解(n是未知數(shù)的個數(shù)).

定理3設(shè)對于線性方程組有r(A)=r(［A┆b］)=r，則當(dāng)r<n時，線性方程組有無窮多組解(n是未知數(shù)的個數(shù)).

定理4齊次方程組(3.2)有非零解的充分必要條件為r(A)<n.

第二節(jié)線性方程組的相容性定理

定義1n個有次序的數(shù)a1，a2，…，an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.n維向量可寫成一行，也可寫成一列.按第二章的規(guī)定，分別稱為行向量和列向量，也就是行矩陣和列矩陣，并規(guī)定行向量和列向量都按矩陣的運算法則進行運算.一、n維向量及其線性運算

第三節(jié)向量組的線性組合

定義2兩個n維向量α=(a1，a2，…，an)T與β=(b1，b2，…,bn)T的各對應(yīng)分量之和組成的向量，稱為向量α與β的和，記為α+β，即α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T.由加法和負(fù)向量的定義，可定義向量的減法：α-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)T.

定義3n維向量α=(a1，a2，…，an)T的各個分量都乘以實數(shù)k所組成的向量，稱為數(shù)k與向量α的乘積(又簡稱數(shù)乘),記為kα,即kα=(ka1,ka2,…,kan)T.向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.一、n維向量及其線性運算

第三節(jié)向量組的線性組合

定義4給定向量組A：α1，α2，…，αs，對于任何一組實數(shù)k1，k2，…，ks，表達式k1α1+k2α2+…+ksαs稱為向量組A的一個線性組合，k1，k2，…，ks稱為這個線性組合的系數(shù)，也稱為該線性組合的權(quán)重.

定義5

給定向量組A：α1，α2…，αs和向量β，若存在一組數(shù)k1，k2,…，ks，使β=k1α1+k2α2+…+ksαs,則稱向量β是向量組A的線性組合，又稱向量β能由向量組A線性表示或線性表出.二、向量組的線性組合

第三節(jié)向量組的線性組合從線性方程組(3.13)的向量形式(3.15)可見，向量β能否由向量組α1，α2，…，αs線性表示的問題等價于線性方程組α1x1+α2x2+…+αsxs=β是否有解的問題，可得：

定理1

設(shè)向量β，αj(j=1，2，…，s)由式(3.14)給出，則向量β能由向量組α1，α2，…，αs線性表示的充分必要條件是矩陣A=(α1,α2,…,αs)與增廣矩陣A=(α1,α2,…,αs,β)的秩相等.二、向量組的線性組合

第三節(jié)向量組的線性組合

定義6

設(shè)有兩向量組A:α1,α2,…,αs;B:β1,β2,…,βt,若向量組B中的每一個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價.

定理2

若向量組A可由向量組B線性表示，向量組B可由向量組C線性表示，則向量組A可由向量組C線性表示.三、向量組間的線性表示

第三節(jié)向量組的線性組合

定義給定向量組A：α1，α2，…，αs，如果存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0，則稱向量組A線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).一、線性相關(guān)性的概念

第四節(jié)向量組的線性相關(guān)性從上述定義可見：(1)向量組只含有一個向量α?xí)r，α線性無關(guān)的充分必要條件是α≠0.因此，單個零向量0是線性相關(guān)的.進一步還可推出，包含零向量的任何向量組都是線性相關(guān)的.事實上，對向量組α1，α2，…，0，…，αs恒有0α1+0α2+…+k·0+…+0αs=0,其中k可以是任意不為零的數(shù)，故該向量組線性相關(guān).(2)僅含兩個向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是這兩個向量的對應(yīng)分量成比例.兩向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩個向量共線.(3)三個向量線性相關(guān)的幾何意義是這三個向量共面.一、線性相關(guān)性的概念

第四節(jié)向量組的線性相關(guān)性

定理1向量組α1，α2，…，αs(s≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余(s-1)個向量線性表示.二、線性相關(guān)性的判定

第四節(jié)向量組的線性相關(guān)性

推論1s個n維向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)(線性相關(guān))的充分必要條件是：矩陣A=(α1，α2，…，αs)的秩等于(小于)向量的個數(shù)s.

推論2n個n維列向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)(線性相關(guān))的充分必要條件是：矩陣A=(α1，α2，…，αn)的行列式不等于(等于)零.

推論3

當(dāng)向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，此向量組必線性相關(guān).

定理3

若向量組中有一部分向量(部分組)線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān).

推論4

線性無關(guān)的向量組中的任一部分組皆線性無關(guān).

定理4

若向量組α1，α2，…，αs，β線性相關(guān)，而向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則向量β可由α1，α2，…，αs線性表示，且表示法唯一.二、線性相關(guān)性的判定

第四節(jié)向量組的線性相關(guān)性

定理5

設(shè)有兩向量組A:α1,α2,…,αs;B:β1,β2,…,βt,向量組B能由向量組A線性表示，若s<t，則向量組B線性相關(guān).

推論5

設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，若向量組B線性無關(guān)，則s≥t.

推論6

設(shè)向量組A與B可以相互線性表示，若A與B都是線性無關(guān)的，則s=t.二、線性相關(guān)性的判定

第四節(jié)向量組的線性相關(guān)性

定義1設(shè)有向量組A：α1，α2，…，αs，若在向量組A中能選出r個向量αj1，αj2，…，αjr滿足：(1)向量組A0：αj1，αj2，…,αjr線性無關(guān)；(2)向量組A中任意(r+1)個向量(若存在)都線性相關(guān).則稱向量組A0是向量組A的一個極大線性無關(guān)向量組(簡稱極大無關(guān)組).

定理1如果αj1，αj2，…，αjr是α1，α2，…，αs的線性無關(guān)部分組，它是極大無關(guān)組的充分必要條件是α1，α2，…，αs中的每一個向量都可由αj1，αj2，…,αjr線性表示.一、極大線性無關(guān)向量組

第五節(jié)向量組的秩

定義2向量組α1，α2，…，αs的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為該向量組的秩，記為r(α1，α2，…，αs).規(guī)定：由零向量組成的向量組的秩為0.二、向量組的秩

第五節(jié)向量組的秩

定理2

設(shè)A為m×n矩陣，則矩陣A的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.

推論1

矩陣A的行向量組的秩與列向量組的秩相等.

定理3

若向量組B能由向量組A線性表示，則r(B)≤r(A).

推論2

等價的向量組的秩相等.

推論3

設(shè)向量組B是向量組A的部分組，若向量組B線性無關(guān)，且向量組A能由向量組B線性表示，則向量組B是向量組A的一個極大無關(guān)組.三、矩陣與向量組秩的關(guān)系

第五節(jié)向量組的秩

性質(zhì)1

若ξ1，ξ2為方程組的解，則ξ1+ξ2也是該方程的解.

性質(zhì)2

若ξ1為方程組的解，k為實數(shù)，則kξ1也是方程組的解.根據(jù)上述性質(zhì)，容易推出：若ξ1，ξ2，…，ξs是線性方程組的解，k1，k2，…，ks為任何實數(shù)，則線性組合k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs也是線性方程組的解.一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)

定義1若齊次線性方程組Ax=0的有限個解η1，η2，…，ηt滿足：(1)η1，η2，…，ηt線性無關(guān)；(2)Ax=0的任意一個解均可由η1，η2，…，ηt線性表示.則稱η1，η2,…,ηt是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.

定理1

對于齊次線性方程組Ax=0，若r(A)=r<n，則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每個基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)均等于n-r，其中n是方程組所含未知量的個數(shù).一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)有非齊次線性方程組二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)它也可寫作向量方程Ax=b，稱Ax=0為Ax=b對應(yīng)的齊次線性方程組(也稱導(dǎo)出組).

性質(zhì)3設(shè)η1，η2是非齊次線性方程組Ax=b的解，則η1-η2是對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的解.

性質(zhì)4設(shè)η是非齊次線性方程組Ax=b的解，ξ為對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的解，則ξ+η為非齊次線性方程組Ax=b的解.

定理2設(shè)η*是非齊次線性方程組Ax=b的一個解，ξ是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的通解，則ξ+η*是非齊次線性方程組Ax=b的通解.二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)有非齊次線性方程組Ax=b，而α1，α2，…，αn是系數(shù)矩陣A的列向量組，則下列四個命題等價：(1)非齊次線性方程組Ax=b有解；(2)向量b能由向量組α1，α2，…，αn線性表示；(3)向量組α1，α2，…，αn與向量組α1，α2，…，αn，b等價；(4)r(A)=r(［A┆b］).二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)謝謝觀看線性代數(shù)第一節(jié)向量的內(nèi)積和向量組的正交單位化第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量第三節(jié)相似矩陣第四節(jié)二次型第四章

相似矩陣及二次型

1.向量的內(nèi)積。

2.方陣的特征值與特征向量運算。

3.相似矩陣。

4.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。5.正定二次型的判定學(xué)習(xí)重點

第四章相似矩陣及二次型

定義1

設(shè)有2個n維向量一、向量的內(nèi)積第一節(jié)向量的內(nèi)積和向量組的正交單位化則(α,β)稱為向量α與β的內(nèi)積.內(nèi)積滿足下列運算規(guī)律(其中α,β,γ為n維向量，λ為實數(shù))：(1)(α,β)=(β，α)；

(2)(λα,β)=λ(α,β)；

(3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ).一、向量的內(nèi)積第一節(jié)向量的內(nèi)積和向量組的正交單位化

定義2設(shè)一、向量的內(nèi)積第一節(jié)向量的內(nèi)積和向量組的正交單位化稱‖α‖為n維向量α的長度或范數(shù).當(dāng)‖α‖=1時，稱α為單位向量.對于任何非零向量α，1‖α‖α稱為向量α的單位化.向量的長度具有下述性質(zhì):(1)非負(fù)性：當(dāng)α≠0時，‖α‖＞0，當(dāng)α=0時，‖α‖=0；(2)齊次性：‖λα‖=|λ|‖α‖；(3)三角不等式：‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.

定義3

當(dāng)(α,β)=0時，稱向量α與β正交.

定義4

若非零向量組α1，α2，…，αs中的任意2個向量都是正交的，則稱這個向量組為正交向量組.

定理若n維向量α1,α2,…,αs是正交向量組，則α1，α2，…，αs線性無關(guān).一、向量的內(nèi)積第一節(jié)向量的內(nèi)積和向量組的正交單位化線性無關(guān)的向量組α1，α2，…，αs不一定是正交向量組，不過總可以找一組兩兩正交的單位向量γ1,γ2,…,γs與α1，α2，…，αs等價，稱為將向量組α1，α2，…，αs正交單位化.

定義5

如果n階矩陣A滿足ATA=E（即A-1＝AT）,那么稱A為正交矩陣，簡稱正交陣.二、向量組的正交單位化第一節(jié)向量的內(nèi)積和向量組的正交單位化

定義1

設(shè)A為n階方陣,若存在數(shù)λ和非零的n維向量x,使得Ax=λx，則稱數(shù)λ為矩陣A的特征值,稱x為矩陣A對應(yīng)于特征值λ的特征向量.若將式改寫成(λE-A)x=0，則式為齊次線性方程組,而它有非零解的充分必要條件為det(λE-A)=0.一、特征值與特征向量的概念

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量

定義2

設(shè)矩陣一、特征值與特征向量的概念

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量為A的特征矩陣,它的行列式det(λE-A)是λ的一個n次多項式,稱式為A的特征多項式.

(1)矩陣A對應(yīng)于特征值λ0的特征向量乘以非零常數(shù)k仍為對應(yīng)于λ0的特征向量;(2)矩陣A對應(yīng)于同一個特征值λ0的2個特征向量之和仍為對應(yīng)于λ0的特征向量.

定理1

設(shè)A為n階方陣,則數(shù)λ0為A的特征值的充分必要條件是:λ0是A的特征多項式det(λE-A)等于零的根;n維向量α是A對應(yīng)于特征值λ0的特征向量的充分必要條件為:α是齊次線性方程組(λ0E-A)x=0的非零解.二、特征值與特征向量的求法

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量具體計算特征值、特征向量的步驟如下：(1)寫出特征多項式det(λE-A),并求出使它為零的全部根，這就是A的全部特征值；(2)對于A的每一個特征值λ0，求出齊次線性方程組(λ0E-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系α1,α2,…,αt，則對于不全為零的任意常數(shù)k1,k2,…,kt,有k1α1+k2α2+…+ktαt，為A對應(yīng)于特征值λ0的全部特征向量.二、特征值與特征向量的求法

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量設(shè)A是n階方陣，則對二、特征值與特征向量的求法

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量利用行列式的展開式，可以知道有一項是主對角線上元素的連乘積(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann).展開式中的其余各項，至多包含n-2個主對角線上的元素，它對于λ的次數(shù)最多是n-2，因此特征多項式中含λ的n次與n-1次的項只能在主對角線上元素的連乘積中出現(xiàn)，它們是λn-(a11+a22+…+ann)λn-1,若在特征多項式中令λ=0，即得常數(shù)項det(-A)=(-1)ndetA.因此，如果只寫出特征多項式的前2項與常數(shù)項，就有det(λE-A)=λn-(a11+a22+…+ann)λn-1+…+(-1)ndetA.由根與系數(shù)的關(guān)系可知，A的全體特征值的和為a11+a22+…+ann(稱為A的跡,記作tr(A)，即tr(A)=a11+a22+…+ann)，而A的全體特征值的積為detA.二、特征值與特征向量的求法

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量對于矩陣A的特征值對應(yīng)的特征向量，也有一些重要的特征.為了進一步弄清各特征值對應(yīng)的特征向量之間的線性相關(guān)性，我們有如下重要的定理：

定理2

對稱矩陣A的不同特征值的特征向量一定是正交的.

定理3

對稱矩陣A的不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.二、特征值與特征向量的求法

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量

定義1

設(shè)A與B都是n階方陣，如果存在一個可逆矩陣P，使得B=P-1AP,則稱A與B是相似的，記作A～B.相似矩陣有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1

相似矩陣有相同的行列式.

性質(zhì)2

相似矩陣具有相同的可逆性；若可逆，它們的逆矩陣也相似.

性質(zhì)3

相似矩陣具有相同的特征多項式.一、相似矩陣的概念

第三節(jié)相似矩陣

性質(zhì)4

相似矩陣具有相同的特征值.定理1設(shè)A與B都是n階矩陣，則tr(AB)=tr(BA),其中tr(AB)表示AB的跡.

性質(zhì)5

相似矩陣有相同的跡.一、相似矩陣的概念

第三節(jié)相似矩陣如果n階矩陣A能相似于對角矩陣，則稱A可對角化.設(shè)A是n階方陣，如果可對角化，即有可逆矩陣P，使得P-1AP=D，其中D為對角矩陣.

定理2n階方陣A可對角化的充分必要條件是：A有n個線性無關(guān)的特征向量α1，α2，…，αn，此時以它們?yōu)榱邢蛄拷M的矩陣P，就能使P-1AP成為對角矩陣，而且此對角矩陣的主對角元依次是α1，α2，…，αn對應(yīng)的特征值為λ1，λ2，…，λn.

定理3

對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.二、相似矩陣的對角化

第三節(jié)相似矩陣在矩陣中有一類特殊矩陣——實對稱矩陣是一定可以對角化的，并且對于實對稱矩陣A不僅能找到一般的可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣，還能夠找到一個正交矩陣U，使得U-1AU為對角矩陣.在這里我們不加證明地給出這些定理.

定理4

實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).

定理5

若A是實對稱矩陣，則一定可對角化，并且一定能夠找到一個正交矩陣U，使得U-1AU為對角矩陣.三、實對稱矩陣的相似矩陣

第三節(jié)相似矩陣綜上所述，對于實對稱矩陣A，求一個正交矩陣U，使得U-1AU為對角矩陣的一般步驟如下：(1)求出A的所有不同的特征值，設(shè)其為λ1，λ2，…，λs.因為由定理4知，n階實對稱矩陣全部特征值均為實數(shù).(2)求出A對應(yīng)于每個特征值λi的一組線性無關(guān)的特征向量，即求出齊次線性方程組(λiE-A)X=0的一組基礎(chǔ)解系，并且利用施密特正交化過程，把此組基礎(chǔ)解系進行正交化、單位化，所以關(guān)于n階實對稱矩陣A，一定可求出n個兩兩正交的單位化的特征向量.(3)以n個正交單位化的特征向量作為列向量所得的n階方陣即為所求的正交矩陣U，以相應(yīng)的特征值作為主對角線元素的對角矩陣，即為所求的U-1AU.三、實對稱矩陣的相似矩陣

第三節(jié)相似矩陣

定義1

含n個變量x1，x2，…，xn的二次齊次多項式一、二次型的概念及矩陣表示

第四節(jié)二次型稱為n元二次型.從二次型(4.14)的構(gòu)成可知，它的矩陣形式為f(x1,x2,…,xn)=xTAx,其中一、二次型的概念及矩陣表示

第四節(jié)二次型1.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

定理1

任何一個二次型都可化為標(biāo)準(zhǔn)型.即任何一個對稱矩陣A，總能找到可逆矩陣C，使得CTAC成為對角矩陣.2.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

定理2

對于任何一個二次型f(x1，x2，…，xn)，一定能找到一個正交矩陣U，使得經(jīng)過正交變換x=Uy,把它化為標(biāo)準(zhǔn)型λ1y21+λ2y22+…+λny2n.其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩陣A的全部特征值.二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

第四節(jié)二次型

定理3

二次型f(x1,x2,…,xn)的標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的,與所做的滿秩變換無關(guān).我們把二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣A的秩稱為二次型f(x1,x2,…,xn)的秩,于是上述表明:二次型f(x1,x2,…,xn)的標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)等于這個二次型的秩.結(jié)論:盡管不同變換下的標(biāo)準(zhǔn)型有差別,但是它們中系數(shù)為正的平方項都是一項,系數(shù)為負(fù)的平方項都是兩項.二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

第四節(jié)二次型

定義2

二次型f(x1,x2,…,xn)的標(biāo)準(zhǔn)型中,系數(shù)為正的平方項個數(shù)p稱為f(x1,x2,…,xn)的正慣性指數(shù);系數(shù)為負(fù)的平方項的個數(shù)s-p稱為f(x1,x2,…,xn)的負(fù)慣性指數(shù),其中s為f(x1,x2,…,xn)的秩,即正、負(fù)平方項的個數(shù)之和.

定理4(慣性定理)二次型f(x1,x2,…,xn)的任一標(biāo)準(zhǔn)型中，系數(shù)為正的平方項個數(shù)是唯一確定的，它等于f(x1,x2,…,xn)的正慣性指數(shù)；而系數(shù)為負(fù)的平方項個數(shù)也是唯一確定的，它等于f(x1,x2,…,xn)的負(fù)慣性指數(shù).二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

第四節(jié)二次型

定義3

二次型f(x1,x2,…,xn)，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn,都有f(c1,c2,…,cn)＞0，則稱f(x1,x2,…,xn)為正定二次型.

定理5

二次型f(x1,x2,…,xn)=a1x21+a2x22+…+anx2n是正定的充分必要條件是a1,a2,…,an全大于零.

定理6

滿秩變換不改變二次型的正定性.三、正定二次型

第四節(jié)二次型

定理7n元二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要條件是其正慣性指數(shù)等于n.

定義4

如果二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx是正定二次型，則稱對應(yīng)的對稱矩陣A是正定的.

定理8n元二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要條件是：它的矩陣A的特征值全大于零.

推論1

正定矩陣的行列式大于零.三、正定二次型

第四節(jié)二次型

定義5

在n階方陣A中，取第i1,i2,…,ik行及第i1,i2,…,ik列(行標(biāo)與列標(biāo)相同)所得到的k階子式稱為A的k階主子式.

定義6

在n階方陣A中取第1，2，…，k行及第1，2，…，k列所得到的k(k≤n)階子式，稱為A的k階順序主子式.三、正定二次型

第四節(jié)二次型

定義7

設(shè)f(x1,x2,…,xn)是二次型，對于任意一組不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn：(1)如果都有f(c1,c2,…,cn)＜0，則稱f(x1,x2,…,xn)是負(fù)定的；(2)如果都有f(c1,c2,…,cn)≥0，則稱f(x1,x2,…,xn)是半正定的；(3)如果都有f(c1,c2,…,cn)≤0，則稱f(x1,x2,…,xn)是半負(fù)定的.

定義8如果二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx是負(fù)定(半正定、半負(fù)定)的，則稱對應(yīng)的對稱矩陣A為負(fù)定(半正定、半負(fù)定)的.

定理9

二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要條件是：它的矩陣A的所有順序主子式全大于零.即對稱矩陣A為正定的充分必要條件是：它的所有順序主子式全大于零.三、正定二次型

第四節(jié)二次型謝謝觀看線性代數(shù)第一節(jié)向量空間的概念第二節(jié)向量空間的基與維數(shù)第三節(jié)線性變換及線性變換的矩陣第五章

向量空間及線性變換

1.了解向量組的線性組合。

2.掌握向量組的線性相關(guān)性。