2022年高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案

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一、挑選題

1．設(shè)1i

2i1i

z-=++，則||z=A．0

B．

12

C．1

D．2

2．一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分離如圖所示，則該幾何體的鳥(niǎo)瞰圖為()

A．

B．

C．

D．

3．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中參與某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參與一天且天天至多支配一人，并要求甲支配在另外兩位前面，不同的支配辦法共有（）A．20種

B．30種

C．40種

D．60種

4．已知函數(shù)()(3)(2ln1)x

fxxeaxx=-+-+在(1,)+∞上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且()fx在

(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．(,)e+∞

B．2(,2)ee

C．2(2,)e+∞

D．22(,2)

(2,)eee+∞

5．南北朝時(shí)代的宏大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面所截，假如截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，如圖，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分離為12,VV，被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面截得的兩個(gè)截面的面積分離為12,SS，則“12,SS總相等”是“12,VV相等”的（）

A．充分不須要條件

B．須要不充分條件

C．充分須要條件

D．既不充分也不須要條件

6．正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么EF=（）

A．11

23

ABAD-B．

11

42

ABAD+C．

1132ABDA+D．12

23ABAD-.7．設(shè),abR∈，“0a=”是“復(fù)數(shù)abi+是純虛數(shù)”的（）

A．充分而不須要條件

B．須要而不充分條件

C．充分須要條件

D．既不充分也不須要條件

8．一個(gè)樣本a,3,4,5,6的平均數(shù)是b，且不等式x2－6x＋c＜0的解集為(a，b)，則這個(gè)樣

本的標(biāo)準(zhǔn)差是()A．1B2C3

D．2

9．不等式2x2-5x-3≥0成立的一個(gè)須要不充分條件是（）A．1x

B．0x或2x-

C．0x

D．1

2

x-

或3x10．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

A．72

B．64

C．48

D．32

11．祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的宏大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式VSh=柱體，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是（）

A．158

B．162

C．182

D．324

12．設(shè)雙曲線22221xyab

-=（0a>，0b>）的漸近線與拋物線2

1yx=+相切，則該雙曲

線的離心率等于（）A．3

B．2

C．6

D．5

二、填空題

13．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的馬路上向正西行駛，處處時(shí)測(cè)得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北

的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北

的方向上，仰角為

，則此山的高度

________m.

14．函數(shù)()22,0

26,0xxfxxlnxx?-≤=?-+>?

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．

15．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)()()12iai-+是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.16．已知復(fù)數(shù)z=（1+i）（1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是__________17．函數(shù)()lg12sinyx=-的定義域是________．

18．在極坐標(biāo)系中，直線cossin(0)aaρθρθ+=>與圓2cosρθ=相切，則

a=__________．

19．設(shè)函數(shù)2

1()ln2

fxxaxbx=--，若1x=是()fx的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_(kāi)______________.

20．設(shè)等比數(shù)列{}na滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．

三、解答題

21．如圖，四棱錐PABCD-的底面ABCD是平行四邊形，銜接BD，其中DADP=，

BABP=.

（1）求證：PABD⊥；

（2）若DADP⊥，060ABP∠=，2BABPBD===，求二面角DPCB--的正弦值.

22．設(shè)()34fxxx=-+-.

（Ⅰ）求函數(shù)()2()gxfx=-

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x滿足()1fxax≤-，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

23．如圖，已知四棱錐PABCD-的底面為等腰梯形，//ABCD,ACBD⊥,垂足為H，

PH是四棱錐的高．

（Ⅰ）證實(shí)：平面PAC⊥平面PBD;（Ⅱ）若AB6=

APBADB∠=∠=60°

,求四棱錐PABCD-的體積．24．若不等式2520axx+->的解集是122xx??

的解集．

25．已知函數(shù)()lnfxxx=.（1）若函數(shù)2()1

()fxgxxx

=

-，求()gx的極值；（2）證實(shí)：2

()1x

fxex+=且()2

22age≠=，又由()fx在(1,2)上單調(diào)遞增，得到

()0fx'≥在(1,2)上恒成立，進(jìn)而得到xaxe≥在(1,2)上恒成立，借助函數(shù)()xgxxe=在

(1,)+∞為單調(diào)遞增函數(shù)，求得2(2)2age>=，即可得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)()(3)(2ln1)x

fxxeaxx=-+-+，

可得2()(3)(1)(2)()(2)()xx

x

x

axeafxexeaxexxxx

-'=+-+-=--=-?，

又由函數(shù)()fx在(1,)+∞上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

則()0fx'=，即(2)()0xxea

xx

--?=在(1,)+∞上有兩解，

即0xxea-=在在(1,)+∞上有不等于2的解，

令()x

gxxe=，則()(1)0,(1)x

gxxex'=+>>，

所以函數(shù)()x

gxxe=在(1,)+∞為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以()1age>=且()2

22age≠=，

又由()fx在(1,2)上單調(diào)遞增，則()0fx'≥在(1,2)上恒成立，

即(2)()0xxea

xx

--?≥在(1,2)上恒成立，即0xxea-≤在(1,2)上恒成立，

即xaxe≥在(1,2)上恒成立，

又由函數(shù)()x

gxxe=在(1,)+∞為單調(diào)遞增函數(shù)，所以2

(2)2age>=，

綜上所述，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是22ae>，即2

(2,)ae∈+∞，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、規(guī)律推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度舉行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，推斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5．A

解析：A【解析】【分析】

按照充分條件和須要條件的定義，結(jié)合祖暅原理舉行推斷即可.【詳解】

按照祖暅原理，當(dāng)12,SS總相等時(shí)，12,VV相等，所以充分性成立；

當(dāng)兩個(gè)徹低相同的四棱臺(tái)，一正一反的放在兩個(gè)平面之間時(shí)，此時(shí)體積當(dāng)然相等但截得的面積未必相等，所以須要性不成立.

所以“12,SS總相等”是“12,VV相等”的充分不須要條件.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件與須要條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.

6．D

解析：D【解析】【分析】

用向量的加法和數(shù)乘法則運(yùn)算。【詳解】

由題意：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴1112

2323

EFEDDAABBFABADABADABAD=+++=--++=-。故選：D?！军c(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)可按照加法法則，從向量的起點(diǎn)到盡頭，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得。

7．B

解析：B【解析】【分析】【詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，假如b=0，此時(shí)0abi+=是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而假如

abi+已經(jīng)是純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到a=0，因此是須要條件，故

選B

【考點(diǎn)定位】

本小題主要考查的是充分須要條件，但問(wèn)題中又涉及到了復(fù)數(shù)問(wèn)題，復(fù)數(shù)部分本題所考查的是純虛數(shù)的定義

8．B

解析：B【解析】

由題意得a＋3＋4＋5＋6＝5b，a＋b＝6，解得a＝2，b＝4，所以樣本方差s2＝1

5

[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，

.故答案為B.

9．C

解析：C【解析】【分析】

按照題意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，題目可以轉(zhuǎn)化為找x≤-1

2

或x≥3的須要不充分條件條件，依次分析選項(xiàng)即可得答案．【詳解】

按照題意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，則2x2-5x-3≥0?x≤1

2

-或3x，所以可以轉(zhuǎn)化為找x≤-

1

2

或x≥3的須要不充分條件；依次選項(xiàng)可得：x1是1

2

x≤-

或x≥3成立的充分不須要條件；x0≥或x2≤-是1

2x≤-或x≥3成立的既不充分也不須要條件

x0是1

2

x≤-或x≥3成立的須要不充分條件；

x≤-12或x≥3是1

2x≤-或x≥3成立的充要條件；故選C．【點(diǎn)睛】

本題考查了充分須要條件，涉及一元二次不等式的解答，關(guān)鍵是正確解不等式2x2-5x-3≥0．

10．B

解析：B【解析】【分析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解?！驹斀狻?/p>

由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，

所以幾何體的體積為1445443643

VVV=-=??-???=柱錐，故選B?！军c(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際外形時(shí)，要按照三視圖的規(guī)章，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不行見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的外形以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。

11．B

解析：B【解析】

【分析】

先由三視圖還原出原幾何體，再舉行計(jì)算【詳解】

由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為

264633616222++???+??=

???

.故選B..【點(diǎn)睛】

本題首先按照三視圖，還原得到幾何體——棱柱，按照題目給定的數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積，常規(guī)題目.難度不大，注意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、視圖用圖能力、基本計(jì)算能力的考查.易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確還原幾何體；二是計(jì)算體積有誤.為避開(kāi)出錯(cuò)，應(yīng)注意多觀看、精心計(jì)算

12．D

解析：D【解析】

由題意可知雙曲線的漸近線一條方程為byxa=，與拋物線方程組成方程組2,1

byx

ayx?

=???=+?消

y得，2

210,()40bbxxaa-+=?=-=，即2()4ba=，所以21()5b

ea

=+=，選D.【點(diǎn)睛】

雙曲線22

221xyab

-=（0a>，0b>）的漸近線方程為byxa=±．

直線與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題，直線與拋物線方程組方程組，

當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交，惟獨(dú)一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸不平行時(shí)，當(dāng)>0?時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)0?=時(shí)，直線與拋物線相切，惟獨(dú)一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)?，即1

sin2

x，解得

51322,66

kxkkZππππ+，得(0)xyaa+=>，

由2cosρθ=，得2

=2cosρρθ，即22=2xyx+，即22(1)1xy-+=，

1101aaa=∴=±>∴=+，，

（1）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化簡(jiǎn)即可；

（2）極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過(guò)變形，構(gòu)造形如2

cos,sin,ρθρθρ的形式，

舉行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形辦法.但對(duì)方程舉行變形時(shí)，方程必需同解，因此應(yīng)注重對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn).

19．【解析】試題分析：的定義域?yàn)橛傻盟寓偃粲傻卯?dāng)初此時(shí)單調(diào)遞增當(dāng)初此時(shí)單調(diào)遞減所以是的極大值點(diǎn)；②若由得或由于是的極大值點(diǎn)所以解得綜合①②：的取值范圍是故答案為考點(diǎn)：1利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；2利用解析：

【解析】

試題分析：()fx的定義域?yàn)?)()1

0,,'fxaxbx

+∞=--，由()'00f=，得1ba=-，所以()()()11'axxfxx

+-=

.①若0a≥，由()'0fx=，得1x=，當(dāng)01x，此時(shí)()fx

單調(diào)遞增，當(dāng)1x>時(shí)，()'0fx，解得10a--，故答案為()1,-+∞.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值.20．【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為由得解得所以于是當(dāng)或時(shí)取得最大值考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用解析：64

【解析】

試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由132410{5aaaa+=+=得，212

1(1)10

{(1)5

aqaqq+=+=，解得18

{12

aq==.所以2(1)

1712(1)22212

1

18()22nnnnnnn

naaaaq

--++++-==?=，于是當(dāng)3n=或4時(shí)，12

n

aaa取得最大值6264=.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用

三、解答題

21．(1)見(jiàn)解析；(2)43

sinα=

試題分析：.（1）取AP中點(diǎn)M，易證PA⊥面DMB，所以PABD⊥，（2）以

,,MPMBMD所在直線分離為,,xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面DPC的法向量

()13,1,3n=

--，設(shè)平面PCB的法向量2n=

(

)

3,1,3-，121212

?1cos,7

nnnnnn=

=

，即43

sinα=

.試題解析：

（1）證實(shí)：取AP中點(diǎn)M，連,DMBM，∵DADP=，BABP=

∴PADM⊥，PABM⊥，∵DMBMM?=∴PA⊥面DMB，又∵BD?面DMB，∴PABD⊥

（2）∵DADP=，BABP=，DADP⊥，060ABP∠=

∴DAP?是等腰三角形，ABP?是等邊三角形，∵2ABPBBD===，∴1DM=，

3BM=.

∴222BDMBMD=+，∴MDMB⊥

以,,MPMBMD所在直線分離為,,xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，則()1,0,0A-，()

3,0B，()1,0,0P，()0,0,1D

從而得()1,0,1DP=-，()

1,3,0DCAB==，()

1,3,0BP=-，()1,0,1BCAD==設(shè)平面DPC的法向量()1111,,nxyz=

則11?0?0nDPnDC?=??=??，即11110

30

xzxy-=???+=??，∴()

13,1,3n=--，

設(shè)平面PCB的法向量()2212,,nxyz=，

由22?0?0nBCnBP?=??=??，得222

2030xzx+=???-=??，∴(

23,1,3n=

-

∴121212

?1cos,7nnnnnn

=

=

設(shè)二面角DPCB--為α，∴21243

sin1cos,nnα=-=

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間二面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；其次，破“求坐標(biāo)關(guān)”，精確?????求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.22．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1

(,2[,)2

-∞-?+∞）．【解析】【分析】【詳解】

試題分析：（Ⅰ）先用零點(diǎn)分段法將()fx表示分段函數(shù)的形式，然后再求定義域；（Ⅱ）利用函數(shù)圖象求解．

試題解析：（Ⅰ）72,3

()34{1,3427,4

xxfxxxxxx-，它與直線2y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為

52和92

，∴不等式()2()gxfx=-的定義域?yàn)?9

[,

]22

．（Ⅱ）函數(shù)1yax=-的圖象是過(guò)點(diǎn)(0,1)-的直線，

結(jié)合圖象可知，a取值范圍為1(,2)[,)2

-∞-?+∞．

考點(diǎn)：1、分段函數(shù)；2、函數(shù)的定義域；3、函數(shù)的圖象．23．（Ⅰ）證實(shí)見(jiàn)解析；（Ⅱ323

+.

【解析】【分析】【詳解】

試題分析：（Ⅰ）由于PH是四棱錐P-ABCD的高．

所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD內(nèi),且PHBD=H.所以AC⊥平面PBD.故平面PAC⊥平面PBD.

（Ⅱ）由于ABCD為等腰梯形，ABCD,AC⊥

.所以

由于∠APB=∠ADR=600所以

,HD=HC=1.可得

等腰梯形ABCD的面積為S=1

2

所以四棱錐的體積為V=

13x（

33+考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，體積的計(jì)算．

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算．在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”．利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證實(shí)過(guò)程．本題（I）較為容易，（II）則體現(xiàn)了“一作、二證、三計(jì)算”的解題步驟．

24．132xx??

-，解一元二次不等式即可.【詳解】

解：由已知條件可知0a，()2

2ln'xgxx-=，當(dāng)()