2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學試卷【含答案】

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國Ⅰ卷）數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.22已知，則（）A. B. C.0 D.13.已知向量，若，則（）A. B.C D.4.設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5.設橢圓的離心率分別為．若，則（）A. B. C. D.6.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A1 B. C. D.7.記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8.已知，則（）．A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標準差不小于的標準差D.的極差不大于的極差10.噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（）．A. B.C. D.11.已知函數(shù)的定義域為，，則（）．A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．14.在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．15.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．16.已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，．（1）求；（2）設，求邊上的高．18.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．19.已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．20.設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．（1）若，求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．22.在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．（1）求方程；（2）已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．1.C．2.A．3.D．4.D5.A6.B.7.C8.B9.BD.10.ACD.11..12.ABD.13.64.14..15..16..17.，，即，又，，，，即，所以，.由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.18.以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.19.因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.20.，，解得，，又，，即，解得或（舍去），為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質知，，即，，即，解得或（舍去）當時，，解得，與矛盾，無解；當時，，解得.綜上，.21.記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．因為，，所以當時，，故．22.設,則，兩邊同平方化簡得，故.法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設矩形周長為,由對稱性不妨設，，則.，易知則令令，解得，當時，，此時單調遞減，當，，此時單調遞增，則，故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設在上，且，依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設，則，令，解得，當時，，此時單調遞減，當，，此時單調遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個