2023年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題（答案）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學一、選擇題2i1iiz25z1.設（）A.112iD.2i【答案】B【解析】【分析】由題意首先計算復數(shù)z的值，然后利用共軛復數(shù)的定義確定其共軛復數(shù)即可.i2i12i1ii2i【詳解】由題意可得z1，2511ii21則z1.故選：2設集合UR，集合Mxx，Nx1xxx（）UMNNUMA.D.UMNMUN【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為x|x即可.MNx|x2eMNx|xU【詳解】由題意可得，選項A正確；UMx|xNUMx|x，選項B錯誤；MNx|1xUMNx|x1或x，選項C錯誤；UNx|x1或xMUNx|x1或x，選項D錯誤；故選：A.3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為，則該零件的表面積為（）第1共頁A.242628D.30【答案】D【解析】【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.ABCD12，13，【詳解】如圖所示，在長方體111H,I,J,KB,C,D,A的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點，1111點為所在棱上靠近點ABCD去掉長方體1之后所得的幾何體，1則三視圖所對應的幾何體為長方體1111該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，222423211其表面積為：.故選：D.exa4.f(x)是偶函數(shù)，則（）e1A.211D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.第2共頁exxexexxeaxex【詳解】因為fx為偶函數(shù)，則，fxfx0e1e1e1e1xxax0exeax，又因為不恒為，可得eexax，即1a1，解得a2.則故選：D.5.設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域x,y1x2y2AOAπ的傾斜角不大于的概率為（4）1816141A.D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.【詳解】因為區(qū)域,y|1x2y2表示以圓心，外圓半徑，內圓半徑r1的圓環(huán)，O0,0R2ππ則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角，44π42π214結合對稱性可得所求概率.P故選：π2ππ2πf(x)x)5π,xxyfx為函數(shù)的圖像的6.已知函數(shù)在區(qū)間和6363f（兩條對稱軸，則）1212331A.D.222第3共頁【答案】D【解析】5π12【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x即可得到答案.π2πf(x)x),【詳解】因為在區(qū)間單調遞增，63T2π3π6π22π0Tπ，w2，2Tπππ當xfx取得最小值，則22π，kZ，6625π65π則2π，kZ，不妨取k0fxsin2x，65π5πsin3則f，32故選：D.7.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種60種120種D.240種【答案】C【解析】【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.6種情況，【詳解】首先確定相同得讀物，共有C然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A25根據(jù)分步乘法公式則共有C16A52故選：8.已知圓錐的底面半徑為3O為底面圓心，，為圓錐的母線，AOB120PAB93積等于，則該圓錐的體積為（）4A.D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.第4共頁【詳解】在中，120，而OAOB3，取o中點C，連接OC,PC，有AB,PCAB，如圖，319393430，,AB2BC3PAB的面積為3，2243333232PC，于是22()2()6，2211所以圓錐的體積Vπ2π(3)266π.33故選：B9.為斜邊，△為等邊三角形，若二面角CD為150與平面所成角的正切值為（）152325A.D.55【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.AB的中點ECE,DEAB，又△是等邊三角形，則DEAB，從而CED為二面角CD的平面角，即，第5共頁CEDEE,CE,DE，于是AB，因此平面CDE，顯然平面，，則直線CD在平面內的射影為直線，從而為直線CD與平面所成的角，令AB2，則CEDE3，在CDE中，由余弦定理得：CDCE22CECED13213(3)7，2CD3sin15073由正弦定理得sin，，sinDCEsinCED2735是銳角，1sin21(2)27273所以直線CD與平面所成的角的正切為.5故選：CaSnnN*S,（10.已知等差數(shù)列A.1的公差為，集合）n3110D.22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.2π2π2π3a}aann1)，【詳解】依題意，等差數(shù)列nn133顯然函數(shù)y2π2π最多3個不同取值，又n(1的周期為3，而n，即an33n|nN},}，cosa,cosa,cosaaaaaaa或，1231231232π2ππ于是有cos)，即有)2π,kZ，解得π,kZ，333ππ4πππ1kZ，故選：Bcos(kπ)kπ)]kπ)kπ2kπ.333332第6共頁y2設，B為雙曲線x21上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（）9A.12)34D.【答案】D【解析】kk9【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；：結合雙曲線的漸近線分析判斷.xxyyAx,y,Bx,yM12,12【詳解】設AB的中點，，1122221y21y221y2k,k1212122y21x21119yy2122,B2122在雙曲線上，則，兩式相減得xx0，y2299x22y21y22kk9.xx2221kk9:y9x8，對于選項A：y9x8聯(lián)立方程y21，消去y得72x2272x0，2x9272240，所以直線與雙曲線沒有交點，故A錯誤；99252對于選項：可得kk:yx，2952yx2聯(lián)立方程，消去y得45x245x0，2y2x219224454450，所以直線與雙曲線沒有交點，故B錯誤；第7共頁kk3:y3x對于選項：可得由雙曲線方程可得ab3:y3x為雙曲線的漸近線，所以直線與雙曲線沒有交點，故C錯誤；9497對于選項D：kk:yx，4497yx44聯(lián)立方程，消去y得63x126x1930，2y2x219故選：D.24630，故直線與雙曲線有交兩個交點，故D正確；12.O的半徑為1，直線與OO相切于點，直線與，C兩點，D為的中點，若2的最大值為（）1+2122A.2212D.22【答案】A【解析】【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得1212sin，或sin然后結合三角函數(shù)的性質即可確定224224的最大值.【詳解】如圖所示，2，則由題意可知:APO，由勾股定理可得122第8共頁,D=,0位于直線異側時，設，4|||412cos4222coscossin22sincos2121sin2212sin22404444ππ當有最大值1.44,D同側時，設=,0位于直線，4|||4第9共頁12cos4222coscossin22sincos2121sin2212sin22404442有最大值1+2當.422綜上可得，的最大值為1+2.2故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.二、填空題A5在拋物線：y2上，則A到C的準線的距離為______.213.已知點9【答案】【解析】45x4用點的坐標和準線方程計算點A到C的準線的距離即可.2【詳解】由題意可得：2p5，拋物線的方程為y25x，52p155194準線方程為xA到C的準線的距離為.4494故答案為：.第頁共頁x3y1x2y93xy7z2xy的最大值為______.14.若x，y滿足約束條件【答案】8【解析】【分析】作出可行域，轉化為截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：z2xyy2xz，，移項得x3y1x5聯(lián)立有，解得，x2y9y2A2，顯然平移直線y2xzz使其經(jīng)過點A，此時截距最小，則最大，設代入得z8，故答案為：8.aaaaaaaa8a______.715.為等比數(shù)列，，n245369【答案】2【解析】aaaaaaq11aa893q2，最后得【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出24536aaqq5q52.71aqq0aaaaaaqaqa0，顯然，n【詳解】設的公比為n2453625aq2q3q2aq1，因為aa8aq8q98，則則41913355qq582q32aaqqq2，71故答案為：2.第共頁afxax1ax在上單調遞增，則a的取值范圍是______.16.設，若函數(shù)51,1【答案】2【解析】xfxaxaa110ax1alnaa，由右側函數(shù)的單調性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實可得aln1a數(shù)a的取值范圍.a1a1a0在區(qū)間上恒成立，x【詳解】由函數(shù)的解析式可得fxaxx1alnax在區(qū)間上恒成立，則1a1aaxaaln1a01aa1aa121a0，故1aaaaa151故即a1，0a10a1251a,1結合題意可得實數(shù)的取值范圍是.251,1故答案為：.2三、解答題17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的xiyi（i10伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，試驗序號i12345678910x伸縮率伸縮率545533551522575544533541522568550596548iy536527543530560576536izxyi,10)z1z…，的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2，z記，iii2第頁共頁1）求z，s2；2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果s2z2則不認為有顯著提高）.【答案】（）z11，s261；2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【解析】）直接利用平均數(shù)公式即可計算出x,y，再得到所有的值，最后計算出方差即可；zis22）根據(jù)公式計算出2【小問1詳解】的值，和z比較大小即可.545533551522575544541568596548xy552.3，541.3，1053652754353056053352255057653610zxy552.3541.311，zxy6,8,8,15,11,19,18,20,12，的值分別為:iii2(622(822022(2022故s2【小問2詳解】s2s2由（1）知:z11，226.124.4，故有z2,1010所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.18.在中，已知120，AB2，1.1）求sin；2）若D為上一點，且的面積.21【答案】（）；1432）.10第頁共頁【解析】57(1)首先由余弦定理求得邊長的值為7B21角三角函數(shù)基本關系可得sinB；14△14(2)由題意可得△S，據(jù)此即可求得的面積.△△5【小問1詳解】由余弦定理可得：2a2b2c2A41221cos1207，a2cb2274157則7，B，2ac22714sinB12B1.【小問2詳解】1sin90sin30△24由三角形面積公式可得，12△1113則△S21sin120.△5521019.P，AB2，22，6BPAP的中點分別為D，，O，F(xiàn)在.1）證明：//；第頁共頁2）證明：平面BEF；3）求二面角DC的正弦值.【答案】（）證明見解析；22）證明見解析；3）.2【解析】）根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行判定推理作答.2）由（）的信息，結合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.3）由（）的信息作出并證明二面角的平面角，再結合三角形重心及余弦定理求解作答.【小問1詳解】1,AFtAC，BFBAAFt)BAtBC，，2211BFAOt)BAtBC](BABC)tBAtBC2tt0，則221tF為的中點，由D,E,O,F分別為PB,,BC,AC的中點，211于是//AB,AB,//AB,AB，即DE//OF,DEOF，則四邊形ODEF為平行22四邊形，EF//DO,EFDOADO,，//.【小問2詳解】62由（1）可知AO6,5，2222，2又AOBF,BFEFF，BF,，，所以平面EF.第頁共頁【小問3詳解】O作//交HG，1由AOBF，3又由（2）知，為二面角DC的平面角，D,EPB,PA的中點，因此G為PAB的重心，分別為1113AD,BE，即有，3332344622622266，解得，同理得，222222613653BE2EF2BF23，即有2，223332，，21362在,,，2226322446422，sin1，23222222所以二面角DC的正弦值為.2y22x225A0在C上.20.已知橢圓：ab0的離心率為ab31）求C的方程；第頁共頁32的直線交CPQAP與y軸的交點分別為，的中點為定點.【答案】（）y2x21942）證明見詳解【解析】a,b,c）根據(jù)題意列式求解，進而可得結果；yMyN2）設直線的方程，進而可求點【小問1詳解】M,N的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.2b2a3a2b2c2b2，由題意可得，解得c5c5ea3y2x2所以橢圓方程為1.94【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設:ykx2Px,y,Qx,y12，12ykx23，消去yk29x2kk3xkk0，2聯(lián)立方程y2x2194k32kΔk229k2kk0，解得k0，則16kk28k2k3xx,xx，124k29124k291A0:yx2，，則直線122121y令x0，解得M,12122y2同理可得N，22第頁共頁212y2kx2kx21222則1221222kx2k3x2kx2k3x22kxx4k3xx42k312211212x2x2xx2xx412121232kk4k2k8k4k32k3942k342916k4k4k2108363，22k16k2k394k29所以線段的中點是定點3.【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；2(某些變量)無關；也可令系數(shù)等于零，得出定值；3）得出結論．1f(x)ax).21.已知函數(shù)xyfxf1）當a1時，求曲線處的切線方程；1yf2ab關于直線xbbx第頁共頁.3）若fx在存在極值，求a的取值范圍.【答案】（）2xy20；112）存在a,b滿足題意，理由見解析.2213）.2【解析】【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)b的值，進一步結合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可aa得關于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的a,b是否正確即可；gx=2xx1x1(3)原問題等價于導函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構造新函數(shù)，然后對函數(shù)求11a0，a和0a三中情況即可求得實數(shù)的取值a22范圍.【小問1詳解】1fx1x1當a1，x111fxx1則，x2xx1ff12據(jù)此可得，f處的切線方程為y02x1函數(shù)在，即2xy20.【小問2詳解】11fxa1由函數(shù)的解析式可得，xx1x1函數(shù)的定義域滿足10，即函數(shù)的定義域為,，xx11定義域關于直線x對稱，由題意可得b，22第頁共頁111fmfmm由對稱性可知，2223取mff2，2112即a2a2a12a，解得a，21111經(jīng)檢驗a,b滿足題意，故a,b.212122即存在a,b滿足題意.22【小問3詳解】111fxxa由函數(shù)的解析式可得，x2xx1fx在區(qū)間fx在區(qū)間由令存在極值點，則上存在變號零點;11xa10，x2xx1x1x1xax0，則2gx=xx1x1，2令fx在區(qū)間gx在區(qū)間上存在變號零點，存在極值點，等價于1gxx1,gxax1gx0，gx在區(qū)間當a0上單調遞減，gxg00gx在區(qū)間，上無零點，不合題意;11xgx在區(qū)間上單調遞增，當a，2a1時，由于1，所以g2x1gxg00gx在區(qū)間gxg00，，上單調遞增，上無零點，不符合題意；gx在區(qū)間111當0a時，由gx2a0x=1，2x12a1x1gx0，gx單調遞減，當當2a1x1,單調遞增，gx0，gx2a第頁共頁1gxg112a2a，故的最小值為2ax1mx1xx0x1x0，令xmx在定義域內單調遞增，mxm0，據(jù)此可得1xx0恒成立，1g112a2a0，則令2a2x2x1hxxx2xx0hx，x當x0,1xhx單調遞增，xxhx單調遞減，當故hxh0xxx(取等條件為x1)，222gxxxxxx，2gaaaaa0g00，，且注意到gx在區(qū)間根據(jù)零點存在性定理可知:上存在唯一零點0.xxgx0，gx單調減，當當0x0,gx0，gx單調遞增，g0g00.x21nxxx1111令則nx10，2x22x2x2xnxn0單調遞減，注意到，1xx111x0xx>，從而有，x2x2gx=xx1x121xx1x1212x1第頁共頁112ax2，211211ax20xg0，令得，所以2212a12a所以函數(shù)gx在上存在變號零點，符合題意.1a綜合上面可知得取值范圍是.2【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解②驗證求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.四、選做題【選修4-410分）22.在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線1的極坐標方程ππ