河北省邯鄲市南徐村鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

河北省邯鄲市南徐村鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p1：?x∈R，使得x2+x+1＜0；命題p2：?x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0，則下列命題是真命題的是（）A．（￢p1）∧p2 B．p1∨p2 C．p1∧（￢p2）． D．（￢p1）∨（￢p2）參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先判斷命題p1，p2的真假，進而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得答案．【解答】解：x2+x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，故命題p1：?x∈R，使得x2+x+1＜0為假命題；x∈（﹣1，1）時，x2﹣1＜0，故命題p2：?x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0為假命題；故（￢p1）∧p2，p1∨p2，p1∧（￢p2）均為假命題．（￢p1）∨（￢p2）為真命題，故選：D．2.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選C．【點評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關(guān)鍵．3.當(dāng)時，函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)得出在上單調(diào)遞增，而根據(jù)即可得出，從而得出，從而得出選項．【詳解】∵，∴，由于時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，故，所以，而，所以，故選D.【點睛】本題主要考查增函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及積的函數(shù)的求導(dǎo)，屬于中檔題.4.函數(shù)的圖象如右圖，則的一組可能值為（A） （B）

（C）

（D）參考答案：D5.在等比數(shù)列{an}中，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，則公比q=(

)A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1參考答案：B【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知條件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比數(shù)列{an}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q=3．故選：B．【點評】本題考查等比數(shù)列折公比的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式．6.在三棱錐中,底面，，，，，則點到平面的距離是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.若直線ax﹣2y﹣1=0與直線x+y﹣2=0互相垂直，則a的值為（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2參考答案：D【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】由題意可得，這兩條直線的斜率之積等于﹣1，由此求得a的值．【解答】解：∵直線ax﹣2y﹣1=0與直線x+y﹣2=0互相垂直，∴它們的斜率之積等于﹣1，即=﹣1，求得a=2，故選：D．【點評】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)成立的充分不必要條件是A

B

C

D

x<-1參考答案：D9.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A. B.(-1,0) C.(1，2) D.(-2,-1)參考答案：B10.設(shè)x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，則|+|=（）A． B． C． D．10參考答案：B【考點】96：平行向量與共線向量；93：向量的模．【分析】由向量平行與垂直的充要條件建立關(guān)于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐標，從而得到向量的坐標，再由向量模的公式加以計算，可得答案．【解答】解：∵，且，∴x?2+1?（﹣4）=0，解得x=2．又∵，且，∴1?（﹣4）=y?2，解之得y=﹣2，由此可得，，∴=（3，﹣1），可得==．故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y=+的最小值為．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】利用題設(shè)中的等式，把y的表達式轉(zhuǎn)化成（）（）展開后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時等號成立）則的最小值是故答案為：．12.圓x2+y2=1和4x2+4y2–16x–8y+11=0的公切線的斜率是

。參考答案：13.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=叫曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題：（1）函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1，2，則φ（A，B）＞；（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；（3）設(shè)點A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；（4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，1）；以上正確命題的序號為（寫出所有正確的）參考答案：（2）（3）【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x3﹣x2+1、y=x2+1在點A與點B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合t?φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯誤．【解答】解：對于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，則，，y1=1，y2=5，則，φ（A，B）=，（1）錯誤；對于（2），常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)，（2）正確；對于（3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，則kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正確；對于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1時該式成立，∴（4）錯誤．故答案為：（2）（3）．14.已知，，那么的值為．參考答案：15.若不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：

16.從裝有個球（其中個白球，1個黑球）的口袋中取出個球,共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，共有，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡下列式子：

。。參考答案：略17.得，則推測當(dāng)時有

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，，，，函數(shù)的最小正周期為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．參考答案：（1）．（2）

由（1）可知，．當(dāng)．有，．所以函數(shù)．19.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．（1）求證：A1C⊥平面BCDE；（2）過點E作截面EFH∥平面A1CD，分別交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面積；（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成600的角？說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）證明DE⊥平面A1CD，可得A1C⊥DE，利用A1C⊥CD，CD∩DE=D，即可證明A1C⊥平面BCDE；（2）過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A1C交A1B于H，連結(jié)EH，則截面EFH∥平面A1CD，從而可求截面EFH的面積；（3）假設(shè)線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成60°的角，建立坐標系，利用向量知識，結(jié)合向量的夾角公式，即可求出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD．又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE．又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE…（2）解：過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A1C交A1B于H，連結(jié)EH，則截面EFH∥平面A1CD．因為四邊形EFCD為矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，從而FB=2，HF=．∵A1C⊥平面BCDE，F(xiàn)H∥A1C，∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，∴．…（3）解：假設(shè)線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成60°的角．設(shè)P點坐標為（a，0，0），則a∈[0，6]．如圖建系C﹣xyz，則D（0，1，0），A1（0，0，），B（6，0，0），E（4，1，0）．∴，．設(shè)平面A1BE法向量為，則，∴，∴，設(shè)平面A1DP法向量為，因為，．則，∴，∴．則cos＜，＞===，∴5656a2﹣96a﹣141=0，解得∵0＜a＜6，∴所以存在線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成60°的角．…【點評】本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若關(guān)于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個解，求p的最小值．（3）證明不等式：（n∈N*）．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）依題意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]，求導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值；（2）求導(dǎo)函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而可得p的最小值；（3）先證明ln（1+x）≤x，令，則x∈（0，1）代入上面不等式得：，從而可得．利用疊加法可得結(jié)論．【解答】（1）解：依題意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]∵，而函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞）∴f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x）在[0，e﹣1]上為增函數(shù)，∴∴實數(shù)m的取值范圍為m≤e2﹣2（2）解：g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x）=2[x﹣ln（1+x）]，∴顯然，函數(shù)g（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)∴函數(shù)g（x）的最小值為g（0）=0∴要使方程g（x）=p至少有一個解，則p≥0，即p的最小值為0（3）證明：由（2）可知：g（x）=2[x﹣ln（1+x）]≥0在（﹣1，+∞）上恒成立所以ln（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立令，則x∈（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2﹣ln1＜1，，，…，將以上n個等式相加即可得到：21.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了名男顧客和名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020

（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：

參考答案：（1）男顧客;女顧客.（2）有的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.【分析】（1）分別利用公式計算滿意的概率.（2）計算，再和臨界值表作比較得到答案.【詳解】(1)男顧客的滿意概率為;女顧客的滿意概率為.(2),有的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.【點睛】本題考查了概率的計算，獨立性檢驗，是?？碱}型.22.在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)）．若以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）求直線l被曲線C所截得的弦長