第十二章概率與統(tǒng)計2節(jié)

第二節(jié)統(tǒng)計與概率綜合及統(tǒng)計案例?考綱解讀理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫出頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋.能從樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想.會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.了解常見的統(tǒng)計方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實際問題.獨立性檢驗了解獨立性檢驗（只要求2

·

2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.回歸分析了解回歸的基本思想、方法及簡單應(yīng)用.?知識點精講一、抽樣方法.3種抽樣方式的對比如表12-1所示類別共同點各自特點相互關(guān)系使用范圍簡單隨每個個體被抽到的機(jī)會均等，總體N，樣本n，每個個體被抽到的概率P=nN從總體中隨機(jī)逐總體中的個體個機(jī)抽樣個抽取數(shù)較少系統(tǒng)抽樣總體均分幾段，每段T

個第一段取a1，第二段取a1

+T，第一段簡單隨機(jī)抽樣總體中的個體個數(shù)較多第三段取a1

+2T，分層…抽樣將總體分成n倍，每層按簡單隨機(jī)總體由差異明顯每層按比例抽取抽樣或系統(tǒng)抽樣的幾部分組成表12-1二、樣本分析①樣本平均三、頻率分布直方圖的解讀（1）頻率分布直方圖的繪制①由頻率分布表求出每組頻數(shù) ；②求出每組頻率（為樣本容量）；nx1ni=1x

=

i(

)

22ni；②方差s1n=x

-

x

.i=1nii

innP

=n③列出樣本頻率分布表；④畫出樣本頻率分布直方圖，直方圖橫坐標(biāo)表示各組分組情況，縱坐標(biāo)為每組頻率與組距比值，各長方形面積即為各組頻率，長方形面積總和為1.（2）樣本估計總體步驟：總體fi

抽取樣本fi

頻率分布表fi

頻率分布直方圖fi

估計總體概率分布.樣本容量越大，估計越精細(xì)，樣本容量無限增大，直方圖無限趨近概率分布密度曲線.s2（3）用X

估計總體期望

EX

，用

s2

估計總體方差，s

=

估計總體標(biāo)準(zhǔn)差.公式

aX

+

b

=

a

X

+

b，s2

(aX

+

b

=

a2

s2

(X

.四、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系——相關(guān)關(guān)系的方法.其中，，，稱為樣本點的中心.五、獨立性獨立性檢驗是判斷兩個分類變量是否存在相關(guān)關(guān)系的案例分析方法.，(x2

,

y2

，(xn

,

yn

，n1nx

=

iny1ni=1

i=1x y

=

i(x

,

y步驟：畫散點圖，如散點圖中的點基本分布在一條直線附近，則這條直線叫這兩個變量的回歸直線，直線斜率k

>0

，稱兩個變量正相關(guān)；k

<0

，稱兩個變量負(fù)相關(guān).對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1

,y1其回歸方程y?

=bx?

+a

的求法為，并判斷：步驟為列出2

·

2

列聯(lián)表（如表12-2

所示），2n

(ad

-

bc求出c2

=(a

+

b)(c

+

d

)(a

+

c)(b

+

a)表12-2條件A條件BA1A2合計B1aca

+

cB2bdb

+

d合計a

+

bc

+

dn

=

a

+

b

+

c

+

d?題型歸納及思路提示題型144

抽樣方式【例12.10】一個單位有職工800人，期中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.）.D.8,16,10,6,則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（A.12,24,15,9

B.9,12,12,7

C.8,15,12,5【解析】由分層抽樣的性質(zhì)可知，800160從高級職稱中抽取

·

40

=

8

人；320從中級職稱中抽取

·

40

=16

人；800從初級職稱中抽取

800

人；200

·

40

=10800120從初級職稱中抽取

·

40

=

6

人.故選D.題型145

樣本分析——用樣本估計總體【例12.12】如圖12-9是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫（單位：℃）.數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是

[20.5,26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,

21.5)，[21.5,

22.5)，[22.5,

23.5)，[23.5,

24.5)，[24.5,

25.5)，[25.5,

26.5).已知樣本中平均氣溫低于22.5

℃

的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為

.0.260.220.180.120.10頻率組距【解析】由直方圖可知最左邊兩個矩形面積之和為0.10

·1+0.12

·1=0.22，20.5

21.5

22.5

23.5

24.5

25.5

26.5

平均氣溫/℃總城市數(shù)為11?0.22=50，最右面矩形面積為0.18·1=0.18

，50

·0.18=9

，即樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為9.【例12.12變式1】為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為???，眾數(shù)為???，平均值為??，則（

）.A.

???

=

???

=C.

???

<

???

<B.

???

=

???

<D.

???

<

???

<O2

2

223361086423

4

5

6

7

8

9

10頻頻10得得【解析】

由條形圖知共有30個數(shù)，從小到大排列，所以???

<???

<??.故選D.??平均數(shù)??

=

?

×

?3×

2+

4×3

+5×

10

+

6×6

+7×

3

+

8×2

+9×

2

+??10

×2?

=

???

，其中第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以中位數(shù)???

=5.5，眾數(shù)???

=5

，題型146

統(tǒng)計圖表與概率綜合【例12.15】如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各4名同學(xué)的植樹棵樹.乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以??表示.（1）如果??=8，求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（2）如果??=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹為19的概率.（注：方差???

=

?

???

?

??

?

+

???

?

??

?

+???

+

???

?

??

?

，?其中??為???，???，???，???的平均數(shù)）甲乙乙乙9

9

0

X

8

91

1

1

0【解析】（乙1）

??

=

8，乙組的平均數(shù)為??

=?×??????

??

?

?=

，???

=

1

8?

354

4?35×2

+ 9

?

4?35+ 10

?

4?=

19

×2

+

1

+

254

16

16

16

16=

11

.（2）設(shè)甲組4名同學(xué)分別為???，???，???，???，植樹棵樹分別為9，9，11，11，乙組四名同學(xué)分別為???，???，???，???，植樹棵樹分別為9，8，9，10.分別從甲，乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有：?

???，???

，

???，???

，

???，???

，???，???

，

???，???

，???，???

，

???，???

，

???，???

，

???，???

，

???，???

，???，???

，

???，???

，

???，???

，

???，???

，

???，???

，???，???

?共16種.設(shè)“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵樹為19”為事件??，則事件??包含的結(jié)果有?

???，???

，

???，???

，

???，???

，

???，???

?共4種，故所求的概率??

?? = ?

=

?.??

?【例12.17變式1】如圖所示，??地到火車站有共有兩條路徑???和???，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從??地到達(dá)火車站的人進(jìn)行檢查，調(diào)查結(jié)果如下表所示.試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；分別求通過路徑???和???所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.L1

火火火AL2時間（min)10~2020~3030~4040~5050~60選擇???的人數(shù)612181212選擇???的人數(shù)0416164【解析】（1）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44（人），所以用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.（2）選擇???的有60人，選擇???的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率如下表所示：所用時間（分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60???的頻率0.10.20.30.20.2???的頻率00.10.40.40.1（3）設(shè)???，???分別表示“甲選擇???和???時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站”，???，???分別表示“乙選擇???和???時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站”，由（2）知??

???

=

0.1

+

0.2

+

0.3

=

0.6，??

???

=

0.1

+

0.4

=

0.5，??

???

>??

???

，所以甲應(yīng)選擇???.同理，??

???

=

0.1

+

0.2

+

0.3

+

0.2

=

0.8，??

???

=

0.1

+

0.4

+

0.4

=

0.9，??

???

<??

???

，所以乙應(yīng)選擇???.x3456y2.5344.5題型147

線性回歸方程【例12.18】如表所示，其中提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能y（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù).請畫出表示數(shù)據(jù)的散點圖；請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y

關(guān)于x

的線性回歸方程y?

=b?x

+a?

；已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)耗能為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求得的回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品耗能比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考值：3·

2.5

+4

·3

+5·

4

+6

·

4.5

=66.5

）.【解析】（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖（如圖12-22所示）上的點基本在一條直線附近，數(shù)據(jù)正相關(guān)，存在回歸方程.x（噸甲噸噸）0y（噸噸噸噸）5.04.54.03.02.52.01.01

2

3

4

5

6圖12-22（2）由表得，(

)

23.554

4nii=1b?

=

i=1

=x

-

x(xi

-

x

)(yi

-

y

)nx

=

1

(3

+

4

+

5

+

6)

=

4.5

，y

=

1

(2.5

+

3

+

4

+

4.5)

=

3.5.=

0.7

，a?

=

y

-

b?x

=

0.35.即x

，y

的回歸方程為y?

=0.35

+0.7x.（3）由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)耗能，得節(jié)省的生產(chǎn)耗能90

-

(0.7

·100

+

0.35

=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）.xixi

-

x(x

-

x

2i(xi

-

x

(yi

-

yyi

-

yyi3-1.52.251.5-12.54-0.50.250.25-0.5350.50.250.250.5461.52.251.514.5x

=

4.54

(x

x

2

=5i

-

)i=14(xi

-

x

)(yi

-

y

)=

3.5i=1y

=

3.5題型148

獨立性檢驗【例12.19變式3】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽