微分方程數(shù)值解法

微分方程數(shù)值解法當前第1頁\共有47頁\編于星期二\7點§6.1引言

微分方程數(shù)值解一般可分為：常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解。自然界與工程技術中的許多現(xiàn)象，其數(shù)學表達式可歸結(jié)為常微分方程（組）的定解問題。一些偏微分方程問題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問題來（近似）求解。Newton最早采用數(shù)學方法研究二體問題，其中需要求解的運動方程就是常微分方程。許多著名的數(shù)學家，如Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循歷史傳統(tǒng)，研究重要的力學問題的數(shù)學模型，在這些問題中，許多是常微分方程的求解。作為科學史上的一段佳話，海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過對常微分方程的近似計算得到的。本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法。當前第2頁\共有47頁\編于星期二\7點1、常微分方程與解為n階常微分方程。如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)n階可導，稱方程滿足方程的函數(shù)稱為微分方程的解。則如為任意常數(shù)）一般稱為方程的通解。為方程的解。如果則有為方程滿足定解條件的解。一、初值問題的數(shù)值解法當前第3頁\共有47頁\編于星期二\7點方程的通解滿足定解條件的解微分關系（方程）解的圖示當前第4頁\共有47頁\編于星期二\7點本教材重點討論定解問題(初值問題）定解條件（初始條件）是否能夠找到定解問題的解取決于僅有極少數(shù)的方程可以通過“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程至今無法理論求解。如等等當前第5頁\共有47頁\編于星期二\7點2、數(shù)值解的思想（1）將連續(xù)變量離散為（2）用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點的近似值*數(shù)學界關注工程師關注如果找不到解函數(shù)數(shù)學界還關注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……當前第6頁\共有47頁\編于星期二\7點

求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點

a=x0<x1<…<xn=b處的近似值的方法稱為微分方程的數(shù)值解法。稱節(jié)點間距為步長，通常采用等距節(jié)點，即取hi=h

(常數(shù))。稱為微分方程的數(shù)值解。所謂數(shù)值解法：當前第7頁\共有47頁\編于星期二\7點稱在區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件是指:記3、相關定義當前第8頁\共有47頁\編于星期二\7點(2)一般構(gòu)造方法：

離散點函數(shù)值集合+線性組合結(jié)構(gòu)→近似公式4、迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思想：將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解。由于離散化的出發(fā)點不同，產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法。基本方法有：有限差分法（數(shù)值微分）、有限體積法（數(shù)值積分）、有限元法（函數(shù)插值）等等。

當前第9頁\共有47頁\編于星期二\7點(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?5、微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題(1)如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的迭代公式？(2)如何估計迭代公式的局部截斷誤差與整體誤差？當前第10頁\共有47頁\編于星期二\7點二、初值問題解的存在唯一性

考慮一階常微分方程的初值問題

/*Initial-ValueProblem*/:則上述IVP存在唯一解。只要在

上連續(xù),且關于y滿足Lipschitz條件，即存在與無關的常數(shù)L使對任意定義在上的都成立，當前第11頁\共有47頁\編于星期二\7點三、初值問題的離散化方法

離散化方法的基本特點是依照某一遞推公式，值

,取。按節(jié)點從左至右的順序依次求出的近似

如果計算，只用到前一步的值，則稱這類方法為單步方法。如果計算需用到前r步的值,

,則稱這類方法為r步方法。當前第12頁\共有47頁\編于星期二\7點§6.2Euler方法第一步：連續(xù)變量離散化第二步：用直線步進·····Euler格式1、Euler格式當前第13頁\共有47頁\編于星期二\7點18世紀最杰出的數(shù)學家之一，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲得碩士學位。

1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學院從事研究工作，在分析學、數(shù)論、力學方面均有出色成就，并應俄國政府要求，解決了不少地圖學、造船業(yè)等實際問題。

24歲晉升物理學教授。

1735年（28歲）右眼失明。當前第14頁\共有47頁\編于星期二\7點1741年-1766（34歲-59歲）任德國科學院物理數(shù)學所所長，任職25年。在行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學、微分方程、曲面微分幾何等研究領域均有開創(chuàng)性的工作。

1766年應沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。

Euler是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。

當前第15頁\共有47頁\編于星期二\7點

在假設yi=y(xi)，即第

i

步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義2.2

若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。定義2.12、歐拉法的局部截斷誤差當前第16頁\共有47頁\編于星期二\7點歐拉法的局部截斷誤差：Ri

的主項/*leadingterm*/歐拉法具有1階精度。當前第17頁\共有47頁\編于星期二\7點例1:

用歐拉公式求解初值問題取步長。解:

應用Euler公式于題給初值問題的具體形式為：

其中。計算結(jié)果列于下表：

當前第18頁\共有47頁\編于星期二\7點

當前第19頁\共有47頁\編于星期二\7點可用來檢驗近似解的準確程度。

進行計算，數(shù)值解已達到了一定的精度。這個初值問題的準確解為，從上表最后一列，我們看到取步長當前第20頁\共有47頁\編于星期二\7點3、歐拉公式的改進：

隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+當前第21頁\共有47頁\編于星期二\7點由于未知數(shù)yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。當前第22頁\共有47頁\編于星期二\7點一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。當前第23頁\共有47頁\編于星期二\7點梯形公式

/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：梯形公式的局部截斷誤差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。當前第24頁\共有47頁\編于星期二\7點中點歐拉公式

/*midpointformula*/中心差商近似導數(shù)x0x2x1假設,則可以導出即中點公式具有2

階精度。當前第25頁\共有47頁\編于星期二\7點方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大精度提高,顯式多一個初值,可能影響精度當前第26頁\共有47頁\編于星期二\7點改進歐拉法

/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預測，算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+ny當前第27頁\共有47頁\編于星期二\7點當前第28頁\共有47頁\編于星期二\7點注:此法亦稱為預測-校正法

/*predictor-correctormethod*/可以證明該算法具有2階精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。改進的歐拉法當前第29頁\共有47頁\編于星期二\7點在實際計算時，可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合，計算公式為應用改進歐拉法,如果序列收斂,它的極限便滿足方程當前第30頁\共有47頁\編于星期二\7點改進歐拉法的截斷誤差因此，改進歐拉法公式具有2

階精度當前第31頁\共有47頁\編于星期二\7點例2:

用改進Euler公式求解例1中的初值問題，

取步長。解：對此初值問題采用改進Euler公式，其具體形式為計算結(jié)果列于下表：例1:

用歐拉公式求解初值問題當前第32頁\共有47頁\編于星期二\7點改進的Euler法Euler法當前第33頁\共有47頁\編于星期二\7點通過計算結(jié)果的比較可以看出，改進的Euler方法的計算精度比Euler方法要高。當前第34頁\共有47頁\編于星期二\7點歐拉法誤差概述當前第35頁\共有47頁\編于星期二\7點6.3龍格—庫塔方法

對許多實際問題來說，歐拉公式與改進歐拉公式精度還不能滿足要求，為此從另一個角度來分析這兩個公式的特點，從而探索一條構(gòu)造高精度方法的途徑.

當前第36頁\共有47頁\編于星期二\7點改進歐拉法當前第37頁\共有47頁\編于星期二\7點當前第38頁\共有47頁\編于星期二\7點當前第39頁\共有47頁\編于星期二\7點

當前第40頁\共有47頁\編于星期二\7點當前第41頁\共有47頁\編于星期二\7點

當前第42頁\共有47頁\編于星期二\7點三階龍格-庫塔方法三階龍格-庫塔方法是用三個值k1,k2,k3的線性組合要使三階龍格-庫塔方法具有三階精度，必須使其局部截斷誤差為O(h4)將

k1,k2,k3代入

yn+1的表達式中，在

(xn,

yn)

處用二元泰勒公式展開，與

y(xn+1)在xn處的泰勒展開式比較當前第43頁\共有47頁\編于星期二\7點類似二階龍格-庫塔方法的推導過程，8個待定系數(shù)c1,c2,c3,a2,a3,b21,b31,b32應滿足：8個未知參數(shù)，6個方程，有無窮多組解三階龍格庫塔公式當前第44頁\共有47頁\編于星期二\7點四階Runge-Kutta方法當前第45頁\共有47頁\編于星期二\7點附注：二階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達到

五階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達到

四階Runge-Kutta方法的局部截