軌道不平順分析的MATLAB程序畢業(yè)論文及實習報告

目錄第1章緒論………………11．1引言………………11．2研究背景…………21．3本文主要研究工作………………4第2章軌道隨機不平順…………………52．1軌道不平順及其形成原因………52．2軌道不平順的分類………………6第3章軌道不平順功率譜分析…………93．1軌道不平順狀態(tài)的評估方法……………………93．1．1局部不平順幅值超限評分法……………93．1．2軌道質(zhì)量指數(shù)（簡稱TQI）評價方法…………………93．1．3局部不平順幅值超限評分法與軌道質(zhì)量指數(shù)評價法的比較………103．2軌道譜研究概述………………113．2．1國外鐵路軌道譜的研究情況…………113．2．2國內(nèi)鐵路軌道譜的研究情況…………163．3國內(nèi)外軌道譜比較分析………213．3．1普通線路軌道譜的比較………………223．3．2高速線路軌道譜的比較………………243．3．3結(jié)論……………………27第4章軌道譜估計……………………284．1隨機過程及其特征描述………284．1．1隨機過程………………284．1．2平穩(wěn)隨機過程…………284．1．3隨機信號的相關函數(shù)…………………294．1．4隨機信號的功率譜……………………304．2功率譜估計的各種方法………314．2．1古典譜估計……………314．2．2最大熵譜估計…………364．2．3譜估計方法的比較分析………………374．3實測軌道譜與現(xiàn)有軌道譜的比較……………404．4線路平順性趨勢分析…………41第5章軌道不平順數(shù)值模擬…………435．1國內(nèi)外常用的數(shù)值模擬方法…………………435．1．1白噪聲濾波法及二次濾波法…………435．1．2三角級數(shù)法……………445．2逆傅氏變換法…………………455．2．1估計功率譜的Blackman-Turkey（BT）法…………465．2．2逆傅氏變換法的計算步驟……………465．2．3算例……………………48結(jié)論與展望……………50致謝……………………52參考文獻………………53附錄……………………55第1章緒論1.1引言鐵路軌道是一種特殊的結(jié)構(gòu)物，它大多支承在密實度和彈性都很不均勻的道床和路基上，其工作條件十分復雜。在線路建設和機車運行過程中，鋼軌將不可避免的產(chǎn)生左右、高低、方向、軌距等不平順，不僅對列車運行的穩(wěn)定性和舒適度產(chǎn)生不良影響，同時作為機車車輛/軌道系統(tǒng)的激擾源，將引起輪軌接觸的動作用力，對設備造成破壞。國內(nèi)外鐵路運輸系統(tǒng)的實踐證明，即使軌道結(jié)構(gòu)在強度方面完全滿足要求，而當軌道的平順性不良時，由軌道不平順所引起的車輛振動和輪軌動作用力將隨著行車速度的提高而成倍的急劇增大，增加了列車脫軌的危險。反之，若軌道的平順性滿足要求，列車的振動和輪軌動作用力不大，行車的安全和平穩(wěn)舒適度就能夠得到保證，軌道和車輛部件的壽命、維修周期也較長。軌道的平順性是線路方面制約行車速度的主要因素，是鐵路管理的核心問題。我國目前鐵路技術(shù)發(fā)展的目標是逐步實現(xiàn)客運高速、貨運重載和行車高密度。鐵路線路設備作為重要的基礎設施，將面臨快速和重載的雙重壓力。研究軌道不平順，對于機車車輛、線路的設計，車/軌系統(tǒng)動力學研究以及軌道狀態(tài)的科學評定都有重要意義。軌道不平順的產(chǎn)生和發(fā)展是很多因素共同作用的結(jié)果。受載荷的隨機性、路基的不均勻沉降、養(yǎng)護水平不同等因素影響。軌檢車是測量軌道幾何形位的檢測設備，用于檢測軌道高低、軌向、水平、軌距等不平順以及車體、軸箱的垂向及橫向振動加速度、里程、速度、鋼軌斷面等參數(shù)，采用模擬數(shù)字混合處理方法，對檢測信號進行預處理、解偏、修正補償、超限值摘取、統(tǒng)計、評價、顯示及存儲。經(jīng)軌檢車檢測并進行處理后所得到的軌道不平順數(shù)據(jù)是里程的隨機函數(shù)，應當作為隨機過程來研究。隨機過程不能用確定的數(shù)學函數(shù)關系來描述，只能考察其統(tǒng)計分布，用集平均的方式加以描述。在工程實際中，通常使用統(tǒng)計均值、自相關函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等來描述軌道不平順的統(tǒng)計特征和頻域結(jié)構(gòu)。本文中著重采用軌道功率譜密度來描述軌道不平順的幅值相對于空間頻率的分布特征，這樣得到函數(shù)圖形就稱為軌道譜圖。如上所述，軌道不平順是一個隨機過程，它可從實測數(shù)據(jù)選取某段采用，也可以根據(jù)已知功率譜密度函數(shù)的擬合公式進行數(shù)值模擬，這種從頻域向時域轉(zhuǎn)換的方法在求解車輛-軌道系統(tǒng)隨機振動響應時十分有用。目前國內(nèi)外常用的軌道不平順數(shù)值模擬方法主要有二次濾波法、三角級數(shù)法、白噪聲法以及逆傅氏變換法。本文在數(shù)值模擬方面也作了不少工作，利用文獻[1]中提出的逆傅氏變換法對美國六級線路譜做了數(shù)值模擬，再通過模擬譜線與解析譜線的比較，再次驗證了該方法的正確性和可靠性。1.2研究背景本文對軌道不平順采樣信號進行的譜分析和數(shù)值分析，均將軌道不平順信號視作均勻平穩(wěn)的隨機信號，而且可以證明這一假設是合理的，所得到的分析結(jié)果精度是足夠的。軌道不平順的統(tǒng)計特征只能依靠線路實地測量獲得。英國鐵路于1964年就開始了這項測試工作，是世界上開展這一研究最早的國家之一。目前，英國、日本、德國、美國、俄羅斯、印度、捷克等國家都測定了各自的軌道不平順的譜密度和相關函數(shù)。我國也在這方面做了不少研究工作。1982年鐵道科學研究院羅林等討論了各種軌道不平順的測量方法，用“慣性基準法”測量了軌道隨機不平順，并對大量軌檢車實測的不平順數(shù)據(jù)進行了分析處理，列舉了平穩(wěn)軌道不平順的樣本記錄功率譜密度。1985年原長沙鐵道學院隨機振動研究室將軌道不平順分為彈性和幾何不平順，對先后三次用地面測量方法在京廣線測定的軌道不平順進行分析處理得到了各種不平順譜，并且統(tǒng)計了我國Ⅰ級干線軌道不平順功率譜密度的解析表達式。但是應該認識到，兩單位早期研究中所獲得的軌道譜分辨率精度都不高，尤其是樣本數(shù)據(jù)太少（當時長沙鐵道學院測取的數(shù)據(jù)僅數(shù)百米，鐵道科學研究院測取的數(shù)據(jù)也只有數(shù)十公里），所以都不足以代表我國鐵路軌道不平順的統(tǒng)計特征。有鑒于此，20世紀90年代末，鐵道科學研究院對我國軌道不平順進行了深入細致的研究，在我國東南西北各主要干線約四萬公里軌檢車檢測數(shù)據(jù)和部分地面測量數(shù)據(jù)的基礎上，經(jīng)篩選、分類處理、統(tǒng)計分析，提出了我國主要干線高低、水平、軌向三種軌道不平順和部分軌道長波長不平順的功率譜密度，其中包括重載線、提速線、準高速線、高速試驗線、不同軌道結(jié)構(gòu)以及特大橋梁等各種情況下的軌道不平順功率譜密度[2]。國際上對采樣信號進行譜分析的研究始于18世紀，英國科學家牛頓最早給出了“譜”的概念。后來，1822年，法國工程師傅立葉提出了著名的傅立葉諧波分析理論。該理論至今依然是進行信號分析和信號處理的理論基礎。傅立葉級數(shù)提出后，首先在人們觀測自然界中的周期現(xiàn)象時得到應用。19世紀末，Schuster提出用傅立葉系數(shù)的幅度平方作為函數(shù)中功率的度量，并將其命名為“周期圖”（periodogram）。這是經(jīng)典譜估計的最早提法，這種提法至今仍被沿用，只不過現(xiàn)在是用快速傅立葉變換（FFT）來計算離散傅立葉變換（DFT），用DFT的幅度平方作為信號中功率的度量。周期圖法較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用線性回歸方程來模擬一個時間序列，Yule的工作實際上成了現(xiàn)代譜估計中最重要的方法——參數(shù)模型法譜估計的基礎。Walker利用Yule的分析方法研究了衰減正弦時間序列，得出了Yule-Walker方程，可以說Yule和Walker都是開拓自回歸模型的先鋒。1930年，著名控制理論專家Wiener在他的著作中首次精確定義了一個隨機過程的自相關函數(shù)及功率譜密度，并把譜分析建立在隨機過程統(tǒng)計特征的基礎上，即“功率譜密度是隨機過程二階統(tǒng)計量自相關函數(shù)的傅立葉變換”，這就是Wiener-Khintchine定理，該定理把功率譜密度定義為頻率的連續(xù)函數(shù)，而不再像以前定義為離散的諧波頻率的函數(shù)。1949年，Turkey根據(jù)Wiener-Khintchine定理提出了對有限長數(shù)據(jù)進行譜估計的自相關法。即利用有限長數(shù)據(jù)估計自相關函數(shù)，再對該自相關函數(shù)求傅立葉變換，從而得到譜的估計。1958年，Blackman（二階升余弦窗的提出者）和Turkey在出版的有關經(jīng)典譜估計的專著中討論了自相關譜估計方法，所以經(jīng)典譜估計的自相關法又叫BT（Blackman-Turkey）法。周期圖法和自相關法是經(jīng)典譜估計的兩個基本方法。1948年，Bartlett首次提出了用自回歸模型系數(shù)計算功率譜，自回歸模型和線性預測都用到了1911年提出的Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)，Levinson曾根據(jù)該矩陣的特點于1947年提出了解Yule-Walker方程的快速解法，這些都為現(xiàn)代譜估計的發(fā)展打下了良好的理論基礎。1965年，Cooley和Tuekey提出的FFT算法，也促進了譜估計的迅速發(fā)展。現(xiàn)代譜估計的提出主要是針對經(jīng)典譜估計（周期圖法和自相關法）分辨率低和方差性能不好的問題。1967年，Burg提出的最大熵譜估計，就是朝著高分辨率譜估計所作的最有意義的努力[3]。對于軌道隨機不平順的數(shù)值模擬，國內(nèi)外學者也作了大量的研究，現(xiàn)在國內(nèi)外常用的數(shù)值模擬方法主要有二次濾波法、三角級數(shù)法、白噪聲濾波法和逆傅氏變換法[1，4~6]，其中，逆傅氏變換法通用性強，數(shù)據(jù)處理速度快，精度較高，是一種簡單實用的方法。其它幾種方法在不同程度上都存在問題，要么通用性差，要么處理速度慢，要么精度差，因此本文中運用逆傅氏變換法進行數(shù)值模擬，以便快速準確的得到結(jié)果。1.3本文主要研究工作1、簡要分析了軌道不平順的形成原因和影響因素，介紹了軌道不平順的分類。在不失一般性的前提下，將軌道不平順視為平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，明確了研究對象的數(shù)學模型是隨機過程均勻平穩(wěn)采樣信號。2、分析比較了幾種評價軌道狀況的方法，提出建立軌道的功率密度譜才能最有效的反映軌道狀況。針對我國三大干線和鄭武線高速試驗段軌道譜、美國五、六級線路譜和德國高、低干擾軌道譜，利用MATLAB繪制各種軌道譜的譜線并分析比較它們之間的差異，得到了我國軌道譜的優(yōu)劣與適用條件。3、根據(jù)已有的軌道不平順實際檢測數(shù)據(jù)（京廣線K80~K90區(qū)間下行線左鋼軌高低不平順檢測數(shù)據(jù)（已作預處理）），運用多種功率譜估計方法，利用MATLAB編程計算，得到相應的軌道不平順功率譜密度曲線，即軌道譜圖,并對這幾種譜估計方法進行分析比較，得到各種譜估計方法的優(yōu)劣。4、針對上述軌道譜圖，綜合線路實際條件，分析了該路段軌道不平順的發(fā)展變化趨勢，提出了一些具有針對性的養(yǎng)護維修意見。5、基于美國六級線路譜，利用MATLAB編程實現(xiàn)軌道隨機不平順時域樣本的數(shù)值模擬（逆傅氏變換法），得到軌道不平順時域的隨機樣本，再將時域樣本反衍，與功率譜的解析解比較，驗證該方法的正確性和可靠性。

第2章軌道隨機不平順2.1軌道不平順及其形成原因鐵路軌道由于列車車輪的作用，軌面會產(chǎn)生不均勻磨耗，軌頭會被磨傷，在無縫線路時存在焊接接頭，在列車和環(huán)境溫度載荷作用下，軌道的幾何形狀會發(fā)生惡化，使軌道不再處于平順狀態(tài)。在線路的平直區(qū)段，鋼軌并不是呈理想的平直狀態(tài)，兩根鋼軌在高低和左右方向上相對于理想的平直軌道呈某種波狀變化而產(chǎn)生偏差，這種幾何參數(shù)的偏差就稱為軌道的不平順。軌道在沒有車輪載荷作用時所呈現(xiàn)的不平順稱為靜態(tài)不平順；車輛沿軌道運行時，軌道在車輪載荷作用下沿長度方向每點呈現(xiàn)不均勻的彈性下沉，由此形成的不平順稱為動態(tài)不平順。圖2-1軌道不平順的狀態(tài)軌道不平順是輪軌系統(tǒng)的激擾源，是引起機車車輛產(chǎn)生振動和輪軌動作用力的主要原因，對行車安全、平穩(wěn)、舒適性、車輛和軌道部件的壽命以及環(huán)境噪聲等都有重要影響。在快速高速、重載行車條件下，軌道不平順對行車的影響更大，是軌道方面直接限制提高行車速度的主要因素。軌道平順性也是軌道結(jié)構(gòu)綜合性能和承載能力的重要體現(xiàn)。軌道不平順還是機車車輛動力學設計，確定懸掛減震參數(shù)不可缺少的主要輸入函數(shù)，為了研究輪軌相互作用，研究車輛、軌道動力學性能，進行動力學試驗、計算機仿真，都需要深入研究軌道不平順。軌道不平順的形成和發(fā)展是諸多具有隨機性的因素共同作用的結(jié)果，這些因素包括：鋼軌的初始平直性，鋼軌磨耗、損傷，鋼軌間距不均、質(zhì)量不一，線路施工高程偏差，道床的級配和強度不均、松動、臟污、板結(jié)、路基下沉不均勻、剛度變化，道床、路基的不均勻殘余變形積累，機車車輛時刻變化的動力作用，以及雨雪、氣溫、地震等自然環(huán)境因素，它們綜合作用，造成了軌道不平順的隨機特性。實際運營中的軌道不平順都是經(jīng)常變化的，顯得很不規(guī)則。通常不同位置的軌道不平順幅值和波長都各不相同。所以軌道不平順波形不能用單一的簡諧、三角、指數(shù)或拋物線等規(guī)則的波形來描述，可以看作是由許多無法預知的不同頻率、不同幅值、不同相位的簡諧波疊加而成的復雜的隨機波。從本質(zhì)上講，軌道不平順是一個隨機過程，是里程位置的隨機函數(shù)，任一特定區(qū)段的軌道不平順可看成隨機過程的一個樣本。軌道不平順的隨機性特征決定了軌道不平順的描述不能用一個明確的數(shù)學表達式來表示，而只能用隨機振動理論中描述隨機數(shù)據(jù)的“均方差”、“方差”和“功率譜密度函數(shù)”等統(tǒng)計函數(shù)來表達軌道不平順的特征，從時域、頻域?qū)壍啦黄巾樀姆堤卣?、波長結(jié)構(gòu)以及是否包含周期性波形等作全面的描述。此外，對于軌道不平順的局部特征，可以用幅值、半波長、四分之一波長變化率以及平均變化率等參量來表述[7]。圖2-2軌道不平順實測波形（高低不平順）2.2軌道不平順分類軌道幾何不平順主要可以分為以下五種[8]：1、軌道高低不平順軌道高低變化是垂直方向的不平順，是指鋼軌表面在同一輪載作用下形成的沿長度方向的高低不平，是由于軌面不均勻的磨耗、低接頭、彈性墊層和軌枕、道床、路基的彈性不均、各扣件和部件間的扣緊程度和間隙不等、軌枕底部有暗坑、道床和路基的永久變形等原因所造成的。軌道高低不平順如圖2-3中所示。圖2-3軌道高低不平順軌道高低不平順是引起機車車輛豎向振動，使輪軌間產(chǎn)生巨大慣性力的主要因素。研究表明：波長大的不平順對車體振動的影響較大，幅值及幅值相應的平均變化率較大也是大的不平順，會引起車體強烈振動。波長較短或變化率較大的高低不平順使輪軌間產(chǎn)生激烈的沖擊，引起極大的相互作用和很大的簧下加速度。高低不平順的數(shù)值以左右軌高低不平順平均值來表示：。2、軌道水平不平順軌道水平不平順是指左右軌對應點的高差所形成的沿長度方向的不平順，是由軌道高低不平順所派生的，是使機車車輛產(chǎn)生側(cè)滾的主要原因。當水平不平順幅值較大，并接連不斷，頻率與車輛側(cè)滾的自振頻率相近時，車輛將產(chǎn)生較大的左右傾斜振動，使車輪一側(cè)輪載增大，另一側(cè)減小，形成脫軌條件，影響行車安全。軌道水平不平順如圖2-4中所示。水平不平順的數(shù)值以兩股鋼軌頂面水平偏差沿軌道方向的變化率來表示：。3、軌道軌距不平順軌距不平順是指左右兩根鋼軌的軌距沿長度方向上的偏差，軌距不平順對輪軌磨耗和車輛運行穩(wěn)定性和安全性影響較大，軌距過大還會引起掉道。軌距不平順如圖2-4中所示。軌距不平順的數(shù)值用實際軌距與名義軌距之差來表示：。圖2-4軌道水平不平順和軌距不平順4、軌道方向不平順軌道方向不平順是指左右兩根鋼軌沿長度方向在橫向水平面內(nèi)呈現(xiàn)的彎曲不直，是由軌道鋪設時的原始彎曲、養(yǎng)護和運用中積累的軌道橫向彎曲變形等原因造成的。方向不平順會引起機車車輛的橫移-側(cè)滾振動，使得輪對產(chǎn)生很大的橫向水平力和側(cè)滾力矩（尤其是強制機車車輛輪對的蛇形運動），對于車輛，很大的橫向水平力容易造成脫軌系數(shù)超過允許值而導致脫軌。軌道方向不平順如圖2-5中所示。圖2-5軌道方向不平順軌道方向不平順的數(shù)值以實際軌道中心線相對于理論中心線的偏差來表示：。5、三角坑不平順三角坑不平順是指軌道一定間隔的水平不平順的變化量，它是軌道在平面上的扭曲狀態(tài)。存在三角坑的地方，不僅車輛搖晃嚴重，而且會出現(xiàn)所謂三輪支撐、一輪懸空（或大大減載）容易出軌的危險狀態(tài)。

第3章軌道不平順功率譜分析3.1軌道不平順狀態(tài)的評估方法測得各種軌道不平順的數(shù)據(jù)后，需對軌道平順狀態(tài)進行科學評價，診斷不平順的嚴重程度，以確定列車運行的速度限值和指導維修、養(yǎng)護等工務作業(yè)。評定診斷軌道平順狀態(tài)好壞和惡化程度的依據(jù)，是軌道不平順對機車車輛響應的影響和經(jīng)驗。我國對軌道不平順狀態(tài)的評價方法主要采用局部不平順幅值超限評分法[7](即峰值扣分法)和軌道質(zhì)量指數(shù)法[7]兩種。3.1.1局部不平順幅值超限評分法局部不平順幅值超限評分法從軌道幾何尺寸指標、動力學指標的角度出發(fā)，根據(jù)軌道局部不平順超限等級，以一公里為單位計算總扣分的方式來評價軌道的質(zhì)量。檢查評定項目包括軌距、水平、高低、軌向、三角坑、車體垂向振動加速度和橫向振動加速度共七項。局部不平順幅值超限評分法把軌道動態(tài)幾何尺寸允許偏差管理值按線路允許速度分為四級：I級為保養(yǎng)標準，每處扣1分；II級為舒適度標準，每處扣5分；III級為臨時補修標準，每處扣100分；Ⅳ級為限速標準，每處扣301分。每公里扣分總數(shù)按下式計算：(3-1)式中，為每公里扣分數(shù)；為各級扣分數(shù)，，，，，即一級、二級、三級、四級扣分分別為1分、5分、100分和301分；為各項的權(quán)系數(shù)，目前均取值為1；為各項不平順各級偏差的個數(shù)，，。按上式計算結(jié)果，按每公里總的扣分數(shù)的多少，把軌道質(zhì)量狀態(tài)分為如下三種：優(yōu)良：分；合格：分；失格：分。3.1.2軌道質(zhì)量指數(shù)（簡稱TQI）評價方法《鐵道建筑》在1994年以講座的形式連續(xù)刊出了四篇文章，分別介紹了TQI在國外鐵路中的應用概況、TQI的基本概念及計算機處理技術(shù)、TQI數(shù)據(jù)庫管理軟件的開發(fā)、TQI在濟南鐵路局線路維修工作中的實踐和效果。這些成果為TQI技術(shù)在我國鐵路中的應用打下了堅實的基礎。此后，鐵路相關科技人員在實踐中又不斷探索，總結(jié)TQI在我國干線中的應用情況，從檢測數(shù)據(jù)的可靠性、TQI在工程中的應用等方面都提出了有益的研究成果，完善了我國鐵路軌道狀態(tài)的管理方法。TQI從統(tǒng)計學（離散性），物理學（軌道質(zhì)量均衡性）的角度（相對峰值扣分法）反映軌道狀態(tài)的惡化程度，是衡量軌道區(qū)段整體質(zhì)量狀態(tài)的綜合指標，可以作為工務部門編制軌道維修、養(yǎng)護計劃，指導作業(yè)的依據(jù)，是對軌道質(zhì)量狀態(tài)進行宏觀管理和質(zhì)量控制的重要手段。以200m軌道區(qū)段作為單元區(qū)段，分別計算單元區(qū)段內(nèi)左、右高低、左、右軌向、軌距、水平、三角坑七項幾何參數(shù)的標準差。各單項幾何不平順幅值的標準差稱為單項指數(shù)，七個單項指數(shù)之和作為評價該單元區(qū)段軌道平順性綜合質(zhì)量狀態(tài)的軌道質(zhì)量指數(shù)。其計算公式為：(3-2)式中，為單項幾何參數(shù)標準差，；為單元區(qū)段中采樣點的個數(shù)，200m單元區(qū)段中點；為各項參數(shù)在單元區(qū)段中采樣點的幅值，點；為各項參數(shù)在單元區(qū)段中連續(xù)點幅值的平均值。3.1.3局部不平順幅值超限評分法與軌道質(zhì)量指數(shù)評價法的比較局部不平順幅值超限評分法能夠找出軌道的局部病害及病害的類型、程度和所在位置，作為指導現(xiàn)場緊急補修非常實用，但僅用超限點峰值的大小、超限的數(shù)量及扣分多少，不能全面地評價軌道區(qū)段的質(zhì)量狀態(tài)，比如不能反映周期性不平順所產(chǎn)生的諧波的影響。軌道質(zhì)量指數(shù)評價法能夠判別軌道質(zhì)量的均衡性，能做出更為符合實際情況的評價。但是這兩種方法都是從軌道不平順幅值的角度出發(fā)來評價軌道平順狀態(tài)的，因此都具有一些局限性。而軌道不平順的功率譜密度能清楚地表明某一段軌道不平順所包含的波長成份及各波長成分的均方值密度，能夠提供軌道不平順幅值和波長兩方面的信息，可以對利用局部不平順幅值超限評分法和軌道質(zhì)量指數(shù)評價法對軌道平順性進行評定時做出有益的補充。在我國，許多科技人員已經(jīng)做了大量工作，但是還沒有形成較為通用的軌道譜，鐵路平順狀態(tài)的評定和管理應用中，軌道譜的應用也十分有限。鑒于此，本文針對軌道譜做了進一步深入的研究，下面簡單介紹軌道譜的研究概況。3.2軌道譜研究概述3.2.1國外鐵路軌道譜的研究情況軌道隨機不平順的統(tǒng)計特征只能依靠線路實地測量獲得。自二十世紀60年代中期以來，國外很多國家已開始了實地測試工作，對軌道不平順的功率譜進行研究。迄今為止，國外軌道譜的研究已經(jīng)相當完善，極具參考價值。下面簡單介紹國外比較典型的軌道不平順功率譜密度[2]。美國軌道不平順軌道譜美國運輸部聯(lián)邦鐵路總署（FRA）制定的鐵路安全法規(guī)（安全標準）將美國鐵路按平順狀態(tài)的安全限度和相應的允許速度分為六個等級（98年又增補三個高速等級變?yōu)?個等級），并公布了六個等級線路軌道不平順的功率譜密度，其擬合曲線函數(shù)表達式如下（單位：）：高低不平順：(3-3)軌向不平順：(3-4)水平不平順和軌距不平順具有相同的譜密度表達式：(3-5)式中，為軌道不平順功率譜密度；為軌道不平順的空間頻率；、是粗糙度常數(shù)；、是截斷頻率；是安全系數(shù)，可根據(jù)要求在0.25~1.0之間選取，一般取為0.25。上述各式中的諸參數(shù)值見表3-1，可見，由于參數(shù)值的不同，不同等級線路的同一名稱的譜密度曲線也是不同的。表中還同時列出了根據(jù)安全標準制定的不同等級線路所允許的車輛最高運行速度。表3-1美國軌道譜的參數(shù)值參數(shù)線路等級一級二級三級四級五級六級1.21071.01810.68160.53760.20950.03393.36341.21070.41280.30270.07620.03390.60460.93080.85201.13120.82090.43800.82450.82450.82450.82450.82450.8245允許最高速度/（km/h）貨車16406496128176客車244896128144176美國六個級別線路的功率譜密度（PSD）是在約7萬英里的各級線路狀態(tài)數(shù)據(jù)庫中，每級選取5-10個區(qū)段的軌道不平順檢測數(shù)據(jù)，經(jīng)計算統(tǒng)計分析得出的。這些區(qū)段每個長8-16公里，廣泛分布在整個美國，并反映了各鐵路公司軌道運營情況和養(yǎng)修狀態(tài)。圖3-1、3-2、3-3為根據(jù)美國軌道譜公式(3-3)、(3-4)和(3-5)，經(jīng)過單位變換（橫坐標均變成波長/，縱坐標為功率譜密度/），利用MATLAB編程繪出美國六級線路譜，分別為高低、方向和水平和軌距不平順。（具體程序詳見附錄1）圖3-1美國六級高低不平順軌道譜圖3-2美國六級方向不平順軌道譜圖3-3美國六級水平及軌距不平順軌道譜德國軌道不平順軌道譜20世紀80年代初，德國在進行高速列車理論研究時采用了式(3-6)、(3-7)和(3-8)的軌道譜分析式：高低不平順：(3-6)軌向不平順：(3-7)水平不平順：(3-8)這里，高低、方向不平順功率譜密度、的單位為；水平不平順由于采用傾角度量，因而其功率譜密度的單位為；為軌道不平順的空間頻率；、、是截斷頻率；、是粗糙度常數(shù)；為左右滾動圓距離之半,一般可取0.75。德國不平順軌道譜沒有給出軌距不平順的功率譜密度表達式，但規(guī)定軌距不平順在-3~3范圍內(nèi)變化。一般軌距不平順與水平不平順具有相同的功率譜密度表達式，據(jù)此，文獻[2]提議了一種軌距不平順功率譜密度的表達式：(3-9)低干擾水平系數(shù)、高干擾水平系數(shù)和截斷頻率見表3-2，其中是基于軌距不平順在-3-3范圍內(nèi)變化時經(jīng)試算得出的參考值。表3-2德國軌道譜粗糙度系數(shù)及截斷頻率軌道級別低干擾高干擾圖3-4、3-5、3-6為根據(jù)德國軌道譜公式(3-6)、(3-7)和(3-8)，經(jīng)過單位變換（橫坐標均變成波長/，縱坐標為功率譜密度/），利用MATLAB編程繪出的德國低干擾線路譜，分別為高低、方向和水平不平順譜。（具體程序見附錄1）圖3-4德國低干擾高低不平順軌道譜圖3-5德國低干擾方向不平順軌道譜圖3-6德國低干擾水平不平順軌道譜3.2.2國內(nèi)鐵路軌道譜的研究情況我國對軌道不平順功率譜密度的應用較晚，但研究工作起步較早，60~70年代長沙鐵道學院、鐵道科學院就已用地面檢測和軌檢車檢測等不同方法獲得了數(shù)百米和數(shù)十公里高低、水平、軌向不平順的軌道譜。此后，很多鐵路科技人員對軌道譜展開了深入的研究，取得了一些重要成果，下面簡單加以概述[2]。長沙鐵道學院隨機振動研究室建議的軌道譜長沙鐵道學院等單位分別于1965年9月、79年10月、82年11月，用地面測量法先后三次在京廣線上對軌道不平順進行了實測，并用傅氏變換法和最大熵譜估計法，求得了京廣線鄭州－五里堡區(qū)間（普通線路），京廣線猴子石－長沙南站（普通線路），京廣線桃林一范家園（無縫線路）三段約數(shù)百米的軌道無輪載作用時，和輪載作用下高低、軌向、水平、軌距四種不平順的功率譜密度，建議使用的一級鐵路干線的軌道不平順功率譜密度的表達式如下：軌道高低不平順：(3-10)軌道方向不平順：(3-11)軌道水平不平順：(3-12)軌道軌距不平順：(3-13)以上各式中，軌道不平順功率譜密度的單位為；是空間頻率。鐵道科學研究院建議的軌道譜1999年7月鐵道科學院完成的鐵道部重點課題“我國干線軌道不平順功率譜”，對軌道譜的數(shù)據(jù)采集、處理、計算、分析進行了較全面深入地研究，提出了我國主要干線和不同軌道結(jié)構(gòu)、質(zhì)量狀態(tài)以及曲線、橋梁、焊縫等特殊地段的軌道譜，軌道高低、水平、軌向不平順功率譜密度采用系數(shù)不同的同一解析式表達：(3-14)式中，為軌道不平順功率譜，為空間頻率，為軌道不平順功率譜密度的特征系數(shù)，對不同線路和不同類型的軌道不平順有不同的數(shù)值。表3-3和表3-4分別給出了我國京哈、京廣、京滬三大提速干線和鋼軌超長無縫線路軌道的特征參數(shù)，后者實質(zhì)上是基于1998年鄭武（鄭州—武昌）線以上高速試驗段軌道狀態(tài)的測試結(jié)果而擬合得出的，因而也可稱之為鄭武線高速試驗段軌道譜。表3-3我國京滬、京廣、京哈三大干線軌道譜的特征參數(shù)參數(shù)ABCDEFG左軌高低1.1029-1.47090.59410.84803.8016-0.25000.0112右軌高低0.8581-1.46070.58480.04072.8428-0.19890.0094左軌軌向0.2244-1.57460.6683-2.14661.7665-0.15060.0052右軌軌向0.3743-1.58940.72650.43530.9101-0.02700.0031水平0.1214-2.16032.02144.50892.2227-0.03960.0073注：測量時三大干線提速目標為。圖3-7、3-8、3-9為根據(jù)鐵科院軌道譜公式(3-14)，經(jīng)過單位變換（橫坐標均變成波長/，縱坐標為功率譜密度/），利用MATLAB編程繪出中國三大干線譜，分別為高低、方向和水平不平順，譜線均用左軌參數(shù)作出。（具體程序詳見附錄1）圖3-7三大干線左軌高低不平順軌道譜圖3-8三大干線左軌軌向不平順軌道譜圖3-9三大干線水平不平順軌道譜表3-4鄭武線高速試驗段軌道譜的特征參數(shù)參數(shù)ABCDEFG左軌高低0.1270-2.15311.55034.98351.3891-0.03270.0018右軌高低0.3326-1.37570.54972.49070.40570.0858-0.0014左軌軌向0.0627-1.18400.67732.1237-0.08470.0340-0.0005右軌軌向0.1595-1.38530.66712.33310.25610.0928-0.0016水平0.3328-1.35110.54151.84370.38130.2068-0.0003注：試驗段最高試驗速度達到。圖3-10、3-11、3-12為根據(jù)鐵科院軌道譜公式(3-14)，經(jīng)過單位變換（橫坐標均變成波長/，縱坐標為功率譜密度/），利用MATLAB編程繪出的鄭武線高速試驗段軌道譜，分別為高低、方向和水平不平順。（具體程序詳見附錄1）圖3-10鄭武線高速試驗段左軌高低不平順軌道譜圖3-11鄭武線高速試驗段左軌軌向不平順軌道譜圖3-12鄭武線高速試驗段水平不平順軌道譜軌道短波不平順功率譜以上的軌道不平順功率譜的波長范圍都在幾米到幾十米范圍內(nèi)，所以它們一般只能滿足機車車輛和橋梁結(jié)構(gòu)的低頻隨機振動分析，無法滿足軌道結(jié)構(gòu)隨機振動研究的需要，因為簧下質(zhì)量和軌下結(jié)構(gòu)的振動主頻可達數(shù)百到數(shù)千赫茲。為此，1988年鐵科院王瀾在博士論文中對我國石太（石家莊—太原）線的軌道垂向短波不平順進行了實測，測量方法是采用地面測量方式，用Colmar鋼軌磨耗測量儀進行測量，經(jīng)回歸分析，提出了我國鋼軌線路垂向短波不平順的功率譜密度函數(shù)的表達式，其波長范圍為0.01~1，即(3-15)式中，的單位為；是空間頻率。3.3國內(nèi)外軌道譜比較分析由于我國至今沒有軌道譜標準，3.2.2節(jié)介紹了根據(jù)實測軌道幾何參數(shù)得出的我國幾種軌道譜的研究結(jié)果，其中最具代表性的當屬京滬、京廣、京哈三大干線軌道譜和鄭武線高速試驗段軌道譜。然而，尚不清楚它們的基本特征是什么？與國外典型軌道譜有何差異？為了便于我們在動力學分析中正確選取軌道隨機不平順激擾，有必要探明這些問題。3.3.1普通線路軌道譜的比較首先比較常規(guī)速度運行條件下的軌道譜。我國普通線路以京滬、京廣、京哈三大提速干線為例，其軌道譜適用于以下速度；國外普通線路軌道譜選取美國AAR標準五級線路譜（適用于以下速度）及六級線路譜（適用于以下速度）。為了方便比較，必須先將它們換算成同一單位（此處均換算成波長－功率譜密度），對于公式(3-3)、(3-4)的美國譜和公式(3-14)的中國干線譜換算過程如下：設空間波長為，則，，根據(jù)能量守恒有，則可得：對于美國譜：高低不平順：(3-16)方向不平順：(3-17)由此可得、的單位為。對于三大干線譜：(3-18)由于根據(jù)上式無法推倒出的單位，故利用，由的單位可得到的單位為。經(jīng)過單位換算后，在MATLAB中編寫程序可以得到以下普通線路軌道譜比較圖：（具體程序詳見附錄1）圖3-13普通線路軌道高低不平順功率譜密度圖3-14普通線路軌道方向不平順功率譜密度圖3-13、3-14分別給出了1~30波長范圍內(nèi)（當時我國軌檢車僅能測量1~30波長范圍），美國五、六級線路譜和中國三大干線譜的高低不平順功率譜密度的對比結(jié)果和方向不平順功率譜密度的對比結(jié)果。由圖3-13可見，我國三大干線軌道譜的高低不平順總體上介于美國五級譜和六級譜之間。具體比較結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在1~25波長范圍內(nèi)，中國三大干線軌道譜高低不平順數(shù)值小于美國五級譜而大于美國六級譜；在25~30波長范圍內(nèi)，我國三大干線譜還略優(yōu)于美國六級譜。由于長波不平順主要影響車輛運行平穩(wěn)性，短波不平順對輪軌動力作用有重要影響，由此可推知，在我國三大干線譜激擾下，中低速列車垂向平穩(wěn)性要優(yōu)于美國五級譜下的舒適度，但較美國六級譜的舒適度要差。由圖3-14可以看出，我國三大干線軌道譜的方向不平順總體大于美國五級譜和六級譜數(shù)值，這表明線路方向幾何狀態(tài)較差。具體比較結(jié)果如下：與美國六級譜相比，在1~25波長范圍內(nèi)，我國三大干線譜密度值明顯較大，而在25以上的少許波長下，三大干線譜密度值要小些；與美國五級譜相比，在7~20波長范圍內(nèi)，二者的功率譜密度非常接近，波長大于20時，三大干線譜優(yōu)于美國五級譜，波長小于7時，前者差于后者。因此可以預計，車輛在我國三大干線上的橫向平穩(wěn)性與美國五級譜條件下的基本相當，但差于美國六級譜下的舒適性，而輪軌橫向動力作用性能均不及美國五級、六級線路情形。3.3.2高速線路軌道譜的比較關于高速運行條件下的軌道譜，國外最典型的標準要數(shù)德國軌道譜，包括低干擾（適合及其以上速度）和高干擾譜（適合以下速度）兩種，我國尚無高速軌道譜標準，1998年曾在鄭武線上按高速運行要求改造了一段所謂高速試驗段（試驗段從許昌至小商橋之間，曾創(chuàng)下當時中國鐵路最高試驗速度），通過軌檢車測量并擬合了軌道譜，這里就以此作為比較對象。同樣對德國軌道譜進行單位變換，得高低不平順：(3-19)方向不平順：(3-20)由此可得、的單位為。經(jīng)過單位換算后，在MATLAB中編寫程序可以得到以下高速線路軌道譜比較圖：（具體程序詳見附錄1）圖3-15高速線路軌道高低不平順功率譜密度圖3-16高速線路軌道方向不平順功率譜密度圖3-15、3-16分別給出了德國低干擾譜、高干擾譜和鄭武段高速軌道譜的高低不平順及方向不平順功率譜密度在1~30波長范圍內(nèi)的對比結(jié)果。文獻［2］中通過地面測量得到了30以上的長波高低不平順，這是因為長波不平順對高速列車運行的舒適度影響很大。根據(jù)圖3-15和圖3-16的結(jié)果可知：對于高低不平順，中國高速試驗段軌道譜與德國高干擾譜互有優(yōu)劣，在7~10波長范圍內(nèi)，二者的功率譜密度值相差不多；在10~30波長范圍內(nèi)，中國譜密度值要比德國高干擾譜的功率譜密度值??；而在1~7波長范圍內(nèi)，中國譜密度值要比德國高干擾譜的功率譜密度值大一些。中國高速試驗譜與德國低干擾譜相比，從波長1~30范圍內(nèi)，中國高速試驗譜明顯要差。由于長波不平順對高速列車運行舒適性有重要影響，短波不平順對高速列車的動力特性影響較大，故可以推斷，對于垂向舒適度，中國高速試驗譜要優(yōu)于德國高干擾譜，而比德國低干擾譜差；而對于輪軌垂向動力作用性能，中國高速試驗譜不僅差于德國高干擾譜，更差于德國低干擾譜。對于方向不平順，在1~15波長范圍內(nèi)，中國高速試驗段軌道譜要差于德國高干擾譜和低干擾譜，尤其對數(shù)米以下波長非常明顯；在15~30波長范圍內(nèi)，中國高速試驗段軌道譜略優(yōu)于德國高干擾軌道譜，但明顯劣于德國低干擾譜。同樣可以推斷，在德國低干擾譜激擾下列車橫向運行舒適性優(yōu)于其它兩種譜下的舒適性，而中國高速試驗譜激擾下的車輛橫向舒適性接近于德國高干擾譜激擾結(jié)果。3.3.3結(jié)論=1\*GB3①我國三大干線譜高低不平順在25以下波長范圍內(nèi)，比美國五級線路譜要好，比美國六級線路譜要差。=2\*GB3②我國三大干線軌道譜的方向不平順在7~20的波長范圍內(nèi)基本與美國五級線路譜相當，在1~7的波長范圍內(nèi)尚不如美國五級線路譜好，在25以下波長范圍均比美國六級線路譜明顯要差。=3\*GB3③中國高速試驗段軌道譜的高低不平順在7~30波長范圍內(nèi)，其高低不平順和方向不平順基本與德國高干擾譜相當，而在1~7波長范圍內(nèi)的高低和方向不平順，尚不如德國高干擾譜，離德國低干擾譜相差很遠。

第4章軌道譜估計在第1章已經(jīng)提到，軌道不平順影響因素的多樣性和隨機性決定了軌道不平順的隨機性，沿線路長度方向的軌道不平順可以看作一個隨機過程，軌道不平順是里程的隨機函數(shù)，任一特定區(qū)段的軌道不平順可以看作隨機過程的一個樣本。所以軌道不平順不能用一個確定的數(shù)學表達式來描述，只能應用隨機信號理論[3]加以描述。4.1隨機過程及其特征描述4.1.1隨機過程隨機過程通常用表示，定義為兩個自變量和的一個集合函數(shù)。其中，是隨機變量族的樣本空間，是參數(shù)的集合。隨機過程能以兩種方法描述：1、表示成隨機變量族，對任何固定的，是隨機變量。2、表示成上的一個函數(shù)集，對任何固定的，是一個樣本函數(shù)，或稱為過程的一個實現(xiàn)。4.1.2平穩(wěn)隨機過程1．嚴平穩(wěn)過程——從n維概率分布函數(shù)出發(fā)設是一個隨機過程，如果對于任意的，過程與有同樣的分布，即(4-1)對一切有限集和任意都成立，則稱為嚴平穩(wěn)過程（也稱狹義平穩(wěn)過程或強平穩(wěn)過程）。嚴平穩(wěn)過程描述的物理系統(tǒng)，其任意的有限維分布不隨時間改變。注意，只是分布不隨時間變化，并不涉及服從什么分布。2．寬平穩(wěn)過程——只考慮一階矩和二階矩設是一個隨機過程，如果有=1\*GB3①為二階矩過程，即，(4-2)=2\*GB3②為常數(shù)，且相關函數(shù)只與時間間隔有關，而與起點無關，即(4-3)其中，為隨機過程的自相關函數(shù)，則稱為一個寬平穩(wěn)過程（也稱廣義平穩(wěn)過程或弱平穩(wěn)過程），簡稱平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程；反過來，嚴平穩(wěn)過程也不一定是寬平穩(wěn)過程，因為寬平穩(wěn)過程必須是二階矩過程。3．各態(tài)歷經(jīng)性如果隨機過程任一樣本函數(shù)的時間平均等于過程的集合平均，則稱隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的或各態(tài)遍歷的，即，如果有(4-4)則稱為均值各態(tài)歷經(jīng)過程；如果有(4-5)則稱為自相關各態(tài)歷經(jīng)隨機過程?？梢姡瑢Ω鲬B(tài)歷經(jīng)隨機過程，可以用一個樣本函數(shù)的時間平均計算隨機過程的集合平均。這一點為實際操作帶來很大的方便，因為對一個樣本過程進行長時間統(tǒng)計比同時對許多樣本進行統(tǒng)計要容易實現(xiàn)。本文計算所涉及的隨機數(shù)據(jù)均看作廣義平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程。4.1.3隨機信號的相關函數(shù)平穩(wěn)隨機信號的自相關函數(shù)定義為(4-6)式中是平穩(wěn)隨機信號，代表取共軛，如果是實隨機信號，則上式成為(4-7)平穩(wěn)隨機信號的相關函數(shù)具有如下性質(zhì)：=1\*GB3①若為實信號，則為實偶函數(shù)，即(4-8)(4-9)若為復信號，則共軛偶對稱，即(4-10)本文所用到的隨機信號均為實隨機信號。=2\*GB3②在時，取得最大值，即且就是序列的平均功率，即(4-11)=3\*GB3③維納-辛欽定理隨機信號自相關函數(shù)的傅立葉變換是信號的功率譜密度。如果用表示隨機信號序列的功率譜密度，則有(4-12)(4-13)在式中令，可得(4-14)因為為信號的平均功率，所以將稱為隨機信號的功率譜密度(PSD)或功率譜密度譜，簡稱功率譜。4.1.4隨機信號的功率譜對確定性能量信號，可以用FFT（快速傅立葉變換）作頻譜分析，得到頻域特性。對于平穩(wěn)隨機信號，因為是無限能量的信號，故其傅立葉變換不存在（在z平面的單位圓上不滿足絕對可和的條件）。由于自相關函數(shù)序列是一個能量有限的確定性序列，故能滿足序列傅立葉變換絕對可和的條件。由維納-辛欽定理可知，對序列求傅立葉變換得到的就是序列的功率譜。平穩(wěn)隨機信號的功率譜具有如下性質(zhì)：=1\*GB3①不論是實序列還是復序列，都是的實函數(shù)。=2\*GB3②如果是實序列，具有偶對稱性。=3\*GB3③對所有的都是非負的，且是的周期函數(shù)，周期為。4.2功率譜估計的各種方法根據(jù)維納-辛欽定理，廣義平穩(wěn)隨機過程的功率譜是自相關函數(shù)的傅立葉變換，它取決于無限多個自相關函數(shù)值。但對于許多實際應用問題，可資利用的觀測數(shù)據(jù)往往是有限的，所以要準確計算功率譜通常是不可能的。比較合理的目標是設法得到功率譜的一個好的估計值，這就是功率譜估計。也就是說，功率譜估計是根據(jù)平穩(wěn)隨機過程一個實現(xiàn)的有限個觀測值，來估計隨機過程的功率譜密度（PSD）。這里涉及到兩個問題，怎樣評價一個估計是好的估計？怎樣得到好的估計？功率譜估計評價指標包括客觀度量和統(tǒng)計度量。在客觀度量中，譜分辨率特性是一個主要指標。譜分辨率是指估計譜對真實譜中兩個靠的很近的譜峰的分辨能力。統(tǒng)計度量是指估計的偏差、方差、均方誤差、一致性等評價指標。但需要注意的是，對統(tǒng)計特性的分析方法只適用于長數(shù)據(jù)記錄。所以，利用統(tǒng)計度量對不同的譜估計方法進行比較是不妥當?shù)?，只能用來對某種譜估計方法進行描述，并且一般只用來描述古典譜估計方法，因為現(xiàn)代譜估計方法往往用于短數(shù)據(jù)記錄情況。至于怎樣得到好的估計，這就是后面將要介紹的各種譜估計方法。這些方法主要分為兩大類。通常，將以傅立葉分析為理論基礎的譜估計方法叫做古典譜估計方法或經(jīng)典譜估計方法；而把不同于傅立葉分析的新的譜估計方法叫做現(xiàn)代譜估計或近代譜估計。本文主要介紹了古典譜估計和最大熵譜估計，分述如下：4.2.1古典譜估計古典譜估計主要有相關法（間接法）和周期圖法（直接法）兩種，以及由此派生出來的各種改進算法。相關法譜估計相關法譜估計是以相關函數(shù)為媒介來計算功率譜，所以又叫間接法。它的理論基礎是維納-辛欽定理，因為是由Blackman和Turkey提出的，所以又叫BT法。其具體步驟如下：第一步：由獲得的點數(shù)據(jù)構(gòu)成的有限長序列來估計自相關函數(shù)序列，即(4-15)這一步要注意三個問題：=1\*GB3①是雙邊序列，自變量的取值范圍應為。對實數(shù)序列，由自相關函數(shù)的偶對稱性，只需求出的，另一半也就知道了。=2\*GB3②因為得到的只是的個觀測值，所以對時的的值只能假設為零。=3\*GB3③為了較少地使用已知數(shù)據(jù)段之外的數(shù)據(jù)，通常取。所以，計算自相關函數(shù)時只需求出的（這里），然后利用求出另一半。第二步：由自相關函數(shù)的傅立葉變換求功率譜，即(4-16)以上兩步中經(jīng)歷了兩次截斷，一次是估計時僅利用了的個觀測值，這相當于對加矩形窗截斷。該窗是加在數(shù)據(jù)上的，一般稱為加數(shù)據(jù)窗。另一次是估計時僅利用了從到的，這相當于對加矩形窗截斷，將截成長，這稱為加延遲窗。式中的和分別表示對和的估值。由于，使得式(4-16)的運算量不是很大，因此，在FFT問世之前，相關法是最常用的譜估計方法。當FFT問世后情況有所變化。因為截斷后的可視作能量信號，由相關卷積定理，可將式(4-15)寫為(4-17)對上式兩邊取點的DFT，并將時域卷積變?yōu)轭l域乘積，有(4-18)于是可得用FFT求的完整方案如下：=1\*GB3①對長的充個零，成為長的。=2\*GB3②求點的FFT，得(4-19)=3\*GB3③求。=4\*GB3④求點的IFFT，得(4-20)=5\*GB3⑤由式(4-16)便可求出。上面的相關運算中，充零的目的是為了能用圓周卷積代替線性卷積，以便采用快速卷積算法。周期圖法譜估計周期圖法又稱直接法，其具體步驟如下：第一步：由獲得的點數(shù)據(jù)構(gòu)成的有限長序列直接求傅立葉變換，得頻譜，即(4-21)第二步：取頻譜幅度的平方，并除以，以此作為對真實功率譜的估計，即(4-22)古典譜估計的改進相關法和周期圖法都是用獲得的個數(shù)據(jù)對隨機過程進行譜估計，它隱含著對無限長數(shù)據(jù)加了一個矩形窗截斷。時域中與矩形窗函數(shù)相乘對應于頻域中與矩形窗頻譜相卷積，就這一點來說，估計譜相當于真實譜與矩形窗頻譜相卷積的結(jié)果。矩形窗頻譜等于矩形序列的傅立葉變換，即(4-23)對功率譜有影響的是矩形窗頻譜的幅度譜，該函數(shù)與功率譜相卷積必然使所得的估計譜不同于真實的功率譜，因為函數(shù)不同于函數(shù)（任何函數(shù)與函數(shù)相卷積形狀不變）。為了使估計譜逼近真實譜，應設法使窗譜幅度函數(shù)逼近函數(shù)。矩形窗頻譜的幅度函數(shù)為，它與函數(shù)相比存在兩方面的差異，一是主瓣不是無限窄，二是有旁瓣。由于主瓣不是無限窄，真實的功率譜與主瓣卷積后將使功率向附近頻域擴散，使信號模糊，降低了譜分辨率，主瓣越寬分辨率越低。由于存在旁瓣，又會產(chǎn)生兩個后果，一是功率譜主瓣內(nèi)的能量“泄漏”到旁瓣使譜估計的方差增大，二是旁瓣卷積后得到的功率譜完全屬于干擾。嚴重情況下，強信號與旁瓣的卷積可能大于弱信號與主瓣的卷積，使弱信號淹沒在強信號的干擾中，無法檢測出來，這是古典譜估計的主要缺點。為了減少泄漏和提高譜估計的分辨率，改善窗的形狀是必要的。對窗函數(shù)幅度譜的總要求是希望它的主瓣盡可能窄，同時旁瓣盡可能小，以減少能量外泄，改善方差，提高譜估計的分辨率。但實現(xiàn)時兩者往往是矛盾的，任何減小旁瓣的努力都要以犧牲主瓣寬度為代價，反之亦然。兩者只能互換，不可兼得。因此古典譜估計無法克服譜分辨率低的缺點。如果用統(tǒng)計量度量進行評價，可以得出相關法譜估計和周期圖法譜估計都不是對的一致估計，主要問題是方差大。于是人們研究各種改進方法以減少方差，尤其是周期圖法。改進周期圖法的主要途徑是平滑和平均。平滑是用一個適當?shù)拇昂瘮?shù)與算出的功率譜進行卷積，使譜線平滑。這種方法得出的譜估計是無偏的，方差也小，但分辨率下降。平均就是將截取的數(shù)據(jù)段再分成個小段，分別計算功率譜后取功率譜的平均，這種方法叫Bartlett方法。因為個平均的方差比隨機變量的單獨方差小倍，所以當時，個平均的方差趨于零，可以達到一致譜估計的目的。現(xiàn)在比較常用的方法是Welch法，又叫加權(quán)交疊平均法，簡記為WOSA法。這種方法以加窗（加權(quán)）求取平均，以分段重疊求得平均，因此集平均與平滑的優(yōu)點于一體，但同時也不可避免地帶有兩者的缺點。其主要步驟如下：=1\*GB3①將長的數(shù)據(jù)段分成個小段，每小段M點，相鄰小段間交疊點，于是段數(shù)為(4-24)=2\*GB3②對各小段加同樣的平滑窗后求傅立葉變換，得(4-25)=3\*GB3③求各小段功率譜的平均，得(4-26)這里，代表窗函數(shù)平均功率，所以是長窗函數(shù)的能量。Welch法對數(shù)據(jù)分段加非矩形窗，因為窗函數(shù)在其邊沿為零，從而減小了分段時的截斷效應。分段平均減小了由數(shù)據(jù)樣本本身的隨機性帶來的方差，段數(shù)越多方差越小，但分辨率下降。分段多了每段的點數(shù)必然減少，分段時允許數(shù)據(jù)有部分重疊，可以在段數(shù)較多的情況下拉長每小段長度，有利于平滑過渡。Welch法得出的是無偏譜估計，當段數(shù)增大時方差減小，趨于一致估計。古典譜估計出現(xiàn)較早，運算量較小，物理概念明確，便于工程實現(xiàn)，對長數(shù)據(jù)記錄來說，還是比較實用的。但古典譜估計有一些難以克服的缺點，可以總結(jié)如下：=1\*GB3①譜的分辨率較低。=2\*GB3②加窗的壞影響不可避免。較寬的主瓣降低分辨率，較大的旁瓣有可能掩蓋真實譜中較弱的成分，或是產(chǎn)生虛假的譜峰。沒有一個窗函數(shù)能使譜估計在方差、偏差和分辨率各方面同時得到改善，使用窗函數(shù)只是一種折中的技巧，不是解決問題的根本辦法。=3\*GB3③古典譜不是真實譜的一致估計。上述缺點促使人們尋求更好的譜估計方法，這就導致了現(xiàn)代譜估計的產(chǎn)生?，F(xiàn)代譜估計重點研究包含短序列在內(nèi)的各種高分辨率的、有效的譜估計方法。4.2.2最大熵譜估計古典譜估計隱含著數(shù)據(jù)窗以外的序列值為0的假設，顯然這是不合理的。如何利用有限的數(shù)據(jù)記錄，盡可能得到PSD的良好估計？Burg提出外推給定的有限長自相關序列，使之變成無限長序列，再由維納-辛欽定理計算功率譜。假定已知自相關序列，現(xiàn)通過合理的外推求得，并要保證外推后的自相關矩陣是非負定的。一般有無限多種可能的外推方法，都能得到比較合適的自相關序列。Burg證明了如果外推后的自相關序列所對應的時間序列具有最大熵，那么這種外推方法才是最合理的。為了說明這種方法的合理性，先簡單介紹一下熵的概念。在香農(nóng)（Shannon）信息論中，離散性隨機變量的熵定義為(4-27)式中表示這一事件發(fā)生的概率，是信息量的定義，信息量是解除事件不確定性所需要信息的度量。表示求數(shù)學期望，上式表明，熵是平均不確定性的度量，它在數(shù)值上等于平均信息量。對于必然事件，由于其發(fā)生的概率等于1，故其信息量等于零，對應的熵等于零。越是小概率事件，其信息量越大，對應的熵值越大。根據(jù)上面的概念不難想象，如果外推后的自相關序列所對應的時間序列具有最大熵，則意味著在具有已知的個自相關值的所有時間序列中，該時間序列的不確定性最大，將是最隨機或最不可預測的。統(tǒng)計學認為，最大熵是最合理、最自然、最無主觀性的假定。這正是選擇最大熵準則外推自相關序列的合理性所在。在此思路下，應用解有約束優(yōu)化問題的拉格朗日乘子法，可以推出高斯隨機過程的最大熵功率譜為(4-28)式中的可以根據(jù)Yule-Walker方程由已知的個自相關函數(shù)值求得，也就是AR模型的參數(shù)。于是可以得出結(jié)論，對高斯隨機過程，在已知的情況下，其最大熵譜與其AR模型譜是一致的。因為最大熵譜是建立在自相關函數(shù)外推基礎上的，所以AR模型譜也等效于一個外推后的自相關函數(shù)的譜。需要注意的是，如果不是高斯型隨機過程，其最大熵譜與AR模型譜是不一樣的。4.2.3譜估計方法的比較分析圖4-1、4-2、4-3、4-4、4-5所示是用周期圖法、自相關法、Bartlett法、Welch法和最大熵法對軌道實測信號數(shù)據(jù)（京廣線K80~K90區(qū)間下行線左鋼軌高低不平順檢測數(shù)據(jù)）進行譜估計的結(jié)果。（具體程序詳見附錄1）由于我國軌檢車只能檢測1~50m波長范圍的軌道不平順，其對應的頻率范圍為0.83~41.7Hz，故在圖中我們只比較該頻率范圍內(nèi)的功率譜密度值。又因為頻率20Hz之后的功率譜密度值基本不變，故可以認為頻率從20~41.7Hz的數(shù)據(jù)段不可用。故只需比較0.83~20Hz頻率段內(nèi)的功率譜，由各圖中曲線可以看出，隨著頻率的增大，功率譜密度值都在減小，頻率為0.83Hz處的功率譜密度約為，頻率為20Hz處的功率譜密度值約在處徘徊。因此可以判斷各種方法功率譜值的范圍基本一致。另一方面，隨著使用方法的優(yōu)化，曲線變得越來越平滑，分辨率越來越高。周期圖法和自相關法作為古典方法，其精度不高，曲線毛刺很多，難以分辨各頻率對應幅值，但相比之下，自相關法的精度要稍高于周期圖法。Bartlette法和Welch法所作曲線明顯比前面兩者平順的多，二者曲線差異不是很明顯，Welch法精度稍高，這是因為Bartlett法只是將數(shù)據(jù)分段，各數(shù)據(jù)段加矩形窗，而Welch法是將數(shù)據(jù)有重疊分段，各數(shù)據(jù)段加了漢明窗，數(shù)據(jù)被更進一步的平均和平滑。圖4-5是用最大熵法作出的曲線，它是一種現(xiàn)代譜估計方法，毫無疑問，不論從分辨率和平滑度上都是很出色的，它是對數(shù)據(jù)進行功率譜估計最合理、最自然、最無主觀性的方法。圖4-1周期圖法譜估計圖圖4-2自相關法譜估計圖圖4-3Bartlett法譜估計圖圖4-4Welch法譜估計圖圖4-5最大熵法譜估計圖4.3實測軌道譜與現(xiàn)有軌道譜的比較為了分析該路段不平順狀態(tài)，可以用該路段的軌道譜與現(xiàn)有軌道譜進行比較，本文將實測高低不平順軌道譜與美國六級高低不平順線路譜進行了比較，分析了該路段的不平順狀況，提出了一些養(yǎng)護維修意見。由于實測軌道譜的橫、縱坐標分別為頻率/和功率譜密度/，故必須將現(xiàn)有的美國高低不平順譜（如式(3-3)所示）進行單位轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過程如下：因為，，故，根據(jù)能量守恒有，可得：(4-29)式中：為空間頻率，為角頻率，時間頻率，為車速，這里為取為。由此得到的單位為，只需再給乘以，則其單位就變?yōu)?，橫坐標為頻率/。查表3-1可知、的值，經(jīng)過上面的轉(zhuǎn)換便可求得，利用MATLAB編程實現(xiàn)這一過程，就可以得到下面的比較圖：圖4-6實測高低不平順軌道譜與美國六級高低不平順譜的比較圖由4.2.3節(jié)的分析比較結(jié)果可知，只需考慮0.83~20Hz頻率段內(nèi)的功率譜，故在比較實測高低不平順軌道譜與美國六級高低不平順譜時，只需分析該頻率段內(nèi)的功率譜密度，由上圖明顯可以看出，在0.83~20Hz頻率段內(nèi)，實測的功率譜密度值總體上大于美國六級功率譜值，只有少數(shù)值在落在了美國六級高低不平順譜線以下，因此可以得出結(jié)論，京廣線K80~K90區(qū)間下行線左鋼軌高低不平順總體狀況不及美國六級線路來的好，功率譜數(shù)值上相差一個數(shù)量級，軌道高低質(zhì)量較差，為了使列車運行更快速、更平穩(wěn)，還需進一步改進該路段的線路狀況。4.4線路平順性趨勢分析如上章所述，評價線路平順性的方法很多，但是利用功率譜密度來分析是比較宏觀、比較合理的方法。本節(jié)將運用實測數(shù)據(jù)得到的功率譜曲線來分析該線路在一定時間內(nèi)平順性的變化趨勢。針對京廣線K80-K90區(qū)間下行線左鋼軌高低不平順04年到07年的部分檢測數(shù)據(jù)，調(diào)入已有的功率譜估計函數(shù)（運用Welch法），將所有譜線畫到一張圖紙上，得到下圖：圖4-704~07年京廣線K80-K90區(qū)間下行線左鋼軌高低不平順趨勢分析圖中將各個年份軌道譜線畫成不同顏色以便區(qū)分，由于軌檢車所能測試的波長范圍為1~50m，取列車行車速度為150km/h，則對應的頻率范圍為41.7~0.83Hz，故只需分析該頻率段內(nèi)的譜線。由圖知，在頻率0.83~4Hz范圍內(nèi)，即波長50~10.4m，功率譜密度值變小，軌道高低平順狀況逐年變好，也就是說，在較長波范圍，高低平順性趨于良好，車輛運行的平穩(wěn)性逐年提高；在頻率4~10.5Hz范圍內(nèi)，即波長10.4~3.97m，06年功率譜密度值最小，07年次之，05年最差，因此可得出在該波長范圍內(nèi)，07年較06年惡化，但比04、05年良好些；在頻率10.5~41.7Hz范圍內(nèi)，即波長3.97~1m，07年功率譜密度值最小，較前三年都平順些，但同時可以看出，06年部分月份軌道平順性較差，在得到維修后，平順性得到改善。因此，總體來講，04~07年，該路段軌道高低不平順整體狀態(tài)是向好的方向發(fā)展的，但在波長10.4~3.97m范圍里，不平順幅度有所增大，這也需要鐵路工務部門及時維護以改善這一波長范圍的高低平順度，使軌道狀況得到改善，行車更加平穩(wěn)、舒適。

第5章軌道不平順數(shù)值模擬對鐵路車輛—軌道系統(tǒng)進行深入的動力學分析以及對車輛進行振動臺試驗，都需要可靠的線路不平順樣本?？紤]到輪軌接觸等非線性因素，軌道不平順隨機過程的數(shù)值模擬也是車輛—軌道系統(tǒng)動力研究的重要工具，其模擬質(zhì)量直接影響研究的有效性。國內(nèi)外常用的軌道不平順數(shù)值模擬方法有白噪聲濾波法、二次濾波法、三角級數(shù)法以及逆傅氏變換法。本章針對各種模擬方法在理論上作了比較，最后從時間域譜密度函數(shù)出發(fā)，對逆傅氏變換模擬方法進行了探討，給出了相應的時域模擬方法的原理及步驟。5.1國內(nèi)外常用的數(shù)值模擬方法國內(nèi)外常用的軌道不平順數(shù)值模擬方法[6]有白噪聲濾波法、二次濾波法、三角級數(shù)法以及逆傅氏逆變換法，下面將介紹前三種方法，逆傅氏逆變換法將單獨列為一節(jié)詳細介紹。5.1.1白噪聲濾波法及二次濾波法白噪聲濾波法將軌道不平順隨機過程抽象為滿足一定條件的白噪聲，并將其視為一個線性系統(tǒng)的輸入，而輸出就是滿足特定功率譜要求的隨機過程樣本，這也是地震波人工模擬的一種常用方法；二次濾波法針對不同的軌道譜設計不同的濾波器，把白噪聲經(jīng)過兩次濾波擬合為滿足特定譜的隨機樣本。這兩種方法的樣本擬合精度都和濾波器的設計有關。為了提高樣本的模擬質(zhì)量，文獻[9]在濾波器設計中采用了遺傳算法。時域樣本的二次濾波模擬方法，具體步驟如下：（1）模擬產(chǎn)生一個均勻分布于（0，1）的隨機數(shù)列（可以采用累乘法程序生成）；（2）將轉(zhuǎn)換成均值為0、均方差為的正態(tài)分布隨機數(shù)列,即(5-1)式中:，，為時間采樣間隔。（3）通過下面的濾波過程,可以通過隨機變量產(chǎn)生隨機過程樣本函數(shù)(的譜密度即美國六級垂向時域不平順譜)(5-2)式中，。上述模擬方法產(chǎn)生的軌道不平順隨機樣本的頻率很寬。為了滿足軌道頻譜的實際測量范圍,需要對樣本進行帶寬濾波,這樣一個滿足要求的樣本就形成了。5.1.2三角級數(shù)法設軌道不平順為各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，則其功率譜密度函數(shù)為(5-3)(5-4)軌道不平順隨機過程可以采用復數(shù)形式的傅立葉級數(shù)表達(5-5)(5-6)其離散表達式為(5-7)(5-8)由式(5-3)、(5-4)與式(5-5)、(5-6)得(5-9)將式(5-7)、(5-8)帶入式(5-3)、(5-4)得(5-10)(5-11)三角級數(shù)法是工程上一種常用方法，它假設軌道不平順是具有零均值的各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)高斯過程，并將其用三角級數(shù)表示。下面對三角級數(shù)法從原理及步驟上給予闡述。將軌道不平順展開成復數(shù)傅立葉級數(shù)(5-12)由于且，故式(5-12)可改寫為(5-13)為描述系數(shù)的隨機性質(zhì)，引入隨機變量并令其在區(qū)間上服從均勻分布，于是可構(gòu)造出如下軌道不平順隨機過程的三角級數(shù)表達式(5-14)式中，。由于三角級數(shù)法同功率譜的快速傅式變換數(shù)值計算方法間存在區(qū)別，從而三角級數(shù)模擬樣本的功率譜與解析功率譜間存在誤差。5.2逆傅氏變換法逆傅氏變換法[1]基于功率譜快速數(shù)值算法原理，但在計算方法上采用了傅氏逆變換，使隨機樣本的模擬速度較三角級數(shù)法有大幅度的提高。二次濾波法需要進行濾波器的設計，對不同功率譜密度函數(shù)的軌道不平順，均需設計出合理的濾波器，因此缺乏通用性。三角級數(shù)法和白噪聲濾波法是將軌道不平順看作平穩(wěn)高斯隨機過程，這顯然不完全與實際情況相符，文獻[10]證明軌道不平順并不都是平穩(wěn)隨機過程，事實上，軌道不平順功率譜是對時域采樣信號通過周期圖法估計而獲得的，其計算核心是快速傅立葉變換，鑒于以上方法的各種缺點，而逆傅氏變換法誤差較小，運算速度較快，通用性強，故本文采用逆傅氏變換法對功率譜函數(shù)進行數(shù)值模擬。5.2.1估計功率譜的Blackman-Turkey（BT）法在介紹逆傅氏變換法之前，有必要先介紹一下估計功率譜的Blackman-Turkey法。設時間序列，，記錄長度，為時間間隔，對于相關函數(shù)的時遲，也為離散值，則(5-15)式中：；；、為時間序列的自相關函數(shù)。則(5-16)式中：為時間序列的功率譜密度函數(shù)。所以(5-17)令，則(5-18)又因為對離散傅氏變換，時間序列已離散周期化，周期為。所以(5-19)將式(5-18)和式(5-19)帶入式(5-17)得(5-20)式中：為時間序列，的頻譜；。5.2.2逆傅立葉變換的計算步驟已有的軌道不平順功率譜均是空間域譜，這給軌道不平順樣本的數(shù)值模擬及時域評價帶來不便，所以應先將空間頻譜轉(zhuǎn)化成時域頻譜，再由上述估計功率譜的周期圖法可知，功率譜密度值在離散的采樣點上與信號的頻譜有著一個確定的關系。如果能夠在功率譜密度函數(shù)上離散采樣，構(gòu)造出頻譜，然后再對其進行傅立葉逆變換，即可得到時域的模擬軌道不平順激擾函數(shù)。實施的步驟如下：（1）已有的軌道不平順功率譜均是空間域譜，先將空間頻譜化成時域譜，以美國六級線路軌道高低不平順功率譜為例，利用4.3節(jié)提到的單位換算方法可以將其轉(zhuǎn)化為時域空間的功率譜。（2）得到時域功率譜后，由于其為單邊譜，所以要將其轉(zhuǎn)化為雙邊譜，如圖5-1所示。設需模擬的時間序列總時間為，時間間隔，則時域和頻域采樣點數(shù)為，一般不是正好為2的整數(shù)次冪，這時必須將其轉(zhuǎn)化為2的整數(shù)次冪以保證快速傅立葉的計算速度足夠快。頻域采樣間隔為。眾所周知，由周期圖法估計出的功率譜具有周期性，且為偶對稱序列。如圖5-1所示，設功率譜有效頻率段上截止頻率為和下截止頻率，則有效頻率段內(nèi)的采樣點數(shù)為。又設，則的采樣點值記為0。若，則的采樣點值記為0；若，則可增大以滿足。于是得到功率譜的個離散采樣點值，。最后再以此形成以為對稱中心的偶對稱序列，。圖5-1周期功率譜密度采樣圖（3）由式(5-16)和式(5-20)可知，時域序列的頻譜模值為(5-21)（4）式(5-21)給定了序列的頻譜的模值。由于時間序列為一隨機過程，其頻譜相位一定具有隨機性。設為獨立相位序列，它的各分量均值為零。又由于實序列的FFT為復序列（實部偶對稱，虛部奇對稱）。所以應為復數(shù)，且有，故設(5-22)式中服從均勻分布。又因為的實部關于偶對稱，虛部關于奇對稱，所以只需求出頻譜，，即由式(5-21)可得(5-23)顯然由對稱條件容易得到，。（5）將得到的復序列進行IFFT（快速傅立葉逆變換）可得(5-24)5.2.3算例以美國六級線路軌道高低不平順功率譜為例，其數(shù)學表達式如式(3-3)示，其中：；；；，取空間波長為。則根據(jù)以上的計算步驟，利用MATLAB編程工具編寫程序，可以得出數(shù)值模擬圖線如下圖示：（具體程序見附錄）圖5-1模擬軌道不平順的時間序列圖5-2軌道不平順功率譜解析值與模擬值的比較由圖5-1可以看出，在1~10s之間，時間序列呈十分隨機的分布；模擬的時間序列幅值在-0.6~0.6之間，與文獻[1]的結(jié)果相差不大，從而驗證了模擬時間序列的正確性。圖5-2中解析值與模擬值的比較可以看出，二者基本重合，模擬精度較高，結(jié)果令人滿意，這也從另一方面再次證明了模擬時間序列的正確性，這樣的到的時間序列就可以用于動力學計算了。

結(jié)論與展望軌道是鐵路系統(tǒng)的主要技術(shù)部件，用于引導列車的運行，并將所承受的荷載傳遞給路基。軌道結(jié)構(gòu)由鋼軌、軌枕、聯(lián)結(jié)零件、道床、防爬設備和道岔等主要部件構(gòu)成，是一種非常復雜的組合體，具有組合性和散體性，并且所承受的荷載具有隨機性和重復性，外加環(huán)境、養(yǎng)護維修等諸多因素的影響，致使軌道系統(tǒng)在其運營壽命中自始至終都存在不平順。軌道的平順狀態(tài)，對行車的安全性、平穩(wěn)性、舒適性，對車輛和軌道部件的壽命以及環(huán)境噪聲等都有重要影響，是軌道方面直接限制提高行車速度的主要因素。因此，深入研究軌道平順狀態(tài)對于保證鐵路安全運營具有十分重要的指導意義。本文從軌道譜和軌道不平順的時頻分析等方面對軌道不平順進行了研究，主要研究成果和結(jié)論如下：1、通過本次論文的撰寫，進一步理解了軌道不平順的概念及其形成原因，為以后深入研究軌道不平順打下了堅實的基礎。2、在理解軌道不平順概念的基礎上，分析對比了國內(nèi)外幾種典型的軌道譜，通過分析比較，認識到我國在研究軌道譜方面的欠缺及我國軌道質(zhì)量狀況較差這一現(xiàn)實，從而明確了以后研究工作的方向和目標。3、實測的軌道不平順數(shù)據(jù)都是時域數(shù)據(jù)，通過學習研究，學會利用各種譜估計方法（本文中主要用到了周期圖法、自相關法、改進的周期圖法（Bartlett法和Welch法）和最大熵法）將其轉(zhuǎn)化為軌道功率密度譜來