第十七單元 §17.1 合情推理與演繹推理

一 合情推理類型 定義由某類事物的 對歸納推理象具有某些特推出該事物的 對象都具有這些特征的推理和其中一類對象的某些已類比推理知 ,推出另一對象也具有這些 的推理

特點由部分到 由 到一般由特殊到§17.1合情推理與演繹推理合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián),再進行歸納、 然后§17.1合情推理與演繹推理二 演繹推理.簡言之演繹推理是由一般到 的推.“三段論”是演繹推理的一般模包括(1)大前提——已知的 ;小前提——所研究的 ;在線反饋結(jié)論——根據(jù) ,對特殊情況做出的判.在線反饋一、部分 全部 整體 個別 類似特征 特征 特一、部分 全部 整體 個別 類似特征 特征 特特殊 類比 猜想二、1.特殊 2.(1)一般原理 (2)特殊情況 (3)一般原理1已知數(shù)列中當(dāng)時依次計算后,猜想的表達式是( ).1【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.【答案】C2根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律,可得a表示的數(shù)是( ).2A.12B.48C.60D.144【解析】由圖中的數(shù)據(jù)可知,每行除首末兩個數(shù)外,其他數(shù)等于其肩上上一行兩個數(shù)的乘積,所以3【答案】D3有下列幾種說法:①歸納推理和類比推理是“合乎情理”的推理,統(tǒng)稱為合情推理;②合情推理得出的結(jié)論,因為合情,所以一定正確;③演繹推理是一般到特殊的推理;④演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理的形式有關(guān).以上說法正確的個數(shù)是( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】根據(jù)題意,依次分析所給的4個說法:對于①,符合合情推理的定義,①正確;對于②,合情推理得出的結(jié)論不一定是正確的,②錯誤;對于③,演繹推理是一般到特殊的推理,符合演繹推理的定義,③正確;對于④,演繹推理的形式為三段論,即大前提、小前提和結(jié)論,演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理的形式有關(guān),④正確.綜上所述,有3個是正確的.故選D.4【答案】D4我們熟悉定理:平行于同一條直線的兩條直線平行其數(shù)學(xué)符號語言這個推理稱為 填“歸納推理”“類比推理”“演繹推理”之一).【解析】∵平行于同一條直線的兩條直線平行,(大前提)而a∥b,b∥c,(小前提)∴a∥c.(結(jié)論)∴這是一個三段論,屬于演繹推理.【答案】演繹推理題型歸納推理一1第五個等式99個等式為().20+21=3……【解析】依題意,用(t,s)表示2t+2s,題中等式的規(guī)律:第一行為3(0,1);第二行為5(0,2),6(1,2);第三行為9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行為17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因為99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99個等式應(yīng)位于第14行的從左至右的第8個位置,即27+214=16512,故選B.【答案】B歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而在進行歸納推理時,首先觀察題目給出的特殊數(shù)(式),得出變化規(guī)律(如本例中,要觀察各行出現(xiàn)的等式個數(shù)的變化規(guī)律),然后檢驗這些特殊的數(shù)(式)是否符合觀察得到的規(guī)律.若不符合,則應(yīng)繼續(xù)尋找規(guī)律;若符合,則可運用此規(guī)律推出一般結(jié)論.【追蹤訓(xùn)練1】觀察下列等式:1-=,1-+-=+,1-+-+-=++,……據(jù)此規(guī)律,第n個等式應(yīng)為 .【解析】等式左邊的特征:第1個等式有2項,第2個等式有4項,第3個等式有6項,且正負(fù)交錯.故第n個等式左邊有2n項且正負(fù)交錯,應(yīng)為1-+-- .-等式右邊的特征:第1個等式有1項,第2個等式有2項,第3個等式有3項.故第n個等式有n項,且由前幾個等式的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個等式右邊應(yīng)為 + .【答案】1-+-+…+

- = + -題型類比推理二【例2】三角形的面積為S=(a+b+c)r,a,b,c為三角形的邊長,r為三角形內(nèi)切圓的半徑,利用類比推理,可以得出四面體的體積為( ).V=abcV=ShV=V=分別為四面體四個面的面積,r為四面體內(nèi)切球的半徑)O——分割法,將O與四個頂點連起來,可得四面體的體積等于以O(shè)為頂點,分別以四個面為底面的四個三棱錐體積的和,所以四面體的體積V=(S1+S2+S3+S4)r,故選D.【答案】D類比推理的一般步驟:①找出兩類事物之間的相似性或者一致性.②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(或猜想).【追蹤訓(xùn)練2】若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知若正項數(shù)列是等比數(shù)列,且也是等比數(shù)列,則類比推理的一般步驟:①找出兩類事物之間的相似性或者一致性.②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(或猜想).【解析】(法一)由題意可知,商類比開方,和類比積,算術(shù)平均數(shù)類比幾何平均數(shù),故的表達式為.(法二)若是等差數(shù)列,則- +- d=-.若{c}是等比數(shù)列,則cc…c= -,n 1 2 n∴d= =c -,即ahex0kw是等比數(shù)列.n 1 n【答案】D題型演繹推理三【例3】下面幾個推理過程是演繹推理的是( ).-在數(shù)列中,根據(jù)-+ 計算出的值,然后猜想的通項公式-851525250ππ是無理數(shù)由平面三角形的性質(zhì),推測空間四面體的性質(zhì)【解析】A與B都是從特殊到一般的推理,是歸納推理,均屬于合情推理;C為三段論,是從一般到特殊的推理,是演繹推理;D是由特殊到特殊的推理,是類比推理,屬于合情推理;故選C.簡單的演繹推理,易錯點在于混淆合情推理與演繹推理的概念,弄清概念是關(guān)鍵.簡單的演繹推理,易錯點在于混淆合情推理與演繹推理的概念,弄清概念是關(guān)鍵.【追蹤訓(xùn)練3分別是【解析】因為同位角相等,兩條直線平行,(大前提)而∠BFD與∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(結(jié)論)因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,(大前提)而DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)AFDE是平行四邊形因為平行四邊形的對邊相等,(大前提)而ED和AF為平行四邊形的對邊,(小前提)所以ED=AF.(結(jié)論)上面的推理過程可簡略地寫成:AFDE是平行四邊形ED=AF.方法歸納推理的一般步驟一觀察:通過觀察具體事物發(fā)現(xiàn)某些相同特征.概括、歸納:從已知的相同特征中概括、歸納出一個明確表述的一般性命題.猜測一般性結(jié)論.【突破訓(xùn)練1】已知觀察下列各式:x+≥2,x+=++ ≥3,x+ =+++ ≥4,….類比得x+則a= .【答案】nn方法類比推理的一般步驟二找出兩類事物之間的相似性或一致性.猜想).檢驗這個猜想.一般情況下,如果類比的兩類事物的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),那么類比得出的結(jié)論就越可靠.類比得出的結(jié)論既可能為真,也可能為假.類比推理是一種由特殊到特殊的認(rèn)識過程,具有十分重要的實用價值.【突破訓(xùn)練2】在平面內(nèi),設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高,點P為三角形ABC內(nèi)任一點,點P到相應(yīng)三邊的距離分別為我們可以得出結(jié)論: + + 把它類比到空間,則三棱錐中類似的結(jié)為 .【解析】設(shè)ha,hb,hc,hd分別是三棱錐A-BCD四個面上的高,P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點,點P到相應(yīng)四個面的距離分別為于是可以得出結(jié)論: + ++ 【答案】 + ++ 方法演繹推理的規(guī)律方法三分析演繹推理的構(gòu)成時,要正確區(qū)分大前提、小前提和結(jié)論,省略大前提的要補出來.判斷演繹推理是否正確的方法:看推理形式是否為由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演繹推理,這是最易出錯的地方.看大前提是否正確,大前提往往是定義、定理、性質(zhì)等,注意其中有無前提條件(3)看小前提是否正確,注意小前提必須在大前提的范圍之內(nèi).(4)看推理過程是否正確,即看由大前提、小前提得到的結(jié)論是否正確.【突破訓(xùn)練3】某國家流傳這樣的一個政治笑話:“鵝吃白菜,參議員先生也吃白菜,所以參議員先生是鵝.”結(jié)論顯然是錯誤的,是因為( ).大前提錯誤 小前提錯誤推理形式錯誤非以上錯特殊情況,鵝與人不能類比,所以不符合三段論的推理形式,所以推理形式錯誤.【答案】C1.(2018西安五校聯(lián)考)下列推理是歸納推理的是( ).A.A,B為定點,動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則P點的軌跡為橢圓n的表達式由圓的面積猜想出橢圓 + 的面積科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】從S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn,是從特殊到一般的推理,所以選項B是歸納推理,故選B.【答案】B2.(2018海南八校一模)正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理( ).A.結(jié)論正確 大前提不正小前提不正確全不正確【解析】f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提錯誤.【答案】C3.(2018吉林白山二模)平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成個區(qū)域,則的表達式為( ).B.2nC. 【解析】1條直線將平面分成1+1=2個區(qū)域;……n條直線最多可將平面分成= 個區(qū)域,故選C.【答案】C4.(2018江西七校一模)給出下列三個類比結(jié)論:①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】(a+b)n≠an+bn(n≠1,ab≠0),故①錯誤.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立.如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°sin60°= ,故②錯誤.由向量的運算公式知③正確.【答案】B5.(2018保定一模)觀察下列不等式:1+ <,1+ + <,1+ + + <,……照此規(guī)律,第五個不等式為 .【解析】觀察每行不等式的特點,每行不等式左端最后一個分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端分?jǐn)?shù)的分母相等,且每行不等式右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.故第五個不等式為1+ + + + + < .【答案】1+ + + + + <6.(2018安徽安慶二模)若P(x,y)在橢圓 + 外,過點P作橢圓的兩條切線,切點為P,P,則0 0 0 0 1 2切點弦所在直線的方程是 + 那么對于雙曲線,則有如下命:若在雙曲線- 外,過點作雙曲線的兩條切,切點為則切點弦所在直線的方程是 .【解析】設(shè)則以為切點的切線方程分別是 - - 因為在這兩條切線上,所以

- - 這說明在直線 - 上,故切點弦所在直線的方程是 - 【答案】 - 7.(2018北京東城區(qū)?？?設(shè),先分別求然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明.【解析】+= + = -+- = ,同理可得.又在這三個特殊式子中,自變量之和均等于1,歸納猜想:當(dāng)時,均有.證明如下:設(shè)則+= == = = .8.(2018AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形,又圓環(huán)的面積,所以,圓環(huán)的面積等于以線段AB=R-r為寬以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π× 為長的矩形面積請你將上述想法拓展到空間,并解決下列問題:若將平面區(qū)域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是().A.2πr2dB.2π2r2dC.2πrd2D.2π2rd2【解析】平面區(qū)域MMyOd2πd為高的圓柱的B.【答案】B9.(2018如圖(1)O、ONM、MN、N,1 2 1 2則 = 如圖(2),若從點O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線、OQ和OR上分別有點P1、、點、和點、則類似的結(jié)論為 .【解析考查類比推理問題,由題意得三棱錐及三棱錐的底面面積之比為 ,又過頂點分別向底面作垂線,得到高的比為 ,故 - = ,即 - = .- -【答案】 - =-10.(2018河北唐山一中月考在Rt△ABC中,若于點則 = + 那么在四面A-BCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想,并說明理由.【解析】如圖(1)所示,由射影定理得= = = .又= = + .猜想:在四面體A-BCD中,若、、AD兩兩垂直平面則 = + + 證明如下:如圖(2),連接BE并延長交CD于點F,連接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC?平面ACD,AD?平面ACD,∴AB⊥平面ACD.∵AF?平面ACD,∴AB⊥AF.在Rt△ABF中= + .在Rt△ACD中= + .∴ = + + .11.(2018廣東湛江二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f'(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f'(x)的導(dǎo)